Sección primera. Del movimiento de los cuerpos a los que se resiste en razón de la velocidad
Sección primera DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A LOS QUE SE RESISTE EN RAZÓN DE LA VELOCIDAD
PROPOSICIÓN I. TEOREMA I
La pérdida de movimiento, debida a la resistencia, de un cuerpo al que se resiste en razón de la velocidad es como el espacio recorrido en el movimiento.
Puesto que como el movimiento perdido en cada partícula igual de tiempo es como la velocidad, esto es, como la partícula de espacio recorrido: componiendo, el movimiento perdido en el tiempo total será como el espacio total recorrido. Q. E. D.
COROLARIO. Por lo tanto, si un cuerpo desprovisto de toda gravedad se mueve en los espacios libres con la sola fuerza ínsita en él; y se dan tanto el movimiento total inicial como el movimiento restante tras recorrer algún espacio, quedará dado también el espacio total que puede recorrer el cuerpo en un tiempo infinito. Pues dicho espacio será al espacio recorrido ya como el movimiento total inicial a la parte perdida de dicho movimiento.
LEMA I
Las cantidades proporcionales a sus diferencias son continuamente proporcionales.
Sea A: A - B, como B: B - C, como C: C - D, etc.; y, al convertir, A será a B como B a C, como C a D, etc. Q. E. D.
PROPOSICIÓN II. TEOREMA II
Si se resiste a un cuerpo en razón de la velocidad y se mueve en un medio homogéneo con su sola fuerza inercial y se toman tiempos iguales, las velocidades en los momentos iniciales de cada tiempo están en progresión geométrica, y los espacios recorridos en cada tiempo son como las velocidades.
CASO 1. Divídase el tiempo en partículas iguales; y si en los comienzos de cada una de esas partículas actúa la resistencia con un único impulso que es como la velocidad: el decremento de la velocidad en cada partícula de tiempo será como la velocidad. Luego las velocidades son proporcionales a sus diferencias, y (por el Lema I del Libro II) por ello continuamente proporcionales. Por consiguiente, si con un número igual de partículas se componen cualesquiera tiempos iguales, las velocidades en los comienzos de esos tiempos serán como los términos de una progresión continua, tomados salteadamente, siempre que en cada salto se omitan igual número de términos intermedios. Pero las razones de tales términos se componen de las razones mutuas mismas de los términos intermedios repetidas igualmente, y por tanto también dichas razones compuestas son iguales entre sí. Por lo cual, las velocidades proporcionales a dichos términos están en progresión geométrica. Disminúyanse ahora aquellas partículas iguales de tiempo y auméntese su número hasta el infinito de modo que el impulso de la resistencia resulte continuo; y las velocidades al principio de tiempos iguales, siempre continuamente proporcionales, serán también en este caso continuamente proporcionales. Q. E. D.
CASO 2. Y, por partes, las diferencias de velocidades, esto es, las partes de las mismas perdidas en cada tiempo, son como los todos; ya que los espacios recorridos en cada tiempo son como las partes perdidas de las velocidades (por la Proposición I del Libro II) y por tanto también como los todos. Q. E. D.
COROLARIO. De aquí que si se traza una hipérbola BG con las asíntotas rectangulares AC, CH y AB, DG son perpendiculares a la asíntota AC, y se representa tanto la velocidad del cuerpo como la resistencia del medio, al comienzo del movimiento, mediante una línea dada AC, y un tiempo transcurrido cualquiera mediante la línea indefinida DC: el tiempo puede representarse por el área ABGD y el espacio recorrido en dicho tiempo por la línea AD. Pues si dicha área se aumenta por el movimiento del punto D uniformemente con el tiempo, la recta DC decrecerá en razón geométrica al modo de la velocidad, mientras las partes de la recta AC, descritas en tiempos iguales decrecerán en la misma razón.
PROPOSICIÓN III. PROBLEMA I
Definir el movimiento de un cuerpo al cual, mientras asciende o desciende en línea recta en un medio homogéneo, se resiste en razón de la velocidad y es urgido por una gravedad uniforme.
Para el cuerpo ascendente, represéntese la gravedad por un rectángulo cualquiera dado BACH, y la resistencia del medio al comienzo del ascenso por el rectángulo BADE tomado al lado contrario de la recta AB. Con las asíntotas rectangulares AC, CH, trácese por el punto B una hipérbola que corte a las perpendiculares DE, de, en G, g; y el cuerpo al ascender en el tiempo DGgd recorrerá el espacio EGge, y en el tiempo DGBA el espacio de todo el ascenso EGB; en el tiempo ABKI el espacio de descenso BFK y en el tiempo IKki el espacio de descenso KFƒk; y las velocidades del cuerpo (proporcionales a la resistencia del medio) en esos períodos de tiempo serán ABED, ABed, nula, ABFI, ABƒi, respectivamente; y la velocidad máxima que puede adquirir el cuerpo al descender será BACH.
Pues, descompóngase el rectángulo BACH en innumerables rectángulos, Ak, Kl, Lm, Mn, etc., que sean como los incrementos de las velocidades producidos en los correspondientes tiempos iguales; y entonces, cero, Ak, Al, Am, An, etc., serán como las velocidades totales y, por tanto (por hipótesis) como las resistencias del medio al principio de cada tiempo igual. Hágase AC a AK o ABHC a ABkK como la fuerza de la gravedad a la resistencia al comienzo del segundo tiempo, y réstese de la fuerza de gravedad las de las resistencias, y ABHC, KkHC, LlHC, MmHC, etc., seguirán siendo como las fuerzas absolutas con las cuales el cuerpo es urgido al comienzo de cada uno de los tiempos, y por tanto (por la Ley II del movimiento) como los incrementos de las velocidades, esto es, como los rectángulos Ak, Kl, Lm, Mn, etc., y por ello (por el Lema I del Libro II) en progresión geométrica. Por lo cual, si las rectas Kk, Ll, Mm, Nn, etc., al prolongarse cortan a la hipérbola en q, r, s, t, etc., las áreas ABqK, KgrL, LrsM, MstN, etc., serán iguales y, por tanto, análogas a tiempos y fuerzas gravitatorias iguales. Pero el área ABqK (por el Corolario 3 del Lema VII, y el Lema VIII del Libro I) es al área Bkq como Kq a ½kq o como AC a ½AK, esto es, como la fuerza de la gravedad a la resistencia en la mitad del tiempo primero. Y por un argumento similar las áreas gKLr, rLMs, sMNt, etc., son a las áreas qklr, rlms, smnt, etc., como las fuerzas de gravedad a las resistencias en la mitad de los tiempos segundo, tercero, cuarto, etc. Por lo tanto, puesto que las áreas iguales BAKg, gKLr, rLMs, sMNt, etc., son análogas a las fuerzas de gravedad, las áreas Bkq, qklr, rlms, smnt, etc., serán análogas a las resistencias en la mitad de cada tiempo, esto es (por hipótesis) a las velocidades y, por ello, análogas a los espacios recorridos. Tómense las sumas de las cantidades análogas y las áreas Bkq, Blr, Bms, Bnt, etc., serán análogas a los espacios totales recorridos; lo mismo que las áreas ABqK, ABrL, ABsM, ABrN, etc., a los tiempos. Por tanto, un cuerpo mientras desciende describe en un tiempo cualquiera ABrL el espacio Blr, y en un tiempo LrtN un espacio rlnt. Q. E. D. Semejante es la demostración para un movimiento ascendente. Q. E. D.
COROLARIO 1. Por tanto, la mayor velocidad que puede adquirir un cuerpo al caer es a la velocidad adquirida en un tiempo dado como la fuerza dada de la gravedad por la que es urgido continuamente es a la fuerza de resistencia que se le opone al final de dicho tiempo.
COROLARIO 2. Y si el tiempo aumenta en progresión aritmética, la suma de dicha velocidad máxima y de la velocidad en ascenso, así como su diferencia en descenso, decrece en progresión geométrica.
COROLARIO 3. Y también las diferencias de los espacios recorridos en iguales diferencias de tiempos decrecen en la misma progresión geométrica.
COROLARIO 4. El espacio recorrido por el cuerpo es la diferencia de dos espacios, uno de los cuales es como el tiempo tomado desde el inicio de la caída, y el otro, como la velocidad, los cuales, por cierto, son iguales entre sí al inicio del descenso.
PROPOSICIÓN IV. PROBLEMA II[1]
Supuesto que la fuerza de la gravedad sea uniforme en un medio homogéneo cualquiera y que tienda perpendicularmente hacia el plano horizontal; definir en dicho medio el movimiento de un proyectil que sufre una resistencia proporcional a la velocidad.
Parta un proyectil desde un lugar cualquiera D según una recta cualquiera DP, y represente la longitud DP su velocidad al comienzo del movimiento. Desde el punto P sobre la horizontal DC descienda la perpendicular PC, y córtese DC en A de modo que DA sea a AC como la resistencia del medio originada al comienzo del movimiento hacia arriba es a la fuerza de la gravedad; o (lo que es lo mismo) de modo que el rectángulo comprendido entre DA y DP sea al rectángulo entre AC y CP como la resistencia total al comienzo del movimiento es a la fuerza de la gravedad. Con asíntotas DC, CP, trácese una hipérbola GTBS secante de las perpendiculares DG, AB, en G y B; y complétese el paralelogramo DGKC, cuyo lado GK corte a AB en Q. Tómese una línea N que esté en razón a QB como DC a CP; y desde un punto cualquiera R de la recta DC elévese la perpendicular RT, que encuentre a la hipérbola en T y a las rectas EH, GK, DP, en I, t y V; sobre esta perpendicular tómese Vr igual a tGH / N o, lo que es lo mismo, tómese Rr igual a GTIE / N; y el proyectil, en el tiempo DRTG alcanzará el punto r describiendo la curva DraF, que siempre toca el punto r, alcanzando la altura máxima a en la perpendicular AB, y aproximándose después siempre a la asíntota PC. Y su velocidad en un punto cualquiera r es como la tangente de la curva rl Q. E. I.
Pues N es a QB como DC a CP o DR a RV, y por tanto RV es igual a DR x QB / N, y Rr (esto es Rr - Vr o DR x QB - tGT / N) es igual a DR x AB - RDGT / N. Ahora represéntese el tiempo mediante el área RDGT y (por el Corolario II de las [Leyes]) descompóngase el movimiento del cuerpo en dos, uno de ascenso y otro hacia el lado. Y puesto que la resistencia es como el movimiento, descompóngase ésta también en dos partes contrarias y proporcionales a las dos partes del movimiento: y por ello, la longitud descrita por el movimiento hacia el lado será (por la Proposición II de este Libro) como el área DR x AB - RDGT, esto es, como la línea Rr. Pero al comienzo mismo del movimiento el área RDGT es igual al rectángulo DR x AQ, y por tanto dicha línea Rr (o DR x AB - DR x AQ / N) es entonces a DR como AB - AQ o QB a N, esto es, como CP a DC, y por ende como el movimiento hacia arriba al movimiento hacia el lado al inicio. Puesto que Rr es siempre como la altura y DR siempre como la longitud: se sigue necesariamente que Rr sea siempre a DR como la altura a la longitud, y por lo tanto que el cuerpo se mueva en la línea DraF, a la cual toca siempre el punto r. Q. E. D.
COROLARIO 1. Por tanto, Rr es igual DR x AB / N - RDGT / N; y por ello, si se prolonga RT hasta X de modo que RX sea igual a DR x AB / N; esto es, si se completa el paralelogramo ACPY, se une DY cortando a CP en Z, y se prolonga RT hasta que toque a DY en X: Xr será igual a RDGT / N, y por lo mismo proporcional al tiempo.
COROLARIO 2. De donde, si se toman innumerables CR o, lo que es lo mismo, innumerables ZX, en progresión geométrica; habrá otras tantas Xr en progresión aritmética. Y de aquí que la curva DraF se pueda delinear fácilmente por la tabla de logaritmos.
COROLARIO 3. Si se construye una parábola con vértice en D, con diámetro DC prolongado hacia abajo y con un latus rectum que sea a 2DP como la resistencia total en el mismo comienzo del movimiento a la fuerza de la gravedad: la velocidad con la que un cuerpo debe partir desde el punto D según la recta DP, para que describa en un medio uniformemente resistente la curva DraF, será la misma que aquella con la que debe partir desde el mismo punto D y según la misma línea DP, para describir la parábola en un espacio sin resistencia. Pues el latus rectum de esta parábola en el momento inicial del movimiento es DV2 / Vr; y Vr es tGT / N o también DR x Tt / 2N. Pero si se trazase una recta que fuese tangente a la hipérbola GTS en G, sería paralela a DK y, por tanto, Tt es CK x DR / DC, y N era QB x DC / CP. Y por tanto Vr es DR2 x CK x CP / 2DC2 x QB esto es (por ser proporcionales DR y DC, DV y DP) DV2 x CK x CP / 2DP2 x QB, y el latus rectum DV2 / Vr resulta ser 2DP2 x QB / CK x CP esto esto es (por ser proporcionales QB y CK, DA y AC) 2DP2 x DA / AC x CP y por lo tanto es a 2DP como DP x DA a CP x AC; esto es como la resistencia a la gravedad. Q. E. D.
COROLARIO 4. De aquí que si se lanza un cuerpo desde un punto D con una velocidad dada, según una recta de posición dada DP, y se da la resistencia del medio al comienzo mismo del movimiento: puede hallarse la curva DraF que describirá dicho cuerpo. Pues, como es sabido, al dar la velocidad se da también el latus rectum de la parábola. Y tomando 2DP a dicho latus rectum como la fuerza de la gravedad a la de resistencia, DP está dado. Cortando entonces DC en A de modo que CP x AC esté respecto a DP x DA en la susodicha razón de la gravedad a la resistencia, se tendrá dado el punto A. Y con ello está dada la curva DraF.
COROLARIO 5. Y, al contrario, si la curva DraF está dada, también estarán dadas la velocidad del cuerpo y la resistencia del medio en cada lugar r. Puesto que por estar dada la razón CP x AC a DP x DA, viene dada también tanto la resistencia del medio al comienzo del movimiento como el latus rectum de la parábola: y con ello también se da la velocidad al comienzo del movimiento. Y después, a partir de la longitud de la tangente rL, viene dada tanto la velocidad proporcional a ella como la resistencia proporcional a la velocidad en un punto cualquiera r.
COROLARIO 6. Pero como la longitud 2DP es al latus rectum de la parábola como la gravedad a la resistencia en D, y al aumentar la velocidad aumenta en la misma razón la resistencia, mientras el latus rectum de la parábola aumenta en el cuadrado de dicha razón: es evidente que la longitud 2DP aumenta en dicha razón simple, y por lo tanto siempre resulta proporcional a la velocidad, y tampoco aumenta o disminuye al cambiar el ángulo CDP, a no ser que también se cambie la velocidad.
COROLARIO 7. De donde se tiene el método para determinar a partir de los fenómenos la curva DraF muy aproximadamente, y después hallar la resistencia y la velocidad con la que es proyectado el cuerpo. Láncense dos cuerpos semejantes e iguales con la misma velocidad desde el punto D, según los ángulos distintos CDP, CDp, y sean conocidos los puntos F, ƒ, donde inciden en el plano horizontal DC. Entonces, supuesta una longitud cualquiera para DP o Dp, imagínese que la resistencia en D sea a la gravedad en una razón cualquiera, y represéntese dicha razón por una longitud cualquiera SM. Después, por cálculo, hállense a partir de la longitud supuesta DP las longitudes DF y Dƒ; y de la razón Fƒ / DF hallada por cálculo réstese la misma razón hallada experimentalmente, y represéntese la diferencia mediante la perpendicular MN. Hágase lo mismo por segunda y tercera vez, imponiendo siempre una nueva razón SM de la resistencia a la gravedad, y obteniendo una nueva diferencia MN. Trácense las diferencias positivas hacia un lado de la recta SM y las negativas hacia el otro, y por los puntos N, N, N, trácese la curva regular NNN que corte a la recta SMMM en X, y SX será la verdadera razón de la resistencia a la gravedad que se trataba de hallar. La longitud DF hay que obtenerla por cálculo a partir de esta razón; y una longitud, que sea a la longitud supuesta DP como la longitud DF conocida experimentalmente es a la longitud DF así hallada, será la verdadera longitud DP. Hallada ésta se tiene tanto la curva DraF descrita por el cuerpo como la velocidad del cuerpo y la resistencia en cada lugar.
ESCOLIO
Por lo demás, que la resistencia de los cuerpos esté en razón de la velocidad es más una hipótesis matemática que natural. En medios libres de toda rigidez, las resistencias de los cuerpos están en razón cuadrada de la velocidad. Pues con la acción de un cuerpo más veloz se comunica a la misma cantidad de un medio, en menor tiempo, mayor movimiento en razón de la mayor velocidad; y en tiempo igual, al ser mayor la cantidad de medio perturbada, se comunica un movimiento mayor en razón cuadrada; ya que la resistencia (por las Leyes II y III) es como el movimiento comunicado. Veamos, pues, qué movimientos se siguen de esta ley de resistencia.