Sección V. Sobre la densidad y compresión de los fluídos, y sobre hidrostática

Sección V SOBRE LA DENSIDAD Y COMPRESIÓN DE LOS FLUIDOS, Y SOBRE HIDROSTÁTICA

DEFINICIÓN DE FLUIDO

Fluido es todo cuerpo cuyas partes ceden a la aplicación de cualquier fuerza, y, al ceder, se mueven entre sí con facilidad.

PROPOSICIÓN XIX. TEOREMA XIV

Todas las partes de un fluido homogéneo e inmóvil encerrado en un vaso cualquiera inmóvil y comprimido por todos lados (sin tomar en cuenta ni la condensación ni la gravedad ni fuerza centrípeta alguna) soportan igual presión por todas partes y permanecen en sus lugares sin que dicha presión origine movimiento alguno.

CASO 1. Introdúzcase un fluido en el vaso esférico ABC y comprímase uniformemente por todas partes: digo que ninguna parte del mismo se moverá debido a la tal presión. Pues, si una parte D se moviese, sería preciso que todas las partes del mismo situadas a la misma distancia del centro se moviesen a la vez con un movimiento similar, y esto por ser semejante e igual la presión de todas, y se supone excluido todo otro movimiento, salvo el procedente de la presión. Pero no pueden acercarse más hacia el centro, salvo que el fluido sea condensado hacia el centro; contra la hipótesis. Tampoco pueden alejarse de él más, a no ser que el Huido se condense hacia la circunferencia; también contra la hipótesis. Tampoco pueden, manteniendo su distancia al centro, moverse en dirección alguna, porque, por la misma razón, se moverían en dirección contraria; pues la misma parte no puede moverse en direcciones opuestas en el mismo momento. Luego ninguna parte del fluido se moverá de su lugar. Q. E. D.

CASO 2. Ahora digo que todas las partes esféricas de este fluido soportan presiones iguales por todos lados. Pues, sea EF una parte esférica del fluido, y si no recibiese igual presión por todas partes, auméntese la presión menor hasta que resulte presionada igual por todas partes; y sus partes, por el Caso primero, permanecerán en su lugar. Pero antes de aumentar la presión, también permanecían en su lugar, por el mismo primer Caso, y con la presión añadida se moverían de su lugar, por la definición de fluido. Pero estas dos afirmaciones son contradictorias. Luego era falsa la afirmación de que la esfera EF no padecía igual presión por todos lados. Q. E. D.

CASO 3. Además digo que la presión de las diversas partes esféricas es igual. Pues las partes esféricas contiguas se presionan mutuamente e igualmente en los puntos de contacto, por la Ley III del Movimiento. Pero, por el Caso segundo, soportan igual fuerza de presión por todos lados. Luego dos partes esféricas no contiguas soportarán la misma fuerza, toda vez que una parte esférica intermedia puede tocar a ambas. Q. E. D.

CASO 4. Ahora digo que todas las partes de un fluido soportan igual presión en todas las partes. Pues dos partes cualesquiera pueden ser tocadas por partes esféricas en cualquier punto, y ahí dichas partes esféricas presionan por igual, por el Caso tercero, y a la inversa son presionadas por aquéllas por igual, por la Ley tercera del Movimiento. Q. E. D.

CASO 5. Puesto que una parte cualquiera GHI del fluido está encerrada en el resto del fluido como en un recipiente y es presionada por igual por todas partes, mientras las partes del mismo se presionan entre sí por igual y están entre sí en reposo; es evidente que las partes de cualquier GHI de un fluido, al estar igualmente presionadas por todos lados, se presionan entre sí por igual y reposan entre sí. Q. E. D.

CASO 6. Por tanto, si dicho fluido está encerrado en un vaso no rígido, y no fuese presionado por igual por todos lados, cederá ante la presión más fuerte, por la definición de fluidez.

CASO 7. Y por lo mismo, un fluido en un vaso rígido no soportará una presión más fuerte por un lado que por otro, sino que cederá ante ella, y esto instantáneamente, porque el lado rígido del vaso no sigue al líquido que cede. Pero al ceder presionará sobre el lado opuesto, y así la presión tiende a igualarse por doquier. Y puesto que el fluido trata de apartarse instantáneamente de la parte más presionada, mientras es soportado por la resistencia del vaso en el lado contrario, la presión se restablece instantáneamente por todos lados por igual sin movimiento local, con lo que las partes del fluido, por el Caso quintó, se presionan entre sí por igual y reposan entre sí. Q. E. D.

COROLARIO. De donde, tampoco podrá cambiarse el movimiento de las partes del fluido entre sí, mediante una presión efectuada sobre la superficie externa del fluido, salvo en la medida en que la superficie cambie de forma en algún punto, o en que las partes del fluido oprimiéndose entre ellas más o menos intensamente se deslicen entre ellas con mayor o menor facilidad.

PROPOSICIÓN XX. TEOREMA XV

Si cada parte de un fluido esférico, homogéneo a distancias iguales del centro, que descansa sobre un fondo esférico concéntrico, gravita hacia el centro del todo, el fondo soportará el peso de un cilindro cuya base fuese igual a la superficie del fondo y cuya altura fuese igual a la altura del fluido sobrepuesto.

Sea DHM la superficie del fondo, y AEI la superficie superior del fluido. Divídase el fluido en esferas concéntricas de igual grosor, mediante innumerables superficies esféricas BFK, CGL; imagínese que la fuerza de la gravedad actúe únicamente sobre la superficie exterior de cada esfera y que las acciones son iguales sobre cada parte igual de todas las superficies. Entonces, la superficie más externa AE sufre la sola presión de su fuerza de gravedad, que presiona no sólo sobre las partes todas de la superficie superior sino que también (por la Proposición XIX) presiona igualmente en razón de su extensión sobre la superficie segunda BFK. Esta segunda superficie BFK sufre la presión de su propia fuerza de gravedad, además de la presión añadida de la primera, lo que duplica la presión. La tercera superficie CGL padece una presión triple, esto es, la de su propia fuerza de gravedad junto con la presión de la anterior que padece en función de su propia extensión. Y de igual modo, la superficie cuarta padece una presión cuádruple, la quinta quíntuple, y así sucesivamente. Por consiguiente, la presión que padece cada superficie, no es como el volumen de fluido que reposa encima de ella, sino como el número de esferas que hay hasta la superficie superior del fluido; y es igual a la gravedad del orbe inferior multiplicada por el número de orbes: esto es, a la gravedad de un sólido que tiene razón última de igualdad con el cilindro susodicho (siempre que aumente el número de orbes y disminuya su grosor infinitamente, de manera que la acción de la gravedad desde la superficie inferior hasta la superior se haga continua). Luego la superficie inferior soporta el peso del cilindro definido arriba. Q. E. D. Y, por la misma razón, será evidente la proposición cuando la gravedad decrece en una razón cualquiera dada desde el centro, lo mismo que cuando el fluido es más raro arriba y más denso abajo. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por tanto, el fondo no soporta todo el peso del fluido que hay encima, sino sólo aquella parte del peso que se describe en la Proposición; el peso restante es soportado por la forma abovedada del fluido.

COROLARIO 2. A distancias iguales del centro la cantidad de presión es siempre la misma, tanto si la presión sobre la superficie es paralela al horizonte como si es perpendicular u oblicua; tanto si el fluido, rebosando por encima de la superficie presionada, asciende perpendicularmente en línea recta como si serpea oblicuamente por sinuosas cavidades y canales, sean regulares o irregulares, anchos o angostos. Se infiere que la presión en nada cambia por estas circunstancias al aplicar la demostración de este Teorema a cada uno de los casos de fluidos.

COROLARIO 3. Por la misma demostración se infiere también (por la Proposición XIX) que las partes de un fluido pesado no adquieren, por la presión del peso que soportan, ningún movimiento entre ellas; si se excluye el movimiento debido a la condensación.

COROLARIO 4. Y, por lo tanto, si otro cuerpo de la misma gravedad específica, que no admita condensación, se sumergiese en este fluido, tampoco adquirirá movimiento alguno por causa del peso que incide sobre él: no descenderá, no ascenderá ni se verá obligado a cambiar su forma. Si es esférico permanecerá esférico, pese a la presión; si es -cuadrado permanecerá cuadrado: y esto tanto si es blando como si es muy fluido, tanto si flota libremente en el fluido como si reposa en el fondo. Pues toda parte perteneciente al fluido posee la misma razón que el cuerpo sumergido, y la razón de todos los cuerpos sumergidos, que tengan la misma figura y gravedad específica siendo de la misma magnitud, es la misma también. Si un cuerpo sumergido, conservando su peso, se licuase y tomase la forma del fluido, tal cuerpo, si antes ascendía o descendía o tomaba una forma nueva debido a la presión, también ahora ascenderá o descenderá o habrá de tomar una forma nueva: y esto precisamente porque permanecen su gravedad y las demás causas de los movimientos. Pero (por el Caso 5 de la Proposición XIX) ahora reposaría y conservaría su figura. Luego también antes.

COROLARIO 5. Por consiguiente, el cuerpo específicamente más grave que el fluido contiguo a él se hundirá y el específicamente más leve ascenderá, y se seguirá el movimiento y cambio de figura que puedan deberse al exceso o defecto de gravedad susodichos. Pues tales exceso o defecto son la razón del impulso que urge al cuerpo, que de otro modo está en equilibrio con las partes del fluido; y puede compararse con el exceso o defecto de peso en uno de los dos platillos de la balanza.

COROLARIO 6. Por tanto, hay una doble gravedad en los cuerpos ubicados en un fluido; una verdadera y absoluta, otra aparente, común y relativa. Gravedad absoluta es la fuerza total con la que el cuerpo tiende hacia abajo; relativa y común es el exceso de gravedad con el cual el cuerpo tiende hacia abajo más que el fluido que lo rodea. Con el primer tipo de gravedad las partes de los fluidos y de todos los cuerpos gravitan hacia los lugares que ocupan; y por ello componen, con sus pesos juntos, el peso del todo. Pues el todo completo es grave, como se puede ver en los vasos llenos de líquido; y el peso del todo es igual a los pesos de todas las partes y, por tanto, se compone de ellas. Con el otro tipo de gravedad los cuerpos no gravitan hacia sus lugares, esto es, al concurrir no se sobrecargan, sino que impidiendo los mutuos intentos de descenso reposan en sus lugares. Las cosas que están en el aire y no sobrecargan comúnmente no se juzgan pesadas. Las que sobrecargan sí lo son, en la medida en que no son sostenidas por el peso del aire. Para el común de la gente los pesos no son sino los excesos de peso verdadero por encima del peso del aire. De aquí que vulgarmente se llamen leves a las cosas que son menos graves y, al ceder ante la sobrecarga del aire, se elevan hacia arriba. Son relativamente leves, pero no absolutamente, toda vez que en el vacío descienden. Así como en el agua los cuerpos, que por su mayor o menor gravedad descienden o ascienden, son relativa y aparentemente graves o leves, y su gravedad o levedad relativa y aparente es el exceso o defecto con el que su verdadera gravedad o supera a la gravedad del agua o es superada por ella. Pero las cosas que no descienden sobrecargando ni ascienden cediendo a una sobrecarga, pese a que con sus pesos verdaderos aumenten el peso del todo, no gravitan en el agua relativamente y para el sentir común. Pues la demostración de estos casos es similar.

COROLARIO 7. Lo demostrado para la gravedad, tiene valor para otras fuerzas centrípetas cualesquiera.

COROLARIO 8. Por consiguiente, si el medio, en el cual se mueve un cuerpo cualquiera, estuviese sometido a la acción de su propia gravedad o de otra fuerza centrípeta cualquiera, y el cuerpo padece esta misma acción más fuertemente, la diferencia de fuerzas es aquella fuerza motriz que hemos considerado en las Proposiciones anteriores como fuerza centrípeta. Si, en cambio, el cuerpo sufre esa acción más levemente, la diferencia de fuerzas debe considerarse como fuerza centrífuga.

COROLARIO 9. Pero como los fluidos, al presionar sobre los cuerpos inmersos en ellos, no cambian sus figuras externas, también se sigue (por el Corolario de la Proposición XIX) que no cambiarán la ubicación de las partes internas entre sí: y por ende, si se sumergen animales, y toda sensación procede del movimiento de las partes, ni sufrirán daño los cuerpos sumergidos ni tendrán excitación sensorial alguna, salvo en la medida en que estos cuerpos pudieran ser objeto de condensación por compresión. Y lo mismo ocurre con cualquier sistema de cuerpos contenido en un fluido que lo comprima. Todas las partes del sistema sufrirán los mismos movimientos que si se hallasen en el vacío y retuviesen únicamente su gravedad, salvo en la medida en que el fluido o bien resista algo a sus movimientos o bien las obligue con su compresión a aglutinarse.

PROPOSICIÓN XXI. TEOREMA XVI

Sea la densidad de un fluido cualquiera proporcional a la compresión y sean sus partes atraídas hacia abajo por una fuerza centrípeta inversamente proporcional a las distancias de esas partes al centro: y digo que, si tales distancias se toman continuamente proporcionales, las densidades del fluido a esas mismas distancias también serán continuamente proporcionales.

Represente ATV el fondo esférico sobre el que descansa el fluido, S el centro, SA, SB, SD, SE, SF, etc., distancias continuamente proporcionales. Elévense las perpendiculares AH, BI, CK, DL, EM, FN, etc., que sean como las densidades del medio en los lugares A, B, C, D, E, F; y las gravedades específicas en esos puntos serán como AH / AS, BI / BS, CK / CS, etc., o, lo que es lo mismo, como AH / AB, BI / BC, CK / CD, etc. Imaginemos, en primer lugar, que estas gravedades son uniformemente continuas de A a B, de B a C, de C a D, etc., ocurriendo los decrementos por grados en los puntos B, C, D, etc. Multiplicadas estas gravedades por las alturas AB, BC, CD, etc., se obtendrán las presiones AH, BI, CK, etc., con las cuales está urgido el fondo ATV (según el Teorema XV). Por tanto, la partícula A soporta todas las presiones AH, BI, CK, DL, y así sucesivamente hasta el infinito; y la partícula B soportará todas menos la primera AH; la partícula C soportará a todas menos las dos primeras AH, BI; y así sucesivamente: y en consecuencia, la densidad AH de la partícula primera A es a la densidad BI de la segunda partícula B como la suma de todos los AH + BI + CK + DL, hasta el infinito, a la suma de todos los BI + CK + DL, etc. Y la densidad BI de la segunda partícula B es a la densidad CK de la tercera C como la suma de BI + CK + DL, etc., a la suma de CK + DL, etc. Por tanto, dichas sumas son proporcionales a sus diferencias AH, BI, CK, etc., y por ello continuamente proporcionales (por el Lema I de este libro) y, por tanto, las diferencias AH, BI, CK, etc., proporcionales a las sumas, son también continuamente proporcionales. Por lo cual, al ser las densidades en los puntos A, B, C, etc., como AH, BI, CK, etc., éstas serán también continuamente proporcionales. Procédase por tramos, y por corresponder a las distancias SA, SC, SE, continuamente proporcionales, serán también las densidades AH, CK, EM, continuamente proporcionales. Y por la misma razón, para distancias cualesquiera SA, SD, SG, continuamente proporcionales, las densidades AH, DL, GO, serán continuamente proporcionales. Júntense ahora los puntos A, B, C, D, E, etc., de modo que la progresión de las gravedades específicas desde el fondo A hasta la cima del fluido resulte continua, y para distancias cualesquiera SA, SD, SG, continuamente proporcionales, las densidades AH, DL, GO, al ser siempre continuamente proporcionales, permanecerán también ahora continuamente proporcionales. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí que si se tiene dada la densidad en dos puntos, como A y E, puede inferirse la densidad del fluido en otro punto cualquiera Q. Trácese, con centro en S y asíntotas rectas SQ, SX, una hipérbola que corte a las perpendiculares AH, EM, QT, en a, e, q, lo mismo que a las perpendiculares HX, MY, TZ, trazadas sobre la asíntota SX, en h, m, t. Sea el área YmtZ respecto al área dada YmhX como el área dada EeqQ al área dada EeaA; y la línea Zt prolongada cortará a la línea QT proporcional a la densidad. Pues si las líneas SA, SE, SQ, son continuamente proporcionales, las áreas EeqQ, EeaA serán iguales y, por tanto, las áreas proporcionales a ellas, YmtZ, XhmY, serán iguales también, y las líneas SX, SY, SZ, esto es, AH, EM, QT, necesariamente serán continuamente proporcionales. Y si las líneas SA, SE, SQ, adquieren otro orden cualquiera en la serie de proporciones continuas, las líneas AH, EM, QT, por la proporcionalidad de las áreas hiperbólicas, adquirirán el mismo orden en otra serie de proporcionalidades continuas.

PROPOSICIÓN XXII. TEOREMA XVII

Sea la densidad de un fluido cualquiera proporcional a la compresión y sus partes sean atraídas hacia ahajo por una gravedad inversamente proporcional a los cuadrados de sus distancias al centro: digo que si las distancias se toman en proporción armónica, las densidades del fluido a esas distancias estarán en progresión geométrica.

Sea S el centro y SA, SB, SC, SD, SE las distancias en progresión geométrica. Elévense las perpendiculares AH, BI, CK, etc., que sean como las densidades de los fluidos en los puntos A, B, C, D, E, etc., y sus gravedades específicas en esos puntos serán como AH / SA2, BI / SB2, CK / SC2, etc. Supongamos que estas gravedades son uniformemente continuas, la primera desde A hasta B, la segunda desde B hasta C, la tercera desde C hasta D, etc. Y éstas multiplicadas por las alturas AB, BC, CD, DE, etc., o, lo que es lo mismo, por las distancias SA, SB, SC, etc., proporcionales a dichas alturas, darán las representaciones de las presiones AH / SA, BI / SB, CK / SC, etc. Por lo cual, ya que las densidades son como las sumas de estas presiones, las diferencias de las densidades AH - BI, BI - CK, etc., serán como las diferencias de las sumas AH / SA, BI / SB, CK / SC, etc. Con centro en S y asíntotas SA, Sx, trácese una hipérbola que corte a las perpendiculares AH, BI, CK, etc., en a, b, c, etc., así como a Ht, Iu, Kw, perpendiculares trazadas sobre la asíntota Sx, en h, i, k; y las diferencias de densidades tu, uw, etc., serán como, AH x th / SA, BI x ui / SB, etc. Y los rectángulos tu x th, uw x ui, etc., o tp, uq, etc., serán como AH x th / SA, BI x ui / SB, etc., esto es, como Aa, Bb, etc. Pues, por la naturaleza de la hipérbola, SA es a AH o St como th a Aa, y por tanto AH x th / SA es igual a Aa. Y por igual razonamiento BI x ui / SB es igual a Bb, etc. Pero Aa, Bb, Cc, etc., son continuamente proporcionales y, por tanto, proporcionales a sus diferencias Aa - Bb, Bb - Cc, etc.; y por ello, los rectángulos tp, uq, etcétera, son proporcionales a las susodichas diferencias; al igual que las sumas de los rectángulos tp + uq o tp + uq + wr lo son a las sumas de las diferencias Aa - Cc o Aa - Dd. Si se suponen muchos términos de éstos, la suma de todas las diferencias, pongamos Aa - Fƒ, será proporcional a la suma de todos los rectángulos, pongamos zthn. Auméntese el número de términos y disminúyanse las distancias de los puntos A. B, C etc., hasta el infinito, y dichos rectángulos resultarán iguales al área hiperbólica zthn y, por tanto, la diferencia Aa - Fƒ es proporcional a esta área. Ahora tómense unas distancias cualesquiera, como SA, SD, SF en progresión armónica, y las diferencias Aa - Dd, Dd - Fƒ serán iguales; y por ello, las áreas thlx, xlnz proporcionales a dichas diferencias, serán iguales entre sí, y las densidades St, Sx, Sz, esto es, AH, DL, FN, continuamente proporcionales. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí que, si se dan dos densidades cualesquiera, AH y BI, de un fluido, estará dada el área thiu, correspondiente a su diferencia tu; y de ahí se hallará la densidad FN para cualquier altura SF, tomando el área thnz respecto al área susodicha dada thiu como es la diferencia de Aa - Fƒ a la diferencia de Aa - Bb.

ESCOLIO

Por un razonamiento similar se puede probar que, si la gravedad de las partículas de un fluido disminuye en razón cúbica de las distancias al centro mientras los inversos del cuadrado de las distancias SA, SB, SC, etc. (o sea, SA3 / SA2, SA3 / SB2, SA3 / SC2) se toman en progresión aritmética, las densidades AH, BI, CK, etc., estarán en progresión geométrica. Y si la gravedad disminuye en razón de la cuarta potencia de las distancias y los inversos de los cubos de las distancias (como, SA4 / SA3, SA4 / SB3, SA4 / SC3), etc. se toman en progresión aritmética, las densidades AH, BI, CK, etc., estarán en progresión geométrica. Y así hasta el infinito. Y también, si la gravedad de las partículas de un fluido es la misma a todas las distancias, y las distancias están en progresión aritmética, las densidades estarán en progresión geométrica, como descubrió el eminente Edmund Halley. Si la gravedad es como la distancia y los cuadrados de las distancias se hallan en progresión aritmética, las densidades estarán en progresión geométrica. Y así hasta el infinito. Esto ocurre así cuando la densidad del fluido condensado por compresión es como la fuerza de compresión, o, lo que es igual, cuando el espacio ocupado por el fluido es inversamente como dicha fuerza. Se pueden imaginar otras leyes de condensación, tales como que el cubo de la fuerza de condensación es como la cuarta potencia de la densidad, o que el cubo de la fuerza es igual que la cuarta potencia de la densidad. En tal caso, si la gravedad es inversamente como el cuadrado de la distancia al centro, la densidad será inversamente como el cubo de la distancia. Imagínese que el cubo de la fuerza de compresión sea como la quinta potencia de la densidad, y si la gravedad es inversamente como el cuadrado de las distancias, la densidad será inversamente proporcional a la potencia 3⁄2 de la distancia. Supongamos que la fuerza de compresión sea como el cuadrado de la densidad, y la gravedad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, la densidad será entonces inversamente proporcional a la distancia. Sería demasiado prolijo repasar todos los casos. Pero consta experimentalmente que la densidad del aire es como la fuerza de compresión exacta o al menos muy aproximadamente: y, por tanto, la densidad del aire en la atmósfera de la tierra es como el peso de todo el aire que sobrecarga, esto es, como la altura del mercurio en el barómetro.

PROPOSICIÓN XXIII. TEOREMA XVIII[7]

Si la densidad de un fluido compuesto de partículas que huyen unas de otras es como la compresión, las fuerzas centrífugas de las partículas son inversamente proporcionales a las distancias de sus centros. Y viceversa, las partículas que se rehuyen con fuerzas inversamente proporcionales a las distancias de sus centros componen un fluido elástico cuya densidad es proporcional a la compresión.

Supongamos que el fluido está contenido en un espacio cúbico ACE, y de éste, por compresión, se reduce a otro espacio cúbico menor ace; y las distancias entre las partículas que tienen Ubicación semejante entre sí en uno y otro espacio, serán como los lados AB, ab de los cubos; y las densidades de uno y otro medio serán inversamente proporcionales a los espacios que los contienen, AB3 y ab3. Sobre el lado plano ABCD del cubo mayor tómese el cuadrado DP, igual al lado plano del cubo menor db; y por hipótesis, la presión con la cual actúa el cuadrado DP sobre el fluido contenido será a la presión con la que el susodicho cuadrado db actúa sobre el fluido contenido como las densidades de los medios entre sí, esto es como ab3 a AB3. Pero la presión con la cual el cuadrado DB actúa sobre el fluido contenido es a la presión con la cual el cuadrado DP actúa sobre el mismo contenido como el cuadrado DB al cuadrado DP, esto es, como AB2 a ab2. Por consiguiente, la presión con la cual el cuadrado DB actúa sobre el fluido es a la presión con la cual actúa sobre el fluido el cuadrado db como ab a AB. Trazando por el interior de los cubos los planos FGH, ƒgh, quede el fluido separado en dos partes, y éstas se oprimirán entre sí con las mismas fuerzas con las cuales son presionadas por los planos AC, ac, esto es, en la proporción de ab a AB: y por ello, las fuerzas centrífugas que responden a estas presiones, están en la misma proporción, puesto que el número de partículas es el mismo y la disposición semejante en ambos cubos, las fuerzas con las cuales todas las partículas actúan sobre todas según los planos FGH, ƒgh, son como las fuerzas que cada una ejerce sobre cada una. Luego las fuerzas que cada una ejerce sobre cada una según el plano FGH en el cubo mayor son a las fuerzas que cada una ejerce sobre cada una según el plano ƒgh en el cubo menor como ab a AB, esto es, inversamente proporcionales a las distancias mutuas de las partículas. Q. E. D.

Y viceversa, si las fuerzas de cada partícula son inversamente proporcionales a la distancia, es decir, inversamente proporcionales a los lados AB, ab, de los cubos; las sumas de las fuerzas estarán en la misma proporción, y las presiones de los lados DB, db, serán como las sumas de las fuerzas; y la presión del cuadrado DP será a la presión del lado DB como ab2 a AB2. Y, por consiguiente, la presión del cuadrado DP será a la presión del lado db como ab3 a AB3, es decir, la fuerza de compresión a la fuerza de compresión como la densidad a la densidad. Q. E. D.

ESCOLIO

Y por un razonamiento semejante, si las fuerzas centrífugas de las partículas son inversamente proporcionales a los cuadrados de las distancias entre centros, los cubos de las fuerzas de compresión serán como la cuarta potencia de las densidades. Si las fuerzas centrífugas son inversamente proporcionales a la tercera o cuarta potencia de las distancias, los cubos de las fuerzas de compresión serán como la quinta o sexta potencia de las densidades. Y de modo general, si D representa la distancia, E la densidad del fluido comprimido y las fuerzas centrífugas son inversamente proporcionales a una potencia cualquiera de la distancia D cuyo índice sea n las fuerzas de compresión serán como las raíces cúbicas de la potencia de En + 2, cuyo índice sea n + 2: y viceversa. Pero esto ha de entenderse respecto a fuerzas centrífugas de partículas que limitan con partículas próximas o que no se expanden mucho más allá. Tenemos un ejemplo en los cuerpos magnéticos. El poder de atracción de los cuales termina casi en los cuerpos contiguos de su propio género. La fuerza magnética disminuye por la interposición de una lámina de hierro, y casi termina en la lámina. Pues los cuerpos ulteriores son atraídos más por la lámina que por el imán. Del mismo modo, si unas partículas repelen a otras partículas de su especie que están próximas, mientras que no ejercen fuerza alguna sobre otras partículas más lejanas, es de partículas de este género de las que se componen los fluidos sobre los que se ha tratado en esta Proposición. Porque si la fuerza de una partícula cualquiera se propagase hasta el infinito, se necesitaría una fuerza mayor para alcanzar una condensación igual de una mayor cantidad de fluido. Pero es una cuestión física la de si los fluidos elásticos constan de partículas que se repelen mutuamente. Por nuestra parte hemos demostrado matemáticamente la propiedad de los fluidos compuestos de tales partículas, para dar a los filósofos un asidero al tratar esta cuestión.