Sección XIV. Sobre el movimiento de cuerpos mínimos que son sometidos a fuerzas centrípetas tendentes hacia cada parte de otro cuerpo muy grande
Sección XIV SOBRE EL MOVIMIENTO DE CUERPOS MÍNIMOS QUE SON SOMETIDOS A FUERZAS CENTRÍPETAS TENDENTES HACIA CADA PARTE DE OTRO CUERPO MUY GRANDE
PROPOSICIÓN XCIV. TEOREMA XLVIII
Si dos medios semejantes se hallasen separados entre sí por un espacio delimitado a ambos lados por planos paralelos y un cuerpo al pasar por este espacio es atraído o impelido perpendicular mente hacia uno u otro medio sin ser ni agitado ni impedido por ninguna otra fuerza, y la atracción fuese la misma en todas partes a distancias iguales de uno y otro plano tomadas hacia la misma parte del mismo: digo que el seno de incidencia en uno u otro plano estará respecto al seno de emergencia del otro plano en una razón dada.
CASO 1. Sean Aa y Bb dos planos paralelos. Incida el cuerpo sobre el primer plano Aa según la línea GH, y en todo su recorrido a través del espacio intermedio sea atraído o impelido hacia el medio de incidencia, y sea obligado por esa acción a describir la línea curva HI, y emerja según la línea IK. Elévese IM, perpendicular al plano de emergencia Bb, y que se encuentre tanto con la prolongación de la línea de incidencia en M como con el plano de incidencia Aa en R; a su vez la línea de emergencia prolongada encuentre a HM en L. Con centro en L y radio LI trácese un círculo secante de HM en P y en Q, así como de la prolongación de MI en N; y, en primer lugar, si la atracción o el impulso se supone uniforme, la curva HI (por las demostraciones de Galileo) será una parábola que tiene la propiedad de que el rectángulo comprendido bajo un latus rectum dado y la línea IM es igual a HM2; pero la línea HM será bisecada en L. De donde si se traza sobre MI la perpendicular LO, resultarán iguales MO y OR; y añadiéndoles las iguales ON, OI, los totales MN, IR, resultarán iguales. Por tanto, al estar dado IR, también está dado MN; y el rectángulo NMI es al rectángulo comprendido bajo el latus rectum y IM, esto es a HM2, en una razón dada. Pero el rectángulo NMI es igual al rectángulo PMQ, esto es, a la diferencia de los cuadrados ML2 y PL2 o LI2, y HM2 guarda una razón dada con su cuarta parte ML2: luego está dada la razón de ML2 - LI2 respecto a ML2, y convirtiendo, la razón de LI2 a ML2 y la de la raíz cuadrada de LI a ML. Pero en todo triángulo LMI los senos de los ángulos son proporcionales a los lados opuestos. Luego se da la razón del seno del ángulo de incidencia LMR al seno del ángulo de emergencia LIR. Q. E. D.
CASO 2. Pase ahora el cuerpo sucesivamente a través de varios espacios delimitados por planos paralelos AabB, BbcC, etc., y sea afectado por una fuerza que es uniforme en cada uno de ellos por separado, pero distinta en cada uno; y por lo que acabamos de demostrar, el seno de incidencia sobre el primer plano Aa será al seno de emergencia del segundo plano Bb en una razón dada; y este seno, que es seno de incidencia en el plano segundo Bb, será al seno de emergencia del plano tercero Cc en una razón dada; y este seno al seno de emergencia del cuarto plano Dd en una razón dada; y así indefinidamente: y, por tanto, el seno de incidencia sobre el primer plano está en una razón dada respecto al seno de emergencia del último plano. Disminúyanse ahora los intervalos entre los planos y auméntese su número hasta el infinito, para que la acción de atracción o impulso que obedezca a cualquier ley asignada se haga continua; y la razón del seno de incidencia sobre el primer plano respecto al seno de emergencia del último plano, al estar siempre dada, también ahora estará dada. Q. E. D.
PROPOSICIÓN XCV. TEOREMA XLIX
Con los mismos supuestos digo que la velocidad del cuerpo antes de su incidencia es a su velocidad después de la emergencia como el seno de emergencia al seno de incidencia.
Tómense AH, Id, iguales y elévense las perpendiculares AG, dK, que corten a las líneas de incidencia y emergencia GH, IK en G y K. Sobre GH tómese TH igual a IK, y sobre el plano Aa caiga la perpendicular Tv. Y (por el Corolario II de las [Leyes]) descompóngase el movimiento del cuerpo en dos, uno perpendicular a los planos Aa, Bb, Cc, etc., y el otro paralelo a ellos. La fuerza de atracción o de impulso actuando según las líneas perpendiculares en nada cambia al movimiento según las paralelas, y por tanto con ese movimiento el cuerpo recorre en tiempos iguales los intervalos iguales según las paralelas que están entre la línea AG y el punto H, y entre el punto I y la línea dK; esto es, en tiempos iguales describe las líneas GH, IK. Por tanto, la velocidad antes de la incidencia es a la velocidad después de la emergencia como GH a IK o TH, esto es, como AH o Id a pH, esto es (respecto al radio TH OIK) como el seno de emergencia al seno de incidencia. Q. E. D.
PROPOSICIÓN XCVI. TEOREMA L
Supuesto lo anterior y que el movimiento antes de la incidencia es más veloz que después: digo que el cuerpo, inclinando la línea de incidencia, acabará por ser reflejado, y el ángulo de reflexión será igual al de incidencia.
Pues imagínese el cuerpo describiendo arcos parabólicos al pasar entre los planos paralelos Aa, Bb, Cc, etc., como antes; y sean tales arcos HP, PQ, QR, etc. Y la oblicuidad de la línea de incidencia GH sea tal respecto al primer plano Aa que haga que el seno de incidencia sea al radio del círculo del que es seno en la misma razón en que se halla el propio seno de incidencia respecto al seno de emergencia del plano Dd en el espacio DdeE: al ser ahora el seno de emergencia igual al radio, el ángulo de emergencia será recto, y por tanto la línea de emergencia coincidirá con el plano Dd. Alcance el cuerpo a este plano en el punto R; y puesto que la línea de emergencia coincide con dicho plano, es evidente que el cuerpo no puede pasar más allá hacia el plano Ee. Pero tampoco puede proseguir por la línea de emergencia Rd, ya que es atraído o impelido continuamente hacia el medio de incidencia. Regresará, por tanto, entre los planos Cc, Dd, describiendo el arco de parábola QRq, cuyo vértice principal (como demostró GALILEO) está en R; cortará al plano Cc con el mismo ángulo en q que antes en Q; después, continuando por los arcos parabólicos qp, ph, etc., semejantes e iguales a los primeros QP, PH, cortará a los demás planos con los mismos ángulos en p, h, etc., que antes en P, H, etc., y por fin emergerá en h con la misma oblicuidad con que incidió en H. Imagínese ahora que los intervalos de los planos Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, etc., se reducen y su número aumenta infinitamente, de modo que la atracción o impulso aplicados según una ley cualquiera determinada resulten continuos; y al permanecer siempre iguales el ángulo de emergencia y el ángulo de incidencia, también aquí lo seguirán siendo. Q. E. D.
ESCOLIO
Las reflexiones y refracciones de la luz no difieren mucho de estas atracciones, al efectuarse aquéllas según una razón dada de las secantes, como descubrió SNELL, y, por consiguiente, según una razón dada de los senos, como explicó DESCARTES. Pues consta por los fenómenos de los satélites de Júpiter, confirmados por observaciones de diferentes astrónomos, que la luz se propaga sucesivamente y viene del Sol a la Tierra en un espacio de siete u ocho minutos. Y los rayos existentes en el aire (como recientemente descubrió Grimaldi al introducir luz en un cuarto oscuro a través de un orificio, y yo mismo he experimentado) al pasar junto a ángulos de cuerpos opacos o transparentes (tales como los bordes rectangulares de los círculos de monedas de oro, plata o bronce, y de los filos de cuchillos o de láminas de piedra o de vidrios rotos) se curvan hacia los cuerpos, como si fueran atraídos por ellos; y de esos rayos, los que pasan más cerca de los cuerpos, al pasar se curvan más, como si fueran más atraídos, como yo mismo he observado con todo cuidado. Y los que pasan a distancias mayores se curvan menos; y a distancias aún mayores, se curvan un tanto hacia el lado contrario, y forman tres haces de colores. En la figura sea s el corte de un cuchillo o cuña cualquiera AsB; y gowog, ƒnunƒ, emtme, dlsld, son rayos curvados hacia el cuchillo con arcos owo, nun, mtm, lsl, y esto más o menos según su distancia al cuchillo. Pero como dicha curvatura de los rayos ocurra en el aire fuera del cuchillo, deberán también los rayos incidentes en el cuchillo curvarse en el aire antes de alcanzar el cuchillo. Y lo mismo ocurre para los que inciden en un cristal. Por tanto, la refracción no ocurre en el punto de incidencia, sino paulatinamente por incurvación continua de los rayos, parte de la cual ocurre en el aire antes de alcanzar el cristal y parte en el cristal (si no me equivoco) después de haber penetrado en él: como aparece diseñado en los rayos ckzc, biyb, ahxa, incidiendo sobre r, q, p, etc., curvados entre k y z, i e y, h y x. Por consiguiente, dada la analogía existente entre la propagación de los rayos de luz y el movimiento de los cuerpos, parece oportuno añadir las proposiciones siguientes para usos ópticos, sin discutir cosa alguna sobre la naturaleza de los rayos (si son cuerpos o no) determinando tan sólo las trayectorias de cuerpos muy semejantes a las trayectorias de los rayos.
PROPOSICIÓN XCVII. PROBLEMA XLVII
Supuesto que el seno de incidencia sobre una superficie cualquiera esté respecto al seno de emergencia en una razón dada, y que la incurvación de la trayectoria de los cuerpos junto a dicha superficie ocurra en un espacio muy breve, que puede considerarse un punto; determinar la superficie que haga converger a todos los corpúsculos procedentes de un lugar dado sobre otro lugar dado.
Sea A el lugar desde el cual los corpúsculos divergen; B el lugar sobre el cual deben converger; CDE la línea curva que, al girar sobre el eje AB, describa la superficie buscada; D, E, dos puntos cualesquiera de esa curva; y EF, EG, perpendiculares que descienden sobre las trayectorias del cuerpo AD, DB. Aproxímese el punto D al punto E; y la razón última de la línea DF, con la que se incrementa AD, a la línea DG, con la que DB disminuye, será la misma que la del seno de incidencia al seno de emergencia. Luego está dada la razón del incremento de la línea AD a la disminución de la línea DB; y, por tanto, si sobre el eje AB se toma un punto cualquiera C, por el cual deba pasar la curva CDE, y se toma para AC el incremento CM, que esté respecto al decremento CN de la línea BC en la razón dada, y con centros en A, B, e intervalos AM, BN, se trazan dos círculos mutuamente secantes en D; dicho punto D será tangente a la curva buscada CDE y manteniéndose tangente a ella continuamente la determinará. Q. E. I.
COROLARIO 1. Haciendo que los puntos A o B ya se alejen al infinito, ya se acerquen hacia el punto C, se tendrán todas las figuras que Descartes expuso en la Optica y en la Geometría sobre las refracciones. Me pareció oportuno explicar en esta Proposición, ya que DESCARTES se lo reservó, la manera de hallarlas.
COROLARIO 2. Si un cuerpo incide sobre una superficie cualquiera CD, según la dirección AD, y la superficie obedece a una ley cualquiera, y el cuerpo emerge según otra recta cualquiera DK y por el punto C se imaginan trazadas dos curvas CP, CQ, siempre perpendiculares a AD y a DK: los incrementos de las líneas PD, QD y, por tanto, las propias líneas PD, QD, resultantes de esos incrementos, serán entre sí como los senos de incidencia y emergencia respectivamente, y viceversa.
PROPOSICIÓN XCVIII. PROBLEMA XLVIII
Con los mismos supuestos, y trazando en torno al eje AB, una superficie atractiva CD cualquiera, sea regular o irregular, a cuyo través deben pasar los cuerpos procedentes de un lugar dado A: hallar una segunda superficie atractiva EF que haga converger a dichos cuerpos en otro lugar dado B.
Trazada la línea AB corte a la primera superficie en C y a la segunda en E, y fíjese D en un punto cualquiera. Supuesto que el seno de incidencia sobre la primera superficie respecto al seno de emergencia de la misma, y el seno de emergencia de la segunda al seno de incidencia sobre la misma, sea como una cantidad dada M a otra cantidad dada N: prolónguese entonces tanto AB hasta G de modo que BG sea a CE como M - N a N, como AD hasta H de modo que AH sea igual a AG, así como también DF hasta K, de modo que DK sea a DH como N es a M. Únase KB, y con centro en D y distancia DH descríbase un círculo que encuentre en L a KB prolongada, y trácese BF paralela a DL: y el punto F toca a la línea EF que al girar sobre el eje AB describe la superficie buscada. Q. E. F.
Pues imagínese que las lineas CP y CQ respecto a AD y a DF, y las líneas ER y ES respecto a FB y a FD son siempre perpendiculares, y por ello QS es siempre igual a CE; y (por el Corolario 2 de la Proposición XCVII) PD será a QD como M a N, y por tanto como DL a DK o FB a FK; y por partes, como DL - FB o PH - PD - FB a FD o FQ - QD; y conjuntamente, como PH - FB a FQ, esto es (por ser iguales PH y CG, QS y CE), como CE + BG - FR a CE - FS. Y (por ser proporcionales BG a CE y M - N a N) también ocurre que CE + BG es a CE como M a N; y parcialmente también FR es a FS como M a N; y por ello (por el Corolario 2 de la Proposición XCVII) la superficie EF obliga al cuerpo incidente sobre ella según la línea DF a proseguir según la línea FR hasta el lugar B. Q. E. D.
ESCOLIO
Con el mismo método podríamos proseguir hasta tres o más superficies. Pero para usos ópticos es la esférica la figura más adecuada. Si los objetivos de los telescopios estuviesen construidos con dos cristales esféricos que encerrasen agua entre ellos, pudiera ser que los errores de refracción que ocurren en los extremos de los cristales, pudieran corregirse con bastante exactitud mediante las refracciones del agua. Semejantes objetivos deben preferirse a los cristales elípticos e hiperbólicos, no sólo por ser más fáciles de construir con precisión, sino también porque refractan más exactamente los haces de rayos situados fuera del eje del cristal. No obstante, la diversa refrangibilidad de los distintos rayos es el verdadero obstáculo con el que tropieza la óptica para perfeccionarse, tanto con formas esféricas como con otras. A no ser que se corrijan los errores que de ahí proceden, el esfuerzo por corregir los demás no tendrá éxito.