LIBRO DECIMOTERCERO (M)

<SE INICIA LA INVESTIGACIÓN SOBRE EL ESTATUTO ONTOLÓGICO DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS. PLAN A SEGUIR>[1]

Ciertamente, ya se ha explicado cuál es la entidad de las cosas sensibles en el tratado de la Física al ocuparnos de la materia, y después al ocuparnos de la entidad como acto.

[2] Ahora bien, puesto que investigamos 10si aparte de las entidades sensibles hay o no hay alguna inmóvil y eterna, y si la hay, cuál es, hemos de comenzar considerando las cosas que han sido dichas por otros a fin de que, si exponen algo erróneamente, no seamos nosotros reos de los mismos errores, y si compartimos con ellos alguna doctrina, a título particular no nos disgustemos por ello. Suficiente es, en efecto, si uno alcanza a explicar 15unas cosas mejor y otras no peor.

Pues bien, dos son las opiniones al respecto: algunos afirman que son entidades las cosas matemáticas —como los números, las líneas y las otras del mismo género— y además, las Ideas. Pero puesto que 20unos[3] hacen de estas cosas dos géneros, las Ideas y los Números Matemáticos, mientras que otros reducen ambos a una única naturaleza y algunos otros afirman, en fin, que sólo son entidades las Matemáticas,

<1> hemos de analizar en primer lugar lo relativo a las cosas matemáticas sin añadirles ninguna otra naturaleza: sin preguntarnos, por ejemplo, si acaso son Ideas o no, ni tampoco si son o no principios y 25entidades de las cosas que son, sino preguntándonos solamente acerca de las cosas matemáticas si existen o no existen, y si existen, cómo existen.

<2> A continuación de esto trataremos por separado de las Ideas mismas de un modo elemental y hasta donde hace al caso. En efecto, mucho se ha dicho una y otra vez al respecto, incluso en argumentaciones exotéricas.

<3> Además, gran parte de nuestra argumentación concurrirá 30a la dilucidación de esto último cuando analicemos si son Ideas y Números las entidades y los principios de las cosas que son. En efecto, tras ocuparnos de las Ideas, resta por hacer esta tercera indagación.

Por lo demás,[4] si existen las Realidades Matemáticas, necesariamente han de existir o en las cosas sensibles, como algunos dicen, o separadas de las cosas sensibles (esto lo dicen también algunos); y si ni lo 35uno ni lo otro, o bien no existen, o bien <existen> de otro modo. Por consiguiente, nuestra discusión será, no acerca de su existencia, sino acerca de su modo de ser.

CAPÍTULO SEGUNDO

<LOS OBJETOS MATEMÁTICOS NO TIENEN EXISTENCIA ACTUAL EN LOS CUERPOS SENSIBLES, Y TAMPOCO SEPARADOS DE ELLOS>[5]

<1> Que no pueden existir en las cosas sensibles y que tal teoría resulta cargada de fantasía, ya quedó dicho en la Discusión de las aporías,[6] <al 1076bseñalar> <a> que es imposible que dos sólidos estén a la vez en el mismo lugar y <b> que, además y por la misma razón, deberían estar también en las cosas sensibles las restantes potencias y naturalezas, sin existir ninguna de éstas separada. Estos argumentos han sido expuestos con anterioridad, ciertamente, pero además de ellos, <c> es evidente que resultaría imposible que se dividiera cuerpo alguno.[7] En efecto, habría 5de dividirse por una superficie, y ésta por una línea, y ésta por un punto: conque si es imposible dividir el punto, también la línea, y si ésta, también los otros. Y, desde luego, ¿qué diferencia hay entre afirmar que éstas son naturalezas de este tipo y afirmar que estas otras no, pero que en ellas se dan naturalezas de este tipo? Las consecuencias, 10desde luego, serán las mismas, ya que se dividirán al dividirse las cosas sensibles, y si no, tampoco se dividirán las cosas sensibles.

<2> Pero tampoco es posible que tales naturalezas existan separadas. <a> Y es que si existieran sólidos aparte de los sensibles, separados de éstos, distintos y anteriores a los sensibles, es evidente que existirían también otras superficies separadas aparte de las superficies 15sensibles, y puntos y líneas (por la misma razón). Y si existen éstos, a su vez existirán otros aparte de las superficies, las líneas y los puntos del sólido matemático (pues las cosas simples son anteriores a las compuestas; y si los cuerpos no sensibles son anteriores 20a los sensibles, por la misma razón habrá de admitirse que las superficies mismas, en sí, son anteriores a las que se dan en los sólidos inmóviles y, por consiguiente, tales superficies y líneas son distintas de las que se dan juntamente con los sólidos separados: éstas se dan, en efecto, a la vez que los sólidos matemáticos, mientras que aquéllas son anteriores a los sólidos matemáticos). Y en tales superficies 25habrá, a su vez, líneas, pero anteriores a éstas habrá de haber otras líneas y puntos por la misma razón. Y respecto de los puntos de estas líneas que son anteriores, habrá otros puntos anteriores respecto de los cuales ya no habrá otros anteriores. Y de este modo se produce un amontonamiento absurdo.[8] (Pues viene a ocurrir que los sólidos 30existentes aparte de los sensibles son únicos, mientras que hay tres tipos de superficies —las que hay aparte de las sensibles, las que se dan en los sólidos matemáticos y las que hay aparte de las que se dan en éstos—, y cuatro tipos de líneas, y cinco de puntos. Y por consiguiente, ¿de cuáles de ellos se ocupan las ciencias matemáticas? No, desde 35luego, de las superficies, líneas y puntos que se dan en el sólido inmóvil, ya que la ciencia se ocupa siempre de las cosas que son anteriores.

El mismo razonamiento se aplica también a los números, pues habrá otras unidades aparte de cada tipo de puntos y aparte de cada tipo de realidades, de las sensibles y de las inteligibles, con lo cual habrá <infinitos> géneros de números matemáticos.

Además, ¿cómo será posible resolver las dificultades que propusimos 1077aen la Discusión de las aporías?[9] <b> Pues aquello de que se ocupa la astronomía existirá aparte de las cosas sensibles, al igual que aquello de que se ocupa la geometría. Y ¿cómo va a ser posible que exista de esa manera un Cielo con sus partes, o cualquier otra cosa dotada de movimiento? Y lo mismo ocurre con aquello de que tratan la óptica y la música. Existirán, en efecto, voz y vista aparte de las sensibles y 5particulares, y, por consiguiente, es evidente que existirán también las demás sensaciones y los demás sensibles. Pues, ¿por qué van a existir éstos más bien que estos otros? Pero si existen tales cosas, existirán también Animales, dado que también existen sensaciones.

<c> Además, algunos axiomas son enunciados por los matemáticos universalmente,[10] al margen de estas entidades. Existirá también, por 10tanto, alguna otra entidad intermedia, ésta separada de las Ideas y de las Realidades Intermedias, y que no es ni número, ni puntos, ni magnitud, ni tiempo. Ahora bien, si esto es imposible, es evidente que también es imposible que aquéllas existan separadas de las cosas sensibles.

Y, en general, <d> si se afirma que las cosas matemáticas son de este modo, a modo de naturalezas separadas, se seguirá una consecuencia 15contraria a lo que es verdadero y se acostumbra a aceptar. En efecto, por ser de este modo serán necesariamente anteriores a las magnitudes sensibles, cuando, en realidad, son posteriores. Y es que la magnitud incompleta es anterior en cuanto a la generación, pero posterior en cuanto a la entidad,[11] como lo inanimado respecto de lo animado.

<e> Además, ¿en virtud de qué y cuándo poseerán unidad las magnitudes 20matemáticas? Ciertamente, las cosas de acá la poseen en virtud del alma, o de una parte del alma, o de alguna otra cosa apropiada al caso (de lo contrario, serían una pluralidad y se descompondrían), pero ¿cuál es la causa de que constituyan algo uno y permanezcan unidas aquéllas, siendo divisibles y dotadas de cantidad?

<f> Sus generaciones lo ponen, además, de manifiesto. En efecto, 25primero se generan en longitud, luego en anchura y, finalmente, en profundidad, alcanzando la perfección final. Pues bien, si lo que es posterior en cuanto a la generación es anterior en cuanto a la entidad, el cuerpo será anterior a la superficie y a la longitud, y será completo, y un todo en mayor grado en la medida en que llega a estar animado. Por el contrario, ¿cómo podrían ser animadas una línea o una 30superficie? Tal supuesto queda más allá de nuestro conocimiento sensible.

<g> Además, el cuerpo es cierta entidad (pues ya está, de algún modo, completo) pero las líneas ¿cómo van a ser entidades? No, desde luego, a modo de forma y estructura, como puede serlo el alma, ni tampoco como la materia, por ejemplo, como el cuerpo. En efecto, la experiencia no muestra que cosa alguna pueda componerse de líneas, 35ni de superficies, ni de puntos; ahora bien, si tales cosas fueran algún tipo de entidad material, se mostrarían capaces de sufrir tales transformaciones.

<h> Y, ciertamente, concedamos que son anteriores en cuanto a la definición. Pues bien, no todas las cosas que son anteriores en cuanto 1077ba la definición son también anteriores en cuanto a la entidad. Pues anteriores en cuanto a la entidad son las que, separadas, son superiores a otras en el ser, y, en cuanto a la definición, son anteriores aquellas cuya definición entra en la definición de las otras. Pero lo uno y lo otro no van juntos. Y es que si las afecciones no existen aparte de las 5entidades —por ejemplo, estar en movimiento o blanco—, «blanco» será anterior a «hombre-blanco» en cuanto a la definición, pero no en cuanto a la entidad, puesto que no puede existir separado, sino que siempre se da conjuntamente en el compuesto (y llamo «compuesto» 10al hombre blanco). Es evidente, por tanto, que ni lo sustraído es anterior, ni lo añadido es posterior. Y es que «hombre blanco» se enuncia por adición <de «hombre»> a «blanco».

Queda, pues, suficientemente explicado que ni son entidades en mayor grado que los cuerpos, ni son anteriores a las cosas sensibles en el ser, sino sólo en la definición, ni pueden existir separadas en modo 15alguno.

Y puesto que tampoco es posible que sean en las cosas sensibles, es evidente que o no son, sin más, o son en cierto modo y, por tanto, no son en el sentido absoluto del término. Pues «ser» lo decíamos en muchos sentidos.

CAPÍTULO TERCERO

<DE QUÉ MODO EXISTEN LOS OBJETOS MATEMÁTICOS>[12]

Así como las proposiciones universales en las matemáticas no versan sobre cosas separadas aparte de las magnitudes y de los números, sino que versan sobre éstos, pero no en tanto que tales, es decir, en tanto que tienen magnitud y son divisibles, es evidente que también puede haber 20razonamientos y demostraciones sobre las magnitudes sensibles, no ya en tanto que son sensibles, sino en tanto que poseen determinadas características. Pues así como hay muchos razonamientos acerca de las cosas sensibles, pero exclusivamente en tanto que están sometidas a movimiento, dejando a un lado qué es cada una de ellas y sus accidentes, y no por eso tiene que haber necesariamente algún móvil separado de las cosas sensibles, ni alguna naturaleza distinta dentro de ellas, así también 25habrá razonamientos y ciencias que versen sobre las cosas dotadas de movimiento, pero no en tanto que están dotadas de movimiento, sino exclusivamente en tanto que son cuerpos y, a su vez, exclusivamente en tanto que son superficies, y exclusivamente en tanto que son longitudes, y en tanto que son divisibles, y en tanto que son indivisibles y tienen posición, y exclusivamente en tanto que son indivisibles.30

Por consiguiente, puesto que es verdadero decir, sin más,[13] que existen no sólo las cosas separadas, sino también las no-separadas (por ejemplo, que existen móviles), también es verdadero decir, sin más, que existen las cosas matemáticas, y tales cuales las describen. Y así como de las restantes ciencias es verdadero decir, sin más, que se ocupan 35de tal cosa, no de lo que es accidental a ésta (por ejemplo, no de lo blanco, si lo sano es blanco y la ciencia se ocupa de lo sano), sino de 1078ala cosa misma que estudia cada una —de lo sano, si lo estudia en tanto que sano, y del hombre, si lo estudia en tanto que hombre—, así también puede decirse lo mismo de la geometría: no porque las cosas que ésta estudia sean accidentalmente sensibles, pues no las estudia en tanto que sensibles, no por eso las ciencias matemáticas se van a ocupar de cosas sensibles ni, desde luego, tampoco de otras cosas separadas de ellas.

5Ocurre, por otra parte, que las cosas poseen muchas propiedades que les pertenecen por sí mismas, en tanto que tales propiedades se dan en ellas, pues también el animal posee afecciones que le son propias en tanto que hombre, y en tanto que macho (a pesar de que no hay «macho» ni «hembra» separados de los animales). Por consiguiente, las cosas tendrán también propiedades exclusivamente en tanto que son longitudes y en tanto que son superficies. Y en la medida en que aquello de que se ocupa una ciencia es anterior y más simple, en esa medida 10la ciencia tendrá mayor exactitud (pues exactitud es simplicidad). Será, por tanto, más exacta prescindiendo de la magnitud que con ella, y exacta en grado sumo si prescinde del movimiento; y si se ocupa del movimiento, será exacta en grado sumo respecto del movimiento primero: éste es, en efecto, el más simple, y, de éste, el uniforme.

El mismo razonamiento vale también para la armónica y para la óptica, pues lo que estudian, no lo estudia ninguna de ellas en tanto 15que visión o en tanto que sonido, sino en tanto que líneas y números (éstos constituyen, en efecto, afecciones particulares de aquéllos), y lo mismo la mecánica; por consiguiente, si se toman ciertas características como separadas de cuanto les acompaña accidentalmente y se hace un estudio de ellas en tanto que tales, no se comete por ello error alguno, al igual que tampoco se yerra si se traza una línea en la tierra y 20se dice que tiene un pie, aunque no lo tenga. Y es que el error no está en las premisas. Por lo demás, la mejor manera de estudiar cada cosa consiste en que uno tome, separándolo, lo no separado, lo cual hacen el aritmético y el geómetra. Desde luego, el hombre, en tanto que hombre, es uno e indivisible; pues bien, aquél lo toma como uno indivisible y estudia, a continuación, si al hombre, en tanto que indivisible, le 25corresponde alguna propiedad; el geómetra, por su parte, no estudia propiedades suyas ni en tanto que hombre ni en tanto que indivisible, sino en tanto que sólido, pues las propiedades que le corresponderían si no fuera indivisible pueden, evidentemente, corresponderle también prescindiendo de aquellas otras. Conque, por tanto, los geómetras discurren acertadamente y razonan acerca de cosas que son, y se trata de algo que es realmente. Pues «lo que es» se dice tal en dos sentidos, lo 30uno es plenamente actualizado y lo otro es a modo de materia.

Y puesto que la Bondad y la Belleza son cosas diversas (aquélla, en efecto, se da siempre en la acción, mientras que la Belleza se da también en las cosas inmóviles), yerran quienes afirman[14] que las ciencias matemáticas no dicen nada acerca de la Belleza o de la Bondad. Hablan, en efecto, de ellas y las muestran en grado sumo. Aunque no las nombren, no es que no hablen de ellas, puesto que muestran sus obras y sus razones. 35Por su parte, las formas supremas de la Belleza son el orden, la proporción y la delimitación, que las ciencias matemáticas manifiestan en 1078bgrado sumo. Y puesto que éstas (me refiero, por ejemplo, al orden y la delimitación) son, a todas luces, causas de muchas cosas, es evidente que hablan en cierto modo de esta causa, la causa como Belleza.

Pero de estas cosas hablaremos con más claridad en otra ocasión.5

CAPÍTULO CUARTO

<ORIGEN DE LA TEORÍA DE LAS IDEAS. CRÍTICA DE LA MISMA>[15]

Acerca de las cosas matemáticas, que se trata de cosas que son, y que son en cierto modo, y que en cierto modo son anteriores, pero en cierto modo no son anteriores, baste con cuanto se ha dicho. Acerca de las Ideas, a su vez, hemos de examinar en primer lugar la doctrina misma en cuanto se refiere a la Idea, sin juntarla en absoluto con la 10naturaleza de los Números, sino tal como la asumieron al principio los primeros que afirmaron que las Ideas existen.

A quienes la afirman, la doctrina de las Ideas se les ocurrió porque estaban convencidos de los razonamientos de Heráclito acerca de la verdad: que todas las cosas sensibles están en perpetuo fluir y, por 15tanto, si ha de haber ciencia y conocimiento de algo, tendrá que haber otras naturalezas permanentes aparte de las sensibles, ya que no hay ciencia de las cosas que fluyen.

Sócrates, por su parte, se ocupaba en estudiar las virtudes éticas y trataba, el primero, de definirlas universalmente.

En efecto, de los físicos, solamente Demócrito tocó esto en muy pequeña medida y definió 20de algún modo lo caliente y lo frío. Los Pitagóricos, a su vez, se habían ocupado antes en definir unas pocas cosas reduciendo sus nociones a los números, por ejemplo, qué es Ocasión Favorable, o Justicia, o Unión. Aquél, sin embargo, pretendía con razón encontrar el qué-es, pues pretendía razonar por silogismos y el qué-es constituye 25el punto de partida de los silogismos. Pues la dialéctica no era entonces lo suficientemente vigorosa para ser capaz de investigar los contrarios aparte del qué-es, y si la misma ciencia se ocupa de los contrarios. Dos son, pues, las cosas que cabe atribuir en justicia a Sócrates: los razonamientos inductivos y las definiciones universales. Y ambas están, ciertamente, en el principio de la ciencia.

30Sócrates, sin embargo, no separaba los universales ni las definiciones. Pero otros los separaron denominándolos «Ideas de las cosas que son», <1> con lo cual vino a ocurrirles, en virtud del mismo razonamiento, que hay Ideas de todas las cosas que se dicen universalmente; 35como si alguien, queriendo contar, pensara que no podía hacerlo por ser pocas cosas y, sin embargo, las contara tras haber hecho aumentar su número. Y es que, en suma, las Formas son más numerosas que 1079alas realidades singulares sensibles cuyas causas buscaban y que tomaban como punto de partida para llegar allá. Efectivamente, para cada individuo hay algo que se denomina del mismo modo y que existe separado de las entidades, y de los demás tipos de realidad hay «lo uno que abarca a muchos», tanto para las cosas de acá como para las eternas.[16]

5<2> Además, ninguno de los argumentos con que se demuestra que las Formas existen lo demuestra con evidencia. Y es que de algunos de ellos no resulta una conclusión necesaria, mientras que de otros resulta que hay Formas hasta de aquellas cosas de las que piensan que no las hay.[17] Así, de acuerdo con las argumentaciones que parten de la existencia de las Ciencias, habrá Formas de aquellas cosas de que hay ciencia; y de acuerdo con el argumento de «lo uno que abarca a muchos», habrá Formas incluso de las negaciones, y en fin, de acuerdo con el argumento de que «es posible pensar en algo aún después de corrompido», las habrá de las cosas corruptibles, puesto que de ellas 10queda una cierta imagen.

Además, los argumentos más precisos, unos hacen que haya Ideas de las relaciones, a pesar de que no admiten que de éstas haya un género por sí, mientras que otros llevan a afirmar el Tercer Hombre.

<3> En general, las argumentaciones relativas a las Formas suprimen aquellas realidades cuya existencia les parece, a los que afirman 15las Formas, más importante que la existencia de las Ideas mismas. Resulta, en efecto, que lo primero no es la Díada, sino el Número, y que anterior a éste es lo relativo,[18] y esto es, a su vez, anterior a lo que es por sí mismo, así como las consecuencias contrarias a los principios de que parten, a las cuales llegan algunos siguiendo la doctrina de las Ideas.

<4> Además, de acuerdo con el supuesto según el cual afirman que existen las Ideas, no sólo habrá Formas de las entidades, sino también 20de otras muchas cosas (pues la unidad del concepto se da no sólo respecto de las entidades, sino también respecto de cosas que no son entidades, y ciencias las hay no sólo de la entidad, y ocurren mil otras implicaciones semejantes). Y, sin embargo, de acuerdo con las exigencias necesarias de la doctrina acerca de ellas, si las Formas son participables, necesariamente 25tendrá que haber Ideas solamente de las entidades: en efecto, de ellas no se participa accidentalmente, sino que de cada Idea se participa en tanto en cuanto <lo participado> no se dice de un sujeto (me refiero, por ejemplo, a que si algo participa de lo Doble en sí, también participa de lo Eterno, pero accidentalmente: a lo Doble le sucede accidentalmente, en efecto, que es eterno). En consecuencia, las Formas serán entidad. 30Ahora bien, las mismas cosas significan entidad en aquel mundo y en éste, pues, en caso contrario, ¿qué sentido tendría afirmar que fuera de estas cosas existe algo, «lo uno que abarca a muchos»? Y, a su vez, si la Forma de las Ideas y la de las cosas que participan de ellas es la misma, habrá alguna Forma común <a aquéllas y a éstas>. (En efecto, ¿por qué una Díada, única e idéntica, que abarque conjuntamente a las 35díadas corruptibles y a las múltiples díadas eternas, más bien que una que abarcara a aquélla y a cualquier otra?) Pero si, por el contrario, la Forma no es la misma, entonces <las Ideas y las cosas que de ellas participan> no tendrán en común más que el nombre, algo así como si 1079balguien llamara «hombre» a Calias y a un trozo de madera sin haber captado nada común entre ellos.[19]

<5> Por lo demás, si establecemos que las definiciones comunes valen para las Ideas, por ejemplo, que para «el Círculo Mismo» vale 5«figura plana» y las otras partes de la definición añadiendo simplemente «Mismo», hemos de examinar si tal expresión no resulta ser absolutamente vacua. En efecto, ¿a qué se añade, a «medio», a «plana» o a todas las partes de la definición? Y es que todas las cosas que entran en la entidad son Ideas, por ejemplo, «Animal» y «Bípedo». 10Además, es claro que «Mismo», al igual que «plano», será algo, una cierta naturaleza que se da en todas las Formas a modo de género.

CAPÍTULO QUINTO

<CONTINÚA LA CRÍTICA DE LA TEORÍA DE LAS IDEAS>[20]

<6> Pero la aporía más importante con que cabe enfrentarse es: ¿de qué sirven las Formas para las cosas sensibles, tanto para las eternas como para las que se generan y corrompen? Desde luego, no son causas ni 15de su movimiento ni de cambio alguno suyo. Pero es que tampoco prestan auxilio alguno, ni en orden a la ciencia de las demás cosas (no son, en efecto, su entidad: si lo fueran, estarían en ellas), ni respecto de su ser, toda vez que no son inmanentes en las cosas que de ellas participan. Cabría, desde luego, pensar que son causas como lo blanco 20que se mezcla con lo blanco, pero una explicación tal, que propusieron primero Anaxágoras y después —reflexionando sobre la aporía— Eudoxo y algunos otros, es fácilmente refutable. (Efectivamente, contra esta doctrina es fácil aducir muchas objeciones incontestables.)

<7> Pero es que tampoco es posible que las demás cosas provengan de las Formas en ninguno de los sentidos usuales de la expresión <«provenir de»>. Y decir, por otra parte, que ellas son modelos, y que 25de ellas participan las demás cosas, no es sino proferir palabras vacías y formular metáforas poéticas. En efecto, ¿cuál es el agente que actúa poniendo su mirada en las Ideas? Desde luego, es posible que haya y se produzca alguna cosa semejante a otra sin haber sido hecha a imagen suya, de modo que podría producirse un individuo semejante a Sócrates, exista Sócrates o no exista; y del mismo modo, obviamente, aun cuando existiera el Sócrates Eterno; y habrá múltiples modelos —y, 30por tanto, Formas— para lo mismo, por ejemplo, para el hombre lo serán Animal y Bípedo, además de serlo también el Hombre Mismo.

Además, las Formas serán modelos no solamente de las cosas sensibles, sino también de ellas mismas, por ejemplo, el género entendido como género de las especies. Por consiguiente, la misma cosa será a la vez copia y modelo.

Además, habría de juzgarse imposible que la entidad y aquello 35de que es entidad existan separados entre sí. Por tanto, ¿cómo iban a existir separadas las Ideas, si son entidades de las cosas?[21]1080a

Y, sin embargo, en el Fedón se habla de este modo, como que las Formas son causas del ser y de la generación. Pero, de una parte, aun existiendo las Formas, no se producirán las cosas que de ellas participan a no ser que exista lo que va a producir el movimiento y, de otra parte, se producen otras muchas cosas —una casa, por ejemplo, o un anillo— de las que no afirman que haya Formas: conque resulta evidente 5que también aquellas cosas de que dicen que hay Ideas pueden existir y producirse por las mismas causas que estas cosas que acabamos de mencionar, y no mediante Ideas.

Por lo demás, respecto de las Ideas es posible aducir múltiples objeciones semejantes a las que se han considerado, tanto siguiendo este modo <de argumentar> como a través de argumentaciones más lógicas 10y más rigurosas.

CAPÍTULO SEXTO

<DISTINTOS TIPOS DE UNIDADES Y DISTINTAS CLASES DE NÚMEROS>[22]

Puesto que acerca de estas cosas ya se han hecho las precisiones oportunas, está bien que examinemos de nuevo las consecuencias que, sobre los números, han de arrostrar quienes afirman que éstos son entidades separadas y causas primeras de las cosas que son.

15Pues bien, si el número es cierta naturaleza y su entidad no es sino esto mismo, como algunos afirman, sucederá necesariamente lo siguiente:[23] o bien habrá un número primero y otro segundo, cada uno de ellos específicamente diverso, y esto [o] se cumple ya en las unidades, de modo que cualquier unidad es incombinable con cualquier 20otra unidad, o todas ellas forman una serie continua y son combinables cualquiera con cualquiera, como afirman que ocurre con el número matemático (en el número matemático, en efecto, ninguna unidad es diferente de la otra), o unas unidades son combinables y otras no (por ejemplo, si tras el Uno viene la Díada Primera, y a continuación la 25Tríada, y así los demás números, y son combinables las unidades de cada número, por ejemplo, las de la Díada Primera son combinables entre sí, y las de la Tríada Primera entre sí, y lo mismo en el caso de los demás números, mientras que las de la Díada Misma no son combinables con las de la Tríada Misma, y lo mismo en el caso de los 30demás números sucesivamente. Por eso el número matemático se numera poniendo el dos después del uno, añadiendo un uno al otro uno; y el tres después del dos, añadiendo a los dos otro uno, e igualmente los restantes números, mientras que en esta otra clase de número el Dos que va detrás del Uno es diverso y no incluye al Primer Uno, y la Tríada no incluye a la Díada, e igualmente los restantes Números; o bien,[24] una clase de números es como la que se ha dicho en primer 35lugar, otra como dicen los matemáticos, y otra tercera como la que se ha dicho en último lugar.

Además, o bien estos números existen separados de las cosas, o bien no existen separados, sino en las cosas sensibles (pero no del modo que 1080banalizábamos al principio, sino en cuanto que los números serían elementos inmanentes de los cuales se compondrían las cosas sensibles), o bien una clase de números es separada y otra no, o bien lo son todos.

Éstos son, necesariamente, sus únicos modos posibles de ser y, por 5su parte, los que afirman que el Uno es principio, entidad y elemento de todas las cosas, y que el número proviene de él y de algún otro principio, han defendido, cada uno de ellos, alguna de estas posibilidades, excepto la de que todos los tipos de unidades sean incombinables. Y es razonable que haya sido así, ya que no hay otra posibilidad aparte 10de las enumeradas.

Pues bien, unos[25] dicen que existen ambas clases de números, el que tiene antes y después, es decir, los Números Ideales, y el Número Matemático aparte de las Ideas y de las cosas sensibles, y que ambos existen separados de las cosas sensibles. Otros[26] afirman, por su parte, que sólo existe el Número Matemático, y que constituye la realidad primera, 15separada de las cosas sensibles. También los Pitagóricos afirman que solamente existe un tipo de número, el matemático, si bien no existe separado, sino que las entidades sensibles están compuestas de él: construyen, en efecto, el Universo entero con números, aunque no simples, sino que piensan que las unidades poseen magnitud; sin embargo, parecen no encontrar salida al problema de cómo se constituyó el primer Uno dotado 20de magnitud. Algún otro,[27] en fin, afirma que sólo existe el primer tipo de número, el Ideal, y otros[28] identifican éste con el Número Matemático.

Igual ocurre con las longitudes, superficies y sólidos. En efecto, unos afirman que las magnitudes matemáticas y las posteriores a las Ideas[29] son diversas. A su vez, entre los que opinan de otro modo, unos —los que 25no admiten los números Ideales ni la existencia de las Ideas— dicen que existen las magnitudes matemáticas y que existen al modo matemático, mientras que otros dicen que existen las magnitudes matemáticas, pero no al modo matemático, puesto que —dicen— ni toda magnitud se divide en magnitudes, ni cualesquiera unidades hacen una díada.

30Por lo demás, que los números son simples lo sostienen todos aquellos que afirman que lo Uno es elemento y principio de las cosas que son, excepto los Pitagóricos, los cuales sostienen que los números poseen magnitud, como se ha dicho anteriormente.[30]

Es, pues, evidente por todo esto de cuántos modos es posible concebirlos, 35y que han sido enumerados todos. Por lo demás, todos ellos son imposibles, si bien seguramente unos lo son más que otros.

CAPÍTULO SÉPTIMO

<CRÍTICA DE LA DOCTRINA DE LOS NÚMEROS IDEALES A PARTIR DE LA NATURALEZA DE LAS UNIDADES>[31]

En primer lugar ha de examinarse, pues, si las unidades son combinables 1081ao incombinables, y si son incombinables, de cuál de los modos que hemos distinguido. Pues puede ser que cada una de ellas sea incombinable con cualquier otra unidad, pero puede ser que lo sean las de la Díada Misma con las de la Tríada Misma, y que de este modo sean incombinables las de cada Número respecto de las de los demás.

5<1> Pues bien, si todas las unidades son combinables e indiferenciadas, se produce el número matemático y únicamente él, y las Ideas no pueden identificarse con los Números.[32] (En efecto, ¿qué Número será el Hombre Mismo, o el Animal, o cualquier otra de las Formas? Pues de cada cosa hay una sola Idea, por ejemplo, una sola es la Idea del Hombre Mismo 10y otra, una sola, la del Animal Mismo, mientras que los números iguales e indiferenciados son infinitos, de modo que tal díada en particular no tiene por qué ser el Hombre Mismo con más razón que cualquier otra.) Y si las Ideas no son Números, tampoco es posible, en absoluto, la existencia de aquéllas (pues, ¿de qué principios provendrán las Ideas? Y es que el Número proviene del Uno y de la Díada indefinida, y éstos se afirma que son los principios y los elementos del Número, y no es posible 15colocar las Ideas ni como anteriores ni como posteriores a los Números).

<2> Si las unidades son, por el contrario, incombinables, y lo son de tal modo que ninguna es combinable con ninguna otra, entonces un número tal no puede ser ni el matemático (ya que el matemático se compone de unidades indiferenciadas y las demostraciones que se hacen con él se acomodan a un número de tal naturaleza), ni tampoco 20el Ideal.

<a> En tal caso, en efecto, ni la Díada podría ser el primer número originado a partir del Uno y de la Díada indefinida, ni los Números se sucederían tal como se enumeran, Díada, Tríada, Tétrada: y es que las unidades de la Díada Primera se generan simultáneamente, sea a partir de elementos desiguales (se generarían al igualarse 25éstos), como dijo el primero <que sostuvo la teoría>, sea de cualquier otro modo; además, si una de sus unidades es anterior a la otra, será también anterior a la Díada constituida por ambas. En efecto, cuando algo es anterior y algo posterior, el compuesto de ambos es anterior a lo uno y posterior a lo otro.[33]

<b> Además, puesto que el Uno Mismo es primero, y a continuación 30hay una unidad que es primera respecto de las demás, pero segunda respecto de aquél,[34] y, a su vez, una tercera que es segunda tras la segunda, pero tercera tras el Uno primero,[35] resulta que las unidades serán anteriores a los números de que reciben nombre: así, en la Díada habrá una «tercera» unidad antes de que exista el número 35tres, y en la Tríada una «cuarta» unidad, y una quinta, antes que los números mismos.

Bien es cierto que ninguno de ellos ha afirmado que las unidades sean incombinables de este modo, pero también de este modo resulta 1081bcongruente atendiendo a sus principios, aunque imposible atendiendo a la verdad. Es congruente que haya unidades anteriores y posteriores, si es que hay una Unidad Primera y un Primer Uno, e igualmente en el caso de las díadas, si es que hay también Díada Primera: en efecto, es congruente y necesario que tras lo primero haya algo segundo y que, si 5hay segundo, haya tercero, y así los demás sucesivamente. (Por el contrario, es imposible afirmar ambas cosas a la vez: que tras el Uno hay una unidad primera y una segunda, y que hay una Díada Primera.) Ellos, sin embargo, ponen la Unidad y el Uno Primero, pero no el segundo y el tercero, y ponen la Díada Primera, pero no una segunda y una tercera.

<c> De otra parte, si todas las unidades son incombinables, es evidente 10que no puede haber Díada Misma, ni Tríada Misma, e igualmente, tampoco los demás Números. Tanto si las unidades son indiferenciadas como si cada una se diferencia de todas las demás, el número se cuenta 15necesariamente por adición:[36] por ejemplo, la díada añadiendo al uno otro uno, y la tríada añadiendo otro uno a los dos, y del mismo modo la tétrada. Y si esto es así, es imposible que los números se generen como ellos los generan, a partir del Uno y de la Díada: y es que la díada viene a ser una parte de la tríada, y ésta de la tétrada, y del mismo modo acontece también en los números siguientes. Ahora bien, según ellos, la Tétrada 20se genera a partir de la Díada Primera y de la Díada Indefinida, dos Díadas aparte de la Díada Misma; y si no, una parte será la Díada Misma, a la cual se añade otra Díada distinta; e igualmente, la Díada Misma constará del Uno Mismo y de otro Uno. Pero, a su vez, si 25esto es así, el otro elemento no podrá ser una Díada Indefinida, ya que genera una unidad y no una díada definida.

<d> Además, ¿cómo va a haber otras tríadas y díadas aparte de la Tríada Misma y de la Díada Misma? Y ¿de qué modo van a componerse de unidades anteriores y posteriores? Ciertamente, todas estas cosas 30son absurdos y ficciones, y es imposible que haya una Díada Primera y a continuación la Tríada Misma. Y, sin embargo, tendría que haberlas necesariamente si el Uno y la Díada Indeterminada fueran elementos. Ahora bien, si las consecuencias son imposibles, también es imposible que los principios sean éstos.

<3> Así pues, si las unidades son diferentes cada una de cualquier otra, necesariamente se llega a estas consecuencias y a otras del mismo tipo. Si, por el contrario, son diferentes las pertenecientes a Números 35distintos, mientras que las del mismo Número son las únicas que no se diferencian entre sí, también en este caso se llega a dificultades no menores.

1082a<a> Por ejemplo, en la Década Misma están contenidas diez unidades, pero la década se compone tanto de éstas como de dos péntadas. Ahora bien, puesto que la Década Misma no es un número cualquiera, ni se compone de péntadas cualesquiera, así como tampoco se compone de unidades cualesquiera, las unidades de tal Década serán necesariamente diferentes. Y es que si éstas no son diferentes, 5tampoco serán diferentes las Péntadas de que se compone la Década. Pero, puesto que éstas son diferentes, también las unidades serán diferentes. Ahora bien, si son diferentes, ¿no estarán contenidas en ella otras péntadas, sino solamente estas dos, o estarán contenidas otras? 10Es absurdo que no estén contenidas. Y si están contenidas, ¿qué década resultará de ellas? Pues en la década no hay otra década distinta de aquélla.[37] Por otra parte, y necesariamente, tampoco la Tétrada se compone de díadas cualesquiera: en efecto, según dicen, la Díada Indeterminada produce dos Díadas al recibir en sí la Díada determinada, ya que aquélla tiene la virtud de duplicar lo que recibe.

15<b> Además, ¿cómo es posible que la Díada sea una naturaleza[38] aparte de las dos unidades, y la Tríada aparte de las tres unidades? Sería, o bien por participación de lo uno en lo otro, al igual que «hombre blanco» es algo aparte de «hombre» y de «blanco» (pues de ellos participa), o bien como cuando lo uno constituye una cierta diferencia de lo otro, como «hombre» es algo fuera de «animal» y de «bípedo».

20Además, de ciertas cosas se compone algo que es uno por contacto, de otras por mezcla y de otras por posición, nada de lo cual puede ocurrir con las unidades de que se componen la díada y la tríada. Más bien, así como dos hombres no constituyen algo uno aparte de ambos, así también necesariamente las unidades. Y no cabe decir que son diferentes porque son indivisibles, ya que los puntos son también indivisibles 25y, sin embargo, la díada que forman tampoco es algo distinto aparte de los dos.

<c> Pero tampoco conviene pasar por alto esto:[39] el caso es que hay díadas anteriores y posteriores, e igualmente en el caso de los otros números. Sea, en efecto, que las díadas de la tétrada se generan simultáneamente una y otra. Sin embargo, son anteriores a las de la 30óctada: ellas son las que generan a las tétradas de la Óctada Misma, al igual que la Díada las genera a ellas. Por consiguiente, si la Díada Primera es Idea, ellas serán Ideas también. Y el mismo razonamiento vale igualmente para las unidades: y es que las unidades de la Díada Primera generan a las cuatro unidades de la Tétrada y, por consiguiente, todas las unidades resultan ser Ideas, y una Idea se compone 35de Ideas. Es, por tanto, evidente que también serán compuestas las cosas sensibles de las cuales son Ideas aquéllas: como si uno dijera que los animales se componen de animales, puesto que hay Ideas de éstos.

<d> En general,[40] hacer que las unidades sean diferentes de cualquier 1082bmodo es algo absurdo y ficticio (llamo «ficticio» a lo que se introduce a la fuerza para acomodarlo a una hipótesis). Desde luego, no vemos que una unidad difiera de otra unidad ni en cantidad ni en cualidad; y necesariamente un número es o igual o desigual, todo número, 5pero muy especialmente el que consta de unidades simples: por consiguiente, si un número no es ni mayor ni menor, es igual. Ahora bien, tratándose de números, admitimos que si son iguales y totalmente indiferenciados son el mismo. Pues de no ser así, tampoco serían indiferenciadas, aun siendo iguales, las díadas de la Década en sí: en 10efecto, ¿qué causa podrá alegar quien afirme que son indiferenciadas?

<e> Además, si toda unidad sumada a otra unidad hacen dos, una unidad de la Díada Misma y una de la Tríada en sí harán, a su vez, una díada compuesta de unidades diferentes, en cuyo caso, ¿será anterior 15o posterior a la Tríada? Parece necesario, más bien, que sea anterior, ya que una de las unidades es simultánea con la Díada y la otra es simultánea con la Tríada. Y nosotros aceptamos absolutamente que uno y uno son dos, sean iguales o desiguales, por ejemplo, lo bueno y lo malo, un hombre y un caballo. Por el contrario, los que defienden esta doctrina no lo admiten ni siquiera en relación con las unidades.

<f> Resultaría sorprendente que el número de la Tríada Misma 20no fuera mayor que el de la Díada. Pero, si es mayor, es evidente que en la Tríada hay contenido un número igual a la Díada y, por consiguiente, este número no se diferencia de la Díada. Y, sin embargo, esto no es posible suponiendo que hay un número primero y un número segundo.

<g> Y tampoco las Ideas serán números. Ciertamente, esto mismo lo señalan con razón quienes afirman que las unidades tienen que 25ser diferentes, si es que los números han de ser Ideas, como se dijo anteriormente:[41] pues la Forma es una, y, si las unidades no se diferencian, tampoco se diferenciarán las Díadas y las Tríadas. Por eso han de afirmar necesariamente que se cuenta así: «uno, dos», sin añadir una unidad al número precedente. (Pues el número, en caso contrario, ni 30se generaría a partir de la Díada Indeterminada, ni podría ser Idea, ya que una Idea estaría contenida en otra Idea y todas las Formas serían partes de una única.) Por ello, y en relación con su hipótesis, tienen razón en lo que dicen, pero no tienen razón en el conjunto. Suprimen, en efecto, muchas cosas cuando afirman que lo siguiente encierra una aporía: 35cuando contamos y decimos «uno, dos, tres», ¿contamos añadiendo unidades, o según clases distintas? Pues bien, lo hacemos de ambos modos, y, por tanto, es ridículo hacer de esta diferencia una diferencia tamaña en cuanto a la entidad.

CAPÍTULO OCTAVO

<CONTINÚA LA CRÍTICA DE LA TEORÍA PLATÓNICA DE LOS NÚMEROS IDEALES Y DE OTRAS TEORÍAS RELATIVAS A LOS NÚMEROS>[42]

<h> Antes que nada, estará bien que se delimite cuál es, si es que la 1083ahay, la diferencia del número y de la unidad. Necesariamente, desde luego, han de ser diferentes, ya cuantitativamente ya cualitativamente. Y, sin embargo, no parece que pueda darse ni lo uno ni lo otro.[43] En tanto que número, <la diferencia> será más bien cuantitativa, pero si las unidades fueran cuantitativamente diferentes, entonces también 5un número igual a otro en el total de sus unidades sería diferente de él. Además, ¿las unidades primeras son mayores, o menores? ¿Y las posteriores aumentan, o al contrario? Desde luego, todo esto es absurdo.

Pero es que tampoco pueden ser cualitativamente diferentes, ya que no es posible que se dé en ellas cualidad alguna. Afirman, en efecto, 10que en los números la cualidad viene después que la cantidad. Además, tal diferencia cualitativa no podría sobrevenirles ni del Uno ni de la Díada <Indefinida>. Y es que aquél no produce nada, y ésta, a su vez, es productora de cantidad, ya que su naturaleza consiste en ser causa de la multiplicación de las cosas que son. Y si las cosas fueran, por el contrario, de otro modo, habría que decirlo desde el principio, y habría que decir en qué consiste la diferencia de la unidad, y muy especialmente, por qué 15tiene que haberla. Y si no, ¿a qué diferencia se refieren?

Es evidente, desde luego, que si las Ideas son Números, no es posible ni que todas las unidades sean combinables, ni que sean incombinables entre sí de ninguno de los modos señalados.

20Pero tampoco es correcto decir lo que algunos otros dicen de los números. Se trata de aquellos que no piensan que existan Ideas, ni absolutamente ni a modo de Números, pero piensan, sin embargo, que existen las Realidades Matemáticas y que los Números son las realidades primeras, y que su principio es el Uno Mismo. Es, en efecto, 25absurdo que haya «el Uno primero entre los unos», como ellos dicen, y que no haya una Díada Primera entre las díadas, ni una Tríada Primera entre las tríadas. A todos los números puede, en efecto, aplicarse el mismo razonamiento.[44] Por consiguiente, siendo así lo relativo al número, si alguien propone que existe solamente el Número Matemático, el Uno no será principio (pues un Uno tal ha de ser, necesariamente, diferente de las demás unidades; y admitido esto, 30también la Díada primera <será diferente> de las demás díadas, y así sucesivamente los demás números). Si, por el contrario, el Uno es principio, entonces es necesario que lo de los números sea, más bien, como dice Platón, y que haya una Díada Primera, y una Tríada, y que 35los números no sean combinables entre sí. Pero ya hemos dicho que si se reintroducen estas cosas, sobrevienen muchos absurdos. Ahora bien, necesariamente ha de ser de esta manera o de la otra y, por tanto, si no es de ninguna de las dos maneras, no será posible que el número exista separado.

1083bEs evidente, también, a partir de estas consideraciones, que la peor explicación es la tercera,[45] según la cual el número de las Formas y el matemático son el mismo. Pues a una sola doctrina le acompañan 5dos errores. Y es que el número matemático no puede existir de este modo, sino que necesariamente hay que ampliar la explicación introduciendo hipótesis específicas y, además, necesariamente hay que afirmar cuantas consecuencias les sobrevienen a quienes afirman <la existencia de> los Números Ideales.

La explicación de los Pitagóricos[46] comporta menos dificultades que las anteriormente expuestas, pero comporta, por otra parte, algunas que le son propias. En efecto, el no separar el número elimina 10muchos imposibles. Imposible es, sin embargo, que los cuerpos estén compuestos de números y que tal número sea el Matemático. Pues[47] no es verdadera la afirmación de que hay magnitudes indivisibles, y aun suponiendo que así fuera, desde luego que las unidades no tendrían magnitud. Por otra parte, ¿cómo una magnitud podría componerse 15de indivisibles? Y, sin embargo, el número matemático consta de unidades. Pero ellos dicen que son Número las cosas que son o, en todo caso, aplican los teoremas matemáticos a los cuerpos como si éstos estuvieran compuestos de tales números.

Y puesto que si el número fuera algo existente por sí mismo, necesariamente habría de ser conforme a una de las tres explicaciones 20propuestas, pero no puede ser conforme a ninguna de ellas, es evidente que la naturaleza del número no es tal como la imaginan los que lo hacen separado.

*

<1> Además, ¿cada unidad se compone de Lo Grande y Pequeño, al igualarse éstos, o bien una de Lo Pequeño y otra de Lo Grande?[48] Si 25es de este último modo, ni cada número se compone de todos los elementos, ni las unidades son indiferenciadas (pues en la una se da Lo Grande y en la otra Lo Pequeño, que es, por naturaleza, contrario a aquello). Además, ¿cómo serán las unidades contenidas en la Tríada Misma? Una de ellas, en efecto, resulta impar. Y seguramente por eso hacen del Uno Mismo algo medio en lo impar. Si, por el contrario, 30una y otra unidades se componen de ambos elementos al igualarse éstos, ¿cómo la Díada puede ser una naturaleza compuesta de Lo Grande y Pequeño?, o ¿en qué se diferenciará de la unidad? Además, la unidad es anterior a la díada (pues si se elimina aquélla, se elimina la díada). Es necesario, por tanto, que sea Idea de una Idea, puesto que es anterior a una Idea, y que se haya generado antes. Pero ¿a partir de 35qué? La Díada Indefinida es, en efecto, duplicadora.

<2> Además, el número ha de ser necesariamente finito o infinito, 1084apues al número lo hacen separado, de modo que no es posible que no sea o lo uno o lo otro.

<a> Ahora bien, es evidente que no puede ser infinito (<α> pues el número infinito no es ni par ni impar, pero la generación de los números siempre lo es de un número impar o par: número impar cuando se 5añade el uno a un número par; el duplicado a partir del uno cuando la díada actúa sobre él;[49] los otros pares, cuando actúan los impares.

<β> Además, si toda Idea lo es de algo y los números son Ideas, también el Infinito será Idea de algo, bien de algo sensible, bien de alguna otra cosa. Pero esto es imposible, tanto según sus propios supuestos como según la razón, desde luego, para quienes configuran de este modo las Ideas.

10<b> Si, por el contrario, el número es finito, ¿hasta qué límite alcanza? En efecto, ha de decirse no sólo que es así, sino también por qué.

<α> Ahora bien, si el número tiene como límite la década, como algunos afirman, por lo pronto faltarán Ideas enseguida: así, si la Tríada es el Hombre mismo, ¿qué número será el Caballo mismo? Pues la 15serie de los Números Ideales alcanza hasta la Década y, por tanto, necesariamente ha de ser alguno de los números comprendidos en ellos[50] (éstos son, en efecto, entidades e Ideas). Pero faltarán, en todo caso, Ideas (pues las especies animales son muchas más).

<β> Por otra parte, resulta a la vez evidente que si, del modo señalado, la Tríada es el Hombre mismo, también lo serán las otras tríadas (ya que las que están comprendidas en los mismos números son semejantes), con lo cual habrá infinitos hombres: si cada tríada es Idea, 20cada una será Hombre Mismo, y si no, hombres en todo caso.

<γ> Y si el número menor, aquel que resulta de las unidades combinables comprendidas en el mismo número, es una parte del mayor, y si, a su vez, la Tétrada Misma es Idea de algo, por ejemplo, de Caballo o de Blanco, entonces, si el Hombre es Díada, el Hombre será una parte del Caballo.

<δ> Además, es absurdo que haya Idea de la Década y no la haya de 25la Endécada, ni de los números siguientes.

<ε> Además, existen y se generan cosas de las cuales no hay Formas. ¿Por qué, entonces, no hay Formas de tales cosas? Luego, ciertamente, las Formas no son causas.

<ζ> Además, sería absurdo que el número que alcanza hasta la década fuera realidad y forma en mayor grado que la década misma, a 30pesar de que de aquél, en cuanto uno, no hay generación, mientras que de ésta sí que la hay.[51] Pero ellos ensayan sus explicaciones como si el número hasta la década fuera completo. En efecto, tratan de explicar la generación de las cosas derivadas —por ejemplo, del vacío, de la proporción, de lo impar y de las otras cosas tales— sin salirse de la década. Algunas de estas cosas, por ejemplo, movimiento-reposo, 35bien-mal, las atribuyen a los principios, y las otras a los números. Por eso identifican lo Impar con el Uno, pues si lo Impar radicara en la Tríada, ¿cómo podría ser impar la péntada? Además, las magnitudes, y todas las cosas de este tipo, alcanzan hasta cierto límite, por ejemplo, 1084bprimero es la línea indivisible, después la Díada y después las otras magnitudes hasta la década.

<3> Además, si el número existiera separado, se plantearía el problema de si es anterior el Uno, o bien la Tríada y la Díada. Pues en tanto que el número es compuesto, es el Uno anterior, pero en tanto que el universal y la forma son anteriores, lo es el número: en efecto, cada 5una de las unidades es parte del número a modo de materia, mientras que éste es a modo de forma. También el ángulo recto es anterior al agudo en cierto modo, en cuanto que está determinado y desde el punto de vista de la definición, pero en otro modo es anterior el agudo, en cuanto que es parte de aquél y aquél se divide en éste. Como materia, pues, son anteriores el ángulo agudo, el elemento y la unidad, pero 10según la forma y la entidad expresada por la definición son anteriores el ángulo recto y el todo compuesto de materia y forma: y es que el compuesto de ambas está más cerca de la forma y de lo que expresa la definición, aunque sea posterior en cuanto a la generación. ¿En qué sentido, pues, es principio lo Uno? En cuanto indivisible, dicen. Pero indivisible es tanto lo universal como lo particular y el elemento, si bien 15lo son de distinta manera, en un caso según la noción, en otro caso según el tiempo. ¿De qué modo, entonces, es principio lo Uno? Pues, como se ha dicho, el ángulo recto parece ser anterior al agudo y éste a aquél, y uno y otro son algo uno.

Ellos, por su parte, hacen del Uno un principio en ambos sentidos.[52] Sin embargo, es imposible, pues en un caso sería principio en tanto que forma y entidad, y en el otro caso en tanto que 20parte y materia. En efecto, cada unidad que forma parte de un número es, en cierto sentido, algo uno; en realidad, lo es en potencia (si es que el número es algo uno y no como un agregado, sino que cada número distinto se compone de unidades distintas, como dicen), pero cada una no es una unidad plenamente actualizada.

La causa del error en que incurren es que investigaban partiendo, al mismo tiempo, de doctrinas matemáticas y de las nociones universales. 25En consecuencia, al partir de aquéllas consideraban lo Uno y el principio como un punto (la unidad es, efectivamente, un punto sin posición. Al igual que algunos otros, también éstos afirmaban, respecto de las cosas que son, que están compuestas de lo más pequeño, con lo cual la unidad viene a ser materia de los números y, con ello, anterior a la díada, pero posterior a ella, de nuevo, en cuanto que la díada 30es un todo, algo uno y forma). Pero como, por otro lado, buscaban lo universal, decían que el Uno que se predica es también parte en este sentido. Sin embargo, es imposible que estas características se den a la vez en lo mismo.

<4> Pero si al Uno Mismo le corresponde únicamente carecer de posición[53] (pues no difiere <de las demás unidades> en nada, excepto en que es principio) y la díada es divisible, pero la unidad no, la unidad será lo más semejante al Uno Mismo. Y si la unidad [es lo más semejante 35al Uno Mismo], éste será también más semejante a la unidad que a la díada. Por consiguiente, <todas las unidades> serán anteriores a la díada. Ellos, sin embargo, no lo aceptan; al menos, consideran anterior la generación de la díada.

<5> Además, si la Díada Misma es algo uno, y la Tríada Misma 1085atambién, las dos juntas constituyen una díada, y ¿de qué procede, entonces, esta díada?

CAPÍTULO NOVENO

<SE AÑADEN NUEVAS ARGUMENTACIONES CONTRA LAS TEORÍAS QUE SOSTIENEN LA SUBSISTENCIA DE LOS NÚMEROS Y LAS FIGURAS>[54]

<6> Cabría plantearse el siguiente problema: puesto que no hay contacto en los números, pero sí que hay sucesión en aquellas unidades entremedias de las cuales no hay nada (por ejemplo, entre las contenidas 5en la díada o en la tríada), ¿suceden inmediatamente al Uno o no? Y en la sucesión, ¿es anterior la díada, o bien cualquiera de sus unidades?[55]

<7> Dificultades del mismo tipo ocurren también en el caso de los géneros posteriores al número: línea, superficie y cuerpo. Algunos[56] los construyen a partir de las especies de Lo Grande y Lo Pequeño, 10por ejemplo, las líneas a partir de Largo y Corto, las superficies a partir de Ancho y Estrecho, y los sólidos a partir de Alto y Bajo, pues éstas son especies de Lo Grande y Lo Pequeño. Pero el principio correspondiente a lo Uno los distintos autores lo establecen de distintas maneras. Y además, en estas explicaciones aparecen mil cosas imposibles, 15fantásticas y contrarias a toda razón. Pues resultan desconectados entre sí, a menos que los principios se den juntos, de modo que lo Ancho y lo Estrecho sean también Largo y Corto (pero, en tal caso, la superficie será línea, y el sólido superficie. Y además, ¿de qué manera se dará razón de ángulos y figuras, y de otras cosas de este tipo?). Y ocurre 20lo mismo que con las afecciones del número: aquéllas son, en efecto, afecciones de la magnitud, pero la magnitud no proviene de ellas, al igual que la línea no proviene de Recto y Curvo, ni los sólidos de Liso y Rugoso. El problema común a todos estos casos es el mismo que se plantea en el caso de las Formas en tanto que especies de un género si 25se ponen los universales: lo que está presente en el animal particular ¿es el Animal Mismo u otro distinto del Animal Mismo? Si no es separado, esto no planteará problema alguno. Por el contrario, si el Uno y los Números se dan separados, como afirman los que dicen estas cosas, el problema no será fácil de resolver, si es que es adecuado llamar «no fácil» a lo imposible. Pues cuando se piensa en el uno contenido 30en la díada y en el número en general, ¿se piensa en el Uno Mismo o en otro uno?

Algunos, pues, generan las magnitudes a partir de este tipo de materia, pero otros[57] a partir del punto (opinan que el punto no es el uno, sino semejante al uno) y de otra materia semejante a la pluralidad, pero no pluralidad, elementos éstos sobre los cuales inciden en no menor medida los mismos problemas. En efecto, si la materia es una, 35entonces línea, superficie y sólido serán lo mismo (pues de los mismos elementos resultará una y la misma cosa); si las materias son, por el contrario, varias, una la de la línea, otra la de la superficie y otra la 1085bdel sólido, o derivan unas de otras o no, con lo cual las consecuencias serán las mismas también en este caso: y es que la superficie, o bien no contendrá líneas, o bien será una línea.

<8> Además, no se hace intento alguno por aclarar cómo es posible 5que el número venga del Uno y de la Pluralidad.[58] Y, ciertamente, sea cual sea su explicación, les sobrevienen las mismas dificultades que a quienes[59] construyen el número a partir del Uno y de la Díada Indefinida. En efecto, en un caso se hace derivar el número a partir de la pluralidad tomada en general, y no a partir de una pluralidad determinada, y en el otro caso, por el contrario, a partir de una Pluralidad determinada, de la Primera (pues la Díada es la pluralidad primera), 10de modo que, por así decirlo, ambas doctrinas no difieren en absoluto, sino que de ellas se siguen los mismos problemas, sea mezcla, o posición, o combinación, o generación y todas las otras cosas de este tipo. Pero, sobre todo, cabría preguntarse: si cada unidad es una, ¿de dónde procede, ya que cada una de ellas no se identifica con el Uno?

Necesariamente ha de proceder del Uno Mismo y de una Pluralidad, 15o bien, de una parte de una Pluralidad. Desde luego, es imposible que la unidad, siendo indivisible, sea cierta pluralidad. Pero que proceda de una parte de una Pluralidad comporta otras muchas dificultades. Y es que cada una de las partes habrá de ser necesariamente indivisible (en caso contrario sería una pluralidad y la unidad sería divisible), con lo cual el Uno y la Pluralidad no serían ya elementos (puesto que 20cada una de las unidades no derivaría ya de lo Uno y de la Pluralidad). Además, quien dice esto no hace otra cosa que añadir otro número, puesto que el número es la «pluralidad de indivisibles».

<9> A los que ofrecen esta explicación hay que preguntarles, además, si el número es infinito o finito. Pues, según parece, ha de haber, además, una pluralidad finita, de la cual y del Uno derivan unidades finitas. 25Pero hay también otra, la Pluralidad Misma, la cual es Pluralidad infinita. ¿Qué pluralidad es, pues, elemento juntamente con el Uno?

<10> Cabe plantear también una pregunta semejante acerca del punto, es decir, del elemento a partir del cual construyen las magnitudes. Pues éste no es el único punto que hay. Así pues, ¿de qué procede 30cada uno de los otros puntos? No, desde luego, de cierta Distancia y del Punto mismo. Y, por otra parte, tampoco pueden ser indivisibles las partes de la Distancia, como lo son las de la pluralidad de que derivan las unidades, pues el número se compone de indivisibles, pero las magnitudes no.

Todas estas cosas, y otras tales, hacen evidente la imposibilidad 35de que los números y las magnitudes existan separados. Además, la discordancia entre las maneras de concebir los números es señal de 1086aque la confusión les viene de que no son verdaderas las cosas mismas que establecen. En efecto, aquellos[60] que ponen solamente las Realidades Matemáticas fuera de las sensibles renunciaron al Número Ideal y 5establecieron el Matemático al ver las dificultades y artificiosidad que acompaña a la doctrina de las Formas. Por otra parte, los que[61] prefieren mantener a la vez las Formas y los Números, al no ver cómo podría existir el Número Matemático además del Ideal si se ponen estos principios, identificaron el Número Ideal con el Matemático: eso dicen 10porque, en realidad, el Matemático queda suprimido (pues establecen supuestos peculiares que no son de naturaleza matemática). Por el contrario, el primero[62] que estableció la existencia de las Formas y que las Formas son Números, y que existen las Realidades Matemáticas, separó con razón éstas de aquéllas. Conque ocurre que todos aciertan parcialmente en lo que dicen, pero no aciertan totalmente. Y en esto están de acuerdo ellos mismos al no decir las mismas cosas, sino las contrarias. Y la causa de esto está en que son falsos los supuestos 15y principios de que parten. Pero es difícil hablar bien si se parte de lo que está mal. Como dice Epicarmo,

apenas de decirse ha terminado, ya se muestra lo dicho equivocado.[63]

Pero acerca de los números ya son suficientes los problemas planteados y las distinciones propuestas. Pues con más argumentos se convencería aún más el que ya está convencido, pero no añadiría nada en 20orden a que se convenciera más el que no está convencido.

*

Las teorías[64] acerca de los primeros principios y las primeras causas y elementos que proponen los que pretenden definir solamente la entidad sensible han sido expuestas, algunas, en la Física y otras no corresponden a este tratado de ahora. Por el contrario, las teorías que proponen los que afirman que existen otras entidades aparte de las 25sensibles, corresponde estudiarlas a continuación de lo dicho. Puesto que algunos[65] afirman que tales entidades son las Ideas y los Números, y que los elementos de éstas son elementos y principios de las cosas que son, debemos analizar qué dicen acerca de éstos y cómo lo dicen. Posteriormente, serán sometidos a examen aquéllos[66] que proponen la existencia sólo de números, y números matemáticos. En 30cuanto a los que afirman las Ideas, puede considerarse a la vez el modo en que las explican y el problema que afecta a éstas. En efecto, toman las Ideas por universales, y a la vez como separadas e individuales. Ya anteriormente[67] quedó planteado el problema de que no es posible que posean tales características. Ahora bien, la causa de que 35junten estas características en la misma cosa quienes ponen las Ideas como universales está en que no las identificaban con las cosas sensibles. Y es que pensaban que las realidades sensibles singulares fluyen 1086by ninguna de ellas permanece y que, por el contrario, el universal existe separado fuera de ellas y es otra cosa. El universal, como decíamos más arriba,[68] lo puso en marcha Sócrates mediante las definiciones, si bien no lo separó, ciertamente, de los individuos. Y razonó correctamente 5al no separarlo. Y resulta evidente por los resultados. En efecto, sin lo universal no es posible alcanzar la ciencia, pero separarlo es la causa de las dificultades que sobrevienen acerca de las Ideas. Otros, por su parte, consideraron que si tiene que haber ciertas entidades aparte de las sensibles y sometidas a continuo fluir, necesariamente han de existir separadas, y como no tenían otras, propusieron éstas, las que se 10predican universalmente. Con lo cual, viene a ocurrir que las universales y las particulares son las mismas naturalezas. Ciertamente, ésta sería, por sí misma, una de las dificultades de la doctrina expuesta.

CAPÍTULO DÉCIMO

<APORÍA SOBRE LA UNIVERSALIDAD DE LOS PRINCIPIOS>[69]

Expongamos ahora algo que plantea un problema, tanto para los que afirman la existencia de las ideas como para los que no la afirman, y 15que ya fue expuesto anteriormente, en los comienzos, en la Discusión de las aporías.[70] Y es que si no se establece que las entidades son separadas, y que lo son a la manera en que se dice que lo son las realidades individuales, se suprimirá la entidad tal como nosotros la entendemos. Pero si, por el contrario, se establece que las entidades son separadas, ¿cómo habrá que establecer que son sus elementos y principios? Y es 20que si éstos son individuales y no universales, habrá tantas cosas que son cuantos elementos hay, y los elementos no serán cognoscibles. (Pongamos, en efecto, que son entidades las sílabas de una palabra y que sus letras son los elementos de las entidades. En tal caso, necesariamente habrá una única sílaba BA, y cada una de las sílabas será necesariamente única, puesto que no serán universal y específicamente 25las mismas, sino que cada una de ellas será numéricamente una, un esto, y no algo común con el mismo nombre. Además, establecen que «Lo que es» Mismo es, en cada caso, único.) Y si cada sílaba es única, también lo serán las letras de que se compone. Por consiguiente, no habrá más que una A, ni tampoco más que una de cada una de las otras letras por la misma razón por la cual la misma sílaba no puede ser ésta 30y esta otra.

Ahora bien, si esto es así, no habrá otras cosas que existan fuera de los elementos, sino sólo los elementos. Además, los elementos no son cognoscibles, puesto que no son universales y la ciencia es de los universales, como se pone de manifiesto por las demostraciones y las definiciones: en efecto, ningún razonamiento llega a demostrar que «este triángulo es igual a dos rectos» si no se establece que «todo triángulo 35es igual a dos rectos», ni tampoco que «este hombre es animal» si no se establece que «todo hombre es animal».

Por otra parte, si los principios son universales, o bien las entidades compuestas de ellos son igualmente universales, o bien, en caso contrario, algo que no es entidad será anterior a una entidad. Lo universal, 1087aen efecto, no es entidad; ahora bien, el elemento y el principio son universales, y el elemento y el principio son anteriores a aquello de lo cual son principio y elemento.

Es lógico que resulten todos estos inconvenientes desde el momento 5en que construyen las Ideas a partir de elementos y sostienen que hay algo uno y separado, fuera de las entidades que poseen la misma forma. Por el contrario, como en el caso de las letras de una palabra, si nada impide que haya muchas A y muchas B, y aparte de estas muchas no existe en absoluto la A Misma y la B Misma, con ello podrán ser infinitas las sílabas semejantes.

Por otra parte, lo de que toda ciencia es del universal, con lo cual es 10necesario que sean universales, sin ser entidades separadas, los principios de las cosas que son, constituye el problema más difícil de los que han sido mencionados. Lo dicho, no obstante, es verdadero en cierto sentido, si bien en otro sentido no es verdadero. La ciencia, en efecto, al igual que el saber, se da de dos modos: en potencia y en acto.[71] 15Ciertamente, la potencia, al igual que la materia, por ser universal e indeterminada, es de lo universal e indeterminado. El acto, por el contrario, es determinado y de lo determinado, al ser un esto de un esto, si bien la vista ve accidentalmente el color en general, ya que este color 20que ve es color, así como esta A que estudia el gramático es A. Pues si los principios son necesariamente universales, también serán necesariamente universales las cosas que derivan de ellos, como ocurre con las demostraciones. Y si esto es así, nada sería separado ni entidad. Pero es evidente que en cierto sentido la ciencia es de lo universal, 25pero en otro sentido no lo es.