Sección VII. Sobre el movimiento de fluídos y la resistencia de proyectiles

Sección VII[9] SOBRE EL MOVIMIENTO DE FLUIDOS Y LA RESISTENCIA DE PROYECTILES

PROPOSICIÓN XXXII. TEOREMA XXVI

Si dos sistemas semejantes de cuerpos constan de igual número de partículas y las partículas correspondientes son semejantes y proporcionales una a una en cada sistema y están situadas de manera semejante entre sí y además tienen entre sí una razón dada de densidad, y además empiezan a moverse de manera semejante entre sí en tiempos proporcionales (las de un sistema entre sí y las del otro entre ellas) y las que pertenecen a un sistema no se tocan entre ellas más que en el momento de reflexión, ni se atraen ni repelen más que con las fuerzas aceleratrices que sean inversamente proporcionales al diámetro de las partículas correspondientes y directamente al cuadrado de las velocidades: digo que las partículas de los sistemas continuarán moviéndose de manera semejante entre ellas y con tiempos proporcionales.

Digo que cuerpos iguales en sitios semejantes se mueven de modo semejante entre ellos en tiempos proporcionales, si sus situaciones mutuas al final de dichos movimientos son siempre semejantes: tal y como si se comparasen las partículas de un sistema con las partículas correspondientes de otro. De donde los tiempos, en los cuales se describen por las partículas correspondientes partes semejantes y proporcionales de figuras semejantes, serán proporcionales también. Por consiguiente, si se diesen dos sistemas de esta clase, las partículas correspondientes, debido a la semejanza de los movimientos iniciales, continuarán moviéndose con movimientos semejantes hasta que choquen entre sí. Pues si no actúa sobre ellas fuerza alguna, proseguirán uniformemente en línea recta, por la Ley I del Movimiento. Si se perturban mutuamente con alguna fuerza, y ésta es inversamente como el diámetro de las partículas correspondientes y directamente como el cuadrado de las velocidades, puesto que las situaciones de las partículas son semejantes y las fuerzas proporcionales, las fuerzas totales que actúan sobre las partículas correspondientes, que resultan compuestas de las fuerzas singulares en acción (por el Corolario II de las Leyes) tendrán las mismas direcciones, como si se dirigiesen a centros similarmente situados entre las partículas; y dichas fuerzas totales serán entre sí, como las fuerzas componentes singulares, es decir, inversamente como los diámetros de las partículas correspondientes y directamente como los cuadrados de las velocidades: por lo cual, harán que las partículas correspondientes continúen describiendo figuras semejantes. Esto será así (por los Corolarios 1 y 8 de la Proposición IV del Libro I) si los centros susodichos están en reposo. Pero si están en movimiento, gracias a la semejanza de las traslaciones, sus situaciones permanecen semejantes entre las partículas de los sistemas, y producirán cambios semejantes en las figuras que describen las partículas. Por tanto, los movimientos de partículas correspondientes y semejantes serán semejantes hasta sus primeros choques y, por ser semejantes los choques, y semejantes las reflexiones, también después serán (por lo ya mostrado) semejantes los movimientos entre sí hasta que de nuevo choquen entre ellas, y así sucesivamente hasta el infinito. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si dos cuerpos cualesquiera, semejantes entre sí y semejantemente situados respecto a las partículas correspondientes de los sistemas, empiezan a moverse entre éstas de modo semejante y en tiempos proporcionales y sus magnitudes y densidades son mutuamente como las magnitudes y densidades de las partículas correspondientes, continuarán moviéndose semejantemente en tiempos proporcionales. Pues la razón de las partes mayores de uno y otro sistema es la misma que la de las partículas de los mismos.

COROLARIO 2. Y si todas las partes semejantes y semejantemente dispuestas de los sistemas reposan entre ellas, y dos de ellas, mayores que las otras, y mutuamente correspondientes entre sí en uno y otro sistema, empiezan a moverse según líneas semejantemente situadas y con movimientos semejantes en cualquiera dirección, producirán en las otras partes de los sistemas movimientos semejantes, movimientos que continuarán de modo semejante entre las partes en tiempos proporcionales; y describirán, por ello, espacios proporcionales a sus diámetros.

PROPOSICIÓN XXXIII. TEOREMA XXVII

Con los mismos supuestos, digo que las partes mayores de los sistemas padecen una resistencia que está en razón compuesta del cuadrado de sus velocidades, del cuadrado de sus diámetros y de la razón simple de la densidad de las partes de los sistemas.

Pues la resistencia procede en parte de las fuerzas centrípetas o centrífugas, con las cuales las partículas de los sistemas se agitan mutuamente, parte de las colisiones y reflexiones de las partículas y las partes mayores. Las resistencias del primer género son entre sí como las fuerzas totales motrices que las producen, es decir, como las fuerzas totales aceleratrices y las cantidades de materia en las partes correspondientes; es decir (por hipótesis), directamente como el cuadrado de las velocidades e inversamente como las distancias de las partículas correspondientes y directamente como las cantidades de materia en las partículas correspondientes; y por lo mismo, como las distancias de las partículas de un sistema son a las distancias correspondientes de las partículas del otro como el diámetro de la partícula o de una parte en el primer sistema al diámetro de la partícula o parte correspondiente en el otro, y la cantidad de materia es como las densidades de las partes y el cubo de los diámetros, las resistencias son entre sí como los cuadrados de las velocidades y los cuadrados de los diámetros y las densidades de las partes de los sistemas. Q. E. D. Las resistencias de la segunda especie son como el número de reflexiones correspondientes y sus fuerzas conjuntamente. Pero el número de reflexiones son entre sí directamente como las velocidades de las partes correspondientes, e inversamente como los espacios entre las reflexiones de las mismas. Y las fuerzas de las reflexiones son como las velocidades, las magnitudes y las densidades de las partes correspondientes conjuntamente, es decir, como las velocidades, los cubos de los diámetros y las densidades de las partes. Y reunidas todas estas razones, las resistencias de las partes correspondientes son entre sí como los cuadrados de las velocidades y los cuadrados de los diámetros y las densidades de las partes conjuntamente. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por consiguiente, si tales sistemas fuesen dos fluidos elásticos, como el aire, y sus partes están en reposo entre ellas, y dos cuerpos semejantes y proporcionales en volumen y densidad a las partes de los fluidos y, además, situados semejantemente entre esas partes, fuesen lanzados en cualquier dirección según líneas semejantemente dispuestas, mientras las fuerzas aceleratrices con las cuales se agitan mutuamente las partículas de los fluidos son inversamente como los diámetros de los cuerpos lanzados y directamente como los cuadrados de las velocidades, dichos cuerpos en tiempos proporcionales excitarán movimientos semejantes en los fluidos y describirán espacios semejantes y proporcionales a sus diámetros.

COROLARIO 2. Por lo cual, en dicho fluido un proyectil veloz sufre una resistencia que es aproximadamente como el cuadrado de su velocidad. Pues si las fuerzas que agitan entre sí a las partículas distantes se aumentasen como el cuadrado de la velocidad, la resistencia estaría en dicha razón cuadrada exactamente; y por tanto, en un medio cuyas partes distantes entre sí no se agitan con fuerza alguna, la resistencia es exactamente como el cuadrado de la velocidad. Sean, pues, A, B, C, tres medios que constan de partes semejantes e iguales y dispuestas regularmente según distancias iguales. Las partes de los medios A y B repélanse entre sí con fuerzas que sean también entre sí como T y V, mientras que las partes del medio C carecen por completo de estas fuerzas. Y si cuatro cuerpos iguales D, E, F, G se movieran en estos medios, los dos primeros D y E en los dos medios primeros A y B, y los otros dos F y G en el tercer medio C, y la velocidad del cuerpo D es a la velocidad del cuerpo E, y la velocidad del cuerpo F a la del cuerpo G como la raíz cuadrada de las fuerzas T a las fuerzas V, la resistencia del cuerpo D será a la resistencia del cuerpo E, y la resistencia del cuerpo F a la del cuerpo G, como el cuadrado de las velocidades; y por tanto, la resistencia del cuerpo D será a la resistencia del cuerpo F como la resistencia del cuerpo E a la del cuerpo G. Tengan los cuerpos D y F las mismas velocidades, así como los cuerpos E y G; y aumentando las velocidades de los cuerpos D y F en una razón cualquiera, y disminuyendo las fuerzas de las partículas del medio B según el cuadrado de la misma razón, el medio B se aproximará cuanto se quiera a la forma y condición del medio C, y por lo mismo, las resistencias de los cuerpos iguales y a iguales velocidades E y G en tales medios se aproximarán constantemente a la igualdad, de suerte que su diferencia resulte al final menor que una dada cualquiera. Por tanto, cuando las resistencias de los cuerpos D y F sean entre sí como las resistencias de los cuerpos E y G, también éstas se aproximan a la razón de igualdad. Pues las resistencias de los cuerpos D y F, cuando se mueven muy velozmente, son aproximadamente iguales: y por ello, cuando la resistencia del cuerpo F sea como el cuadrado de la velocidad, la resistencia del cuerpo D estará aproximadamente en esa razón.

COROLARIO 3. La resistencia de un cuerpo moviéndose muy velozmente en un fluido elástico es casi la misma que si las partes del fluido careciesen de sus fuerzas centrífugas y no se repeliesen entre sí; ello siempre que la fuerza elástica del fluido proceda de las fuerzas centrífugas de las partículas y la velocidad sea tan grande que las fuerzas no tengan tiempo suficiente para actuar.

COROLARIO 4. Puesto que las resistencias de cuerpos semejantes y con velocidades iguales, en medios cuyas partes distantes no se repelen entre sí, son como los cuadrados de los diámetros; las resistencias de cuerpos a iguales velocidades y con movimiento muy veloz en un fluido elástico son también muy aproximadamente como los cuadrados de los diámetros.

COROLARIO 5. Y puesto que cuerpos semejantes, iguales y con velocidades iguales, en medios de la misma densidad y cuyas partículas no se repelen unas a otras, tanto si dichas partículas son muchas y pequeñas como si son pocas y grandes, tropezarán con igual cantidad de materia en tiempos iguales, y trasmitirán a ésta igual cantidad de movimiento, y a su vez (por la Ley tercera del Movimiento) padecerán de ella la misma cantidad de reacción, es decir, serán resistidos por igual: también es evidente que, en fluidos elásticos de igual densidad, cuando se mueven a grandísima velocidad, sus resistencias serán aproximadamente las mismas; tanto si dichos fluidos están formados de partículas más gruesas como si lo están de las más sutiles imaginables. La resistencia de los proyectiles con movimientos muy rápidos no disminuye mucho por la sutileza del medio.

COROLARIO 6. Todas estas cosas son así en fluidos cuya fuerza elástica tiene origen en las fuerzas centrífugas de las partículas. Pero si dicha fuerza obedeciese a otra causa, como la expansión de partículas al modo de la lana o las ramas de los árboles, o a otra causa cualquiera, por la cual los movimientos de las partículas entre sí resulten menos libres, la resistencia, por la menor fluidez del medio, sería mayor que en los Corolarios anteriores[10].

PROPOSICIÓN XXXIV. TEOREMA XXVIII[11]

Si un globo y un cilindro de diámetros iguales se mueven con iguales velocidades en la dirección del eje del cilindro, en un medio raro y que consta de partículas iguales y libremente dispuestas a distancias mutuas iguales entre ellas: la resistencia del globo será la mitad de la resistencia del cilindro.

Puesto que la acción del medio sobre un cuerpo es idéntica (por el Corolario V de las Leyes) tanto en el caso de que el cuerpo se mueva en un medo en reposo como si las partículas del medio chocan a la misma velocidad contra el cuerpo en reposo, consideremos al cuerpo en reposo y veamos con qué fuerza es urgido por el medio en movimiento. Sea, pues, ABKI un cuerpo esférico descrito con centro en C y semidiámetro CA, e incidan sobre dicho cuerpo esférico las partículas del medio con una velocidad dada y según rectas paralelas a AC; y sea FB una recta de éstas. Tómese sobre ella LB, igual al semidiámetro CB, y trácese BD tangente a la esfera en B. Sobre KC y BD caigan las perpendiculares BE, LD, y la fuerza con la cual una partícula del medio, incidiendo oblicuamente según la recta FB, golpeará al globo en B, será a la fuerza con la que la misma partícula golpearía perpendicular mente en b al cilindro ONGQ descrito con eje ACI en torno al globo, como LD a LB, o BE a BC. Efectivamente, la eficacia de esta fuerza para mover el globo según la dirección FB o AC de su incidencia es a su eficacia para moverlo según la dirección de su propia determinación, es decir, según la dirección de la recta BC con la que actúa directamente sobre el globo como BE a BC. Y, por ambas razones conjuntas, la eficacia de una partícula incidente oblicuamente según la recta FB sobre un globo para moverlo en la dirección de su incidencia es a la eficacia de la misma partícula incidente perpendicularmente según la misma recta sobre un cilindro para moverlo en la misma dirección, como BE2 a BC2. Por lo tanto, si sobre bE, que es perpendicular a la base circular NAO del cilindro e igual al radio AC se toma bH igual a BE2 / CB, resultará que bH es a bE como el efecto de la partícula sobre el globo al efecto de la partícula sobre el cilindro. Y por lo mismo, el sólido que comprende a todas las líneas bH será al sólido que comprende a todas las líneas bE, como el efecto de todas las partículas sobre el globo al efecto de todas las partículas sobre el cilindro. Pero el primer sólido es un paraboloide descrito con vértice en C, eje CA y «latus rectum» CA; mientras el segundo es un cilindro circunscrito al paraboloide: y es sabido que un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito. Luego la fuerza total del medio sobre el globo es la mitad de la fuerza total del medio sobre el cilindro. Y por ello, si las partículas del medio reposasen y el globo y el cilindro se moviesen con velocidades iguales, la resistencia del globo sería la mitad que la resistencia del cilindro. Q. E. D.

ESCOLIO

Con el mismo método pueden compararse entre sí otras figuras en lo relativo a la resistencia y encontrar aquellas que sean más adecuadas para mantener sus movimientos en medios resistentes. Así, si hubiese que construir, con la base circular CEBH, que tiene su centro en O y radio OC, y con la altura OD, un tronco de cono CBGF que fuese el de menor resistencia de todos los troncos de cono construidos con la misma base y altura al desplazarse según la dirección de su eje hacia D, biséquese la altura OD en Q y prolónguese OQ hasta S de modo que QS sea igual a QC, y S será el vértice del cono cuyo tronco se busca.

Y, de paso, puesto que el ángulo CSB siempre es agudo, se infiere que si el sólido ADBE fuese generado por circunvolución de la figura elíptica u oval ADBE en torno a su eje AB, mientras la figura generatriz es tocada por tres rectas FG, GH, HI, en los puntos F, B e I, bajo la condición de que GH sea perpendicular al eje en el punto de contacto B, y FG, HI y la propia GH encierren ángulos FGB, BHI de 135 grados, el sólido generado por la circunvolución de la figura ADFGHIE sobre su mismo eje AB sufrirá menor resistencia que el sólido anterior; siempre que ambos se muevan en la dirección de su eje AB y vaya por delante el extremo B de ambos. Proposición esta que no creo haya de ser inútil para la construcción de naves.

Pero si la figura DNFG fuese una curva tal que, si de su punto N cualquiera se hace descender NM perpendicular al eje AB, y desde un punto dado G se traza la recta GR que sea paralela a la tangente de la figura en N, y corte a la prolongación del eje en R, MN vendría a ser a GR como GR3 a 4BR x GB2; el sólido, descrito por la revolución de esta figura sobre su eje AB, moviéndose en el susodicho medio raro desde A hacia B, sufre menor resistencia que cualquier otro sólido circular descrito con las mismas longitud y anchura.

PROPOSICIÓN XXXV. PROBLEMA VII

Si un medio raro está constituido de partículas mínimas en reposo y colocadas libremente a iguales distancias entre ellas, hallar la resistencia de un globo que se desplaza uniformemente en dicho medio.

CASO 1. Imagínese que un cilindro descrito con el mismo diámetro y la misma altura se desplaza a la misma velocidad según la línea de su eje en el mismo medio. Y supongamos que las partículas del medio sobre las que inciden el globo o el cilindro retrocedan con la máxima fuerza de reflexión. Y, puesto que la resistencia del globo (por la última Proposición) es la mitad de la resistencia del cilindro y el globo es al cilindro como dos a tres y el cilindro al chocar perpendicularmente con las partículas y reflejándolas así de modo máximo, les comunica el doble de su propia velocidad, el cilindro, en el tiempo en que recorre desplazándose uniformemente la longitud de su semieje, comunicará a las partículas un movimiento que será al movimiento total del cilindro como la densidad del medio a la densidad del cilindro; y el globo, en el tiempo en que recorre toda la longitud de su diámetro desplazándose uniformemente, comunicará el mismo movimiento a las partículas; y en el tiempo en que recorre los dos tercios de su diámetro, comunicará a las partículas un movimiento que será al movimiento total del globo como la densidad del medio a la densidad del globo. Y por tanto, el globo sufre una resistencia que será a la fuerza con la cual puede suprimirse o generarse todo su movimiento en el tiempo en que puede recorrer, desplazándose uniformemente, las dos terceras partes de su diámetro, como la densidad del medio a la densidad del globo.

CASO 2. Supongamos que las partículas del medio incidentes sobre el globo o sobre el cilindro no son reflejadas; entonces el cilindro, al incidir perpendicularmente sobre las partículas, les comunicará simplemente su propia velocidad, y por ello sufre una resistencia que será la mitad de la del caso anterior, y la resistencia del globo también será la mitad que la anterior.

CASO 3. Supongamos que las partículas del medio se reflejen del globo con una fuerza que no es la máxima ni tampoco nula, sino una fuerza media; en tal caso la resistencia del globo estará en la misma razón media entre la resistencia del primer caso y la del segundo. Q. E. I.

COROLARIO 1. De aquí que si la dureza del globo y de las partículas es infinita y, por tanto, están desprovistos de toda fuerza elástica y, por tanto, también carecen de toda fuerza de reflexión, la resistencia del globo será a la fuerza con la cual puede suprimirse o generarse todo su movimiento en el tiempo en que recorre cuatro terceras partes de su diámetro, como la densidad del medio a la densidad del globo.

COROLARIO 2. La resistencia del globo, «caeteris paribus», es como el cuadrado de la velocidad.

COROLARIO 3. La resistencia del globo, «caeteris paribus», es como el cuadrado del diámetro.

COROLARIO 4. La resistencia del globo, «caeteris paribus», es como la densidad del medio.

COROLARIO 5. La resistencia del globo está en razón compuesta del cuadrado de la velocidad, del cuadrado del diámetro y de la densidad del medio.

COROLARIO 6. Y el movimiento del globo con su resistencia puede representarse como sigue: sea AB el tiempo en el cual el globo puede perder todo su movimiento a causa de su resistencia uniformemente continua. Sobre AB elévense las perpendiculares AD, BC. Y sea BC dicho movimiento total, mientras por el punto C y con asíntotas AD, AB se traza la hipérbola CF. Prolónguese AB hasta un punto cualquiera E. Elévese la perpendicular EF que toque a la hipérbola en F. Complétese el paralelogramo CBEG, y trácese AF que corte a BC en H. Y si el globo en un tiempo cualquiera BE, con su movimiento inicial BC continuado uniformemente, recorre en un medio no resistente el espacio representado por el área del paralelogramo CBEG, el mismo globo en un medio resistente describirá el espacio CBEF representado por el área de la hipérbola, y su movimiento al final de aquel tiempo vendrá representado por la ordenada de la hipérbola EF, una vez perdida su parte FG de movimiento. Y su resistencia, al final del mismo tiempo, vendrá representada por la longitud BH, una vez perdida la parte CH de resistencia. Todo esto es evidente por los Corolarios 1 y 3 de la Proposición V del Libro II.

COROLARIO 7. De aquí que si un globo, debido a su resistencia uniformemente continua R, perdiese todo su movimiento M en el tiempo T, el mismo globo en el tiempo t en un medio resistente debido a una resistencia decreciente en razón del cuadrado de la velocidad, perderá de su movimiento M la parte tM / T + t, reteniendo la parte TM / T + t; y describirá un espacio que será al espacio descrito con el movimiento uniforme M en el tiempo t como el logaritmo del numero T + t / T multiplicado por el número 2,302585092994 es al número t / T dado que el área hiperbólica BCFE es al rectángulo BCGE en esta misma proporción.

ESCOLIO

En esta Proposición he expuesto la resistencia y retardación de proyectiles esféricos en medios no continuos, y he mostrado que esta resistencia es a la fuerza con la cual podría suprimirse o generarse todo el movimiento del globo en el tiempo en que el globo describiría con velocidad uniformemente continua las dos terceras partes de su diámetro, como la densidad del medio a la densidad del globo, con tal de que tanto el globo como las partículas del medio sean sumamente elásticas y gocen de la máxima fuerza de reflexión: y también que esta fuerza es el doble menor cuando el globo y las partículas del medio son infinitamente duras y prácticamente carentes de fuerza de reflexión. Pero en medios continuos como es el agua, el aceite caliente, el mercurio, en los cuales el globo no incide inmediatamente sobre todas las partículas del fluido generadoras de resistencia, sino que más bien presiona solamente sobre las partículas más próximas y éstas presionan a las siguientes y éstas a las siguientes, la resistencia es todavía otra mitad menor. Efectivamente, en esta clase de medios muy fluidos el globo padece una resistencia que es a la fuerza con la cual se podría suprimir o generar todo su movimiento en el tiempo en el cual, con el susodicho movimiento continuo uniforme, recorrería ocho terceras partes de su diámetro, como la densidad del medio a la densidad del globo. Es lo que trataremos de mostrar en lo que sigue.

PROPOSICIÓN XXXVI. PROBLEMA VIII[12]

Definir el movimiento del agua que fluye por un orificio hecho en el fondo de un vaso cilíndrico.

Sea ACDB un vaso cilíndrico, AB su orificio superior, CD el fondo paralelo al horizonte, EF un orificio circular en mitad del fondo, G el centro del orificio y GH el eje del cilindro perpendicular al horizonte. Y supongamos que un cilindro de hielo APQB de la misma anchura que la cavidad del vaso y con el mismo eje desciende con movimiento uniforme y continuo y que sus partes en cuanto tocan la superficie AB se licúan y convertidas en agua discurren en el vaso por su gravedad y forman al caer una catarata o columna de agua ABNFEM y atravesando el orificio EF lo llenan completamente. La velocidad uniforme del hielo que cae y la del agua contigua en el círculo AB sea la misma que la que tendría el agua cayendo y describiendo en su caída la altura IH; y estén IH y HG sobre la misma línea, y por el punto I trácese la recta KL paralela al horizonte y que toca a los lados del hielo en K y L. Y la velocidad del agua que cae por el orificio EF será aquella que adquiriría el agua cayendo desde I y describiendo en su caída la altura IG. Y por consiguiente, por los teoremas de Galileo, IG será a IH como el cuadrado de la velocidad del agua que cae por el orificio a la velocidad del agua en el círculo AB, es decir, como el cuadrado del círculo AB al círculo EF; pues estos círculos son inversamente como las velocidades de las aguas que llenándolos completamente pasan a su través en el mismo tiempo y en igual cantidad. Se trata aquí de la velocidad del agua hacia el plano horizontal. Y los movimientos paralelos al horizonte con los cuales se aproximan mutuamente las partes del agua que cae, al no proceder de la gravedad, no cambiarán el movimiento perpendicular al horizonte surgido de la gravedad, y no se consideran, por tanto, aquí. Ciertamente suponemos que las partes de agua cohesionan entre sí un tanto y que, mientras caen, por esa cohesión, se aproximan unas a otras mediante movimientos horizontales de modo que constituyan una sola catarata y no se dividan en muchas. Pero el movimiento paralelo al horizonte, proveniente de la susodicha cohesión, no lo consideramos aquí.

CASO 1. Ahora supongamos que toda la cavidad del vaso alrededor del agua que cae ABNFEM está llena de hielo, de modo que el agua caiga a través del hielo como si fuera a través de un embudo. Si el agua ni siquiera tocase al hielo, o lo que es lo mismo, si lo toca pero, por lo sumamente pulido de la superficie del hielo, resbala libremente y sin resistencia alguna, caerá por el orificio EF con la misma velocidad que antes, y todo el peso de la columna de agua ABNFEM presionará para generar su caída como antes, mientras el fondo del vaso soportará el peso del hielo que rodea a la columna.

Ahora licúese el hielo del vaso, y el flujo del agua, en cuanto a la velocidad, permanecerá como antes. No será menor, porque el hielo hecho agua tratará de salir: tampoco mayor, porque el hielo hecho agua no puede descender si no es impidiendo el descenso de otra agua igual a su propio descenso. La misma fuerza debe generar la misma velocidad del agua que fluye.

Pero el orificio del fondo del vaso, debido a los movimientos oblicuos de las partículas del agua que fluye, debe ser algo mayor que antes. Pues las partículas de agua ya no pasan todas por el orificio discurriendo perpendicularmente, sino que, concurriendo por doquier desde los costados del vaso y convergiendo sobre el orificio, lo atraviesan con movimientos oblicuos, y curvando su trayectoria hacia abajo confluyen en la vena de agua que cae, que es algo más delgada bajo el orificio que en el orificio mismo, siendo su diámetro, respecto al diámetro del orificio como 5 a 6, o como 5½ a 6½ aproximadamente, si he medido bien los diámetros. Preparé una lámina plana y muy delgada perforada en el centro, siendo el orificio circular de un diámetro de cinco octavos de pulgada. Para que la vena de agua fluyente no se acelerase al caer y al acelerarse se hiciese más estrecha, coloqué esta lámina, no en el fondo sino en un costado del vaso, de tal modo que la susodicha vena brotase según una línea paralela al horizonte. Después, una vez lleno el vaso de agua, abrí el orificio para que saliese el agua; y el diámetro de la vena, a una distancia de casi media pulgada del orificio, medido con la máxima exactitud, vino a ser de 21⁄40 partes de pulgada. Por tanto, el diámetro del orificio circular era al diámetro de la vena de agua aproximadamente como 25 a 21. Por consiguiente, el agua, al atravesar el orificio, converge desde todas partes, y después de salir del vaso, se hace más estrecha con la convergencia, y por el estrechamiento se hace más rápida, hasta alcanzar una distancia de media pulgada del orificio, y a esa distancia se torna más acelerada y estrecha que en el orificio mismo en la razón de 25 x 25 a 21 x 21 o de 17 a 12 aproximadamente, es decir, aproximadamente como la raíz cuadrada de dos a la unidad. Pero consta experimentalmente que la cantidad de agua que fluye en un tiempo dado por el orificio circular efectuado en el fondo del vaso es aquella que con la velocidad antedicha debería fluir en el mismo tiempo, no por aquel orificio, sino por el orificio circular cuyo diámetro es al diámetro de aquel orificio como 21 a 25. Y por tanto, la susodicha agua que cae tiene una velocidad hacia abajo en el mismo orificio que es la misma que adquiriría un grave cayendo y describiendo en su caída la semialtura del agua contenida en el vaso muy aproximadamente. Pero, después de salir del vaso, se acelera convergiendo hasta que llega a una distancia del orificio casi igual al diámetro del orificio, y adquiere una velocidad mayor casi en la proporción de la raíz cuadrada de dos a uno; velocidad que, ciertamente, casi adquiriría un grave cayendo y recorriendo en su caída la altura total del agua contenida en el vaso.

En lo sucesivo, por tanto, designemos al diámetro de la vena mediante aquel orificio menor, al cual hemos llamado EF. Y supóngase que se traza un plano VW encima y paralelo al del orificio EF y a una distancia igual al diámetro del orificio, dotado también de un orificio ST mayor que el primero, y así caiga por él una vena de agua que llene completamente el orificio inferior EF y que además tenga un diámetro de una proporción respecto al del orificio inferior como 25 a 21 aproximadamente. De este modo la vena de agua pasará perpendicularmente por el orificio inferior, y la cantidad de agua fluyente, según el tamaño de este orificio, será aproximadamente aquella que exige la solución del problema. En cambio, el espacio comprendido entre los dos planos y la vena de agua que cae puede considerarse como fondo del vaso. Pero para que la solución del problema sea más simple y más matemática, es más conveniente considerar solamente al plano inferior como fondo del vaso y suponer que el agua, que caía por el hielo o por el embudo y salía del vaso por el orificio EF practicado en el plano inferior, conserva continuamente su movimiento, mientras el hielo está en reposo. Por tanto, sea en lo sucesivo ST el diámetro del orificio descrito con centro en Z a cuyo través fluye del vaso la catarata cuando el agua toda del vaso es fluida. Y sea EF el diámetro del orificio que el chorro, al pasar, llena completamente, tanto si el agua sale del vaso a través del orificio superior ST, como si cae a través del hielo a modo de embudo. Y sea el diámetro del orificio superior ST al del inferior EF aproximadamente como 25 a 21, y la distancia perpendicular entre los planos de los orificios sea igual al diámetro del orificio menor EF. En tal caso, la velocidad del agua que sale del vaso por el orificio ST será en el mismo orificio hacia abajo la misma que la que adquiriría un cuerpo cayendo desde la mitad de la altura IZ: mientras que la velocidad de la catarata que cae de ambos será en el orificio EF la que adquiriría un cuerpo que cayese de la altura total IG.

CASO 2. Si el orificio EF no estuviese en el centro del fondo del vaso, sino que el fondo estuviese perforado en otro lugar, el agua saldrá con la misma velocidad que antes, siempre que el orificio sea del mismo tamaño. Pues, un grave desciende ciertamente en un tiempo mayor hasta la misma profundidad siguiendo una línea oblicua que siguiendo la perpendicular, pero al bajar adquiere la misma velocidad en uno y otro caso, como demostró Galileo.

CASO 3. La misma es la velocidad del agua que fluye por un orificio abierto en un costado del vaso. Pues si el orificio fuese pequeño, de modo que la distancia entre las superficies AB y KL sea imperceptible para los sentidos y la vena de agua que sale horizontalmente venga a tener una forma parabólica, del «latus rectum» de esta parábola se infiere que la velocidad del agua que discurre será aquella que adquiriría un cuerpo al caer desde la altura HG o IG del agua retenida en el vaso. Efectivamente, hecho el experimento, hallé que si la altura del agua retenida en el vaso era de veinte pulgadas sobre el orificio y la altura del orificio sobre el plano horizontal era también de 20 pulgadas, la vena de agua que fluía caía sobre dicho plano a la distancia de casi 37 pulgadas de la perpendicular trazada desde el orificio sobre el plano horizontal. Pues, sin resistencia, la vena debería haber caído sobre el plano a una distancia de 40 pulgadas, siendo el «latus rectum» de la vena parabólica de 80 pulgadas.

CASO 4. E incluso si el agua fluyente se orienta hacia arriba, saldrá con la misma velocidad. Pues la pequeña vena de agua fluyente asciende con un movimiento perpendicular hasta la altura GH o GI del agua retenida en el vaso, salvo en la medida en que su ascenso es un tanto impedido por la resistencia del aire; y por tanto, sale con la velocidad que adquiriría cayendo desde dicha altura. Cada partícula del agua retenida sufre igual presión por todas partes (por la Proposición XIX del Libro II) y al ceder a la presión, se desplaza hacia todas partes con igual impulso, tanto si cae por el orificio en el fondo del vaso, como si fluye horizontalmente a través de un orificio lateral, o si penetra en un canal y después asciende por un pequeño orificio abierto en la parte superior del canal. Que la velocidad con que fluye el agua es la que se ha establecido en esta Proposición no sólo se infiere racionalmente, sino que también se evidencia mediante los bien conocidos experimentos que acabamos de describir.

CASO 5. La velocidad del flujo de agua es la misma tanto si la forma del orificio es circular como si es cuadrada, triangular u otra cualquiera igual a la circular. Porque la velocidad del agua fluyente no depende de la figura del orificio sino que surge de su altura por debajo del plano KL.

CASO 6. Si la parte inferior del vaso ABDC se sumerge en agua estancada y la altura del agua estancada sobre el fondo del vaso fuera GR, la velocidad con la que el agua que está en el vaso saldría por el orificio EF hacia el agua estancada sería la misma que la que adquiriría el agua cayendo desde la altura IR y recorriéndola en su caída. Pues el peso de toda el agua del vaso que está por debajo de la superficie del agua estancada, será sostenido en equilibrio por el peso del agua estancada, y por ello en nada acelerará el movimiento del agua que desciende en el vaso. También puede mostrarse este caso mediante experimentos, midiendo el tiempo en que el agua fluye.

COROLARIO 1. Por ello, si la altura CA del agua se prolonga hasta K, de modo que AK sea a CK como el cuadrado de la razón del área de un orificio abierto en cualquier parte del fondo al área del círculo AB; la velocidad del agua fluyente será igual a la velocidad que adquiriría el agua cayendo y recorriendo en su caída la altura KC.

COROLARIO 2. Y la fuerza con la cual se puede generar el movimiento total del agua fluyente es igual al peso de la columna cilíndrica de agua cuya base es el orificio EF y cuya altura es 2GI o 2CK. Pues el agua que sale, en el tiempo en que iguala a dicha columna, adquiriría cayendo por su propio peso desde la altura GI la velocidad con que sale.

COROLARIO 3. El peso de toda el agua contenida en el vaso ABDC es a la parte del peso que presiona para que salga el agua como la suma de los círculos AB y EF al doble del círculo EF. Pues sea IO la media proporcional entre IH e IG; y el agua que sale por el orificio EF en el tiempo en que una gota cayendo desde I puede recorrer la altura IG, es igual a un cilindro cuya base es el círculo EF y cuya altura es 2IG, es decir, a un cilindro cuya base es el círculo AB y cuya altura es 210, pues el círculo EF es al círculo AB como la raíz cuadrada de la altura IH a la de la altura IG, es decir, en razón simple de la media proporcional IO a la altura IG; y en el tiempo en que la gota cayendo desde I describiría la altura IH, el agua que sale será igual a un cilindro cuya base es el círculo AB y cuya altura es 2IH; y en el tiempo en que la gota cayendo desde I por H hasta G describe la diferencia de alturas HG, el agua que sale, es decir, toda el agua contenida en el sólido ABNFEM, será igual a la diferencia de los cilindros, es decir, al cilindro cuya base es AB y cuya altura es 2HO. Y por consiguiente, toda el agua contenida en el vaso ABDC es al agua toda que cae contenida en el sólido ABNFEM como HG a 2HO, es decir, como HO + OG a 2HO, o IH + IO a 2IH. Pero el peso de toda el agua contenida en el sólido ABNFEM presiona para que salga el agua; y por tanto, el peso de toda el agua contenida en el vaso es a la parte de peso que presiona para que salga el agua como IH + IO a 2H, y por tanto, como la suma de los círculos EF y AB al doble del círculo EF.

COROLARIO 4. Y por ello el peso de toda el agua contenida en el vaso ABDC es a aquella parte del peso que soporta el fondo del vaso, como la suma de los círculos AB y EF a la diferencia de los propios círculos.

COROLARIO 5. Y la parte de peso soportada por el fondo del vaso es a la parte de peso que presiona sobre la salida del agua, como la diferencia de los círculos AB y EF al doble del círculo menor, o como el área del fondo al doble del orificio.

COROLARIO 6. Mas, la parte de peso que presiona solamente sobre el fondo es al peso de toda el agua que descansa perpendicularmente sobre el fondo como el círculo AB a la suma de los círculos AB y EF, o como el círculo AB al exceso del duplo del círculo AB sobre el fondo. Pues la parte de peso, que presiona sola sobre el suelo, es al peso de toda el agua del vaso, como la diferencia de los círculos AB y EF a la suma de esos círculos, por el Corolario 4; y el peso de toda el agua contenida en el vaso es al peso de toda el agua que descansa perpendicularmente sobre el fondo como el círculo AB a la diferencia de los círculos AB y EF. Y por tanto, permutando adecuadamente, la parte de peso que sólo urge sobre el fondo, es al peso de toda el agua que descansa sobre el fondo perpendicularmente, como el círculo AB a la suma de los círculos AB y EF o exceso del duplo del círculo AB sobre el fondo.

COROLARIO 7. Si en el centro del orificio EF se coloca el pequeño círculo PQ, descrito en torno al centro G y paralelo al horizonte, el peso del agua sostenida por dicho pequeño círculo es mayor que el peso de la tercera parte del cilindro de agua cuya base fuese el pequeño círculo y la altura GH. Pues, sea ABNFEM la catarata o columna de agua que cae con eje GH como más arriba, e imagínese que toda el agua contenida en el vaso se congelase, tanto en torno de la catarata como sobre el pequeño círculo, por no ser necesaria su fluidez para un descenso inmediato y rápido del agua. Y sea PHQ la columna de agua congelada sobre el pequeño círculo, con vértice en H y altura GH. Imagínese que semejante catarata cae con todo su peso, y no se apoya sobre PHQ ni presiona en absoluto, sino que libremente y sin fricción se va deslizando, salvo acaso en el vértice mismo del hielo donde la catarata al comenzar a caer puede ser cóncava. Y, puesto que, el agua congelada AMEC, ANFD que rodea a la catarata es convexa en su superficie interior AME, BNF hacia la catarata que cae, también la columna PHQ será convexa hacia la catarata, y por tanto, mayor que el cono cuya base es el pequeño círculo PQ y la altura GH, es decir, mayor que la tercera parte del cilindro descrito con tales base y altura. Sostiene, pues, dicho pequeño círculo el peso de esta columna, es decir, un peso que es mayor que el peso del cono o mayor que la tercera parte de aquel cilindro.

COROLARIO 8. El peso de agua que el círculo muy pequeño PQ soporta parece ser menor que el peso de las dos terceras partes del cilindro de agua cuya base es dicho círculo y la altura HG. Pues, supuesto lo que hemos dicho antes, imagínese que se describe un semiesferoide cuya base es el susodicho pequeño círculo y cuyo semieje o altura es HG. Esta figura será igual a dos terceras partes de aquel cilindro y comprenderá a la columna de agua congelada PHQ cuyo peso sostiene el pequeño círculo. Pues, como el movimiento del agua sea directo en gran medida, la superficie externa de la dicha columna concurrirá con la base PQ en ángulo un tanto agudo, toda vez que el agua se acelera continuamente al caer y, debido a esa aceleración se va haciendo más estrecha. Por tanto, puesto que el ángulo es menor que un recto, las partes inferiores de la columna estarán dentro del semiesferoide. Y en sus partes superiores también será aguda o puntiaguda, pues de lo contrario el movimiento horizontal del agua habría de ser infinitamente más veloz en el vértice que su movimiento hacia el plano horizontal. Y cuanto menor sea el círculo PQ, más agudo será el vértice de la columna, y si el círculo disminuye hasta el infinito, el ángulo PHQ disminuirá hasta el infinito, por lo cual la columna estará dentro del semiesferoide. Por consiguiente, la columna es menor que el semiesferoide, o que las dos terceras partes del cilindro cuya base es el pequeño círculo y cuya altura es GH. Así el pequeño círculo soporta una fuerza de agua igual al peso de la columna, mientras el peso del agua que la rodea presiona para que el agua salga por el orificio.

COROLARIO 9. El peso de agua que soporta el pequeño círculo PQ muy reducido es aproximadamente igual al peso de un cilindro de agua cuya base fuese dicho pequeño círculo y su altura ½GH. Pues este peso es una media aritmética de los pesos del cono y el semiesferoide mencionado más arriba. Pero si el pequeño círculo no fuese muy reducido, sino más bien aumentase hasta igualar al orificio EF, soportaría el peso de toda el agua que reposa perpendicularmente sobre él, es decir, el peso del cilindro de agua cuya base es el pequeño círculo y cuya altura es GH.

COROLARIO 10. Y (hasta donde me es posible precisarlo) el peso que soporta este pequeño círculo es siempre al peso de un cilindro de agua cuya base sea el pequeño círculo y su altura ½GH como EF2 es a EF2 - ½PQ2, o como el círculo EF al exceso de dicho círculo sobre la mitad del pequeño círculo, muy aproximadamente.

LEMA IV

Si un cilindro se desplaza uniformemente en la dirección de su longitud, la resistencia que sufre no cambia en absoluto aumentando o disminuyendo la longitud y, por tanto, es igual a la resistencia que sufriría un círculo descrito con el mismo diámetro y que se desplazase a la misma velocidad según una línea recta perpendicular a su plano.

Pues los lados no se oponen en absoluto al movimiento y un cilindro se transforma en un círculo cuando su longitud disminuye hasta el infinito.

PROPOSICIÓN XXXVII. TEOREMA XXIX[13]

Si un cilindro se desplaza uniformemente según la dirección de su longitud en un fluido comprimido, ilimitado y no elástico, la resistencia debida a la magnitud de su sección transversal es a la fuerza con la cual se generaría o anularía todo su movimiento en el tiempo en que recorre el cuádruplo de su longitud como la densidad del medio a la densidad del cilindro muy aproximadamente.

Pues sea ABDC un vaso que toca con su fondo CD la superficie del agua estancada; hágase que el agua salga de dicho vaso hacia el agua estancada por el canal cilíndrico EFTS, perpendicular al horizonte, sitúese el pequeño círculo PQ paralelo al horizonte en una posición cualquiera en medio del canal y prolónguese CA hasta K de modo que AK sea a CK como el cuadrado del exceso del orificio del canal EF sobre el pequeño círculo PQ al círculo AB. Y es evidente (por el Caso 5, el Caso 6 y el Corolario 1 de la Proposición XXXVI) que la velocidad del agua que pasa por el anillo comprendido entre el pequeño círculo y los costados del recipiente será aquella que adquiriría el agua cayendo y describiendo en su caída la altura KC o IG.

Y (por el Corolario 10 de la Proposición XXXVI) si la anchura del vaso es infinita, de modo que la breve línea HI desaparece y las alturas IG, HG se hacen iguales, la fuerza del agua que cae sobre el pequeño círculo será al peso del cilindro cuya base es el mismo pequeño círculo y cuya altura es ½IG, como EF2 a EF2 - ½PQ2 muy aproximadamente. Pues la fuerza del agua que fluye con movimiento uniforme por todo el canal será siempre igual sobre el pequeño círculo en cualquier parte del canal en que se halle colocado.

Ciérrense ahora los orificios EF, ST del canal, hágase ascender al pequeño círculo en el fluido comprimido por doquier y obligue con su ascenso al agua de arriba a descender por el espacio anular comprendido entre el pequeño círculo y los costados del canal: y la velocidad de ascenso del pequeño círculo será a la velocidad de descenso del agua como la diferencia entre los círculos EF y PQ al círculo PQ, y la velocidad de ascenso del pequeño círculo a la suma de las velocidades, es decir, a la velocidad relativa de descenso del agua con la cual discurre al lado del pequeño círculo ascendente, como la diferencia de los círculos EF y PQ al círculo EF, o sea, como EF2 - PQ2 a EF2. Sea dicha velocidad relativa igual a la velocidad con la cual se vio más arriba que el agua pasaba por el mismo espacio anular mientras el pequeño círculo permanecía inmóvil, es decir, a la velocidad que adquiriría el agua cayendo y describiendo en su caída la altura IG: en tal caso, la fuerza del agua sobre el pequeño círculo ascendente será la misma que antes (por el Corolario V de estas Leyes), es decir, la resistencia del pequeño círculo ascendente será al peso del cilindro de agua cuya base sea el pequeño círculo y su altura ½IG como EF2 a EF2 - ½PQ2 muy aproximadamente. Pero la velocidad del pequeño círculo será a la velocidad que adquiriría el agua cayendo y describiendo con su caída la altura IG, como EF2 - PQ2 a EF2.

Auméntese la anchura del canal hasta el infinito, y las susodichas razones entre EF2 - PQ2 y EF2 y entre EF2 y EF2 - ½PQ2 llegarán en último término a ser razones de igualdad. Y, por consiguiente, la velocidad del pequeño círculo será ahora aquella que adquiriría el agua cayendo y describiendo con su caída la altura IG, mientras su resistencia vendrá a ser igual al peso del cilindro cuya base sea el pequeño círculo y su altura la mitad de la altura IG, desde la cual deberá caer el cilindro para adquirir la velocidad con que asciende el pequeño círculo; y a esta velocidad, en el tiempo de su caída, describirá el cuádruplo de su longitud. En cambio, la resistencia del cilindro, desplazándose a esta velocidad en la dirección de su longitud, es la misma que la resistencia del pequeño círculo (por el Lema IV) y en consecuencia, es igual a la fuerza con la cual se generaría su movimiento mientras describe el cuádruplo de su longitud muy aproximadamente.

Si la longitud del cilindro se aumentase o disminuyese, su movimiento al igual que el tiempo en que describe el cuádruplo de su longitud, aumentarán o disminuirán en la misma proporción; y por tanto, la fuerza con la cual se generaría o suprimiría el movimiento aumentado o disminuido, en tiempo correlativamente aumentado o disminuido, no sufrirá cambio alguno; y por ende, también ahora es igual a la resistencia del cilindro, pues también esta permanece sin cambios según el Lema IV.

Si la densidad del cilindro aumenta o disminuye, su movimiento, al igual que la fuerza con la cual en el mismo tiempo se generaría o suprimiría el movimiento, aumentará o disminuirá en la misma proporción. Por consiguiente, la resistencia de todo el cilindro será a la fuerza con la cual se generaría o se suprimiría todo su movimiento en el tiempo que tarda en recorrer el cuádruplo de su longitud, como la densidad del medio a la densidad del cilindro muy aproximadamente. Q. E. D.

Pero un fluido ha de ser comprimido para que sea continuo, y debe ser continuo y no elástico para que toda la presión debida a su compresión pueda propagarse instantáneamente y no cambie la resistencia actuando para ello de modo igual sobre todas las partes del cuerpo movido. La presión debida al movimiento del cuerpo se consume en generar el movimiento de las partes del fluido y crea la resistencia. Pero la presión que surge de la compresión del fluido, aunque sea fuerte, si se propaga instantáneamente, no genera movimiento alguno en las partes de un fluido continuo, no provoca cambio alguno de movimiento; y por ello ni aumenta ni disminuye la resistencia. Ciertamente, la acción del fluido debida a su compresión no puede ser en las partes posteriores más fuerte que en las anteriores de un cuerpo movido, y por ello la resistencia descrita en esta Proposición no puede disminuirse: y no será más fuerte en las partes anteriores que en las posteriores, siempre que la propagación de la misma sea infinitamente más rápida que el movimiento del cuerpo presionado. Pero será infinitamente más rápida y se propagará instantáneamente siempre que el fluido sea continuo y no elástico.

COROLARIO 1. Las resistencias que sufren cilindros que se desplazan en la dirección de sus longitudes uniformemente y en medios infinitos están en razón compuesta del cuadrado de las velocidades, del cuadrado de los diámetros y de la densidad del medio.

COROLARIO 2. Si la anchura del canal no se aumenta hasta el infinito, sino que el cilindro avanza según la dirección de su longitud en el medio contenido en reposo, coincidiendo además el eje del cilindro con el eje del canal, su resistencia vendrá a ser, respecto a la fuerza con la cual se generaría o suprimiría todo su movimiento, en el tiempo en que describe el cuádruplo de su longitud, como la razón compuesta de la razón EF2 a EF2 - ½PQ2, del cuadrado de la razón EF2 a EF2 - PQ2 y de la razón de la densidad del medio a la densidad del cilindro.

COROLARIO 3. Con los mismos supuestos y también que la longitud L sea al cuádruplo de la longitud del cilindro en la razón compuesta de la razón de EF2 - ½PQ2 a EF2 y del cuadrado de la razón de EF2 - PQ2 a EF2, la resistencia del cilindro será a la fuerza con la que se generaría o suprimiría todo su movimiento en el tiempo en que describe la longitud L, como la densidad del medio a la densidad del cilindro.

ESCOLIO

En esta Proposición hemos investigado la resistencia que procede solamente de la magnitud de la sección transversal del cilindro, prescindiendo de la parte de resistencia que puede surgir de la oblicuidad de los movimientos. Ya que, al igual que en el Caso 1 de la Proposición XXXVI, la oblicuidad de los movimientos, con los cuales las partes del agua en el vaso convergían de todos lados sobre el orificio EF, impedía la salida del agua por el orificio, del mismo modo en esta Proposición, la oblicuidad de los movimientos con los cuales las partes del agua presionadas por el extremo anterior del cilindro ceden a la presión y divergen en todas direcciones, retardan sus traslaciones por los alrededores de dicho extremo anterior hacia las partes posteriores del cilindro y hace que el fluido se remueva hasta distancias mayores y aumente la resistencia, y esto casi en la misma razón en la que disminuye la salida de agua del vaso, es decir, casi como el cuadrado de la razón de 25 a 21. Y, al igual que en el caso primero de la susodicha Proposición, hacíamos que las partes de agua pasasen a caño lleno y perpendicularmente por el orificio EF, suponiendo que toda el agua del vaso en torno a la catarata estaba congelada, y cuyo movimiento oblicuo e inútil permanecía inmóvil, del mismo modo en esta Proposición, para eliminar la oblicuidad de los movimientos, y para que las partes del agua, cediendo con un movimiento directo y breve, faciliten al máximo el tránsito del cilindro y únicamente permanezca la resistencia debida a la magnitud de la sección transversal, resistencia que sólo puede disminuir disminuyendo el diámetro del cilindro, habremos de suponer que las partes del fluido cuyos movimientos oblicuos e inútiles crean resistencia, están en reposo entre sí en ambos extremos del cilindro, cohesionadas entre sí y unidas al cilindro. Sea ABCD un rectángulo y sean AE y BE dos arcos parabólicos descritos con eje AB y con un «latus rectum» tal que sea al espacio HG, que habría de ser descrito por el cilindro en su caída para adquirir la velocidad con que se mueve, como HG a ½AB. Y sean también CF y DF otros dos arcos parabólicos descritos con eje CD y con «latus rectum» cuatro veces mayor que el anterior; y por revolución de la figura en torno al eje EF se generará un sólido cuya parte intermedia ABDC será el cilindro del que tratamos, y las partes extremas ABE y CDF contienen las partes del fluido en reposo entre sí, y condensadas en dos cuerpos rígidos adheridos al cilindro por ambas partes como si fueran cabeza y cola. En tal caso, la resistencia de este sólido EACFDB, desplazándose según la longitud de su eje FE en dirección a E, será aproximadamente la misma que la que hemos determinado en esta Proposición, es decir, aquella que estaría respecto a la fuerza con la cual se generaría o suprimiría todo el movimiento del cilindro en el tiempo en que con dicho movimiento uniformemente continuo recorrería la longitud 4AC, como la densidad del fluido a la densidad del cilindro, muy aproximadamente. Y, por el Corolario 7 de la Proposición XXXVI, esta resistencia no puede ser menor respecto a dicha fuerza que la razón de 2 a 3.

LEMA V

Si una esfera, un cilindro y un esferoide de igual anchura se colocan sucesivamente en medio del canal cilíndrico de tal modo que el eje de los mismos coincida con el eje del canal, dichos cuerpos impedirán por igual el flujo del agua a través del canal.

Pues los espacios entre el canal y el cilindro, la esfera y el esferoide, a través de los cuales pasa el agua, son iguales: y el agua pasa igual por espacios iguales.

Esto es así bajo la hipótesis de que toda el agua que está sobre el cilindro, sobre la esfera o sobre el esferoide y cuya fluidez no es necesaria para que el agua pase con toda rapidez, se congele, como ya expuse en el Corolario 7 de la Proposición XXXVI.

LEMA VI

Con los mismos supuestos, los susodichos cuerpos son igualmente urgidos por el agua que fluye por el canal.

Se sigue del Lema V y de la tercera Ley. Pues el agua y los cuerpos actúan entre sí mutua e igualmente.

LEMA VII

Si el agua del canal está en reposo y los susodichos cuerpos se desplazan por el canal a velocidades iguales y en direcciones opuestas, sus resistencias serán iguales entre sí.

Se sigue del Lema anterior, pues los movimientos relativos siguen siendo iguales entre sí.

ESCOLIO

El mismo es el caso para los cuerpos todos convexos y redondos cuyos ejes coinciden con el eje del canal. Alguna diferencia podría surgir de la fricción mayor o menor, pero en estos Lemas suponemos que los cuerpos son sumamente pulidos y que la tenacidad del medio y la fricción son nulas y también que las partes del fluido, que con sus movimientos oblicuos y superfluos pudieran perturbar, impedir y retardar el flujo del agua por el canal, reposan entre ellas como constreñidas por la congelación y pegadas a las partes anteriores y posteriores de los cuerpos, tal y como he expuesto en el Escolio de la Proposición anterior. Pues en lo que sigue se trata de la resistencia mínima que pueden tener los cuerpos redondos descritos con una sección transversal máxima dada.

Los cuerpos flotantes en fluidos, cuando se desplazan en línea recta, hacen que el fluido ascienda por la parte delantera y descienda por la parte posterior, sobre todo si las figuras son obtusas; y por ello, padecen una resistencia algo mayor que si la cabeza y la cola fuesen agudas. Y los cuerpos que se mueven en fluidos elásticos, si son obtusos por delante y por detrás, condensan el fluido un poco más por delante y lo relajan algo más por la parte de atrás; y por ello sufren una resistencia algo mayor que si fuesen agudos por la cabeza y por la cola. Pero nosotros en estos Lemas no tratamos de fluidos elásticos, sino de los no elásticos, tampoco de los cuerpos que flotan en los fluidos, sino de los hundidos en los mismos. Y cuando se conoce la resistencia de los cuerpos en fluidos no elásticos, hay que aumentar esta resistencia un poco, tanto para los fluidos elásticos, como el aire, como para las superficies de fluidos estancados, como los mares y los lagos.

PROPOSICIÓN XXXVIII. TEOREMA XXX

La resistencia de un globo, que se desplaza uniformemente en un fluido comprimido, infinito y no elástico, es a la fuerza, que generaría o suprimiría todo su movimiento en el mismo tiempo en que recorre ocho terceras partes de su diámetro, como la densidad del fluido a la densidad del globo muy aproximadamente.

Pues el globo es al cilindro circunscrito como dos a tres; y por tanto aquella fuerza que suprimiese todo el movimiento del cilindro en el tiempo en que éste recorre una longitud de cuatro diámetros, suprimirá todo el movimiento del globo en el tiempo en que éste recorra dos terceras partes de dicha longitud, es decir, ocho terceras partes del propio diámetro. Pero la resistencia del cilindro es a esta fuerza muy aproximadamente como la densidad del fluido a la densidad del cilindro o del globo por la Proposición XXXVII, y la resistencia del globo es igual a la resistencia del cilindro, por los Lemas V, VI y VIII. Q. E. D.

COROLARIO 1. Las resistencias de los globos, en medios comprimidos infinitos, están en razón compuesta del cuadrado de la velocidad, del cuadrado del diámetro y de la densidad de los medios.

COROLARIO 2. La máxima velocidad con la cual un globo puede descender por su peso relativo en un fluido resistente es aquella que puede adquirir el mismo globo, con el mismo peso, cayendo sin resistencia y describiendo en su caída un espacio que sea a las cuatro terceras partes de su diámetro como la densidad del globo a la densidad del fluido. Pues el globo en el tiempo de su caída, con la velocidad adquirida al caer, describirá un espacio que resultará ser a ocho tercios de su diámetro, como la densidad del globo a la densidad del fluido; y la fuerza del peso generadora de este movimiento será a la fuerza que generaría este mismo movimiento en el tiempo en que el globo recorrería las ocho terceras partes de su diámetro a la misma velocidad, como la densidad del fluido a la densidad del globo: y por consiguiente, por esta Proposición, la fuerza del peso será igual a la fuerza de resistencia y, por ello, no puede acelerar al globo.

COROLARIO 3. Dadas la densidad del globo y su velocidad al principio del movimiento, así como la densidad del fluido comprimido en reposo en que el globo se mueve, están dados en todo momento, tanto la velocidad del globo como su resistencia, al igual que el espacio descrito por él, por el Corolario 7 de la Proposición XXXV.

COROLARIO 4. Un globo moviéndose en un fluido comprimido en reposo y de su misma densidad, perderá la mitad de su movimiento antes de que haya recorrido una longitud de dos diámetros propios, por el mismo Corolario 7.

PROPOSICIÓN XXXIX. TEOREMA XXXI

La resistencia de un globo que se desplaza por un fluido encerrado en un canal cilíndrico y uniformemente comprimido, es a la fuerza con la cual se generaría o suprimiría todo su movimiento en el tiempo en que recorrería ocho terceras partes de su diámetro, como la razón compuesta de la razón del orificio del canal al exceso de este orificio sobre la mitad del círculo máximo del globo, del cuadrado de la razón del orificio del canal al exceso de este orificio sobre el círculo máximo del globo y de la razón de la densidad del fluido a la densidad del globo, muy aproximadamente.

Es evidente por el Corolario 2 de la Proposición XXXVII, mientras que la demostración sigue los pasos de la demostración de la Proposición anterior.

ESCOLIO

En las dos últimas Proposiciones (lo mismo que en el Lema V) he supuesto que toda el agua que precede al globo y cuya fluidez aumenta la resistencia del globo, se halla congelada. Pero si toda dicha agua está líquida, aumentará la resistencia un tanto. Aunque dicho aumento en estas Proposiciones será pequeño y puede despreciarse, dado que la superficie convexa del globo produce casi todo el efecto del hielo.

PROPOSICIÓN XL. PROBLEMA IX

Hallar a partir de los fenómenos la resistencia de un globo que se desplaza en un medio comprimido muy fluido.

Sea A el peso del globo en el vacío, B su peso en un medio resistente, D el diámetro del globo, F el espacio que sea a 4⁄3D como la densidad del globo a la densidad del medio, es decir, como A a A - B, G el tiempo en el cual el globo cayendo sin resistencia con el peso B describe el espacio F, y H la velocidad que adquiere el globo con esta su caída. Y H será la velocidad máxima con que el globo, con su peso B, puede descender en un medio resistente, por el Corolario 2 de la Proposición XXXVIII, y la resistencia que sufre el globo, descendiendo con dicha velocidad, será igual a su peso B, mientras que la resistencia que sufre a otra velocidad cualquiera será al peso B como la razón cuadrada de esta velocidad a la susodicha velocidad máxima H, por el Corolario 1 de la Proposición XXXVIII.

Esta es la resistencia que se debe a la inercia de la materia del fluido. Pero la que se debe a la elasticidad, tenacidad y fricción de sus partes se hallará como sigue.

Déjese caer el globo de modo que descienda en el fluido por su peso B; y sea P el tiempo de caída y sea medido en segundos si el tiempo G está dado en segundos. Hállese el número absoluto N correspondiente al logaritmo 0,4342944819 2P / G, y sea L el logaritmo del número N + 1 / N, y la velocidad adquirida al caer será N - 1 / N + 1H, y la altura descrita será 2PF / G - 1,3862943611F + 4,605170186LF. Si el fluido es suficientemente profundo, se puede despreciar el término 4,605170186LF, y la altura descrita será muy aproximadamente la de 2PF / G - 1,3862943611F. Todo esto se sigue de la Proposición novena del Libro segundo y de sus Corolarios en la hipótesis de que el globo no sufra otra resistencia que la debida a la inercia de la materia. Pero si sufriese otra resistencia además de ésta, el descenso será más lento, y de la retardación se inferirá la cantidad de esa resistencia.

Para conocer más fácilmente la velocidad y el descenso de un cuerpo que cae en un fluido, he compuesto la siguiente tabla, cuya primera columna expresa los tiempos de caída, la segunda las velocidades adquiridas en la caída, siendo la velocidad máxima 100000000, la tercera representa los espacios descritos al caer en dichos tiempos, siendo 2F el espacio descrito por el cuerpo en el tiempo G y con la velocidad máxima, y la cuarta representa los espacios descritos en los mismos tiempos máxima. Los números de la cuarta columna son 2PF / G, y sustrayendo el número 1,3862944 - 4,6051702L, se hallarán los números de la tercera columna, números estos que hay que multiplicar por el espacio F para hallar los espacios descritos al caer. A estas anteriores se ha añadido una quinta columna que contiene los espacios descritos por el cuerpo en estos mismos tiempos cayendo en el vacío con la fuerza de su peso de comparación B.

Tiempos P Velocidades de caída en el fluido Espacios descritos cayendo en el fluido Espacios descritos con movimiento máximo Espacios descritos cayendo en el vacío 0,001G 9999929/30 0,000001F 0,002F 0,000001F 0,01G 999967 0,0001F 0,02F 0,0001F 0,1G 9966799 0,0099834F 0,2F 0,01F 0,2G 19737532 0,0397361F 0,4F 0,04F 0,3G 29131261 0,0886815F 0,6F 0,09 F 0,4G 37994896 0,1559070F 0,8F 0,16F 0,5G 46211716 0,2402290F 1,0F 0,25F 0,6G 53704957 0,3402706F 1,2F 0,36F 0,7G 60436778 0,4545405F 1,4F 0,49 F 0,8G 66403677 0,5815071F 1,6F 0,64F 0,9G 71629787 0,7196609F 1,8F 0,81F 1G 76159416 0,8675617F 2F 1F 2G 96402758 2,6500055F 4F 4F 3G 99505475 4,6186570F 6F 9F 4G 99932930 6,6143765F 8F 16F 5G 99990920 8,6137964F 10F 25F 6G 99998771 10,6137179F 12F 36F 7G 99999834 12,6137073F 14F 49 F 8G 99999980 14,6137059F 16F 64F 9G 99999997 16,6137057F 18F 81F 10G 99999999⅗ 18,6137056F 20F 100F

ESCOLIO

Con objeto de investigar mediante experimentos las resistencias de los fluidos me procuré un vaso de madera cuadrado y con longitud y latitud interiores de nueve pulgadas de pie londinense y con una profundidad de nueve pies y medio, y lo llené de agua de lluvia; y con globos hechos de cera conteniendo plomo, anoté los tiempos de descenso de los globos, siendo la altura del descenso de 112 pulgadas. El pie cúbico sólido londinense contiene 76 libras romanas de agua de lluvia, y la pulgada sólida cúbica de este pie contiene 19⁄36 onzas de esa libra, o también 253⅓ granos; y un globo de agua de una pulgada de diámetro 132,645 granos en el aire, o también 132,8 granos en el vacío; y otro globo cualquiera será como el exceso de su peso en el vacío sobre su peso en el agua.

EXPERIMENTO 1. Un globo, cuyo peso era de 156¼ granos en el aire y de 77 granos en el agua describió la altura completa de 112 pulgadas en un tiempo de cuatro segundos. Y repetido el experimento, el globo de nuevo cayó en el mismo tiempo de cuatro segundos.

El peso del globo en el vacío es de 15613⁄38 granos, y el exceso de este peso sobre el peso del globo en el agua es de 7913⁄18 granos. De ello se sigue que el diámetro del globo es de 0,84224 partes de pulgada. Pero la densidad del agua a la densidad del globo es como dicho exceso al peso del globo en el vacío, igual que las ocho terceras partes del diámetro del globo (es decir, 2,24597 pulgadas) al espacio 2F, que será, por tanto, de 4,4256 pulgadas.

El globo en un segundo, con todo su peso de 15613⁄38 granos cayendo en el vacío, describe 193⅓ pulgadas; y en el tiempo G, que es a un segundo como la raíz cuadrada del espacio F, es decir, como 2,2128 pulgadas a 95,219 pulgadas, describirá 2,2128 pulgadas, y adquirirá la velocidad máxima H con la que puede descender en el agua. Por tanto, el tiempo G es de 0,15244 segundos. Y en este tiempo G, con la susodicha velocidad máxima H, el globo describirá el espacio 2F de 4,4256 pulgadas; y por tanto, en un tiempo de 4 segundos describirá un espacio de 116,1245 pulgadas. Réstese el espacio de 1,3862944F o de 3,0676 pulgadas, y quedará un espacio de 113,0569 pulgadas, que describirá el globo cayendo en agua en un vaso muy ancho y en un tiempo de 4 segundos. Este espacio, por la estrechez del vaso de madera antedicho, debe disminuirse en una razón que está compuesta de la razón de la raíz cuadrada del orificio del vaso al exceso de este orificio sobre el semicírculo máximo del globo y de la razón simple del mismo orificio a su exceso sobre el círculo máximo del globo, o sea, en la razón de 1 a 0,9914. Hecho esto, se tendrá un espacio de 112,08 pulgadas, que según la teoría debería haber descrito el globo cayendo en el agua en dicho vaso de madera en un tiempo de 4 segundos, muy aproximadamente. Y según el experimento describió 112 pulgadas.

EXPERIMENTO 2. Tres globos iguales, cuyos pesos eran de 76⅓ granos cada uno en el aire, y de 51⁄16 granos en el agua, se dejaron caer sucesivamente; y cada uno cayó en el agua en el tiempo de 15 segundos, describiendo en su caída la altura de 112 pulgadas.

Haciendo un cálculo, resulta un peso del globo en el vacío de 765⁄12 granos, el exceso de este peso sobre el peso en el agua de 7117⁄48 granos, el diámetro del globo de 0,81296 pulgadas, las ocho terceras partes de este diámetro 2,16789 pulgadas, el espacio 2F de 2,3217 pulgadas, el espacio que describirá el globo cayendo con un peso de 51⁄16 granos sin resistencia en el tiempo de un segundo será de 12,808 pulgadas, y el tiempo G será 0″,301056. Por tanto, el globo, con la máxima velocidad que puede recibir de la fuerza de un peso de 51⁄16 granos y con la cual descendería, recorrerá un espacio de 2,3217 pulgadas en el tiempo de 0″,301056, y en un tiempo de 15″, recorrerá un espacio de 115,678 pulgadas. Réstese el espacio 1,3862944F, o sea, 1,609 pulgadas y quedará un espacio de 114,069 pulgadas, que debería recorrer el globo en el mismo tiempo al caer en un vaso muy ancho. Por la estrechez de nuestro vaso debe restarse un espacio de aproximadamente 0,895 pulgadas. Y entonces quedará un espacio de 113,174 pulgadas, que es lo que, según la teoría, debió recorrer cayendo en este vaso en un tiempo de 15 segundos. Pero describió según el experimento 112 pulgadas. La diferencia es inapreciable.

EXPERIMENTO 3. Tres globos iguales, cuyos pesos eran de 121 granos cada uno en el aire, y de 1 grano en el agua, se dejaron caer sucesivamente; y caían en el agua en tiempos de 46, 47 y 50 segundos, describiendo la altura de 112 pulgadas.

Según la teoría estos globos debieron caer en un tiempo de 40 segundos aproximadamente. Creo que no es determinable por qué cayeron más lentamente, si fue debido a la menor proporción de resistencia que se sigue de la fuerza de inercia en los movimientos lentos respecto a la resistencia que surge de otras causas, o si más bien ha de atribuirse a algunas burbujas adheridas al globo, o a la rarefacción de la cera por el calor tanto del ambiente como de la mano que dejaba caer el globo, o quizá también a errores insensibles al pesar los globos en agua. Por todo ello el peso del globo en agua debe ser de varios granos para que el experimento sea cierto y digno de confianza.

EXPERIMENTO 4. Inicié los experimentos descritos hasta aquí, con el fin de investigar las resistencias de los fluidos, antes de elaborar la teoría expuesta en las Proposiciones recién expuestas. Después, para examinar la teoría recién hallada, me procuré un vaso de madera de una anchura interna de 82⁄3 pulgadas y de una profundidad de 15⅓ pies. A continuación construí cuatro globos de cera con plomo incluido, cada uno de un peso de 139¼ granos en el aire, y de 7⅛ granos en el agua. Y los deje caer de modo que pudiera medir los tiempos de caída en el agua mediante un péndulo oscilante ajustado a oscilaciones de medios segundos. Los globos, mientras los pesaba y después caían, estaban fríos y permanecían fríos durante algún tiempo; porque el calor enrarece un tanto la cera y por esa rarefacción el peso del globo en el agua disminuye, y la cera enrarecida no se reduce instantáneamente por el frío a la densidad anterior. Antes de dejarlos caer los sumergía completamente en el agua, para que su descenso inicial no se viese acelerado por el peso de alguna parte situada fuera del agua. Y cuando estaban completamente sumergidos y en reposo, eran soltados con todo cuidado para que no recibiesen impulso alguno procedente de la mano que los soltaba. Cayeron, pues, sucesivamente en los tiempos de 47½, 48½, 50 y 51 oscilaciones, describiendo una altura de 15 pies y 2 pulgadas. Pero el ambiente estaba un poco más frío que cuando se pesaban los globos, de modo que repetí el experimento otro día, y los globos cayeron en tiempos de 49, 49½, 50 y 53 oscilaciones, y un tercero en tiempos de 49½, 50, 51 y 53 oscilaciones. Y repetido varias veces el experimento, los globos cayeron en la mayor parte de las veces en tiempos de 49½ y 50 oscilaciones. Cuando cayeron más lentamente sospecho que fueron retardados por los choques con los costados del vaso.

Haciendo ahora el cálculo según la teoría, resulta un peso del globo en el vacío de 139⅖ granos. El exceso de este peso sobre el peso del globo en el agua de 13211⁄40 granos. El diámetro del globo de 0,99868 pulgadas. Las ocho terceras partes del diámetro 2,66315 pulgadas. El espacio 2F de 2,8066 pulgadas. El espacio que describe el globo cayendo sin resistencia con el peso de 7⅛ granos en el tiempo de un segundo de 9,88164 pulgadas. Y el tiempo G de 0″,376843. Por lo tanto, el globo, con la velocidad máxima con que puede descender en el agua con la fuerza del peso de 7⅛ granos en el tiempo de 0″,376843 describe un espacio de 2,8066 pulgadas, y en el tiempo de 1″ un espacio de 7,44766 pulgadas, y en el tiempo de 25″, o de 50 oscilaciones, un espacio de 186,1915 pulgadas. Réstese el espacio 1,386294F, o 1,9454 pulgadas, y quedará un espacio de 184,2461 pulgadas, que describirá el globo en el mismo tiempo en un vaso muy ancho. Por la estrechez de nuestro vaso disminúyase este espacio en una razón que esté compuesta ce la raíz cuadrada de la razón del orificio del vaso al exceso de este orificio sobre el semicírculo máximo del globo, y de la razón simple del mismo orificio a su exceso sobre el círculo máximo del globo; y se tendrá un espacio de 181,86 pulgadas, que debió describir el globo aproximadamente, según la teoría, en el tiempo de las 50 oscilaciones. Y describió, según el experimento, 182 pulgadas en el tiempo de 49½ o de 50 oscilaciones.

EXPERIMENTO 5. Cuatro globos de 154⅜ granos de peso en el aire y de 21½ granos en el agua, soltados muchas veces, caían en tiempos de 28½, 29, 29½ y 30 oscilaciones, y algunas veces de 31, 32 y 33, describiendo una altura de 15 pies y 2 pulgadas.

Según la teoría debieron caer en un tiempo de 29 oscilaciones muy aproximadamente.

EXPERIMENTO 6. Cinco globos de 212⅜ granos de peso en el aire y de 79½ en el agua, soltados muchas veces, caían en tiempos de 15, 15½, 16, 17 y 18 oscilaciones, describiendo una altura de 15 pies y 2 pulgadas.

Según la teoría debieron caer en un tiempo muy aproximado al de 15 oscilaciones.

EXPERIMENTO 7. Cuatro globos de 293⅜ granos de peso en el aire y de 35⅞ granos en el agua, soltados muchas veces, caían en tiempos de 29½, 30, 30½, 31, 32 y 33 oscilaciones describiendo una altura de 15 pies y 1½ pulgadas.

Según la teoría debieron caer en un tiempo muy aproximado al de 28 oscilaciones.

Indagando la causa de que globos del mismo peso y magnitud cayeran unos más lentos y otros más rápidos, di con la siguiente; los globos, tan pronto como se soltaban y empezaban a caer, oscilaban en torno a sus centros, cayendo por delante el lado que por casualidad fuese más pesado, generando un movimiento de oscilación. Pero, el globo por sus oscilaciones comunica al agua un movimiento mayor que si descendiese sin oscilar; y al comunicarlo pierde una parte de su propio movimiento con el cual debía descender: y según la mayor o menor oscilación, se retarda más o menos. Pero además, el globo siempre se desvía del lado que desciende por oscilación, y desviándose se aproxima a los costados del vaso y, a veces, choca con ellos. Y esta oscilación es más fuerte en los globos más graves, y en los más grandes agita más el agua. Por lo cual, para que la oscilación de los globos fuese menor, construí nuevos globos de cera y plomo, incrustando el plomo en un costado del globo cerca de su superficie; y solté el globo de tal forma que el lado más grave en la medida de lo posible, estuviese debajo desde el principio del descenso. Así, las oscilaciones resultantes son mucho menores que antes, y los globos cayeron en tiempos mucho menos desiguales, como en los experimentos siguientes.

EXPERIMENTO 8. Cuatro globos de 139 granos de peso en el aire y 6½ en el agua, soltados muchas veces, cayeron en tiempos de no más de 52 oscilaciones y no menos de 50, y la mayor parte de las veces en tiempos de casi 51, describiendo una altura de 182 pulgadas.

Según la teoría debieron caer en un tiempo de casi 52 oscilaciones.

EXPERIMENTO 9. Cuatro globos de 273¼ granos en el aire y de 140¾ en el agua, soltados muchas veces, cayeron en tiempos, no menores de 12 oscilaciones y no mayores de 13, describiendo una altura de 182 pulgadas.

Según la teoría estos globos debieron caer en un tiempo muy aproximado a 11⅓ oscilaciones.

EXPERIMENTO 10. Cuatro globos de un peso de 384 granos en el aire y 119½ en el agua, soltados muchas veces, caían en tiempos de 171⁄7, 18, 18½ y 19 oscilaciones, describiendo una altura de 181½ pulgadas. Y cuando cayeron en un tiempo de 19 oscilaciones, pude oír algunas veces su golpear sobre los costados del vaso antes de que llegasen al fondo.

Pero según la teoría debieron caer en un tiempo de 155⁄9 oscilaciones muy aproximadamente.

EXPERIMENTO 11. Tres globos iguales de un peso de 48 granos en el aire y 329⁄32 en el agua, soltados muchas veces, cayeron en tiempos de 43½, 44, 44½, 45 y 46 oscilaciones, y la mayor parte de las veces 44 y 45 oscilaciones, describiendo una altura de 182½ pulgadas aproximadamente.

Según la teoría debieron caer en un tiempo de 465⁄9 oscilaciones muy aproximadamente.

EXPERIMENTO 12. Tres globos iguales de un peso de 141 granos en el aire y de 4⅜ en el agua, soltados algunas veces, cayeron en tiempos de 61, 62, 63, 64 y 65 oscilaciones, describiendo una altura de 182 pulgadas.

Y según la teoría debieron caer en un tiempo de 64½ oscilaciones muy aproximadamente.

Con estos experimentos se pone en evidencia que cuando los globos cayeron más lentamente, como en los Experimentos segundo, cuarto, quinto, octavo, undécimo y duodécimo, la teoría representa correctamente los tiempos de caída; pero cuando los globos cayeron más velozmente, como en los Experimentos sexto, noveno y décimo, se da una resistencia algo mayor que en razón del cuadrado de la velocidad. Pues los globos, mientras caen, oscilan un tanto; y esta oscilación en los globos más ligeros y que caen más lentamente cesa muy pronto, por ser los movimientos más débiles; pero en los más graves y mayores dura más tiempo por ser los movimientos más fuertes, y solamente tras muchas oscilaciones puede ser detenido por el agua que los rodea. Además, cuanto más veloces son los globos tanto menos son presionados en su parte posterior por el fluido; y si la velocidad se aumentase continuamente, al final acabarían por dejar a sus espaldas un espacio vacío, salvo que la compresión del fluido se aumentase a la vez. Pues la compresión del fluido (por las Proposiciones XXXII y XXXIII) debe aumentarse en razón del cuadrado de la velocidad para que la resistencia siga en la misma razón cuadrada. Al no ocurrir esto, los globos más veloces son presionados por detrás un poco menos, y por la falta de esta presión, su resistencia se torna un poco mayor que en razón del cuadrado de la velocidad.

Por consiguiente, la teoría se ajusta a los fenómenos de caídas de cuerpos en el agua, y sólo falta examinar los fenómenos de las caídas en el aire.

EXPERIMENTO 13. En la ciudad de Londres en el mes de junio del año 1710 desde la cúpula de la iglesia de San Pablo se soltaron dos globos a la vez, uno lleno de mercurio y el otro lleno de aire; y al caer describían una altura de 220 pies londinenses. Una tabla de madera estaba suspendida por uno de sus extremos por unas bisagras de hierro y por el otro se apoyaba en un soporte de madera; y los dos globos colocados encima de la tabla se dejaban caer a la vez, tirando del soporte de madera mediante un cable de hierro lanzado hasta el suelo, de suerte que la tabla sostenida solamente por las bisagras de hierro girase sobre ellas, y en el mismo instante un péndulo que oscilaba al segundo con un tirón sobre el susodicho cable de hierro la hacía caer y empezaba a oscilar. Los diámetros y los pesos de los globos y los tiempos de caída se exponen en la tabla siguiente.

Por lo demás, los tiempos observados deben corregirse. Pues los globos de mercurio (por la teoría de Galileo) describirán en cuatro segundos 257 pies londinenses, y 220 pies en sólo 3″ 42‴. Efectivamente la tabla de madera, al quitar el soporte, giraba más lentamente que lo que se requería y con la lentitud de su giro impedía la caída de los globos en el inicio de la misma. Pues los globos reposaban casi en el centro de la tabla y hasta estaban un poco más cerca del eje de la misma que del soporte. Y por eso, los tiempos de caída se alargaron casi 18 minutos terceros, y ahora hay que corregir restando dichos minutos terceros, sobre todo en los globos mayores que por causa de su mayor diámetro reposaban un poco más sobre la tabla giratoria. Una vez hecho esto, los tiempos en que cayeron los seis globos mayores resultan ser 8″ 12‴, 7″ 42‴, 7″ 42‴, 7″ 57‴, 8″ 12‴ y 7″ 42‴.

Globos llenos de mercurio Globos llenos de aire Pesos Diámetros Tiempos de caída Pesos Diámetros Tiempos de caída granos pulgadas segundos granos pulgadas segundos 908 0,8 4 510 5,1 8½ 983 0,8 4- 642 5,2 8 866 0,8 4 599 5,1 8 747 0,75 4+ 515 5,0 8¼ 808 0,75 4 483 5,0 8½ 784 0,75 4+ 641 5,2 8

Por tanto, el quinto de los globos llenos de aire, construido con un diámetro de cinco pulgadas y un peso de 483 granos, cayó en un tiempo de 8″ 12‴, describiendo una altura de 220 pies. El peso del agua igual a este globo es de 16 600 granos; y el peso del aire igual al dicho globo es de 16600 / 860 granos o también de 193⁄6 granos y, por tanto, el peso del globo en el vacío es de 5023⁄10 granos, y este peso es al peso del aire igual al globo como 5023⁄10 a 193⁄10, y como 2F a las ocho terceras partes del diámetro del globo, es decir, a 13⅓ pulgadas. De donde 2F resulta ser de 28 pies y 11 pulgadas. El globo cayendo en el vacío con todo su peso de 5023⁄10 granos en el tiempo de un segundo describirá 193⅓ pulgadas, como antes, y con el peso de 483 granos describirá 185,905 pulgadas, y con el mismo peso de 483 granos también describirá en el vacío el espacio F, o 14 pies y 5½ pulgadas en el tiempo de 57‴ 58″″, y adquiere la máxima velocidad con que puede descender en el aire. Con esta velocidad el globo, en el tiempo de 8″ 12‴, describirá un espacio de 245 pies y 5⅓ pulgadas. Réstese 1,3863F, o 20 pies y ½ pulgada, y quedarán 225 pies y 5 pulgadas. Por lo tanto, el globo, en un tiempo de 8″ 12‴ debió describir en su caída, según la teoría, el susodicho espacio. Y describió, según el experimento, un espacio de 220 pies. La diferencia es inapreciable.

Aplicando cálculos análogos a los otros globos llenos de aire, construí la tabla siguiente.

Pesos de los globos Diámetros Tiempo de caída desde 220 pies Espacios a describir según teoría Excesos sobre cálculo granos pulgadas segundos terceros pies pulgadas pies pulgadas 510 5,1 8 12 226 11 6 11 642 5,2 7 42 230 9 10 9 599 5,1 7 42 227 10 7 10 515 5 7 57 224 5 4 5 483 5 8 12 225 5 5 5 641 5,2 7 42 230 7 10 7

EXPERIMENTO 14. En el año 1719, en el mes de julio, el Sr. Desaguliers de nuevo inició experimentos de éstos construyendo esferas con vejigas de puercos mediante una esfera cóncava de madera en la que se introducían humedecidas y luego tenían que llenar inflándolas con aire; una vez secas y extraídas se las dejó caer del punto más alto de la linterna de la cúpula del susodicho templo, o sea de una altura de 272 pies, y a la vez se soltaba un globo de plomo de casi dos libras romanas. Mientras tanto, algunas personas situadas en lo más alto del templo, donde los globos eran soltados, anotaban los tiempos totales de caída, a la vez que otras personas en el suelo anotaban la diferencia de tiempos entre la caída del globo de plomo y la caída de la vejiga. Los tiempos se medían mediante péndulos que oscilaban en medios segundos. De los que estaban en el suelo, uno tenía un reloj con muelle que vibraba cuatro veces por segundo; otro tenía otra máquina de péndulo hecha con precisión que también vibraba cuatro veces por segundo. Y una máquina similar tenía uno de los que estaban en lo alto del templo. Y estas máquinas estaban hechas de modo que sus movimientos se iniciaban o se paraban a voluntad. Pues bien, el globo de plomo caía en un tiempo de cuatro segundos y cuarto aproximadamente. Añadiendo este tiempo a la diferencia antedicha de tiempos, se obtenía el tiempo total de caída de la vejiga. Los tiempos en los cuales cayeron las cinco vejigas la primera vez después de la caída del globo de plomo eran, 14¾ segundos, 12¾ segundos, 14⅝ segundos, 17¾ segundos y 16⅞ segundos, mientras que en la segunda vez fueron de 14½ segundos, 14¼ segundos, 14 segundos, 19 segundos y 16¾ segundos. Añádase el tiempo de cuatro segundos y cuarto en el cual cayó el globo de plomo y los tiempos totales en los cuales las cinco vejigas vinieron a caer fueron, en la primera vez 19, 17, 18⅞, 22 y 21⅛ segundos respectivamente, y en la segunda vez 18¾, 18½, 18¼, 23¼ y 21 segundos. Los tiempos observados en lo alto del templo eran la primera vez de 19¾, 17¼, 18¾, 22⅛ y 21⅝ segundos, mientras que la segunda vez eran de 19, 18⅝, 18⅜, 24 y 21¼ segundos. Por lo demás, las vejigas no caían siempre en línea recta, sino que algunas veces revoloteaban y oscilaban de aquí para allá mientras caían. Y con estos movimientos los tiempos de caída se alargaron y aumentaron, a veces, en medio segundo y, a veces, en un segundo completo. Caían más directamente las vejigas segunda y cuarta la primera vez; y la primera y la tercera la segunda vez. La vejiga quinta era rugosa y por causa de las rugosidades se retardaba un tanto. Obtenía los diámetros de las vejigas de sus circunferencias medidas con un hilo muy fino que daba dos vueltas. Y comparé la teoría con los experimentos en la tabla siguiente, suponiendo que la densidad del aire es a la del agua de lluvia como 1 a 860 y calculando los espacios que los globos debían recorrer en su caída según la teoría.

Peso de las vejigas Diámetro de las vejigas Tiempo de caída desde 272 pies Espacios a recorrer según teoría Diferencias entre teoría y experimentos granos pulgadas segundos pies pulgadas pies pulgadas 128 5,28 19 271 11 -0 1 156 5,19 17 272 0½ +0 0½ 137½ 5,3 18½ 272 7 +0 7 97½ 5,26 22 277 4 +5 4 99⅛ 5 21⅛ 282 0 +10 0

Por tanto, la resistencia de los globos en movimiento, tanto en el aire como en el agua, es adecuada y correctamente representada por nuestra teoría y es proporcional a la densidad de los fluidos a iguales velocidades y magnitudes de los globos.

En el Escolio subsiguiente a la Sección sexta hemos mostrado mediante los experimentos con péndulos que las resistencias de globos iguales e igualmente veloces en el aire, en el agua, y en el mercurio son como las densidades de los fluidos. Aquí mostramos lo mismo de modo más preciso mediante experimentos con cuerpos que caen en el aire y en el agua. Pues los péndulos en cada oscilación suscitan un movimiento en el fluido siempre contrario al movimiento de regreso del péndulo, y con la resistencia debida a este movimiento así como con la resistencia del hilo del que se suspendía el péndulo, la resistencia total del mismo venía a ser mayor que la resultante de los experimentos de cuerpos cayendo. Pues por los experimentos de péndulos expuestos en dicho Escolio, un globo de la misma densidad que el agua, describiendo en el aire la longitud de su movimiento, sólo tendría que perder de su movimiento 1 / 3342 parte. Pero según la teoría expuesta en esta Sección séptima confirmada con los experimentos de cuerpos que caen, el mismo globo describiendo la misma longitud sólo debería perder de su movimiento 1 / 4586 parte, en el supuesto de que la densidad del agua fuese a la densidad del aire como 860 a 1. Por consiguiente, las resistencias resultaron mayores por los experimentos de los péndulos (por las causas ya dichas) que por los experimentos de los globos que caen, y esto casi en una razón de 4 a 3. Sin embargo, puesto que las resistencias de los péndulos oscilantes en aire, agua o mercurio se ven incrementadas igualmente por iguales causas, la proporción de las resistencias en tales medios se podrá representar con bastante exactitud tanto mediante experimentos con péndulos como con experimentos con cuerpos que caen. Y de ahí se puede concluir que la resistencia de los cuerpos en cualesquiera fluidos, incluso en los más fluidos, siendo iguales las demás circunstancias, son como las densidades de los fluidos.

Una vez establecido esto, se puede ahora tratar de qué parte de su movimiento perderá aproximadamente un globo en un tiempo dado, si se proyecta a través de un fluido cualquiera. Sea D el diámetro del globo, V su velocidad al inicio del movimiento, y T el tiempo en el cual el globo, con la velocidad V, describirá en el vacío un espacio que sea al espacio 8⁄3D como la densidad del globo a la densidad del fluido: y el globo proyectado en dicho fluido, en otro tiempo cualquiera t, perderá la parte tV / T + t, manteniendo la parte TV / T + t, y describirá un espacio que será al descrito en el mismo tiempo con velocidad uniforme en el vacío como el logaritmo del número T + t / T, multiplicado por el número 2,302585093, es al número t / T, por el Corolario 7 de la Proposición XXXV. En los movimientos lentos la resistencia puede ser algo menor, por cuanto la figura del globo resulte algo más apta para el movimiento que la de un cilindro descrito con el mismo diámetro. En movimientos veloces, la resistencia puede ser algo mayor, toda vez que la elasticidad y la compresión del fluido no aumentan en razón del cuadrado de la velocidad. Pero no me detengo en estos detalles.

Y aunque el aire, el agua, el mercurio y otros fluidos semejantes, por división hasta el infinito de sus partes, se hiciesen más sutiles y viniesen a ser medios infinitamente fluidos, no por eso resistirían menos a los globos proyectados. Pues la resistencia de que se trata en las Proposiciones anteriores procede de la inercia de la materia; y la inercia de la materia es esencial a los cuerpos y proporcional siempre a la cantidad de materia. Ciertamente se puede disminuir la resistencia que procede de la tenacidad y fricción de las partes mediante la división de las partes de un fluido: pero la cantidad de materia no disminuye por la división de sus partes; y manteniéndose la cantidad de materia, se mantiene su fuerza de inercia a la cual es siempre proporcional la resistencia de la que aquí se trata. Para que dicha resistencia disminuya debe disminuir la cantidad de materia en los espacios a cuyo través se mueven los cuerpos. Y por eso, los espacios celestes, por los que los globos de los planetas y los cometas se mueven siempre libremente en todas direcciones y sin ninguna disminución sensible de movimiento, carecen de todo fluido corpóreo, salvo acaso algunos vapores sumamente tenues y los rayos de luz.

También los proyectiles al desplazarse suscitan movimiento en los fluidos, y este movimiento surge del exceso de presión del fluido en las partes anteriores del proyectil sobre la presión en sus partes posteriores y no puede ser menor en medios infinitamente fluidos que en el aire, en el agua, y en el mercurio según la densidad de la materia de cada uno. Ahora bien, este exceso de presión, en razón de su cantidad, no sólo suscita movimiento en el fluido, sino que también actúa sobre el proyectil retardando su movimiento: y por eso, la resistencia en todo fluido es como el movimiento suscitado en el fluido por el proyectil, y no puede ser menor en el éter más sutil en razón de la densidad del éter, que en el aire, en el agua, o en el mercurio, en razón de las densidades de dichos fluidos.