Notas del libro primero

[1] Este poema de Halley, en el que tratamos de retener algo de su ritmo y sintaxis latinos, es la traducción del texto de la tercera edición. Para la segunda Richard Bentley propuso algunas modificaciones estilísticas (principalmente) que no afectan al sentido en nada importante. Más significativo puede ser el hecho de que Halley se viera impulsado a este canto, y también inspirado en algunas expresiones, por la Egloga que precedía al Horologium Oscillatorium de Huygens, en la cual las alabanzas mitológicamente enlazadas también se cierran con un «Nec Phaebum ac Pimplae fas est contemnere Divas»; similar al exámetro de Halley «Nec fas est propius mortali attingere divos». <<

[2] Puso fecha en la segunda edición. Y se puede pensar que ésta no fue la fecha en que redactó este prefacio. Pero en 1713 ya sabía que las fechas tenían su importancia. <<

[3] Este argumento, casi literal, le fue dado a Cotes por Newton ante una consulta de aquél relativa a la expresión «cum attractio omnis mutua sit» del Corolario I, Proposición V, Libro III. Cfr. Edleston, J. en Corresponde…, pág. 154. <<

[4] Este párrafo y los siguientes están dirigidos contra Leibniz y las críticas procedentes de su entorno (J. Bernoulli, Huygens y Wolf cuyo órgano eran las Acta eruditorum principalmente) y aparece aquí en uno de sus episodios. Pero la guerra ya había empezado mucho antes. En 1703 George Cheyne, un discípulo de Gregory, había publicado un ensayo con el título On the inverse method of fluxions en el que se insinúa que todo el cálculo era una creación de Newton. La fase siguiente —1705— es una recensión anónima (de Leibniz) en las Acta dedicada a la primera edición de la Optica y de los tratados que la acompañaban (Ennumeario Curvarum y De Cuadratura) en la que Leibniz aclara que el método de fluxiones es una aplicación en términos de «fluxiones y fuentes» de su método diferencial. Pero la guerra estalla en 1710 con la aparición en las Phil. Trans. (número correspondiente a 1708) de un artículo de John Keill «On the Laws of Centripetal Forces» en el que acusa a Leibniz de plagiario. Por lo demás existe otro contencioso, metafísico esta vez, sobre la naturaleza de la fuerza, del espacio y tiempo, de Dios, etc. del que Leibniz en la Polémica con Clarke deja constancia, de los puntos principales. A este respecto véase A. R. Hall, Philosophers at War. The quarrel between Newton and Leibniz. Cambridge U. Press., 1980. <<

[5] Ya hemos mencionado la dificultad, y posible circularidad, que la crítica ha visto en esta Definición. Parte del problema puede residir en el concepto de partícula elemental que manejaba Newton. A ello puede atribuirse el hecho de que su definición de densidad no tenga un carácter cuantitativo sino sólo proporcional. En el Corolario 4 de la Proposición VI del Libro III da una definición de densidad. Pero como las partículas contenidas en un mismo volumen, aunque tengan la misma densidad, no tienen la misma forma, no se puede asignar el mismo número de ellas al mismo volumen. Respecto a la naturaleza de las partículas véase la Quest. 31 de la Optica. <<

[6] Esta es una definición que no fue siempre bien entendida. En el sentido en que Newton la propone equivale al concepto moderno de «momento» o lo que se llamó «fuerza muerta» (F = mv) en contraposición a la «fuerza viva» (½mv2). <<

[7] En su copia de la segunda edición añadió Newton: «No entiendo por fuerza de inercia la de Kepler por la cual los cuerpos tienden al reposo, sino la fuerza de mantenerse en el mismo estado de reposo o de movimiento». Pero no lo incluyó en el texto de la tercera edición. <<

[8] Las discusiones generadas por este Escolio se iniciaron con Berkeley (principalmente en el Treatise on the Principies of Human Knowledye, 1710, De Motu, 1720) continuaron en la Polémica con Clarke desde el lado leibniziano y, con el impulso de las geometrías no euclídeas, llegó a su mayor dimensión con Mach y la teoría de la Relatividad. Puede verse un amplio debate en A. [Grünbaum], Philosophical Problems of Space and Time, Reidel, Dordrecht/Boston, 2.ª, 1973. <<

[9] Salvo correcciones de estilo insignificantes, estas Leyes no ofrecieron problemas a Newton en las revisiones a que sometió su texto inicial. La I.ª (de «inercia») no ofreció problemas debido a su eficacia práctica en un sistema inercial como el de nuestra galaxia. Pero ¿se puede hablar de algún cuerpo en reposo absoluto? La II.ª depende de la definición de «cantidad de movimiento» (m. v.). El cambio de cantidad es proporcional a la fuerza motriz impresa y la medida de ésta se obtiene por la cantidad de cambio del valor de m. v. Pero se ha demostrado experimentalmente que la masa de un electrón aumenta cuando la velocidad del mismo se va acercando a la de la luz (Kaufmann, 1901). Pero esta relatividad de la masa no es relevante a velocidades alejadas de la de la luz. Por ello, la teoría de la relatividad no es de aplicación necesaria en la física ordinaria de masas y velocidades ordinarias. En cambio evidencia el alcance limitado de la Ley de Newton. Hacia 1692 Newton anotó en una de sus copias una aclaración añadida al texto: Así, si la gravedad de un cuerpo que cae fuese uniforme, ésta, actuando igualmente en cada partícula igual de tiempo, imprimirá fuerzas iguales sobre dicho cuerpo, y generará velocidades iguales; y por tanto la fuerza total impresa sobre el cuerpo que cae y la velocidad total generada siempre serán como el tiempo total de caída. Y así en los demás. (Tachada esta frase final). <<

[10] Entre los ensayos correctores de 1690 y siguientes, ya mencionados, destaca uno relativo a este primer Corolario de las Leyes. El tema era de fondo: una contradicción aparente entre la idea de fuerza como sucesión de impulsos discretos o como acción continua. Este problema se hace igualmente patente en sus revisiones de la Ley II (vide, Cohen, Introduct…, pág. 163). Al final los cambios fueron insignificantes: introdujo las frases «impresa en el punto A»… «con movimiento uniforme»… «Seguirá, pues, un movimiento rectilíneo de A a D por la Ley I». <<

[11] Este Corolario incorpora en síntesis los estudios que en 1665-1666 inició Newton sobre la teoría cartesiana del choque y reflexión de cuerpos perfectamente elásticos. Cfr. R. S. Westfall, Force in Newton’s Physics, Londres, 1971, principalmente Cap. 2 a 5. El testimonio se halla en el «Waste Book» con el título «On Reflections» y ha sido publicado por Herivel en The Background of Newton’s «Principia», pág. 132-182. <<

[12] Desde «Para un cuerpo que cae…» hasta «… AB cuadrado» aparece sólo en esta tercera edición que ofrecemos. <<

[13] Se refiere a Traité de la percusión ou choc des corps que apareció en París en 1673 y cuya tercera edición de 1684 incluye los experimentos completos. <<

[14] Este párrafo aparece en la tercera edición. Su tema fue expuesto a Cotes como se dijo en nota 3, supra y también la figura, obviamente. <<

[15] Una de las críticas primeras (mejor intencionada que fundada) que merecieron los Principia y a la cual Newton respondió con todo respeto, provenía de un antiguo y ya retirado profesor de matemáticas de nombre Gilbert Clerk (vde. Correspondencia 2, 152-154 y 490) obedecía a que el uso de esta terminología ofrecía dudas. Newton la utiliza con los sentidos siguientes:

Duplicata ratio = razón cuadrada = (a/b)2.

Subduplicata ratio = raíz cuadrada de la razón = √a/b

Triplicata ratio = razón cúbica = (a/b)3.

Subtriplicata ratio = raíz cúbica de la razón = 3√a/b

Sesquiplicata ratio = potencia 3⁄2 de la razón = (a/b)3⁄2 = 2√(a/b)3

Subsesquiplicata ratio = potencia 2⁄3 de la razón = (a/b)2⁄3 = 3√(a/b)2

Sesquialtera ratio = razón sesquiáltera = 3a/2a = 3⁄2a Proportio = razón (a veces) = nuestra razón a/b.

Con esta aclaración por delante nos permitiremos usar indistintamente la expresión arcaica y la moderna. <<

[16] Esta sección II, junto con la siguiente, merecieron gran atención por parte de Newton en sus ensayos revisionistas. Llegó a redactar unos enunciados nuevos para las Proposiciones I y II y proyectó Corolarios adicionales y sustituyó otros, además de reordenar las Proposiciones IV y V. Al final se limitó a 1) trasladar los Corolarios 1 y 2 de la Proposición I al lugar actual de la Proposición II con algunas variaciones sin importancia. 2) Añadir 6 nuevos Corolarios a la Proposición I de los cuales el 2 y el 4 le permiten simplificar la prueba de la Proposición IV. 3) Simplificar y reescribir la prueba de la Proposición IV. 4) En los Corolarios de esta Proposición IV aumenta su número de 7 a 9; el 7 de la nueva serie es debido a Fado de Duillier probablemente. 5) La anterior prueba de la Proposición VI se convierte en Corolario 1 de dicha Proposición, y el anterior Corolario de la misma será el 5. 6) El resultado es una nueva Proposición VI que pasa de un Corolario a 5. 7) Pruebas alternativas para las Proposiciones VII, IX y X con 3 nuevos Corolarios para la Proposición VI y una notable expansión del Escolio final de la sección II. Pero los ensayos fueron mucho más amplios y evidencian un interés de Newton por reescribir estas secciones quizá en términos de fuerzas y no de áreas, y a la vez presentar su línea argumental con mayor elegancia y brevedad. Vde. Cohen, Introduc., págs. 167-171. <<

[17] Pasar de un polígono de infinitos lados a una curva continua es pasar de una serie a su límite y esto matemáticamente no ofrecía ya dificultad alguna, ni siquiera era preciso acudir al Lema III. Pero esto comportaba, de paso, asimilar a la fuerza continua la fuerza discreta compuesta de impulsos sucesivos. Quizá aquí estuviera la razón de los repetidos ensayos revisionistas de esta sección. <<

[18] Los 7 Corolarios incluidos aquí en la primera edición decían como sigue: COROLARIO 1. De aquí que las fuerzas centrípetas son como los cuadrados de las velocidades divididos por los radios de los círculos.

COROLARIO 2. E inversamente, las fuerzas entre sí son como los cuadrados de los tiempos periódicos divididos por los radios. Esto es (hablando como los geómetras), estas fuerzas están en razón compuesta directamente de la razón cuadrada de las velocidades y de la razón simple de los radios inversamente y también inversamente de la razón cuadrada de los tiempos periódicos.

COROLARIO 3. De donde, si los tiempos periódicos son iguales, tanto las fuerzas centrípetas como las velocidades serán como los radios, y viceversa.

COROLARIO 4. Si los cuadrados de los tiempos periódicos son como los radios, las fuerzas centrípetas son iguales, y las velocidades están en razón de la potencia 1 de los radios, y viceversa.

COROLARIO 5. Si los cuadrados de los tiempos periódicos son como los cuadrados de los radios, las fuerzas centrípetas son inversamente como los radios y las velocidades iguales, y viceversa.

COROLARIO 6. Si los cuadrados de los tiempos periódicos son como los cubos de los radios, las fuerzas centrípetas son inversamente como los cuadrados de los radios, mientras que las velocidades son como la potencia ½ de los radios; y viceversa.

COROLARIO 7. Todas las cosas sobre tiempos, velocidades y fuerzas con los que los cuerpos describen partes semejantes de cualesquiera figuras semejantes con centros semejantemente situados, se siguen de la demostración de las precedentes aplicada a estos casos.

Por otra parte hay que recordar que esta Proposición IV tenía otra demostración basada en dos círculos concéntricos, demostración que daba pie a la anterior serie de Corolarios. Una vez construida la figura, la demostración se cifra en que la figura tkb es semejante a la figura DCB y por el Lema V, la línea CD será a la línea kt como el arco BD al arco bt: o sea, por el Lema XI, la línea naciente tk a la línea naciente de como bt2 a bd2 y, por tanto, la línea DC a la línea dc como BD·bt a bd2, o lo que es igual, como BD·bt / Sb a bd2 / Sb y por ende (al ser iguales las razones bt / Sb y BD / SB) como BD2 / SB a bd2 / Sb. Q. E. D.

Como consecuencia de la supresión de la anterior prueba hubo de alterar también un párrafo del Escolio siguiente para ponerlo en relación con el nuevo sistema de Corolarios. Al principio del Escolio hay un párrafo añadido por Newton con motivo de la correspondencia con Halley en 1686. En él muestra cómo puede hallar la ley (al menos para el movimiento circular) incluso antes de la publicación del Horologium Oscillatorium de Huygens. <<

[19] Los cambios introducidos en esta Proposición V son (una vez abandonada la idea de renumerarla como Proposición IV, Problema I): Cambiar la redacción del segundo párrafo que decía «Puesto que el cuerpo en P y Q con radios trazados al centro describe áreas proporcionales a los tiempos, y dichas áreas descritas a la vez sean como las velocidades en P y Q multiplicadas, respectivamente, por las perpendiculares trazadas desde el centro hasta las tangentes PT y QT, serán dichas perpendiculares como las velocidades inversamente; y por tanto…». <<

[20] En la Proposición VI, como ya hemos adelantado, los cambios son más amplios:

1) El antiguo enunciado de la Proposición pasa ahora a Corolario 1.

2) La figura era más simple.

3) La prueba de la anterior Proposición (ahora Corolario) era: Pues en la figura infinitamente pequeña QRPT la línea naciente QR, en un tiempo dado, es como la fuerza centrípeta (por la Ley II) y con fuerza dada como el cuadrado del tiempo (por el Lema X) y, por tanto, no dado ninguno, como la fuerza centrípeta y el cuadrado del tiempo conjuntamente y, por tanto, la fuerza centrípeta directamente como la línea QR y como el cuadrado del tiempo inversamente. Pero el tiempo es como el área SPQ o su doble SP·QT, esto es como SP y QT conjuntamente, y por tanto la fuerza centrípeta es como QR directamente y SP2·QT2 inversamente, esto es, como SP2·QT2 / QR inversamente. Q. E. D.

4) El único Corolario pasa con mínimos cambios a ser el 5. Además de estos cambios Newton pensó otros más radicales y en papeles sueltos intercalados en sus copias de la primera edición llegó a redactar una Proposición nueva. <<

[21] De nuevo, aparecen las correcciones. Newton proyectó rehacer esta Proposición como Teorema, con el siguiente enunciado: «Si ordenadas proporcionales de dos órbitas caen sobre abscisas proporcionales y los centros de fuerzas se sitúan semejantemente en las abscisas, los cuerpos describirán las partes correspondientes de órbitas en tiempos proporcionales, y las fuerzas centrípetas serán como las alturas de los cuerpos directamente y los cuadrados de los tiempos inversamente». De hecho dejó el Problema tal cual y se limitó a cambiar la figura y dos párrafos de la solución que la hacen más directa. Pero ahora añade todo lo que sigue a «Lo mismo de otro modo». Varias son las interpretaciones posibles para estas indecisiones; desde intenciones de elegancia matemática hasta titubeos en la presentación bajo forma geométrica o bajo forma dinámica, e incluso la percepción de que había un impasse entre planteamientos dinámicos y cinemáticos en toda esta (y otras) sección(es). <<

[22] Aunque casi todos los párrafos que introducen pruebas alternativas («Lo mismo de otro modo») son más elegantes, éste llama la atención por su brevedad y estilo directo. Por otra parte este problema (la pregunta de Halley o la respuesta a la pregunta) fue quizá la causa de su retraso en la respuesta escrita prometida. En todo caso esta Proposición debe entenderse como formando parte de un todo junto con la XVI; y quizá toda esta sección sea un modelo de análisis de un solo problema desplegado en sus diferentes casos y aspectos. Tampoco hay que olvidar que Newton elaboró estas pruebas alternativas en la década de los noventa y primeros años de 1700. Su lectura de la primera redacción le fue llevando a formulaciones más precisas y más concisas. <<

[23] Se cierra esta sección y, con ella, los intentos de Newton de mejorar la estructura inicial de los Principia. En la primera edición no hay Escolio al final de la Proposición; Newton además de añadirlo pensó, y redactó con ese fin, añadir un Corolario 5 que decía: «Puesto que en la solución de este Problema se enumeran todos los casos en los que un cuerpo puede partir de un lugar dado, con una velocidad dada y según una recta dada, y en todos ellos resulta una sección cónica que tiene su foco en el centro de fuerzas (también se sigue del primer Corolario de la Proposición XIII —entre paréntesis y tachado—), las fuerzas centrípetas del cuerpo que gira en la sección hallada (por las Proposiciones XI, XII y XIII) están en razón inversa del cuadrado de la distancia al centro: los cuerpos con fuerzas centrípetas que están en razón inversa del cuadrado de la distancia al centro se moverán siempre en secciones cónicas». Era redundante y por ello y porque el Escolio siguiente resume mejor el problema decidió tal vez suprimirlo. Por otra parte, la conclusión necesitaría precisar para qué velocidades iniciales es válida la generalización. <<

[24] En nota marginal añade a la última frase del Escolio: «y esta cantidad CG3 / RP2 cuando el centro R de fuerzas se halla hacia la parte convexa de la órbita resulta negativa y expresa una fuerza centrífuga. Con este solo teorema se evidencia la fuerza con la cual un cuerpo en una sección cónica cualquiera puede moverse en torno a cualquier centro de fuerzas». Otro dato interesante es seguir los sucesivos desarrollos de la figura que aparece en la Proposición VI, sobre la cual, con algunas variantes, se va desarrollando la construcción argumental de estas dos secciones. Dicha figura admite como caso particular el del Corolario 4 de la Proposición XVI, caso que por incluir los mismos valores para «radio» y para «distancia media» desde el foco pudo constituir el tropiezo con que topó Newton cuando «rehizo» los cálculos después de la visita de Halley. El hecho de que las velocidades, en el Corolario 4, Proposición IV y Corolario 4, Proposición XVI sean inversamente como las raíces cuadradas de distancias iguales (solo iguales en esa situación) pudo dar lugar al tropiezo. (Aunque Newton hable de un diagrama trazado con poco cuidado). Con la nueva redacción de los Corolarios de la Proposición IV se deja más claro el proceso generalizador por el cual la Proposición se va extendiendo en su alcance desde el círculo y su radio hasta las distancias medias de un punto de una órbita al foco, y como hace al fin explícito en el Corolario 8 de esa Proposición IV. Por ello en el Escolio final de esta sección III parece dispuesto a generalizar el problema y la solución como lo hace. <<

[25] Se refiere Newton a una obra perdida de Apolonio de Perga cuyo título επφαί (Tangencias) nos fue trasmitido por Pappo junto con algunas noticias sobre su contenido entre el cual tuvo importancia este tema de los «tres elementos» (líneas o puntos): elegir cualquier combinación de tres de ellos y trazar un círculo tangente a los tres. Vieta en 1595 al final de su «Responsum» a Adriano Romano y refiriéndose a «las Tangentes» propone el problema de trazar un círculo tangente a otros tres dados. Ni A. Romano ni Regiomontano creían que pudiera resolverse con regla y compás. En 1600 Vieta da una solución euclidiana satisfactoria. Posiblemente Newton conocía la edición de Schooten de (Leiden) 1646. <<

[26] Este Lema ha sido objeto de estudios minuciosos por parte de estudiosos del desarrollo de la Geometría. Sin duda, este es el primer paso en el estudio de las conversiones geométricas, basado en una idea newtoniana relacionada con su visión de las ecuaciones como expresiones de la naturaleza de las figuras. Estas son equivalentes si las ecuaciones que las definen también lo son y viceversa. Como aplicación inmediata Newton propone la conversión de figuras por traslado de los parámetros que definen una figura respecto a alguno de sus elementos tomado como eje de conversión hasta otro lugar en el cual dicho eje, aunque cambie las direcciones de su posición, permite reproducir los valores de las ecuaciones de la primera figura y dar lugar a otra equivalente. Aunque en las curvas de orden superior es muy difícil imaginar la evolución de cada punto para llegar a construir con procedimientos geométricos la figura transformada, en este Lema, genuinamente newtoniano, se abre la puerta para ulteriores desarrollos con procedimientos analíticos. <<

[27] Transcribimos en notación actual la anterior demostración: por las cónicas, hc2 / (ad·hb)= ic2 / id2= ke2 / kd2= el2 / (al·lb)

y por tanto también están en dicha razón subduplicada

hc / √(ah·hb)= ic / id= ke / kd= el / √(al·lb)=

hc + ic + ke + el / √(ah·hb) + id + kd + √al·lb= ih + kl / √(ah·hb) + ik + √(al·lb)»

Por otra parte conviene recordar que la expresión «lado cuadrado de un rectángulo» significa raíz cuadrada del área del mismo; si un rectángulo AB x BC = M, entonces «lado cuadrado» de M = √M = L, y L2 = M. <<

[28] Transcrito sería así:

EC / CA= CA / CL y por tanto EC / CA= EC - CA / CA - CL= EA / AL

y también

EA / EA + AL= EC / EC + CA= EA / EL= EC / EB… <<

[29] Este Lema también ha sido objeto de discusión entre analistas. F. Cajori en el Apéndice de su edición, pág. 647, menciona a H. Brougham y E. J. Routh, Analytical View of Sir Isaac Newton’s Principia, Londres, 1855, págs. 72-74, y aduce el ejemplo o contraejemplo con el cual éstos apoyan su desacuerdo con el Lema. El punto en cuestión se centra en la frase «… la ecuación por la que se halla la intersección de dos líneas contiene todas las intersecciones entre ellas mediante otras tantas raíces y alcanza, por tanto, tantas dimensiones como intersecciones haya». Pero la cuestión planteada por Newton recae sobre la inexistencia de una ecuación canónica que resuelva de modo general la cuadratura de cualquier sección oval valiéndose de coeficientes racionales. En cambio, el contraejemplo mencionado por Cajori permite afirmar que la conclusión expresada por Newton, «no existe figura oval cuya área cortada por rectas cualesquiera pueda ser determinada de modo general por medio de ecuación alguna de este tipo» está formulada imprecisamente. Quizá la aserción hubiera sido menos falsable si se hubiese escrito: «no existe ecuación general alguna de este tipo que pueda permitir resolver la cuadratura de cualquier figura oval cortada…», para lo cual no bastaría con resolver un caso singular dado.

Por lo demás, Leibniz y Huygens también juzgaron la conclusión y el enunciado arriesgados. Leibniz en sus «Marginaba» escribió «Error» al final del enunciado mientras Huygens le hacía ver que Newton no había definido con precisión lo que entendía por «figura oval» y Leibniz creía poder ofrecer un contraejemplo que cita en su Marginaba: vide Marginaba, págs. 101-104; y Gerhardt, Mathematische Schriften II/84.

Por otra parte Newton omitió en la primera edición la palabra «cuadrado» en la frase «cuadrado de la recta dentro del ovalo», del primer párrafo, y sólo lo cambió tras ser advertido por Fatio y Gregory, aunque Leibniz y Huygens ya se habían percatado. <<

[30] Newton reescribió este Escolio para la segunda edición, quizá porque la primitiva redacción era poco directa e implicaba unas aproximaciones demasiado prolijas. Se basaba en ella en las relaciones respecto al tiempo que existen, al pasar por los ábsides de una elipse, entre las áreas barridas por un vector —el radio de un círculo y el de la elipse— las velocidades y los sectores nacientes o evanescentes en ambas. Pero el método, que se aproximaba bastante en los ábsides, alcanzaba un error de «casi la cincuentava parte del área total de la elipse en las cuadraturas, o algo más»; lo que exigía una ulterior aproximación. En la nueva redacción la aproximación de ángulos mediante unas relaciones trigonométricas resulta más directa y exacta. <<

[31] Este método «bien conocido» era explicitado en la primera edición: «el método bien conocido del Dtr. Seth Ward obispo de Salisbury de mi mayor veneración…». <<

[32] Newton en las copias de la primera edición añadió aquí algunos párrafos que luego no trasladó a las ediciones siguientes. Primero pensó un Corolario 4 que decía: «Concedidas las cuadraturas de las curvas, se pueden hallar las líneas curvas según las cuales los cuerpos cayendo o bien se acercan continuamente al horizonte, o bien observan otras leyes asignadas de movimiento».

Y quizá quiso añadir un Escolio en el cual perfilaba más el problema: Escolio: Hemos mostrado en la Proposición IX del Libro I que un cuerpo con una fuerza centrípeta inversamente proporcional al cubo de la distancia, se puede mover en una espiral que corta todos los radios en un ángulo dado. Pero el cuerpo, según mis diferentes velocidades, se moverá en curvas distintas. Si la velocidad fuese aquélla con la que el cuerpo pudiera girar a una distancia en torno al centro de fuerzas, se moverá en dicha espiral. Pero si la velocidad es menor, el cuerpo se moverá en una espiral (VPQ) que con infinitas espirales descenderá al centro pero no ascenderá al infinito. Si la velocidad es mayor, el cuerpo se moverá en una curva (VPQ) que tiene una asíntota, y según su brazo hiperbólico se va al infinito… <<

[33] En el Ejemplo II de esta Proposición, ofrece Newton una primera noticia de su método de series convergentes. Aquí deja de lado el método «sintético» y acude al análisis, aunque sea con carácter auxiliar y transitorio. Debe tenerse presente la figura principal de la Proposición anterior, que no incluíamos en esta Proposición porque no aparece reproducida tampoco en el original latino. <<

[34] El párrafo que sigue es añadido en la segunda edición sustituyendo a otro más largo y con razonamiento menos preciso. Incluía también algún problema de términos; decía «ratio dimidiata» en lugar de «subduplicata». <<

[35] La introducción de esta sección XI es notable por varias razones. En primer término, por el reconocimiento que implica de la inadecuación de la hipótesis matemática de «un centro inmóvil» cuando se proyecta sobre puntos físicos. La interacción entre cuerpos exigida por la Ley tercera hace que el modelo matemático, relativamente lineal y sencillo, se presente necesitado de una complejidad creciente si es que quiere seguir dando cuenta de la naturaleza de las cosas.

Otro problema que no se escapa a la consideración de Newton es el de que los centros de atracción se hallan a efectos cinemáticos en los centros comunes de gravedad (centros de giro) lo cual exige nuevamente una mayor complejidad.

Finalmente, Newton se hace cargo de la ambivalencia en que ha de moverse al hablar de atracciones al referirse a las fuerzas centrípetas. ¿Son acciones continuas o impulsos? Newton —vide Proposición LVII y siguientes— siempre habla de atracciones, cuerpos atrayentes, etc.; pero por otra parte —Proposición LXVI y siguientes— también aparece este problema, junto con el de la pluralidad de cuerpos, en la medida en que el tratamiento de las atracciones es un tratamiento de acción continua global, sin poder pasar a un tratamiento por impulsos, entre otras razones porque la Tercera Ley implicada en el juego exige simultaneidad entre acciones y reacciones. Sin embargo, los impulsos parecen exigir un tiempo y un mecanismo de transmisión, y ello, si fueran los impulsos inversamente proporcionales a los cuadrados de las distancias, haría que unas veces llegaran más frecuentemente —cuando los cuerpos se acercan— y otras más espaciadamente —cuando se alejan—, y lo que es aún más duro de admitir: suponen un intermediario físico. Newton afirma que «ahora nos movemos en matemáticas» y no entra en disputas físicas. <<

[36] No sólo se plantea ahora el problema de los dos —o tres— cuerpos de la Proposición LXVI y siguientes sino que se adelanta una condición que aparece tomo Hipótesis I en el Libro III. Newton no conoce movimientos de desplazamiento del Sol, aunque sí conoce movimientos oscilatorios del mismo. «El movimiento absoluto de los cuerpos en el espacio inmóvil» debe, pues, entenderse ion la perspectiva histórica pertinente, independientemente de la cuestión filosófica n ontológica sobre la naturaleza del espacio. No obstante, en esta Proposición, en imito que condición matemática no ofrece problemas filosóficos. Más bien hace posible abordar el problema mediante la restricción que ella introduce al eliminar, aunque sea por hipótesis de trabajo —si bien aquí sea algo más que eso— otros movimientos de fondo. <<

[37] Esta es la segunda vez que Newton —la primera en la Proposición XLV anterior— aplica su método de fluxiones. <<