Sección III. Del movimiento de los cuerpos en secciones conicas excentricas

Sección III DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS EN SECCIONES CÓNICAS EXCÉNTRICAS

PROPOSICIÓN XI. PROBLEMA VI

Si un cuerpo gira en una elipse, hallar la ley de la fuerza centrípeta tendente al foco de la elipse.

Sea S el foco de la elipse. Trácese SP secante tanto del diámetro DK de la elipse en E como de la ordenada Qv en x y complétese el paralelogramo QxPR. Es evidente que EP es igual al semieje mayor AC dado que trazada desde el otro foco H la línea HI paralela a la propia EC, por ser iguales CS, CH, son iguales ES, El, igual que EP es la semisuma de PS, PI, esto es (por ser paralelas HI, PR e iguales los ángulos IPR, HPZ) de PS, PH que conjuntamente son iguales a todo el eje 2AC. Trácese la perpendicular QT sobre SP y llamando L al «latus rectum» principal de la elipse (o sea 2BC2 / AC), L·QR será a L·Pv como QR a Pv, esto es como PE o AC a PC; y L·Pv será a GvP como L a Gv; y GvP será a Qv2 como PC2 a CD2 y (por el Corolario 2 del Lema VII), al coincidir Q y P, ocurrirá que Qv2 será igual a Qx2; y Qx2 o Qv2 es a QT2 como EP2 a PF2, esto es, como CA2 a PF2 o también (por el Lema XII) como CD2 a CB2, y multiplicando todas estas razones L·QR será a QT2 como AC·L PC2·CD2 o también como 2CB2·PC2·CD2 a PC·Gv·CD2·CB2, o bien, como 2PC a Gv. Pero al coincidir los puntos Q y P ocurre que 2PC es igual a Gv. Luego también se igualan L·QR y QT2 por ser proporcionales a aquéllos. Multiplicando ahora estos iguales por SP2 / QR tendremos que L·SP2 es igual a SP2 · QT2 / QR. Luego (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como L·SP2, esto es, inversamente como el cuadrado de la distancia SP. Q. E. I.

Lo mismo de otro modo[22].

Puesto que la fuerza tendente al centro de una elipse, por la que un cuerpo P puede girar en dicha elipse, es (por el Corolario 1 de la Proposición X) como la distancia CP del cuerpo al centro de la elipse; trácese CE paralela a la tangente de la elipse PR; y la fuerza por la que el cuerpo P puede girar en torno a otro punto cualquiera S, si CE y PS se cruzan en E, será como PE3 / SP2 (Por el Corolario 3 de la Proposición VII), esto es, si el punto S es foco de la elipse y, por tanto, PE está dado, como el inverso de SP2. Q. E. I.

Con la misma brevedad con que aplicábamos el problema quinto a la parábola y a la hipérbola podríamos hacerlo aquí. Pero dada la dignidad del problema y su utilidad en lo sucesivo no hay inconveniente en confirmar mediante demostración los demás casos.

PROPOSICIÓN XII. PROBLEMA VII

Si un cuerpo se mueve en una hipérbola, hállese la ley de la fuerza centrípeta tendente al foco de la figura.

Sean CA, CB los semiejes de la hipérbola; sean PG, KD otros diámetros conjugados; PF una perpendicular al diámetro KD; y Qv una ordenada al diámetro GP. Trácese SP secante del diámetro DK en E y de la ordenada Qv en x, y complétese el paralelogramo QRPx. Es evidente que EP es igual al semieje transverso Ac, puesto que trazada la línea HI, paralela a EC, desde el otro foco H de la hipérbola, por la igualdad de CS y CH serán iguales ES y EI; además porque EP es la semidiferencia de PS, PI esto es (por el paralelismo de IH, PR y la igualdad de los ángulos IPR, HPZ) de PS, PH, cuya diferencia es igual a todo el eje 2AC. Trácese QT perpendicular a SP. Llamando L al «latus rectum» principal de la hipérbola (o 2BC2 / AC) tendremos L x QR / L x Pv= QR / Pv= Px / Pv esto es (por la semejanza de los triángulos Pxv, PEC) PE / PC= AC / PC. Y también L x Pv / Gv x Pv= L / Gv; y (por la naturaleza de las cónicas), el rectángulo Gv x vP / Qv2= PC2 / CD2; y (por el corolario 2 del lema VII) cuando P y Q coinciden Qx2= Qv2; y Qx2 / QT2, o Qv2 / QT2= EP2 / PF2= CA2 / PF2 o (por el lema XII)= CD2 / CB2 y multiplicando (ordenadamente) todas estas razones resultara que L x QR / QT2= AC x L x PC2 x CD2 / PC x Gv x CD2 x CB2= 2CB2 x PC2 x CD2 / PC x Gv x CD2 x CB2= 2PC / Gv. Pero al coincidir P y Q resulta que 2PC=Gv. Luego también se igualan L x QR y QT2 proporcionales a los anteriores. Multiplicando estas igualdades por SP2 / QR tendremos que L x SP2= SP2 x QT2 / QR. Luego (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como L x SP2, es decir, inversamente como el cuadrado de la distancia SP. Q. E. I.

Lo mismo de otra manera

Hállese la fuerza que parte desde el centro C de la hipérbola. Será proporcional a la distancia CP. Por ello la fuerza tendente al foco S será (por el Corolario 3 de la Proposición VIII) como PE3 / SP2 esto es, por estar dada PE, inversamente como SP2. Q. E. I.

Del mismo modo se demuestra que un cuerpo cuya fuerza centrípeta se cambia en centrífuga se moverá en una hipérbola opuesta.

LEMA XIII

El «latus rectum» correspondiente a un vértice cualquiera de una parábola es cuatro veces la distancia de dicho vértice al foco de la figura.

Es evidente por las cónicas.

LEMA XIV

La perpendicular que se traza desde el foco de una parábola a su tangente es media proporcional entre las distancias desde el foco al punto de contacto y al vértice principal de la figura.

Sea AP la parábola, S su foco, A el vértice principal, P el punto de contacto, PO la ordenada al diámetro principal, PM la tangente al diámetro principal concurrente en M, y SN la perpendicular desde el foco a la tangente. Únanse A, N y por la igualdad de MS y SP, MN y NP, MA y AO; las rectas AN y OP serán paralelas; y por tanto el triángulo SAN será rectángulo en A y semejante a los triángulos iguales SNM, SNP; luego PS es a SN como SN a SA. Q. E. D.

COROLARIO 1. PS2 es a SN2 como PS a SA.

COROLARIO 2. Y por estar dada SA, SN2 es como PS.

COROLARIO 3. Y el cruce de una tangente cualquiera PM con la recta SN que le es perpendicular desde el foco, incide sobre la recta AN que es tangente a la parábola en el vértice principal.

PROPOSICIÓN XIII. PROBLEMA VIII

Si un cuerpo se mueve en el perímetro de una parábola, hállese la ley de la fuerza centrípeta tendente al foco de dicha figura.

Sea la misma figura construida para el Lema, y sea P el cuerpo en el perímetro de la parábola, y desde el punto Q, hacia el que el cuerpo se mueve, tracemos QR paralela a SP así como la perpendicular QT y la recta Qv paralela a la tangente y que corta tanto al diámetro PG en v como a SP en x. Ahora bien por la semejanza de los triángulos Pxv, SPM, y por la igualdad de los lados SM, SP de uno, son iguales los lados Px o QR y Pu del otro. Pero (por las cónicas) el cuadrado de la ordenada Qv es igual al rectángulo bajo el «latus rectum» y el segmento Pv del diámetro; esto es (por el Lema XIII) al rectángulo 4PS x Pv o 4PS x QR; y al coincidir P y Q la razón Qv a Qx (por el Corolario 2 del Lema VII) es una razón de igualdad. Luego Qx2, en tal caso, es igual al rectángulo 4PS x QR. Por tanto (por la semejanza de los triángulos QxT, SPN) Qx2 / QT2= PS2 / SN2(esto es, por el Corolario 1 del Lema XIV) PS / SA= 4PS x QR / 4SA x QR, y de aquí (por la Proposición IX del Libro V de los Elementos), QT2 = 4SA x QR. Multiplicando estas igualdades por SP2 / QR obtendremos que SP2 x QT2 / QR= SP2 x 4SA; y por esto (por los Corolarios 1 y 5 de la Proposición VI) la fuerza centrípeta es inversamente como SP2 x 4SA, esto es, por estar dado 4SA, inversamente como el cuadrado de la distancia SP. Q. E. I.

COROLARIO 1. Se sigue de las tres últimas proposiciones que si un cierto cuerpo P parte del punto P con una velocidad cualquiera según la dirección de cierta línea recta PR y bajo la acción simultánea de una fuerza centrípeta inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de los lugares al centro, dicho cuerpo se moverá en alguna de las secciones cónicas que tenga su foco en el centro de fuerzas y viceversa. Pues conocidos el foco, el punto de contacto y la posición de la tangente, se puede describir la cónica que tendrá en dicho punto una curvatura dada. Pero se da la curvatura si se da la fuerza centrípeta y la velocidad del cuerpo; y dos órbitas tangentes entre sí con la misma fuerza centrípeta y la misma velocidad no pueden describirse.

COROLARIO 2. Si la velocidad con que un cuerpo parte de su lugar P es tal que el segmento PR puede ser recorrido en una parte infinitésima de tiempo y la fuerza centrípeta es tal que en el mismo tiempo puede mover al cuerpo a lo largo del espacio QR, dicho cuerpo se moverá en una sección cónica cuyo «latus rectum» principal es la susodicha cantidad QT2 / QR en el último instante cuando las líneas PR, QR, disminuyen in infinitum. En estos Corolarios considero al círculo como una elipse; y exceptúo el caso en que el cuerpo desciende hacia el centro según una línea recta.

PROPOSICIÓN XIV. TEOREMA VI

Si varios cuerpos giran en torno a un centro común y la fuerza centrípeta es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro, digo que los «latera recta» principales de las órbitas son como los cuadrados de las áreas descritas en tiempos iguales por los radios trazados al centro.

Pues (por el Corolario 2 de la Proposición XIII) el «latus rectum» L es igual a la magnitud QT2 / QR en el último instante cuando P y Q tienden a coincidir. Pero la pequeña línea QR en un tiempo dado es como la fuerza centrípeta generatriz, esto es (por hipótesis) inversamente como SP2. Luego QT2 / QR es como QT2 x SP2, esto es, el «latus rectum» L por el cuadrado del área QT x SP. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí que el área total de la elipse así como la del rectángulo, proporcional a ella, comprendido entre los ejes es como el producto de la raíz cuadrada del «latus rectum» y el tiempo periódico. Pues el área total es como el área QT x SP, descrita en un tiempo dado, multiplicada por el tiempo periódico.

PROPOSICIÓN XV. TEOREMA VII

Supuesto esto, digo que los tiempos periódicos en las elipses son como los ejes mayores elevados a la potencia 3⁄2.

Puesto que el eje menor es media proporcional entre el eje mayor y el «latus rectum» y por tanto el rectángulo comprendido entre los ejes es como el producto de la raíz cuadrada del «latus rectum» y del eje mayor elevado a 3⁄2. Pero dicho rectángulo (por el Corolario de la Proposición XIV) es como el producto de la raíz cuadrada del «latus rectum» y del tiempo periódico. Dividamos uno y otro por la raíz cuadrada del «latus rectum» y tendremos que el tiempo periódico sigue en la misma razón que la potencia 3⁄2 del eje mayor. Q. E. D.

COROLARIO. Los tiempos periódicos en las elipses son iguales a los de los círculos, cuyos diámetros son iguales a los ejes mayores de las elipses.

PROPOSICIÓN XVI. TEOREMA VIII

Supuesto lo dicho y trazadas a los cuerpos líneas rectas tangentes también en ese punto a la órbita, y trazadas perpendiculares desde el foco común a dichas tangentes: digo que las velocidades de los cuerpos están en razón compuesta, inversamente, de las perpendiculares y, directamente, de la raíz cuadrada de los «latera recta» principales.

Tracemos desdé el foco S a la tangente PR la perpendicular SY y la velocidad del cuerpo P será inversamente como la raíz de la cantidad SY2 / L. Pues dicha velocidad es como el arco infinitamente pequeño PQ descrito en una partícula instantánea de tiempo, esto es (por el Lema VII) como la tangente PR, lo que es lo mismo, por la proporcionalidad de PR a QT y de SP a SY, como SP x QT / SY, o también, inversamente como SY y directamente como SP x QT; y SP x QT es como el área descrita en un tiempo dado, esto es (por la Proposición XIV) como la raíz cuadrada del «latus rectum». Q. E. D.

COROLARIO 1. Los «latera recta» principales están en razón compuesta de los cuadrados de las perpendiculares y del cuadrado de las velocidades.

COROLARIO 2. Las velocidades de los cuerpos en las distancias máximas y mínimas al foco común están en razón compuesta inversamente de las distancias y directamente de la raíz cuadrada de los «latera recta» principales. Pues las perpendiculares son ahora las distancias mismas.

COROLARIO 3. Y, por tanto, la velocidad en una sección cónica, en la distancia máxima o mínima al foco, es a la velocidad en un círculo, a la misma distancia del centro, como la raíz cuadrada del «latus rectum» principal al doble de dicha distancia.

COROLARIO 4. Las velocidades de los cuerpos que giran en elipses a distancias medias del foco común son iguales a las de los cuerpos que giran en círculos a las mismas distancias; esto es (por el Corolario 6 de la Proposición IV) inversamente como la raíz cuadrada de las distancias. Pues ahora las perpendiculares son semiejes menores y éstos son como las medias proporcionales entre las distancias y los «latera recta». Multiplíquense la inversa de esta razón por la raíz cuadrada de la razón directa de los «latera recta» y obtendremos la raíz cuadrada de la razón inversa de las distancias.

COROLARIO 5. En la misma figura, o incluso en figuras distintas, cuyos «latera recta» principales son iguales, la velocidad del cuerpo es inversamente como la perpendicular trazada desde el foco a la tangente.

COROLARIO 6. En una parábola la velocidad es inversamente como la raíz cuadrada de la distancia del cuerpo al foco de la figura; en una elipse varía más y en una hipérbola menos que la razón susodicha. Pues (por el Corolario 2 del Lema XIV) la perpendicular trazada desde el foco a la tangente de la parábola es como la raíz cuadrada de la distancia. En la hipérbola la perpendicular varía menos y en la elipse varía más.

COROLARIO 7. En una parábola la velocidad de un cuerpo a cualquier distancia del foco es a la velocidad de un cuerpo que gira en un círculo a la misma distancia del centro, como la raíz cuadrada de la razón de 2 a 1; en la elipse es menor que esta razón y en la hipérbola mayor. Pues, por el Corolario segundo de esta Proposición, la velocidad en el vértice de la parábola está en esta razón, y, por el Corolario 6 de esta Proposición y por la cuarta, se conserva la misma proporción en todas las distancias. Y por tanto también, en una parábola, la velocidad es en todas partes igual a la velocidad de un cuerpo que gire en un círculo a la mitad de distancia, y es menor en una elipse y mayor en una hipérbola.

COROLARIO 8. La velocidad de un cuerpo que gira en una sección cónica cualquiera es a la velocidad de un cuerpo que gira en un círculo a la distancia del semi «latus rectum» principal de la sección como dicha distancia es a la perpendicular trazada desde el foco a la tangente de la sección. Es evidente por el Corolario quinto.

COROLARIO 9. De donde, dado que (por el Corolario 6 de la Proposición IV) la velocidad de un cuerpo que gira en este círculo es a la velocidad de otro cuerpo que gira en cualquier otro círculo inversamente como la raíz cuadrada de las distancias, por lo mismo se seguirá que la velocidad de un cuerpo que gira en una sección cónica será a la velocidad de un cuerpo que gira en un círculo a la misma distancia como es la media proporcional entre dicha distancia común y la mitad del «latus rectum» principal de la sección, a la perpendicular trazada desde el foco común a la tangente de la sección.

PROPOSICIÓN XVII. PROBLEMA IX

Supuesto que la fuerza centrípeta es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de los lugares al centro y que la cantidad absoluta de dicha fuerza es conocida, hállese la línea descrita por el cuerpo desde un punto dado, con una velocidad dada y partiendo en la dirección de una recta dada.

Sea la fuerza centrípeta tendente a un punto S la fuerza con la que gira un cuerpo p en una órbita dada pq y supongamos conocida su velocidad en el punto p. Parta el cuerpo P desde el punto P según la línea PR con una velocidad dada, e inmediatamente, obligado por la fuerza centrípeta, desvíese por la sección cónica PQ. La recta PR será tangente a la sección en P. Del mismo modo, la recta pr sea tangente a la órbita pq en p y si se supone que se trazan perpendiculares a dichas tangentes desde S, ocurrirá (por el Corolario 1 de la Proposición XVI) que el «latus rectum» principal de la sección cónica estará, respecto al «latus rectum» principal de la órbita, en razón compuesta de la razón cuadrada de las perpendiculares y de la razón cuadrada de las velocidades y, por ello, está dada. Sea L el «latus rectum» de la sección. Se da también el foco S de la misma sección cónica. Sea el ángulo RPH el suplementario de RPS y tendremos dada en posición la línea PH en la que está el otro foco H. Una vez trazada la perpendicular SK sobre PH, supongamos que se traza el semieje conjugado BC y tendremos que:

SP2 - 2PH x PK + PH2 = SH2 = 4CH2 = 4(BH2 - BC2) =

(SP + PH)2 - L(SP + PH) =

SP2 + 2PS x PH + PH2 - L(SP + PH)

añádase a ambos miembros

2PK x PH - SP2 - PH2 + L(SP + PH)

y resultará

L(SP + PH) = 2PS x PH + 2PK x PH,

o también

(SP + PH) / PH= 2(SP + KP) / L

De donde tenemos dada tanto en longitud, como en posición, PH. Esto es, si la velocidad del cuerpo en P es tal que el «latus rectum» L fuera menor que 2SP + 2KP entonces PH caerá, con la línea PS, del mismo lado de la tangente PR y, por tanto, la figura será una elipse, y vendrá dada, por estar dados los focos S, H y el eje principal SP + PH. Pero si la velocidad del cuerpo es tal que el «latus rectum» L fuese igual a 2SP + 2KP la longitud de PH será infinita; y por tanto la figura será una parábola que tiene por eje a SH paralelo a la línea PK, por tanto, también estará dada. Y si el cuerpo parte de P con una velocidad aún mayor, la longitud PH estará al otro lado de la tangente y, por tanto, la tangente pasa por entre ambos focos, siendo entonces la figura una hipérbola que tiene como eje principal la diferencia de las líneas SP y PH; y por eso estará dada. Pues si el cuerpo en todos estos casos gira en una sección cónica así hallada, está demostrado en las Proposiciones XI, XII, XIII que la fuerza centrípeta será inversamente como el cuadrado de la distancia del cuerpo al centro de fuerzas S; y por tanto la línea PQ representa correctamente la trayectoria descrita por el cuerpo con semejante fuerza, partiendo de un punto dado P, con una velocidad dada y según una recta PR dada en posición. Q. E. F.

COROLARIO 1. De aquí que en toda sección cónica, dados el vértice principal D, el «latus rectum» L y el foco S, se obtiene el otro foco H, tomando DH a DS como el «latus rectum» a la diferencia entre el «latus rectum» y 4DS. Pues la proporción SP + PH / PH= 2SP + 2KP / L se convierte para este Corolario en DS + DH / DH= 4DS / L y DS / DH= 4DS - L / L.

COROLARIO 2. De donde, dada la velocidad de un cuerpo en el vértice principal D, se hallará directamente la órbita, a saber, tomando su «latus rectum» al doble de la distancia DS, en razón cuadrada de esta velocidad dada a la velocidad del cuerpo que gira en el círculo a la distancia DS (por el Corolario 3 de la Proposición XVI), y tomando después DH a DS como el «latus rectum» a la diferencia entre el «latus rectum» y 4DS.

COROLARIO 3. De aquí también que, si un cuerpo se mueve en cualquier sección cónica y es expulsado de su órbita por cualquier impulso, se puede conocer la órbita en la que continuará después su curso. Pues, componiendo el movimiento propio del cuerpo con aquel movimiento que generaría el mero impulso, se tendrá el movimiento con que partió el cuerpo impulsado de un lugar dado y según una recta dada en posición.

COROLARIO 4. Y si dicho cuerpo es perturbado continuamente por una fuerza impresa desde fuera, podemos conocer muy aproximadamente su curso calculando los cambios que en algunos puntos produce dicha fuerza y estimando a partir de la analogía de la serie los cambios continuos en los lugares intermedios[23].

ESCOLIO

Si un cuerpo P, con una fuerza centrípeta tendente a un punto dado cualquiera R, se mueve en el perímetro de una sección cualquiera dada cuyo centro sea C, y se desea hallar la ley de la fuerza centrípeta, trácese GC paralela al radio RP y cortando a la tangente PG en G; y entonces la fuerza mencionada será (por el Corolario 1 y el Escolio de la Proposición X, y por el Corolario 3 de la Proposición VII) como CG3 / RP2[24].