Sección II. Sobre el descubrimiento de las fuerzas centrípetas
Sección II[16] SOBRE EL DESCUBRIMIENTO DE LAS FUERZAS CENTRÍPETAS
PROPOSICIÓN I. TEOREMA I
Las áreas, descritas por cuerpos que giran sujetos a un centro de fuerzas inmóvil por radios unidos a dicho centro, están en el mismo plano inmóvil y son proporcionales a los tiempos.
Divídase el tiempo en partes iguales y en la primera parte de tiempo el cuerpo por su fuerza ínsita recorra la recta AB. En la segunda parte de tiempo, si nada lo impide, la recta llegará hasta c (por la Ley I) describiendo la línea Bc igual a la misma AB; de modo que las áreas ASB, BSc descritas por el trazado de los radios AS, BS, cS, al centro habrán de ser iguales. Pero cuando el cuerpo llega a B, supóngase que una fuerza centrípeta produce un único y gran impulso y haga que el cuerpo se separe de la línea Bc y siga la recta BC. Trácese la paralela cC a BS que toca a BC en C; y al completarse la segunda parte de tiempo el cuerpo (por el Corolario I de las Leyes) se hallará en C, en el mismo plano que el triángulo ASB. Únase SC, y el triángulo SBC, por ser paralelas SB, Cc, será igual al triángulo SBc y, por tanto, también al triángulo SAB. Y, por argumentos semejantes, si una fuerza centrípeta actúa sucesivamente en C, D, E, etc., haciendo que el cuerpo en cada parte de tiempo describa cada recta CD, DE, EF, etc., estarán todas ellas en el mismo plano y el triángulo SCD será igual al triángulo SBC, y SDE al propio SCD, y SEF a SDE. Por tanto, en tiempos iguales se describen áreas iguales en un plano inmóvil; y, por composición, las sumas de cualesquiera áreas SADS y SAFS son entre sí como los tiempos en que se describen. Auméntese ahora el número de triángulos y disminúyase su altura in infinitum y su perímetro último ADF será una línea curva[17] (por el Corolario 4 del Lema III); y por tanto la fuerza centrípeta, por la que un cuerpo es continuamente separado de la tangente de dicha curva, actúa continuamente; y áreas cualesquiera descritas SADS, SAFS proporcionales siempre a los tiempos en que se describen, serán, en este caso, proporcionales a los mismos tiempos. Q. E. D.
COROLARIO 1. La velocidad de un cuerpo atraído hacia un centro inmóvil en un espacio no resistente es inversamente como la perpendicular trazada desde tal centro a la tangente de la curva. Pues la velocidad en los puntos A, B, C, D, E, es como las bases AB, BC, CD, DE, EF, de los triángulos iguales; y estas bases son inversamente como las perpendiculares trazadas a ellas.
COROLARIO 2. Si las cuerdas AB, BC, de dos arcos descritos sucesivamente en tiempos iguales por el mismo cuerpo en espacios no resistentes se completan en un paralelogramo ABCV, y la diagonal BV de dicho paralelogramo en la posición que al final tiene cuando el arco disminuye in infinitum es prolongada en ambas direcciones, pasará por el centro de fuerzas.
COROLARIO 3. Si las cuerdas AB, BC y DE, EF de arcos descritos en tiempos iguales y en espacios no resistentes se completan en los paralelogramos ABCV, DEFZ, las fuerzas en B y E serán entre sí en razón última de las diagonales BV, EZ, cuando dichos arcos disminuyan in infinitum. Pues los movimientos BC y EF del cuerpo (por el Corolario I de las Leyes) estarán compuestos de los movimientos Be, BV y Eƒ, EZ. Ahora bien, BV y EZ, iguales a Cc y Fƒ, en la demostración de esta Proposición se originaban por impulsos de la fuerza centrípeta en B y E, y por consiguiente, son proporcionales a tales impulsos.
COROLARIO 4. Las fuerzas, por las que cualesquiera cuerpos en espacios no resistentes son desviados de trayectorias rectilíneas y constreñidos a trayectorias curvas, son entre sí como las sagitas convergentes al centro de fuerzas; sagitas de los arcos descritos en tiempos iguales y bisecantes de las cuerdas de dichos arcos mientras éstos disminuyen in infinitum. Pues tales sagitas son las mitades de las diagonales de las que hemos hablado en el Corolario 3.
COROLARIO 5. Y, por tanto, estas fuerzas son a la fuerza de la gravedad como tales sagitas son a las sagitas perpendiculares al horizonte de los arcos parabólicos que describen los proyectiles en los mismos tiempos.
COROLARIO 6. Lo mismo vale (por el Corolario V de las Leyes) cuando los planos en que se mueven los cuerpos junto con el centro de fuerzas situado en los mismos no están en reposo, sino que se mueven uniformemente y en línea recta.
PROPOSICIÓN II. TEOREMA II
Todo cuerpo que se mueve en una curva descrita en un plano, y con un radio trazado a un punto, inmóvil o en movimiento rectilíneo y uniforme, describe áreas en torno a dicho punto proporcionales a los tiempos, es empujado por una fuerza centrípeta tendente a dicho punto.
CASO 1. Pues todo cuerpo que se mueve en una curva es desviado de su trayectoria recta por alguna fuerza actuante sobre él (por la Ley I). Y esta fuerza que aparta al cuerpo de la trayectoria rectilínea y le obliga a describir en torno al punto inmóvil S los triángulos iguales e infinitamente pequeños SAB, SBC, SDC, etc., actúa en el punto B según una línea paralela a cC (por la Proposición XL del Libro I de los Elementos y la Ley II), esto es, según la dirección de la línea BS; y en el punto C actúa según la línea paralela a dD, esto es, según la línea SC, etc. Por tanto, actúa siempre según líneas tendentes al mencionado punto S inmóvil. Q. E. D.
CASO 2. Y, por el Corolario V de las Leyes, es indiferente que la superficie en que un cuerpo describe una línea curva esté en reposo o que se mueva, junto con el cuerpo, la figura descrita y su punto S, uniformemente y en directo.
COROLARIO 1. En espacios o medios no resistentes, si las áreas no son proporcionales a los tiempos, las fuerzas no tienden al punto donde concurren los radios sino que se adelantan hacia la región hacia la que se dirige el movimiento, caso de que la descripción de las áreas se acelere, o se atrasan, caso de que se retarde.
COROLARIO 2. Incluso en medios resistentes, si se acelera la descripción de las áreas, las direcciones de las fuerzas se apartan del punto de encuentro de los radios hacia la dirección hacia la que va el movimiento.
ESCOLIO
Un cuerpo puede ser urgido por una fuerza centrípeta compuesta de muchas fuerzas. En tal caso el sentido de la Proposición es que dicha fuerza, compuesta de todas las demás, tiende al punto S. Además si alguna fuerza actúa constantemente según una línea perpendicular a la superficie descrita, obligará al cuerpo a separarse del plano de su movimiento; pero no aumentará ni disminuirá la cantidad de superficie descrita y, por tanto, ha de despreciarse al componer las fuerzas.
PROPOSICIÓN III. TEOREMA III
Todo cuerpo que, unido por un radio al centro de otro cuerpo que se mueve de cualquier modo, describe alrededor de dicho centro áreas proporcionales a los tiempos es urgido por una fuerza compuesta de la fuerza centrípeta tendente a ese otro cuerpo y de toda la fuerza aceleratriz con la que es urgido ese otro cuerpo.
Sea L el primer cuerpo, y sea T el otro; y (por el Corolario VI de las Leyes) si ambos cuerpos son urgidos según líneas paralelas por una fuerza nueva, igual y contraria a aquella que urge al otro cuerpo T, el primer cuerpo L describiría alrededor del otro cuerpo T las mismas áreas que antes: en cambio la fuerza por la que era urgido el otro cuerpo T será ahora destruida por una fuerza igual y contraria y, por tanto (por la Ley I), ese otro cuerpo T abandonado ya a sí mismo o bien quedará en reposo o bien en movimiento uniforme y directo: y el cuerpo primero L urgido por la fuerza restante pasará a describir en torno al otro cuerpo T áreas proporcionales a los tiempos. Por tanto (por el Teorema II) la diferencia de fuerzas tiende hacia el otro cuerpo T como a su centro. Q. E. D.
COROLARIO 1. Por tanto, si un cuerpo L, unido por un radio a otro T, describe áreas proporcionales a los tiempos y de la fuerza total (tanto si es simple como si está compuesta de muchas fuerzas según el Corolario II de las Leyes) por la que es urgido el primer cuerpo L se resta (por el mismo Corolario de las Leyes) toda la fuerza aceleratriz por la que es urgido el otro cuerpo, toda la fuerza restante por la que es urgido el primer cuerpo tenderá al otro cuerpo T como a su centro.
COROLARIO 2. Y si esas áreas son aproximadamente proporcionales a los tiempos, la fuerza restante tenderá aproximadamente al otro cuerpo T.
COROLARIO 3. Y viceversa, si la fuerza restante tiende aproximadamente al otro cuerpo T, esas áreas serán aproximadamente proporcionales a los tiempos.
COROLARIO 4. Si un cuerpo L, unido por un radio a otro cuerpo T, describe áreas que, comparadas con los tiempos, son muy desiguales y el otro cuerpo T o reposa o se mueve uniformemente en directo, la acción de la fuerza centrípeta tendente hacia ese otro cuerpo T o es nula o se mezcla y se compone con acciones muy potentes de otras fuerzas, y la fuerza total compuesta de todas ellas, si son más de una, tiende hacia otro centro (móvil o en reposo). Lo mismo ocurre cuando el otro cuerpo se mueve con cualquier clase de movimiento si se toma la fuerza centrípeta que resulta después de restar toda la fuerza que actúa sobre el otro cuerpo T.
ESCOLIO
Puesto que la igual descripción de áreas es índice del centro hacia el que tiende la fuerza por la que más afectado es un cuerpo y por la que es apartado del movimiento rectilíneo y mantenido en su órbita, ¿por qué no podemos en lo sucesivo tomar la igualdad en la descripción de áreas como un índice del centro en torno al que ocurre todo movimiento circular en los espacios libres?
PROPOSICIÓN IV. TEOREMA IV
Las fuerzas centrípetas de los cuerpos que describen círculos distintos con movimientos iguales tienden a los centros de los mismos círculos; y son entre sí como los cuadrados de los arcos descritos en tiempos iguales divididos respectivamente por los radios de los círculos.
Estas fuerzas tienden a los centros de los círculos, por la Proposición II y por el Corolario 2, Proposición I, y son entre sí como los senos versos de los arcos descritos en tiempos iguales muy pequeños, por el Corolario 4 de la Proposición I, esto es, como los cuadrados de los mismos arcos divididos por los diámetros de los círculos, por el Lema VII; y por tanto, como estos arcos son como los arcos descritos en unos tiempos iguales y los diámetros son como los radios, las fuerzas serán como los cuadrados de los arcos descritos en el mismo tiempo divididos por los radios de los círculos. Q. E. D.
COROLARIO 1. Puesto que estos arcos son como las velocidades de los cuerpos, las fuerzas centrípetas estarán en razón compuesta, directamente de la razón cuadrada de las velocidades e inversamente de la razón simple de los radios.
COROLARIO 2. Y, como los tiempos periódicos están en razón compuesta directamente de la razón de los radios e inversamente de la razón de las velocidades, las fuerzas centrípetas están en razón compuesta directamente de la razón de los radios e inversamente de la razón cuadrada de los tiempos periódicos.
COROLARIO 3. De donde, si se igualan los tiempos periódicos y, por tanto, las velocidades son como los radios, también las fuerzas centrípetas serán como los radios; y al contrario.
COROLARIO 4. Si tanto los tiempos periódicos como las velocidades están en razón de la raíz cuadrada de los radios; las fuerzas centrípetas serán iguales entre sí; y al contrario.
COROLARIO 5. Si los tiempos periódicos son como los radios y, por tanto, las velocidades iguales, las fuerzas centrípetas serán inversamente como los radios; y al contrario.
COROLARIO 6. Si los tiempos periódicos están en razón de la potencia 3⁄2 de los radios y, por tanto, las velocidades están en razón de la raíz cuadrada de los radios, las fuerzas centrípetas serán inversamente como los cuadrados de los radios; y al contrario.
COROLARIO 7. Y, en general, si el tiempo periódico es como una potencia Rn cualquiera del radio R y, por tanto, la velocidad es inversamente como la potencia Rn - 1 del radio, la fuerza centrípeta será inversamente como la potencia R2n-1 del radio; y al contrario.
COROLARIO 8. Con respecto a los tiempos, las velocidades y las fuerzas con los que los cuerpos describen partes semejantes de cualesquiera figuras semejantes y que tienen los centros colocados en posición semejante dentro de dichas figuras se siguen las mismas cosas de la demostración de los casos precedentes aplicada a estas otras. Se aplica sustituyendo la descripción igual de las áreas por los movimientos iguales y tomando las distancias de los cuerpos a los centros como radios.
COROLARIO 9. Se sigue también de esta demostración que el arco que describe un cuerpo que gira uniformemente en círculo con una fuerza centrípeta dada en un tiempo cualquiera es media proporcional entre el diámetro del círculo y el descenso realizado por el cuerpo con la misma fuerza dada y cayendo durante el mismo tiempo[18].
ESCOLIO
El caso del Corolario 6 se da en los cuerpos celestes (como ya observaron por su parte nuestros Wren, Hooke y Halley); por ello, en lo que sigue he decidido exponer más ampliamente lo relativo a la fuerza centrípeta que decrece en razón del cuadrado de las distancias a los centros.
Además, como resultado de la Proposición precedente y de sus Corolarios, se puede deducir también la proporción entre una fuerza centrípeta y otra fuerza cualquiera conocida, tal como la de la gravedad, pues si un cuerpo gira en círculo concéntrico a la Tierra por la fuerza de su gravedad, esta gravedad es la fuerza centrípeta del mismo. Pues, el tiempo de una revolución, así como el arco descrito en un tiempo dado, vienen dados a partir del descenso de los graves, por el Corolario 9 de dicha Proposición. Y por medio de tales proposiciones. Huygens comparó la fuerza de la gravedad con las fuerzas centrífugas de los cuerpos que giran, en su célebre tratado de Horologio Oscillatorio.
Lo que antecede puede también demostrarse de este modo: imagínese descrito dentro de un círculo a un polígono de los lados que se quiera. Si un cuerpo moviéndose con una velocidad dada por los lados del polígono en cada ángulo del mismo es rechazado por el círculo, la fuerza con la cual en cada ocasión choca contra el círculo será como su velocidad; y por tanto la suma de las fuerzas en un tiempo dado será como dicha velocidad y el número de rechazos conjuntamente; esto es (si se da la clase del polígono) como la longitud descrita en el tiempo dado aumentada o disminuida en razón de la misma, longitud al radio del círculo predicho; es decir, como el cuadrado de dicha longitud dividido por el radio; y por tanto, si el polígono, acortando sus lados in infinitum, coincidiese con el círculo, como el cuadrado del arco descrito en un tiempo dado dividido por el radio. Esta es la fuerza centrífuga con la que el cuerpo empuja contra el círculo; e igual a ella es la fuerza contraria con la cual el círculo repele continuamente al cuerpo hacia el centro.
PROPOSICIÓN V. PROBLEMA I[19].
Hallar el centro de una figura dada, descrita por un cuerpo con fuerzas tendentes a dicho centro común y con una velocidad dada en un lugar cualquiera.
Sean las tres rectas PT, TQV, VR tangentes a la figura descrita en los puntos P, Q, R y que se corten en T y V. Trácense PA, QB, RC perpendiculares a las tangentes e inversamente proporcionales a las velocidades del cuerpo en los dichos puntos P, Q, R desde los que parten; esto es, de tal modo que PA sea a QB como la velocidad en Q a la velocidad en P y QB sea a RC como la velocidad en R a la velocidad Q. Trácense en ángulo recto por los extremos A, B, C de las perpendiculares las líneas AD, DBE, EC que se cortan en D y E. Y trazadas TD, VE se cortarán en el centro buscado S.
Pues las perpendiculares trazadas desde el centro S a las tangentes PT, QT (por el Corolario 1 de la Proposición I) son inversamente proporcionales a las velocidades del cuerpo en los puntos P y Q y, por ello, por construcción, directamente proporcionales a las perpendiculares AP, BQ, esto es, como las perpendiculares trazadas a las tangentes desde el punto D. De donde se sigue fácilmente que los puntos S, D, T están en una misma recta y por un argumento semejante los puntos S, E, V están también en la misma recta; y por tanto el centro S se halla en el cruce de las rectas TD, VE. Q. E. D.
PROPOSICIÓN VI. TEOREMA V[20]
Si en un espacio sin resistencia un cuerpo gira en una órbita alrededor de un centro inmóvil y describe en un tiempo muy pequeño un arco naciente en ese instante e imaginamos trazada la sagita del arco que a su vez divida en dos la cuerda y, prolongada, pase por el centro de fuerzas: la fuerza centrípeta en el punto medio del arco será directamente como la sagita e inversamente como el cuadrado del tiempo.
Pues la sagita en un tiempo dado es como la fuerza (por el Corolario 4 de la Proposición I) y al aumentar el tiempo según una razón cualquiera, la sagita, por el aumento del arco según la dicha razón, aumenta según la misma razón cuadrada (por los Corolarios 2 y 3 del Lema XI) y, por tanto, es como la fuerza y el cuadrado del tiempo. Divídase por el cuadrado del tiempo a ambos y la fuerza será directamente como la sagita e inversamente como el cuadrado del tiempo. Q. E. D.
También se puede demostrar esto fácilmente por el Corolario 4 del Lema X.
COROLARIO 1. Si un cuerpo P girando en torno a un centro S describe la curva APQ; hágase que la recta ZPR sea tangente a dicha curva en un punto cualquiera P y trácese hasta la tangente desde otro punto cualquiera Q una paralela a SP con distancia QR y trácese QT perpendicular a la línea SP; entonces la fuerza centrípeta será inversamente como el sólido SP2 x QP2 / QR; siempre que se considere la magnitud del sólido alcanzada en el último momento, cuando coinciden los puntos P y Q. Pues QR es igual a la sagita del doble del arco QP en cuya mitad se halla. P, y el doble del triángulo SQP o SP x QT es proporcional al tiempo en que es descrito dicho doble arco; por tanto, puede tomarse como representación del tiempo.
COROLARIO 2. Por un argumento semejante la fuerza centrípeta es inversamente como el sólido SP2 x QP2 / QR, siempre que SY sea perpendicular desde el centro de fuerza a PR tangente a la órbita. Pues los rectángulos SY x QP y SP x QT son iguales.
COROLARIO 3. Si una órbita es, o un círculo, o toca concéntricamente un círculo, o corta concéntricamente a un círculo, esto es, contiene un ángulo muy pequeño de contacto o de sección con el círculo y tiene la misma curvatura y el mismo radio de curvatura en el punto P; y si la cuerda PV del círculo es trazada desde el cuerpo por el centro de fuerzas; la fuerza centrípeta será inversamente como el sólido SY2 x PV. Pues PV es QP2 / QR.
COROLARIO 4. Supuesto esto, la fuerza centrípeta es como el cuadrado de la velocidad directamente, y dicha cuerda inversamente. Pues la velocidad es inversamente como la perpendicular SY, por el Corolario 1 de la Proposición I.
COROLARIO 5. De aquí que, si se da una figura curvilínea APQ y se da también en ella el punto S al que se dirige continuamente la fuerza centrípeta se puede hallar la ley de la fuerza centrípeta por la que un cuerpo P es retenido en el perímetro de dicha figura, desviado continuamente de la trayecto ria recta, figura que resultará descrita al girar. Efectivamente se puede hallar calculando, o bien el sólido SP2 x QT2 / QR, o bien el sólido SY2 x PV inversamente proporcional a dicha fuerza. Daremos ejemplos de esto en los problemas siguientes.
PROPOSICIÓN VII. PROBLEMA II[21].
Si un cuerpo gira en la circunferencia de un círculo, hállese la ley de la fuerza centrípeta tendente a un punto dado cualquiera.
Sea VQPA la circunferencia del círculo; y sea S el punto dado hacia el que tiende la fuerza como hacia su centro; sea P el cuerpo que se mueve en la circunferencia y Q el punto inmediato hacia el cual se mueve y sea PRZ la tangente del círculo en el punto precedente. Trácese por el punto S la cuerda PV; y trazado el diámetro del círculo VA únanse AP y trácese sobre SP la perpendicular QT que prolongada cortará a la tangente PR en Z y, finalmente, trácese por el punto Q la recta LR paralela a SP que corte el círculo en L y a la tangente PZ en R. Por la semejanza de los triángulos ZQR, ZTP, VPA tendremos que RP2, esto es, QRL será a QT2 como AV2 a PV2. Y, por tanto, QRL x PV2 / AV2= QT2. Multiplíquense estos dos miembros iguales por SP2 / QR y al coincidir los puntos P y Q sustitúyanse PV por RL. Tendremos asi que SP2 x PV3 / AV2= SP2 x QT2 / QR. Luego (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como SP2 x PV3 / AV2; esto es (por estar dado AV2) inversamente como el producto del cuadrado de la distancia o de la altura SP por el cubo de la cuerda PV. Q. E. I.
Lo mismo de otro modo
Trácese la perpendicular SY sobre la prolongación de la tangente PR; y, por semejanza de los triángulos SYP, VPA, tendremos que AV será a PV como SP a SY: por tanto SP x PV / AV= SY, y SP2 x PV3 / AV2= SY2 x PV. Y por tanto (por los corolarios 3 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como SP2 x PV3 / AV2 esto es, por estar dada AV, inversamente como SP2 x PV3 Q. E. I.
COROLARIO 1. De aquí que si el punto dado S hacia el que tiende continuamente la fuerza centrípeta se ubica en la circunferencia del círculo, por ejemplo en V, la fuerza centrípeta será inversamente como la quinta potencia de la altura SP.
COROLARIO 2. La fuerza por la que un cuerpo P gira en un círculo APTV en torno a un centro de fuerza S es a la fuerza por la que el mismo cuerpo P puede girar en el mismo círculo y en el mismo tiempo periódico en torno a otro centro de fuerza como RP2 x SP al cubo de la recta SG trazada desde el centro de fuerza primitivo S a la tangente PG de la circunferencia y paralela a la recta que une el cuerpo P con el segundo centro de fuerza. Pues por la construcción de esta proposición la fuerza primera es a la segunda como RP2 x PT3 es a SP2 x PV3, esto es como SP x RP2 SP3 x PV3 es a SP3 x PV3 / PT3 también (por semejanza de los triángulos PSG, TPV) a SG3.
COROLARIO 3. La fuerza por la que gira un cuerpo P en una órbita en torno a un centro de fuerzas S es a la fuerza por la que el mismo cuerpo P giraría en la misma órbita en el mismo tiempo periódico en torno a otro centro de fuerzas R, como el sólido SP x RP2, contenido a su vez por la distancia del cuerpo al primer centro de fuerzas S y por el cuadrado de su distancia al segundo centro de fuerzas R, es al cubo de la recta SG trazada desde el primer centro de fuerzas S a la tangente a la órbita PG y paralela a la recta RP que une el cuerpo P con el segundo centro de fuerzas R. Pues las fuerzas en esta órbita para un punto P son iguales que en un círculo de la misma curvatura.
PROPOSICIÓN VIII. PROBLEMA III.
Si un cuerpo se mueve en el semicírculo PQA: hállese la ley de la fuerza centrípeta tendente a un punto S tan lejano que todas las líneas PS, RS dirigidas a él puedan ser consideradas como paralelas.
Desde el centro C del semicírculo trácese el semidiámetro CA que corte perpendicularmente dichas paralelas en M y N y únase CP. Por semejanza de los triángulos CPM, PZT y RZQ tenemos que CP2 es a PM2 como PR2 a QT2 y por la naturaleza del círculo PQ2 es igual al rectángulo QR x (RN x QN) o, cuando los puntos P y Q tienden a juntarse, igual al rectángulo QR x 2PM. Luego CP2 es a PM2 como QR x 2PM a QT2 y por tanto QT2 / QR= 2PM3 / CP2, y QT2 x SP2 / QR= 2PM3 x SP2 / CP2. Así pues (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como 2PM2 x SP2 / SP2, esto es (despreciando la razón dada 2SP2 x SP2 / CP2) inversamente como PM2. Q. E. I.
Esto mismo se deduce fácilmente también de la Proposición precedente.
ESCOLIO
Y por un argumento no muy distinto se hallará que un cuerpo se movería en una elipse o también en una hipérbola o en una parábola, por una fuerza centrípeta que sería a su vez inversamente como el cubo de la ordenada dirigida a un centro de fuerzas infinitamente lejano.
PROPOSICIÓN IX. PROBLEMA IV.
Si un cuerpo gira en una espiral PQS que corta a todos los radios SP, SQ, etc., en un ángulo dado, hállese la ley de la fuerza centrípeta tendente al centro de la espiral.
Sea dado el ángulo infinitamente pequeño PSQ y por estar dados todos los ángulos se obtendrá una figura de la forma SPRQT. Luego está dada la razón QT / QR, y QT2 / QR es como QT, esto es (por la forma de la figura dada) como SP. Altérese cuanto sea el ángulo PSQ y la recta que subtiende al ángulo de contacto QRT se alterará (por el Lema XI) en razón cuadrada del propio PR o QT. Luego QT2 / QR permanecerá igual que antes, esto es como SP. Por lo tanto QT2 x SP2 / QR es como SP3 y por lo mismo (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI), la fuerza centrípeta es inversamente como el cubo de la distancia SP. Q. E. I.
Lo mismo de otro modo
La perpendicular SY trazada a la tangente y la cuerda PV del círculo concéntrico secante de la espiral están en razones dadas con respecto a la altura SP. Por tanto SP3 es como SY2 x PV, esto es (por los Corolarios 3 y 5 de la Proposición VI) inversamente como la fuerza centrípeta.
LEMA XII
Todos los paralelogramos descritos en torno a cualesquiera diámetros conjugados de una elipse o de una hipérbola dadas son iguales entre sí.
Consta por las cónicas.
PROPOSICIÓN X. PROBLEMA V
Si un cuerpo gira en una elipse, hallar la ley de la fuerza centrípeta tendente al centro de la elipse.
Sean CA, CB los semiejes de la elipse: GP, DK diámetros conjugados; PF, QT las perpendiculares a los diámetros, QV una ordenada del diámetro GP, y si se completa el paralelogramo QvPR, el rectángulo PvG será (por las cónicas) a Qv2 como PC2 A CD2 Y (por semejanza de los triángulos QvT, PCF) Qv2 es a QT2 como PC2 a PF2 y multiplicando las razones, el rectángulo PvG a QT2 como PC2 a CD2, y PC2 a PF2, esto es vG a QT2 / Pv como PC2 a CD2 x PF2 / PC2. Sustitúyase QR por Pv y (por el Lema XII) BC x CA por CD x PF, así como (al acercarse los puntos P y Q) 2PC por vG tendremos que, multiplicando extremos y medios entre sí, QT2 x PC2 / QR= 2BC2 x CA2 / PC. Así pues (por el Corolario 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como 2BC2 x CA2 / PC; esto es (por estar dados 2BC2 x CA2) inversamente como 1 / PC; o lo que es lo mismo directamente como la distancia PC. Q. E. I.
Lo mismo de otro modo
En la recta PG y en la otra parte del punto T tómese el punto u de tal modo que Tu sea igual al propio Tv; después tómese uV de modo que sea a vG como DC2 a PC2. Y puesto que por las cónicas Qv2 es a PvG como DC2 a PC2, Qv2 será igual a Pv x uV. Añádase a ambos el rectángulo uPv y el cuadrado de la cuerda del arco PQ resultará igual al rectángulo VPv y, por tanto, el círculo tangente a la sección cónica en el punto P, y que pase por el punto Q, pasará también por el punto V. Acérquense los puntos P y Q, y la razón uV a vG que es la misma que la de DC2 a PC2, vendrá a ser la misma que la de PV a PG o la de PV a 2PC; y por tanto PV será igual a 2DC2 / PC. Por ello la fuerza por la que un cuerpo P gira en una elipse será inversamente como 2DC2 / PC x PF2 (por el Corolario 3 de la Proposición VI), esto es (por estar dado 2DC2 x PF2) directamente como PC. Q. E. I.
COROLARIO 1. La fuerza es, por tanto, como la distancia del cuerpo al centro de la elipse; y viceversa, si la fuerza es como la distancia, el cuerpo girará en una elipse que tiene su centro en el centro de fuerzas, o si no, tal vez en un círculo en el que también puede convertirse la elipse.
COROLARIO 2. Y serán iguales también los tiempos periódicos de las revoluciones efectuadas en torno al mismo centro en todas las elipses. Pues los tiempos mencionados en las elipses semejantes serán iguales (por los Corolarios 3 y 8 de la Proposición IV), en cambio en las elipses que tienen el eje mayor común están entre sí directamente como el área total de las elipses e inversamente como las partes de área descritas en el mismo tiempo; esto es directamente como sus ejes menores e inversamente como las velocidades de los cuerpos en los vértices principales; o lo que es lo mismo, directamente como los ejes menores e inversamente como las ordenadas al mismo punto del eje común; en consecuencia (por la igualdad de las razones directas e inversas) en razón de igualdad.
ESCOLIO
Si una elipse, por alejarse su centro infinitamente, se convierte en una parábola, el cuerpo se moverá en esta parábola; y la fuerza ahora tendente a un centro infinitamente distante resultará constante. Este es el teorema de Galileo. Y si la sección parabólica de un cono (al cambiar la inclinación del plano secante del cono) se convierte en una hipérbola, el cuerpo se moverá en el perímetro de ésta con una fuerza centrípeta transformada en centrífuga. Y del mismo modo que si en un círculo o una elipse las fuerzas tienden al centro de la figura situado en la abscisa, estas fuerzas, aumentando o disminuyendo las ordenadas según una razón dada o también alterando el ángulo de inclinación de las ordenadas a la abscisa, siempre aumentan o disminuyen en razón a las distancias al centro, mientras los tiempos periódicos permanezcan iguales, del mismo modo en todas las figuras si las ordenadas aumentan o disminuyen en una razón dada, o el ángulo de inclinación se altera en cualquier sentido permaneciendo igual el tiempo periódico, las fuerzas tendentes a cualquier centro situado en la abscisa aumentan o disminuyen en cada ordenada en razón a las distancias al centro.