Sección primera. Del método de las razones primeras y últimas por cuyo medio se demuestra lo que sigue

Sección primera DEL MÉTODO DE LAS RAZONES PRIMERAS Y ÚLTIMAS POR CUYO MEDIO SE DEMUESTRA LO QUE SIGUE

LEMA PRIMERO

Las cantidades, así como las razones de cantidades, que tienden a la igualdad constantemente en un cierto tiempo finito y antes del límite de dicho tiempo se aproximan mutuamente más que una diferencia dada, al final se hacen iguales.

Si lo niegas, sean al final desiguales y sea su diferencia final D. Luego no pueden acercarse a la igualdad más que hasta una diferencia dada D. Contra la hipótesis.

LEMA II

Si en una figura AacE comprendida entre las rectas Aa, AE, y la curva acE se inscriben varios paralelogramos Ab, Bc, Cd, etc. construidos sobre bases iguales AB, BC, CD, etc. y con lados Bb, Cc, Dd paralelos al lado Aa de la figura; y se completan los paralelogramos aKbl, bLcm, cMdn, etc., si entonces se disminuye la anchura de estos paralelogramos y se aumenta infinitamente el número de ellos: digo que las razones últimas que se dan entre la figura inscrita AKbLcMdD, la circunscrita AalbmcndoE y la curvilínea AabcdE son razones de igualdad.

Pues la diferencia de las figuras inscritas y circunscritas es la suma de los paralelogramos Kl, Lm, Mn, Do, esto es (debido a la igualdad de las bases de todos ellos) al rectángulo construido sobre la base de uno de ellos Kb y la suma de las alturas Aa, esto es, el rectángulo ABla. Pero este rectángulo, dado que su anchura AB disminuye in infinitum, deviene menor que uno dado cualquiera. Luego (por el Lema I) la figura inscrita y la circunscrita, y mucho más la curvilínea intermedia, al final se hacen iguales. Q. E. D.

LEMA III

Las mismas razones últimas son también razones de igualdad cuando las anchuras AB, BC, CD, etc., de los paralelogramos son desiguales y todas disminuyen in infinitum.

Sea AF igual a la anchura máxima, y complétese el paralelogramo FAaƒ. Este será mayor que la diferencia de la figura inscrita y de la figura circunscrita; pero al disminuir su anchura AF infinitamente se hará menor que un rectángulo cualquiera dado. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que la suma última de paralelogramos evanescentes coincide en todo punto con la figura curvilínea.

COROLARIO 2. Y mucho más la figura rectilínea, comprendida por las cuerdas de los arcos evanescentes ab, bc, cd, etc., coincidirá al fin con la figura curvilínea.

COROLARIO 3. Lo mismo que la figura rectilínea circunscrita comprendida por tangentes de los mismos arcos.

COROLARIO 4. Por ello, estas figuras últimas (en cuanto a los perímetros acE) no son rectilíneas, sino límites curvilíneos de figuras rectilíneas.

LEMA IV

Si en dos figuras AacE, PprT se hallan inscritas (como antes) dos series de paralelogramos y el número es idéntico en ambas y al ir disminuyendo las anchuras in infinitum las razones últimas de los paralelogramos en una figura respecto a los paralelogramos de la otra, uno a uno, permanecen iguales; digo que las dos figuras AacE y PprT están mutuamente en esa misma razón.

Pues tal como los paralelogramos son uno a uno, así (por composición) es la suma de todos a la suma de todos, y así será la figura a la figura; pues están (por el Lema III) la primera figura a la suma primera, y la figura posterior a la suma posterior, en razón de igualdad. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí que si dos cantidades de cualquier clase se dividen de algún modo en el mismo número de partes; y tales partes, al ir aumentando su número y disminuyendo su tamaño in infinitum, alcanzan una razón dada entre sí, la primera con la primera, la segunda con la segunda, y las demás por su orden con las otras, estarán todas entre sí en aquella razón dada. Pues si en las figuras de este Lema se toman los paralelogramos entre sí como partes, las sumas de las partes siempre serán como la suma de los paralelogramos; y por esto al ir aumentando el número de paralelogramos y de partes y disminuyendo el tamaño de los mismos in infinitum, estarán en razón última de paralelogramo a paralelogramo, esto es (por hipótesis) en razón última de parte a parte.

LEMA V

Todos los lados homólogos de figuras semejantes son proporcionales entre sí tanto si son rectilíneas como si son curvilíneas; y las áreas son como el cuadrado de los lados.

LEMA VI

Si un arco ACB dado en posición es subtendido por la cuerda AB, y en el punto A, en medio de la curvatura continua, es tocado por la recta tangente AD prolongada hacia ambos lados y después los puntos A y B se acercan y coinciden, digo que el ángulo BAD, contenido entre la cuerda y la tangente, disminuye in infinitum y finalmente desaparece.

Pues si dicho ángulo no desapareciera, el arco ACB contendría junto con la tangente AD un ángulo igual a un recto y, por tanto, la curvatura en el punto A no sería continua, contra la hipótesis.

LEMA VII

Con los mismos supuestos, digo que la razón última entre la cuerda, el arco y la tangente entre sí, es la razón de igualdad.

Pues mientras el punto B se aproxima al punto A, imagínese a AB y AD prolongadas a los puntos lejanos b y d, mientras se traza bd paralela a la secante BD. Sea el arco Acb siempre semejante al arco ACB. Si los puntos A y B se aproximan, por el Lema anterior el ángulo dAb se desvanece, y las líneas rectas finitas Ab y Ad y el arco intermedio Acb coincidirán y, por tanto, serán iguales. De donde se sigue que las rectas AB y AD y el arco ACB siempre proporcionales a aquéllas también desaparecerán y tendrán como razón última la igualdad. Q. E. D.

COROLARIO 1. De donde si por B se traza BF paralela a la tangente, que siempre corte a una recta AF trazada por A, esta BF siempre tendrá al fin razón de igualdad respecto al arco evanescente ACB, dado que en el paralelogramo completo AFBD siempre tendrá razón de igualdad con AD.

COROLARIO 2. Y si por B y A se trazaran muchas rectas, BE, BD, AF, AG, secantes de la tangente AD y también de su paralela BF, la razón última de todas las abscisas, AD, AE, BF, BG, de la cuerda y del arco AB será entre sí la razón de igualdad.

COROLARIO 3. Y, por tanto, todas estas líneas pueden sustituirse entre sí en todos los razonamientos sobre razones últimas.

LEMA VIII

Si las rectas dadas AR, BR, junto con el arco ACB, la cuerda AB y la tangente AD, constituyen tres triángulos RAB, RACB, RAD y los puntos A, B se aproximan mutuamente, digo que la forma última de los triángulos evanescentes es la de semejanza y la razón última de igualdad.

Pues mientras se aproxima B a A imagínese siempre que AB, AD y AR se prolongan hasta los puntos más lejanos b, d y r, y que se traza rbd paralela a RD y que el arco Acb permanece siempre semejante al arco ACB. Al coincidir los puntos A y B el ángulo bAd desaparecerá y, por tanto, los triángulos siempre finitos rAb, rAcb rAd coincidirán y por eso mismo serán semejantes e iguales. Y por ello, sus siempre semejantes y proporcionales RAB, RACB, RAD serán también al fin semejantes e iguales entre sí. Q. E. D.

COROLARIO. Y por ello, tales triángulos pueden ser sustituidos uno por otro en toda argumentación sobre razones últimas.

LEMA IX

Si la recta AE y la curva ABC de posición dada se cortan mutuamente en un ángulo dado A y se aplican ordenadamente a dicha recta en un ángulo dado las rectas BD, CE, que a su vez tocan la curva en B, C, y después los puntos B, C, se acercan a la vez hacia el punto A, digo que las áreas de los triángulos ABD, ACE serán al final entre sí como los cuadrados de los lados.

En efecto, mientras los puntos B, C se acercan al punto A, imaginemos siempre a AD prolongada hacia los puntos lejanos d y e, de modo que Ad, Ac sean proporcionales a AD y AE y tracemos las ordenadas dh, ec, paralelas a las ordenadas DB, EC y que corten a las prolongaciones de AB, AC en b y c. Supóngase que se traza la curva Abc semejante a la curva ABC así como la recta Ag tangente a las curvas en A y que corta a las ordenadas DB, EC, db, ec en F, G, ƒ, g. Entonces, manteniendo la longitud Ae, que los puntos B, C se aproximen al punto A y al desaparecer el ángulo cAg las áreas curvilíneas Abd, Ace coincidirán con las rectilíneas Aƒd, Age; y por ello (por el Lema V) serán entre sí como el cuadrado de los lados Ad, Ae. Pero a dichas áreas siempre serán proporcionales las áreas ABD, ACE y a tales lados siempre serán proporcionales los lados AD, AE. Luego también las áreas ABD, ACE serán al final como el cuadrado de los lados AD, AE. Q. E. D.

LEMA X

Los espacios que un cuerpo recorre empujado por una fuerza cualquiera finita tanto si dicha fuerza es determinada y siempre la misma, como si es continuamente creciente o decreciente, son como los cuadrados de los tiempos al comienzo del movimiento.

Represéntense los tiempos por las líneas AD, AE y las velocidades originadas por las ordenadas DB, EC; los espacios descritos con estas velocidades serán como las áreas ABD, ACE descritas por estas ordenadas, esto es (por el Lema IX) al comienzo del movimiento como el cuadrado de los tiempos AD, AE. Q. E. D.

COROLARIO 1. Y de aquí se deduce fácilmente que los recorridos de los cuerpos que describen partes semejantes de figuras semejantes en tiempos proporcionales, recorridos que son originados por fuerzas iguales aplicadas de modo semejante a los cuerpos y que son medidos por las distancias de los cuerpos respecto a los lugares de las figuras semejantes a los que hubiesen llegado dichos cuerpos en los mismos tiempos proporcionales sin tales fuerzas, son aproximadamente como los cuadrados de los tiempos en que se han generado.

COROLARIO 2. Pero los recorridos que son originados por fuerzas proporcionales a las partes semejantes de figuras semejantes aplicadas semejantemente, son como las fuerzas multiplicadas por el cuadrado de los tiempos.

COROLARIO 3. Lo mismo ha de entenderse de cualesquiera espacios que describan los cuerpos bajo la acción de distintas fuerzas. Serán, respecto al comienzo del movimiento, como las fuerzas multiplicadas por el cuadrado de los tiempos.

COROLARIO 4. Y por tanto, las fuerzas están, al comienzo del movimiento, en razón directa a los espacios descritos y en razón inversa a los cuadrados de los tiempos.

COROLARIO 5. Y los cuadrados de los tiempos son directamente como los espacios descritos e inversamente como las fuerzas.

ESCOLIO

Si se comparan entre sí cantidades indeterminadas de diversos géneros y una de ellas se dice que es como otra, directa o inversamente, esto significa que la primera crece o disminuye según la misma razón que la segunda o según la inversa. Y si una de ellas se dice que es como otras dos o más directa o inversamente, esto significa que la primera aumenta o disminuye según la razón compuesta de las razones, según las cuales las otras o las inversas de las otras aumentan o disminuyen. Así, si se dice que A es directamente como B y directamente como C e inversamente como D, esto significa que A aumenta o disminuye en la razón de B x C x 1/D, esto es, que A y BC/D son mutuamente según una razón dada.

LEMA XI

La subtensa evanescente del ángulo de contacto, en todas las curvas que tienen curvatura finita en el punto de contacto, es al fin como el cuadrado de la subtensa del arco contiguo.

CASO 1. Sea dicho arco AB, la tangente AD, sea BD la subtensa del ángulo de contacto perpendicular a la tangente, y AB la subtensa del arco. Trácense AG y BG perpendiculares a la tangente AD y a la subtensa AB y que se encuentren en G.

Muévanse después los puntos D, B, G hacia d, b, g, y sea I la última intersección de BG y AG cuando D y B se acercan hacia A. Es evidente que la distancia GI puede ser más pequeña que una distancia dada. Por otra parte (por la naturaleza de los círculos que pasan por los puntos ABG, Abg) AB2 es igual a AG x BD y Ab2 es igual a Ag x bd; y por tanto la razón de AB2 a Ab2 se compone de las razones de AG a Ag y BD a bd. Pero como GI puede tomarse como menor que cualquier longitud dada, puede hacerse que la razón AG a Ag diste menos de la igualdad que una cantidad dada y, por tanto, que la razón AB2 a Ab2 diste menos de la razón de BD a bd que una cantidad dada. Luego, por el Lema I, la razón última entre AB2 y Ab2 es la misma que la razón última de BD a bd. Q. E. D.

CASO 2. Inclínese BD sobre AD en un ángulo dado cualquiera y la razón última de BD a Bd siempre será la misma que antes y, por tanto, la misma que AB2 a Ab2. Q. E. D.

CASO 3. Y aunque no esté dado el ángulo D, sino que la recta BD converja en un punto dado o bien se construya con otra regla cualquiera, sin embargo los ángulos D, d se construirán con una ley común y siempre tenderán a la igualdad y se acercarán entre sí más que una diferencia dada y, por tanto, al fin serán iguales, por el Lema I, y por tanto las líneas BD, bd están entre sí en la misma razón que antes. Q. E. D.

COROLARIO 1. De donde, como las tangentes AD, Ad, de los arcos AB, Ab y sus senos BC, bc sean al final iguales a las cuerdas AB, Ab; sus cuadrados serán al fin como las subtensas BD, bd.

COROLARIO 2. Tales cuadrados serán asimismo al final como las sagitas de los arcos que bisecan a las cuerdas y convergen en un punto dado. Puesto que dichas sagitas son como las subtensas BD, bd.

COROLARIO 3. Por tanto, la sagita es como el cuadrado del tiempo en que un cuerpo describe el arco a una velocidad dada.

COROLARIO 4. Los triángulos rectilíneos ADB, Adb están al fin en razón cúbica de los lados AD, Ad y en razón de la potencia 3⁄2 (sesquiplicada) de los lados DB, db; por cuanto que se da la existencia de la razón compuesta de los lados AD y DB, Ad y Db. Igualmente los triángulos ABC, Abc están al final en razón cúbica de los lados BC, bc. Llamo razón sesquiplicada a la subduplicada de la triplicada, que se compone, pues, de la simple y la subduplicada[15].

COROLARIO 5. Y puesto que DB, db son al final paralelas y en razón cuadrada de las mismas AD, Ad, las áreas curvilíneas últimas ADB, Adb serán (por la naturaleza de la parábola) dos tercios de los triángulos rectilíneos ADB, Adb, y los segmentos AB, Ab terceras partes de dichos triángulos. Y en consecuencia, dichas áreas y dichos segmentos estarán en razón triplicada, ya de las tangentes AD, Ad, ya de las cuerdas y arcos AB, Ab.

ESCOLIO

Por lo demás, en todo esto suponemos que el ángulo de contacto no es ni infinitamente mayor que los ángulos de contacto contenidos por los círculos y sus tangentes, ni infinitamente menor que los mismos; esto es, que la curvatura en el punto A no es ni infinitamente pequeña, ni infinitamente grande, o también, que el intervalo AI es de magnitud finita. Puede, en efecto, tomarse a DB como AD3: en tal caso ningún círculo puede trazarse por el punto A entre la tangente AD y la curva AB y por consiguiente el ángulo de contacto será infinitamente menor que los de los círculos. Y por un argumento semejante si DB se hace sucesivamente como AD4, AD5, AD6, AD7, etc., se tendrá una serie de ángulos de contacto que va hasta el infinito y de los cuales cualquiera de los siguientes es infinitamente menor que su antecesor. Y si DB se hiciera sucesivamente como AD2, AD3⁄2, AD4⁄3, AD5⁄4, AD6⁄5, AD7⁄6, etc., se tendrá otra serie infinita de ángulos de contacto de los cuales el primero es del mismo género que los de los círculos, el segundo infinitamente mayor, y cualquier siguiente infinitamente mayor que el anterior. Además, entre dos ángulos cualesquiera de éstos puede intercalarse una serie, también tendente al infinito, de ángulos intermedios de los cuales cualquier posterior será infinitamente mayor o menor que el anterior. Como si entre los términos AD2 y AD3 se intercala la serie AD13⁄6, AD11⁄5, AD9⁄4, AD7⁄3, AD5⁄2, AD8⁄3, AD11⁄4, AD14⁄5, AD17⁄6, etc. Y de nuevo entre dos cualesquiera ángulos de esta serie se puede intercalar una nueva serie de ángulos intermedios, distantes entre sí infinitos intervalos. No conoce la naturaleza un límite.

Lo que se ha demostrado de las líneas curvas y de las superficies comprendidas, puede aplicarse fácilmente a las superficies curvas de los sólidos y a los contenidos. He adelantado estos Lemas para evitar tediosas y largas deducciones ad absurdum al estilo de los antiguos geómetras. Pues las demostraciones se hacen más breves por el método de los indivisibles. Pero como la hipótesis de los indivisibles es más difícil y además, tal método se considera menos geométrico, he preferido reducir las demostraciones de las cosas que siguen a las sumas y razones últimas de cantidades evanescentes, y a las sumas y razones primeras de cantidades nacientes, esto es, a los límites de las sumas y de las razones y, por tanto, he preferido anteponer, con la brevedad que he podido, las demostraciones de dichos límites. Por este medio se consigue lo mismo que con el método de los indivisibles y así podremos utilizar con mayor seguridad principios ya demostrados. Por tanto, en lo que sigue, cuantas veces considere cantidades como si constaran de partículas, o cuantas veces tome pequeñas curvas por líneas rectas, no quiero entender nunca que se trata de indivisibles, sino de divisibles evanescentes, ni tampoco de sumas o razones de partes determinadas, sino de los límites de las sumas y de las razones; y la fuerza de tales demostraciones debe atribuirse siempre al método de los Lemas precedentes.

Pudiera objetarse que no hay proporción última alguna entre cantidades evanescentes, ya que antes de que desaparezcan no son últimas, y, después de desaparecidas, no puede darse ninguna. Pero por la misma razón podría decirse que un cuerpo que llega a un punto en el que se acaba su movimiento no tendría una velocidad última, puesto que dicha velocidad no sería última antes de que dicho cuerpo alcance el punto final de su movimiento, y cuando le haya alcanzado ya no tendrá velocidad alguna. La respuesta es fácil: por velocidad última se entiende aquella con la que el cuerpo se mueve, no antes de alcanzar el punto final y cesa, por consiguiente, el movimiento, ni tampoco después de haberlo alcanzado, sino aquella con la que se mueve cuando lo alcanza, esto es, aquella velocidad con la que el cuerpo alcanza el punto final y aquella con la que cesa el movimiento. De igual manera ha de entenderse por razón última de cantidades evanescentes la razón de cantidades, no antes de que desaparezcan, ni después de desaparecidas, sino aquella con la que desaparecen. De igual modo ocurre con la razón primera de cantidades nacientes, que es aquella con la que nacen. Y la suma primera y última es aquella con la que empiezan o acaban la existencia (o también a aumentar o disminuir). Existe un límite que puede alcanzar la velocidad al final del movimiento, pero no puede traspasarlo. Esta es la velocidad última. Y semejante es la razón del límite de todas las cantidades y proporciones nacientes y evanescentes. Y dado que tal límite es cierto y definido, el problema de determinarlo es puramente geométrico. Por lo demás es legítimo utilizar medios geométricos para determinar y demostrar cosas también geométricas.

También pudiera objetarse que si se dan razones últimas de cantidades evanescentes, también se darán magnitudes últimas; y así toda cantidad constará de indivisibles, contra lo que demostró Euclides sobre los inconmensurables en el libro décimo de los elementos. Pero esta objeción se apoya en una hipótesis falsa. Las razones últimas con las que tales cantidades desaparecen en realidad no son razones de cantidades últimas, sino límites a los que tienden a acercarse siempre las razones de cantidades continuamente decrecientes, límites a los que pueden acercarse más que una diferencia dada, pero nunca traspasarlo, ni tampoco alcanzarlo antes de que las cantidades disminuyan in infinitum. El tema se ve mejor en las cosas infinitamente grandes. Si dos cantidades con una diferencia dada aumentan infinitamente, habrá una razón última de dichas cantidades, a saber, la razón de igualdad, sin que por ello se den también las cantidades últimas o máximas de las cuales era esta la razón. Por tanto, cuando en lo que sigue diga, con el fin de facilitar la comprensión de las cosas, cantidades mínimas o evanescentes o últimas, no se entienda que son cantidades de determinada magnitud sino que debe pensarse siempre en cantidades infinitamente decrecientes.