Sección XI. Del movimiento de cuerpos que tienden unos a otros con fuerzas centrípetas

Sección XI DEL MOVIMIENTO DE CUERPOS QUE TIENDEN UNOS A OTROS CON FUERZAS CENTRÍPETAS

He expuesto hasta aquí los movimientos de cuerpos atraídos hacia un centro inmóvil, aunque puede que tal cosa no exista en la naturaleza de las cosas. Pues las atracciones suelen darse hacia los cuerpos, y las acciones de los cuerpos atrayentes y atraídos son siempre mutuas e iguales, por la Ley Tercera: hasta el punto de que, si fuesen dos cuerpos, ni el atrayente ni el atraído podrían estar en reposo, sino que ambos (por el Corolario IV de las Leyes) girarán en torno a un centro común de gravedad, como con atracción mutua; y, si fuesen varios los cuerpos, bien sean atraídos por uno y éste por los otros, bien se atraigan todos mutuamente, habrán de moverse entre sí de tal modo que o bien esté en reposo el centro común de gravedad o bien se mueva uniformemente en línea recta. Por lo cual paso ahora a exponer el movimiento de cuerpos que se atraen mutuamente, considerando a las fuerzas centrípetas como atracciones, aunque quizá, si hablásemos en términos físicos, se denominarían más propiamente impulsos. Pero ahora nos movemos en matemáticas y, por tanto, dejando de lado disputas físicas, hacemos uso de un lenguaje común en el cual podemos ser comprendidos más fácilmente por lectores matemáticos[35].

PROPOSICIÓN LVII. TEOREMA XX

Dos cuerpos que se atraen mutuamente describen figuras semejantes tanto en torno a su centro común de gravedad como uno en torno al otro mutuamente.

Pues las distancias de los cuerpos a su centro común de gravedad son inversamente proporcionales a los cuerpos, y se hallan, por tanto, en una razón dada entre sí, y componiendo razones, en una razón dada respecto a la distancia total entre cuerpos. Tales distancias se desplazan en torno a su extremo común con igual movimiento angular, puesto que al estar sobre una recta jamás cambian su inclinación mutua. Mas las líneas rectas que guardan entre sí una razón dada y giran en torno a sus extremos con igual movimiento angular en planos que, o bien reposan a la vez que dichos extremos, o bien se mueven con cualquier movimiento no angular, describen en torno a tales extremos figuras totalmente semejantes. Por consiguiente, las figuras descritas con los giros de estas distancias, son semejantes. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LVIII. TEOREMA XXI

Si dos cuerpos se atraen mutuamente con fuerzas cualesquiera, y giran también en torno al centro común de gravedad, digo que con las mismas fuerzas y en torno a uno cualquiera de los dos cuerpos en reposo se puede describir una figura semejante e igual a las figuras que describen los cuerpos uno en torno a otro con los movimientos mencionados.

Giren los cuerpos S, P en torno al centro común de gravedad C, progresando de S a T y de P a Q: desde el punto dado s trácense sp, sq siempre iguales y paralelas a SP, TQ; y la curva pqv, descrita por el punto p al girar en torno al punto inmóvil s, será semejante e igual a las curvas descritas por los cuerpos S, P al girar mutuamente uno en torno a otro: por tanto (por el Teorema XX) será semejante a las curvas ST y PQV descritas por los mismos cuerpos en torno al centro común de gravedad C: y esto porque las proporciones de las líneas SC, CP, y SP o sp entre sí están dadas.

CASO 1. Dicho centro común de gravedad C, por el Corolario IV de las Leyes, o está en reposo o se mueve uniformemente en línea recta. Primero supongamos que reposa y que en s y p se sitúan dos cuerpos, uno inmóvil en s y otro móvil en p, semejantes e iguales a los cuerpos S y P. Hágase después que las rectas PR y pr sean tangentes a las curvas PQ y pq en P y p y prolónguense CQ y sq hasta R y r. Y por la semejanza de las figuras CPRQ, RQ será a rg como CP a sp y, por tanto, en una razón dada. En consecuencia, si la fuerza con la cual es atraído el cuerpo P hacia el cuerpo S y, por tanto, hacia el centro intermedio C, se hallase respecto a la fuerza con la cual el cuerpo p es atraído hacia el centro s en esa misma razón dada, esas fuerzas en tiempos iguales atraerán siempre a los cuerpos desde las tangentes PR y pr hacia los arcos PQ y pq a través de los intervalos RQ y rq proporcionales a dichas fuerzas; por ello, la segunda fuerza hará que el cuerpo p gire en la curva pqv, semejante a la curva PQV en la cual la primera fuerza hará girar al cuerpo P; y completarán revoluciones en los mismos tiempos. Pero como dichas fuerzas no son entre sí como CP a sp sino que (por la semejanza e igualdad de los cuerpos S y s, P y p, y la igualdad de las distancias SP, sp) son iguales entre sí, los cuerpos en tiempos iguales son atraídos igualmente de las tangentes; y por tanto, para que el cuerpo segundo p sea atraído a través de un intervalo mayor rq, se requiere un tiempo mayor y esto como la raíz cuadrada de los intervalos, por cuanto que (por el Lema X) los espacios recorridos en el mismo comienzo del movimiento son como el cuadrado de los tiempos. Supóngase, pues, que la velocidad del cuerpo p es a la velocidad del cuerpo P como la raíz cuadrada de la distancia sp a la distancia CP, de tal modo que en tiempos que estén en esta misma razón se describan los arcos pq, PQ que están en razón simple: los cuerpos P, p atraídos siempre por fuerzas iguales describirán alrededor de los centros en reposo C y s las figuras semejantes PQV, pqv, de las cuales la segunda pqv es semejante e igual a la descrita por el cuerpo P al girar en tomo al cuerpo móvil S. Q. E. D.

CASO 2. Ahora supongamos que el centro común de gravedad junto con el espacio en el cual los cuerpos se mueven entre ellos, avanza uniformemente en línea recta; y (por el Corolario VI de las Leyes) todos los movimientos en tal espacio se producirán igual que antes y, por tanto, los cuerpos describirán entre sí las mismas figuras que antes, y consecuentemente iguales y semejantes a la figura pqv. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que dos cuerpos que se atraigan entre sí con fuerzas proporcionales a su distancia (por la Proposición X) describen alrededor de su centro común de gravedad y uno alrededor del otro elipses concéntricas; y viceversa, si las figuras descritas son tales, entonces las fuerzas son proporcionales a la distancia.

COROLARIO 2. Y dos cuerpos, con fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre ellos, describirán (por las Proposiciones XI, XII, XIII) tanto alrededor de su centro común de gravedad como el uno en torno al otro secciones cónicas que tienen su foco en el centro en torno al cual se describen las figuras. Y viceversa, si las figuras descritas son tales, entonces las fuerzas centrípetas son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.

COROLARIO 3. Dos cuerpos cualesquiera girando en torno al centro común de gravedad describen áreas proporcionales a los tiempos con los radios trazados a dicho centro y a sí mismos.

PROPOSICIÓN LIX. TEOREMA XXII

El tiempo periódico de dos cuerpos S y P en giro alrededor de su centro común de gravedad C es al tiempo periódico de uno de los cuerpos P en giro alrededor del otro S en reposo y describiendo una figura semejante e igual a las figuras que resultan al girar uno en torno a otro como la raíz cuadrada de un cuerpo S a la raíz cuadrada de la suma de los cuerpos S + P.

Pues, por la demostración de la Proposición anterior, los tiempos en que son descritos cualesquiera arcos semejantes PQ y pq son como las raíces cuadradas de CP y SP o sp, esto es, como la raíz cuadrada del cuerpo S a la de la suma de los cuerpos S + P. Y componiendo, las sumas de los tiempos en que son descritos todos los arcos semejantes PQ y pq, esto es, los tiempos totales en que son descritas todas las figuras semejantes, se hallan en la susodicha razón subduplicada. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LX. TEOREMA XXIII

Si dos cuerpos S y P que se atraen mutuamente con fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de sus distancias giran en torno a su centro común de gravedad: digo que el eje principal de la elipse que uno de los cuerpos, P, describe con su movimiento en torno al otro, S, será al eje principal de la elipse que dicho cuerpo P pudiera describir en el mismo tiempo periódico en torno al otro cuerpo S en reposo como la suma de los dos cuerpos S + P a la primera de las dos medias proporcionales entre esta suma y el otro cuerpo S.

Pues si las elipses descritas fuesen iguales entre sí, los tiempos periódicos (por el Teorema anterior) serán como la raíz cuadrada de la razón del cuerpo S a la suma de los cuerpos S + P. Disminúyase el tiempo periódico en la última elipse según la dicha razón y los tiempos periódicos se harán iguales; pero el eje principal de la elipse (por la Proposición XV) disminuirá en una razón, de la cual ésta es sesquiplicada, esto es, en una razón respecto a la cual la razón S a S + P es cúbica, por lo cual será al eje principal de la otra elipse como la primera de dos medias proporcionales entre S + P y S a S + P. Y, ala inversa, el eje principal de la elipse descrita en torno al cuerpo móvil será al eje principal de la descrita en torno al inmóvil como S + P a la primera de dos medias proporcionales entre S + P y S. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXI. TEOREMA XXIV

Si dos cuerpos se atraen mutuamente con cualquier fuerza y no son empujados ni obstruidos externamente y se mueven de cualquier modo; sus movimientos vienen a ser los mismos que si no se atrajesen entre ellos, sino que ambos fuesen atraídos por un tercero situado en el centro común de gravedad con las mismas fuerzas; y la, ley de tales fuerzas de atracción será la misma tanto respecto a la distancia a dicho centro común como respecto a la distancia total entre cuerpos.

Pues las fuerzas con las cuales los cuerpos se atraen mutuamente, al tender hacia los cuerpos, tienden al centro intermedio común de gravedad; y por eso son las mismas que si procediesen del cuerpo intermedio. Q. E. D.

Y como está dada la razón de la distancia de cada cuerpo respecto a dicho centro común a la distancia entre cuerpos, está dada la razón entre cualquier potencia de una distancia y la misma potencia de la otra distancia; y también la razón de cualquier cantidad derivada de cualquier forma de una distancia y de cantidades dadas, respecto a otra cantidad derivada similarmente de la otra distancia y de cuantas cantidades dadas que posean respecto a la primera la dicha razón dada de distancias. Por lo cual, si la fuerza por la que un cuerpo es atraído por otro fuese directa o inversamente como la distancia mutua entre cuerpos, o como cualquier potencia de esta distancia, o, finalmente, como cualquier cantidad derivada de cualquier forma de esta distancia y cantidades dadas: la fuerza por la cual el dicho cuerpo es atraído hacia el centro común de gravedad será también directa o inversamente como la distancia del cuerpo atraído al centro común de gravedad, o como la dicha potencia de esta distancia o, por fin, como la cantidad derivada de esta distancia y de análogas cantidades dadas. Esto es, la ley de la fuerza de atracción será la misma para una y otra distancia. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXII. PROBLEMA XXXVIII

Determinar los movimientos de dos cuerpos que atrayéndose mutuamente con fuerzas inversamente proporcionales a los cuadrados de la distancia entre ellos, se dejan caer desde lugares dados.

Los cuerpos (por el último Teorema) se moverán de modo semejante a como lo harían siendo atraídos por un tercero situado en el centro común de gravedad; dicho centro, por hipótesis, estará en reposo en el comienzo mismo del movimiento, y por lo tanto (por el Corolario IV de las Leyes) siempre estará en reposo. Por lo tanto, los movimientos de los cuerpos (por el Problema XXV) han de ser determinados como si fuesen impelidos por fuerzas tendentes a ese centro; y se tendrán los movimientos de los cuerpos que se atraen mutuamente. Q. E. I.

PROPOSICIÓN LXIII. PROBLEMA XXXIX

Determinar los movimientos de dos cuerpos que se atraen mutuamente con fuerzas inversamente proporcionales a los cuadrados de su distancia y parten de lugares dados, según rectas dadas y con velocidades dadas.

Al estar dados los movimientos de los cuerpos en el inicio, también está dado el movimiento del centro común de gravedad, así como el movimiento del espacio que se mueve uniformemente en línea recta junto con dicho centro, lo mismo que los movimientos iniciales de los cuerpos respecto a dicho espacio. Pero los movimientos siguientes (por el Corolario V de las Leyes y el Teorema anterior) tendrán lugar en ese espacio como si éste reposase junto con el centro común de gravedad y los cuerpos no se atrajesen mutuamente, sino que fuesen atraídos por un tercer cuerpo situado en dicho centro. Por lo tanto, el movimiento de cada cuerpo, partiendo de un lugar dado, según una recta dada y con una velocidad dada y afectado por una fuerza centrípeta tendente a dicho centro, en semejante espacio móvil, ha de determinarse por los Problemas IX y XXVI: y a la vez se tendrá el movimiento del otro cuerpo alrededor del mismo centro. Con este movimiento ha de componerse aquel movimiento uniforme del sistema espacial y de los cuerpos que giran en él y se tendrá el movimiento absoluto de los cuerpos en el espacio inmóvil. Q. E. I[36].

PROPOSICIÓN LXIV. PROBLEMA XL

Si los cuerpos se atraen mutuamente con fuerzas que crecen en razón simple de sus distancias a los centros, hállense los movimientos de varios cuerpos entre sí.

Primero supónganse dos cuerpos T y L que tienen su centro común de gravedad en D. Describirán (por el Corolario I del Teorema XXI) elipses con centro en D, cuyas magnitudes son conocidas por el Problema V.

Ahora un tercer cuerpo S atraiga a los dos primeros T y L con las fuerzas aceleratrices ST, SL y sea a la vez atraído por ellos. La fuerza ST (por el Corolario II de las Leyes) se descompone en las fuerzas SD y DT; y la fuerza SL en las fuerzas SD y DL. Pero las fuerzas DT, DL, que son como su suma TL y, por tanto, como las fuerzas aceleratrices con las cuales los cuerpos T y L se atraen mutuamente, añadidas a las fuerzas de los cuerpos T y L, la primera a la primera y la segunda a la segunda, componen fuerzas proporcionales a las distancias DT y DL como al principio, pero ahora con fuerzas mayores que antes; y por tanto (por el Corolario I de la Proposición X y por los Corolarios 1 y 8 de la Proposición IV) hacen que describan elipses como antes, pero con movimiento más rápido. Las restantes fuerzas aceleratrices SD y SD, por las acciones motrices SD x T y SD x L, que son como los cuerpos, al atraer a dichos cuerpos igualmente y según las líneas TI, LK paralelas a la propia DS, en nada cambian sus posiciones relativas, sino que hacen que se acerquen a la línea IK, la cual ha de imaginarse trazada por el centro de S y perpendicular a DS.

Pero esta aproximación a IK se impedirá procurando que el sistema de cuerpos T y L por una parte, y el cuerpo S por otra, piren con velocidades precisas en torno al centro común de pravedad C. Con tal movimiento, dado que la suma de las fuerzas motrices SD x T y SD x L proporcional a la distancia CS tiende al centro C, el cuerpo S describe una elipse en torno al centro C; y el punto D, al ser proporcionales CS y CD, describirá en su zona tina elipse similar. Pero los cuerpos T y L, atraídos por las fuerzas motrices SD x T y SD x L, el primero por la primera y el segundo por la segunda, igualmente y según las paralelas TI y LK, como se dijo antes, continuarán describiendo (por los Corolarios V y VI de las Leyes) sus elipses en torno al centro móvil D, como anteriormente. Q. E. I.

Añádase ahora un cuarto cuerpo V y, con un razonamiento semejante se concluirá que dicho cuerpo junto con el punto C describirá elipses en torno al punto común de gravedad B; los movimientos de los cuerpos T, L y S en torno a los centros D y C, permanecerán, pero acelerados. Y con el mismo método podríamos añadir muchos cuerpos. Q. E. I.

Esto es así, aun cuando los cuerpos T y L se atrajesen mutuamente con fuerzas aceleratrices mayores o menores que aquellas con las cuales atraen a los demás cuerpos en razón de las distancias. Sean las atracciones aceleratrices de todos mutuamente como las distancias multiplicadas por los cuerpos atrayentes, y de lo dicho se desprende fácilmente que todos los cuerpos describirán elipses distintas en iguales tiempos periódicos en torno a su centro común de gravedad B, en el plano inmóvil. Q. E. I.

PROPOSICIÓN LXV. TEOREMA XXV

Varios cuerpos, cuyas fuerzas decrecen como el cuadrado de las distancias desde sus centros, pueden moverse entre sí en elipses, y describir mediante radios trazados a los focos áreas muy aproximadamente proporcionales a los tiempos.

Se ha demostrado en la Proposición anterior el caso en el cual los movimientos ocurren exactamente en elipses. Cuanto más se aparte la ley de las fuerzas de la ley allí propuesta, tanto más perturbarán los cuerpos sus mutuos movimientos; y tampoco es posible que los cuerpos, con atracción mutua según la ley aquí supuesta, se muevan en elipses exactas, salvo que mantengan entre sí determinada proporción de distancias. En los casos siguientes, no obstante, no nos apartaremos mucho de las elipses.

CASO 1. Imagínese que varios cuerpos pequeños giran en torno de uno muy grande a distancias diferentes, y fuerzas absolutas, proporcionales a cada uno de ellos, tendiendo hacia cada uno. Y puesto que el centro común de gravedad de todos (por el Corolario IV de las Leyes) o está en reposo o se mueve uniformemente en línea recta, imaginemos que los cuerpos pequeños lo son tanto que el cuerpo mayor jamás dista sensiblemente de dicho centro: y dicho cuerpo mayor o está en reposo o se mueve uniformemente en línea recta sin desvío apreciable: los cuerpos pequeños girarán en elipses en torno del mayor y con radios trazados hasta éste describirán áreas proporcionales a los tiempos, salvo en la medida en que puedan ocurrir desvíos procedentes de la separación del cuerpo mayor del centro común de gravedad o de las interacciones mutuas de los cuerpos menores. Pero los cuerpos pequeños pueden disminuirse tanto que, tanto dicho desvío, como las interacciones mutuas, sean menores que unas dadas y, por tanto, hasta que las órbitas coincidan con elipses y las áreas respondan a los tiempos sin error mayor que uno dado. Q. E. O.

CASO 2. Supongamos ahora un sistema de cuerpos pequeños que giran en torno a uno muy grande del modo antes descrito; u otro sistema cualquiera de dos cuerpos, que giran uno en torno al otro, que se desplaza con movimiento uniforme y rectilíneo, y que a la vez es influido lateralmente por la fuerza de otro cuerpo mucho mayor y situado a gran distancia. Y, puesto que las fuerzas aceleratrices iguales que influyen en los cuerpos según líneas paralelas no cambian la situación de los cuerpos entre sí, sino que hacen que todo el sistema cambie de lugar preservándose los movimientos de las partes entre ellas, es evidente que en esos movimientos de los cuerpos atraídos no puede ocurrir ningún cambio procedente de la atracción del mayor, sino sólo de las desigualdades de las atracciones aceleratrices o de las inclinaciones de las líneas según las cuales ocurren las respectivas atracciones. Supóngase, pues, que todas las atracciones aceleratrices hacia el cuerpo mayor sean entre sí inversamente como el cuadrado de las distancias; aumentando, entonces, la distancia del cuerpo mayor hasta que las diferencias entre longitudes de las rectas trazadas desde él hasta los otros, y las inclinaciones respectivas de dichas líneas sean menores que unas dadas, los movimientos de las partes del sistema entre sí proseguirán sin errores que no sean menores que unos dados. Y como la distancia mutua entre dichas partes es muy pequeña, el sistema entero, como si fuera un solo cuerpo, es atraído y se moverá bajo dicha atracción como si de un solo cuerpo se tratara; esto es, con su centro de gravedad describirá alrededor del cuerpo mayor alguna sección cónica (i. e. una hipérbola o una parábola si la atracción es suave y una elipse si es más fuerte) y con un radio trazado hasta el cuerpo mayor describirá áreas proporcionales a los tiempos sin más errores que los originados de las distancias de las partes, desde luego pequeñas, y disminuíbles cuanto se quiera. Q. E. O.

Con argumentos similares pueden tratarse casos más complejos hasta el infinito.

COROLARIO 1. En el Caso segundo, cuanto más se acerca el cuerpo mayor al sistema de dos o más cuerpos, tanto más resultarán perturbados los movimientos de las partes del sistema cutre sí; puesto que mayores serán las inclinaciones de las líneas trazadas desde este cuerpo mayor hasta los otros y también será mayor la desigualdad de la proporción.

COROLARIO 2. Pero resultará máxima la perturbación suponiendo que las atracciones aceleratrices de las partes del sistema hacia el cuerpo mayor no son entre sí como el inverso del cuadrado de las distancias desde dicho cuerpo mayor; sobre todo si la desigualdad de dicha proporción es mayor que la desigualdad de la proporción de las distancias desde dicho cuerpo mayor. Porque si la fuerza aceleratriz, al actuar igualmente y según líneas paralelas, no produce perturbación alguna entre los movimientos del sistema, es necesario que surja alguna perturbación debida a la desigualdad de acción, y que sea mayor o menor según sea mayor o menor dicha desigualdad. El exceso de impulsos mayores actuando sobre algunos cuerpos y no sobre otros cambiará necesariamente su situación respectiva. Y esta perturbación, añadida a la que surge de la inclinación y desigualdad de las líneas, aumenta la perturbación total.

COROLARIO 3. Por tanto, si las partes de este sistema se mueven en elipses o en círculos sin perturbaciones notables, es evidente que o no se hallan impelidas hacia otros cuerpos por fuerzas aceleratrices más que de modo insensible o lo son de un modo uniforme y según líneas paralelas muy aproximadamente.

PROPOSICIÓN LXVI. TEOREMA XXVI

Si tres cuerpos, cuyas fuerzas decrecen como el cuadrado de las distancias, se atraen mutuamente y las atracciones aceleratrices de dos cualesquiera sobre el tercero son entre ellas inversamente como el cuadrado de las distancias, y los más pequeños giran en torno al mayor, digo: que el interior más próximo al central y mayor, con radios trazados hasta él describirá áreas más proporcionales a los tiempos, y una figura más cercana a la de una elipse con foco en el punto de intersección de los radios, tanto si el cuerpo mayor es perturbado por dichas atracciones, como si permanece en reposo no siendo atraído por los pequeños o si, siendo atraído unas veces mucho y otras poco, resultase perturbado unas veces mucho y otras poco.

Casi se sigue de la demostración del segundo Corolario de la Proposición anterior; pero se prueba mediante una demostración más clara y estricta del modo siguiente.

CASO 1. Supongamos que en torno al cuerpo mayor T giran los cuerpos menores P y S en el mismo plano, de los cuales P describe la órbita interior PAB, y S la exterior ESE. Sea SK la distancia media entre los cuerpos P y S, y valga también como expresión de la atracción aceleratriz de P hacia S a esa distancia media. Tómese SL a SK como el cuadrado de la razón de SK a SP, y SL será la atracción aceleratriz de P hacia S a cualquier distancia SP. Únase PT, y paralela a ella trácese LM que toca a ST en M; y la atracción SL se descompondrá (por el Corolario II de las Leyes) en las atracciones SM, LM. El cuerpo P será urgido de este modo por una triple fuerza aceleratriz. Una fuerza tiende hacia T, y se origina por la atracción mutua entre los cuerpos T y P. Con esta fuerza sola el cuerpo P debería describir, en torno al cuerpo T y con el radio PT, áreas proporcionales a los tiempos así como una elipse cuyo foco se halla en el centro del cuerpo T, y esto tanto si T permanece en reposo como si oscila por causa de esta atracción, listo es evidente por la Proposición XI y por los Corolarios 2 y 3 del Teorema XXL La otra fuerza es la de la atracción LM, que porque tiende de P hacia T se superpone a la fuerza anterior y coincide con ella, y de este modo hará que las áreas sigan siendo proporcionales a los tiempos, por el Corolario 3 del Teorema XXL Pero, puesto que no es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia PT, al ser añadida a la anterior compondrá con ella una fuerza que se aparta de dicha proporción; y esto tanto más cuanto mayor sea la proporción de esta fuerza respecto a la anterior, permaneciendo igual el resto. Por tanto, ya que (por la Proposición XI y por el Corolario 2 del Teorema XXI) la fuerza con la cual se describe la elipse en torno al foco T ha de tender hacia dicho foco y ser inversamente proporcional al cuadrado de dicha distancia PT, tal fuerza compuesta, al apartarse de dicha proporción, hará que la órbita PAB se aparte de la forma elíptica con foco en T, y esto tanto más cuanto mayor sea la diferencia con respecto a dicha proporción; y por lo tanto también cuanto mayor es la proporción de la segunda fuerza LM respecto a la primera, manteniendo el resto igual. Pero, ahora, la tercera fuerza, SM, al atraer al cuerpo P en una dirección paralela a ST, compone con las fuerzas anteriores una fuerza que ya no se dirige de P hacia T; y que diverge tanto más de esa dirección cuanto mayor es la proporción de esta tercera fuerza respecto a las anteriores, caeteris paribus; la cual, por tanto, hace que el cuerpo P, con radio TP, ya no describa más áreas proporcionales a los tiempos, y que la aberración con respecto a esta proporcionalidad sea mayor cuanto mayor sea la proporción de esta tercera fuerza respecto de las otras. Pero esta tercera fuerza aumentará la aberración de la órbita PAB respecto a la mencionada forma elíptica por doble causa, bien porque no se dirija de P hacia T, bien porque no sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia PT. Comprendido esto, es evidente que las áreas se tornan más proporcionales a los tiempos, permaneciendo las demás fuerzas, cuanto más pequeña sea la tercera fuerza; y que la órbita PAB se aproxima máximamente a la mencionada forma elíptica cuando tanto la segunda como la tercera fuerza, y sobre todo la tercera, se hacen mínimas, permaneciendo la primera.

Represéntese mediante la linea SN la atracción aceleratriz del cuerpo T hacia S; y si las atracciones aceleratrices SM, SN fuesen iguales, al atraer éstas a los cuerpos T, P, igualmente y según líneas paralelas, en nada cambiarán sus situaciones respectivas. Los movimientos de dichos cuerpos entre sí serían iguales (por el Corolario VI de las Leyes) que si desapareciesen dichas atracciones, Y por similar razón, si la atracción SN fuese menor que la SM, la propia SN restará una parte de la atracción SM, y quedará sólo la parte MN con la que resultarán perturbadas tanto la proporcionalidad de tiempos y áreas como la susodicha forma elíptica de la órbita. De manera semejante si la atracción SN fuese mayor que la atracción SM, surgirá de la sola diferencia MN la perturbación de la proporcionalidad y de la órbita. Así la atracción SN siempre reduce la atracción SM, tercera de antes, a la atracción MN, permaneciendo iguales la primera y la segunda; y por lo tanto las áreas y los tiempos se aproximan de modo máximo a la proporcionalidad, y la órbita PAB a la figura elíptica mencionada, cuando la atracción MN es nula o la mínima posible; esto es, cuando las atracciones aceleratrices de los cuerpos P y T realizadas hacia S se aproximan cuanto sea posible a la igualdad; o sea, cuando la atracción SN ni es nula ni es inferior a la más pequeña de todas las atracciones SM, sino como la media entre la máxima y la mínima de las atracciones SM, esto es, ni mucho mayor ni mucho menor que la atracción SK. Q. E. D.

CASO 2. Ahora supóngase que los cuerpos menores S, P giran en distintos planos en torno a otro mayor T; y la fuerza LM, al actuar según la línea PT situada sobre el plano de la órbita PAB, producirá el mismo efecto que antes, y no desviará al cuerpo P del plano de su órbita. Pero, la otra fuerza MN, al actuar según una línea paralela a ST (y por tanto, cuando el cuerpo S se mueve fuera de la línea nodal, inclinada hacia el plano de la órbita PAB) produce, además de la perturbación del movimiento ya mencionada de sentido longitudinal, otra de sentido latitudinal, al atraer al cuerpo P fuera de su plano orbital. Y esta perturbación, para cualquier situación mutua dada de los cuerpos P y T, será como la fuerza generadora MN; y resultará, por tanto, mínima cuando MN sea mínima, esto es (como ya dije) cuando la atracción SN no es ni mucho mayor ni mucho menor que la atracción SK. Q. E. D.

COROLARIO 1. De esto se sigue fácilmente que si varios cuerpos pequeños, P, S, R, etc., giran en torno a otro mayor T, el movimiento del cuerpo más interior P será perturbado mínimamente por las atracciones de los exteriores, toda vez que el cuerpo mayor T es atraído y perturbado en igual medida por los demás, ch razón de las fuerzas aceleratrices, que los otros entre sí.

COROLARIO 2. Pero en un sistema de tres cuerpos, T, P, S, si las atracciones aceleratrices de dos cualesquiera sobre un tercero son entre sí como el inverso del cuadrado de las distancias; el cuerpo P, con radio PT, describirá el área en torno al cuerpo T más rápidamente en las inmediaciones de la conjunción A y de la oposición B, que en las inmediaciones de las cuadraturas C, D. Pues toda fuerza que actúa sobre el cuerpo P y no actúa sobre el cuerpo T, puesto que no actúa según la línea PT, acelera o retarda la descripción del área, según actúe por delante o por detrás. Tal es la fuerza MN. Esta fuerza, al ir el cuerpo P desde C hacia A atrae hacia adelante y acelera el movimiento; después hasta llegar a D actúa por detrás y retarda el movimiento, después por delante hasta B, y finalmente por detrás al ir desde B hasta C.

COROLARIO 3. Y por el mismo razonamiento es claro que el cuerpo P, permaneciendo iguales las demás cosas, se mueve más rápidamente en la conjunción y en la oposición que en las cuadraturas.

COROLARIO 4. La órbita del cuerpo P, permaneciendo igual lo demás, es más curva en las cuadraturas que en la conjunción y en la oposición. Puesto que cuanto más rápidamente se mueve un cuerpo menos se desvía de la línea recta. Y además, la fuerza KL, o MN, en la conjunción y en la oposición es contraria a la fuerza con la cual el cuerpo T atrae al cuerpo P, y por lo tanto hace disminuir a la tal fuerza; y entonces el cuerpo P se desviará de la línea recta tanto menos cuanto menos es atraído hacia el cuerpo T.

COROLARIO 5. De donde, el cuerpo P, permaneciendo el resto igual, se alejará más del cuerpo T en las cuadraturas que en la conjunción y la oposición. Esto es así excluyendo el movimiento de excentricidad. Puesto que si la órbita del cuerpo P fuese excéntrica, su excentricidad (como se verá en el siguiente Corolario 9) resultará máxima cuando los ápsides se hallen en las sicigias; y por ello puede ocurrir que el cuerpo P, al alcanzar el ápside máximo, se aleje más del cuerpo T en las sicigias que en las cuadraturas.

COROLARIO 6. Dado que la fuerza centrípeta del cuerpo central T, mediante la cual el cuerpo P es retenido en su órbita, aumenta en las cuadraturas por la suma de la fuerza LM y disminuye en las sicigias por la resta de la fuerza KL, y, dada la magnitud de la fuerza KL, disminuye más que aumenta; y además, puesto que dicha fuerza centrípeta (por el Corolario 2 de la Proposición IV) está en razón compuesta directamente como el radio TP e inversamente como el cuadrado del tiempo periódico, es evidente que dicha razón compuesta es disminuida por la acción de la fuerza KL; y por lo mismo que el tiempo periódico aumenta, si el radio TP de la órbita permanece constante, y ello como la raíz cuadrada de la razón en que disminuye dicha fuerza centrípeta; y, por tanto, al aumentar o disminuir este radio, el tiempo periódico aumentará más o disminuirá menos que la potencia 3⁄2 de dicho radio (por el Corolario 6 de la Proposición IV). Si la fuerza del cuerpo central disminuyera paulatinamente, el cuerpo P se alejaría siempre más del centro T al estar cada vez menos atraído; y, por el contrario, si dicha fuerza aumenta se acercará cada vez más. Por tanto, si la acción del cuerpo lejano S, mediante la cuál disminuye la susodicha fuerza, aumenta y disminuye alternativamente, aumentará y disminuirá alternativamente el radio TP; y también el tiempo periódico aumentará y disminuirá según una razón compuesta de la potencia 3⁄2 del radio y de la raíz cuadrada de la cantidad en que disminuyó o aumentó la fuerza centrípeta del cuerpo central T por causa del aumento o disminución de la acción del cuerpo lejano S.

COROLARIO 7. De lo antedicho se desprende también que el eje de la elipse descrita por el cuerpo P, o línea de los ápsides, en cuanto a su movimiento angular, avanza y retrocede alternativamente, aunque los avances son mayores, y gracias a estos excesos, en conjunto se desplaza hacia adelante. Pues la fuerza con la cual el cuerpo P es atraído hacia el cuerpo T en las cuadraturas, momento en que la fuerza MN se desvanece, se compone de la fuerza LM y de la fuerza centrípeta con la cual el cuerpo T atrae al cuerpo P. Si se aumenta la distancia PT la primera fuerza LM aumenta casi en la misma proporción que la distancia, mientras la segunda disminuye como el cuadrado de dicha distancia; con lo cual la suma de ambas fuerzas decrece en una razón menor que la del cuadrado de la distancia PT, y por lo mismo (por el Corolario 1 de la Proposición XLV) el auge, o ápside superior, resultará retrasado. Pero en la conjunción y en la oposición la fuerza con la cual el cuerpo P es atraído hacia el cuerpo T es la diferencia entre la fuerza con la cual el cuerpo atrae al cuerpo P y la fuerza KL; y esta diferencia, por cuanto que la fuerza KL aumenta muy aproximadamente en razón de la distancia PT, disminuye en razón mayor que la del cuadrado de la distancia PT, y por tanto (por el Corolario 1 de la Proposición XLV) hará que el auge se adelante. En los puntos comprendidos entre sicigias y cuadraturas el movimiento del auge depende conjuntamente de ambas causas, de modo que avanza o retrocede según el exceso de una o de otra. Puesto que la fuerza KL en las sicigias es casi el doble que la fuerza LM en las cuadraturas, el exceso se hallará hacia el lado de la fuerza KL y empujará hacia adelante al auge. Se comprenderá más fácilmente la verdad de este Corolario y la del precedente imaginando el sistema de los dos cuerpos T y P rodeado por todas partes de muchos cuerpos S, S, S, etc. colocados sobre la órbita ESE. Puesto que por la acción de éstos disminuye por todas partes la acción del propio T, disminuirá ésta más que en razón del cuadrado de la distancia.

COROLARIO 8. Pero como el progreso o retroceso de los ápsides depende de la disminución de la fuerza centrípeta, según resulte aquélla en razón mayor o menor que el cuadrado de la distancia TP, al ir pasando el cuerpo desde el ápside inferior al superior; lo mismo que del incremento análogo al regresar al ápside inferior; y es por tanto máximo cuando la proporción de la fuerza en el ápside superior a la fuerza en el ápside inferior resulte más alejada de la razón del inverso del cuadrado de las distancias: es evidente que los ápsides en sus sicigias progresarán más rápidamente —gracias a la fuerza sustractiva KL o NM - LM— mientras en sus cuadraturas regresarán más lentamente gracias a la fuerza aditiva LM. Al ser tan largo el período de tiempo en el cual ocurren tanto la velocidad del progreso como el retardo del regreso, dicha desigualdad se torna máxima a la larga.

COROLARIO 9. Si un cuerpo gira en una elipse en torno a un centro desde el cual es atraído por una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde dicho centro; y después, al caer desde el ápside superior o auge hacia el ápside inferior, dicha fuerza, por la presencia continua de otra fuerza nueva, aumentase hasta ser mayor que la razón del cuadrado de la distancia disminuida; es evidente que el cuerpo, empujado siempre hacia el centro por la presencia continua de la nueva fuerza, tenderá más hacia dicho centro que si solamente se viese afectado por la fuerza creciente según el cuadrado de la distancia disminuida; y por lo tanto describirá una órbita interior a la órbita elíptica, a la vez que el ápside inferior se acercará más al centro que antes. Pues la órbita, con la presencia de esta nueva fuerza, se tornará más excéntrica. Pero si la fuerza, al retornar el cuerpo desde el ápside inferior hasta el superior, decreciese en las mismas proporciones en que antes crecía, el cuerpo retornará a su distancia anterior, y por consiguiente, si la fuerza decrece en una razón mayor, el cuerpo atraído ahora en menor grado ascenderá hasta una distancia mayor, con lo cual se aumentará más aún la excentricidad de la órbita. Por lo cual, si la razón del incremento o decremento de la fuerza centrípeta aumenta en cada revolución, la excentricidad será siempre creciente; y, por el contrario, será decreciente si dicha razón disminuye. Ahora bien, en el sistema de cuerpos T, P, S, cuando los ápsides de la órbita PAB están en las cuadraturas, dicha razón de incrementos y decrementos es mínima, y máxima cuando los ápsides están en las sicigias. Cuando los ápsides se hallan en las cuadraturas, la razón es menor junto a las cuadraturas y mayor junto a las sicigias que el cuadrado de la razón de las distancias; y de dicha razón mayor surge el movimiento directo del auge, como ya se ha dicho. Pero si se considera globalmente la razón de aumento y disminución en el recorrido entre ápsides, ésta resulta menor que el cuadrado de la razón de las distancias. La fuerza en el ápside inferior es a la fuerza en el ápside superior en razón menor que la razón entre los cuadrados de la distancia entre el ápside superior y el foco de la elipse y la distancia entre el ápside inferior y el mismo foco; y al contrario, cuando los ápsides se hallan en las sicigias la fuerza en el ápside inferior está en razón mayor, con respecto a la fuerza en el ápside superior, que la razón de los cuadrados de las distancias. Puesto que en las cuadraturas las fuerzas LM sumadas a las fuerzas del cuerpo T componen fuerzas en menor razón, y las fuerzas KL restadas en las sicigias de las del cuerpo T dejan fuerzas que están en razón mayor. Por lo tanto, la razón global de incremento y decremento en el recorrido entre ápsides es mínima en las cuadraturas y máxima en las sicigias: por lo mismo en el recorrido de los ápsides desde las cuadraturas hasta las sicigias aumenta continuamente, y aumenta de paso la excentricidad de la elipse; mientras que en el recorrido desde las sicigias hasta las cuadraturas disminuye continuamente a la vez que decrece la excentricidad.

COROLARIO 10. Para poder calcular los errores de latitud, supongamos que permanece inmóvil el plano de la órbita EST; y supuesta la causa de los errores ya explicada, es evidente que de las dos fuerzas NM y ML que son la causa total antedicha, la fuerza ML actuando siempre según el plano PAB de la órbita jamás perturba los movimientos en latitud; y que la fuerza NM, cuando los nodos están en las sicigias, al actuar también según el mismo plano de la órbita, tampoco perturba estos movimientos; pero cuando están en las cuadraturas, los perturba máximamente y, al atraer continuamente al cuerpo P del plano de su órbita, disminuye la inclinación del plano durante el tránsito del cuerpo de las cuadraturas a las sicigias y la aumenta cuando pasa de las sicigias a las cuadraturas. De donde viene a ocurrir que cuando el cuerpo se halla en las sicigias la inclinación resulte mínima entre todas, mientras que vuelve a alcanzar la magnitud anterior aproximadamente, cuando el cuerpo llega al nodo siguiente. Pero si los nodos se sitúan en los octantes tras las cuadraturas, esto es, entre C y A, D y B, de lo dicho se entiende que al pasar el cuerpo P desde cualquier nodo hasta el grado nonagésimo siguiente la inclinación del plano disminuye continuamente; y a partir de aquí durante los siguientes cuarenta y cinco grados hasta llegar a la siguiente cuadratura, la inclinación aumenta, para disminuir de nuevo mientras transita por los siguientes cuarenta y cinco grados hasta el nodo siguiente. Y así la inclinación disminuye más que aumenta, por lo cual es siempre menor en el nodo siguiente que en el anterior. Y por un razonamiento semejante, la inclinación aumenta más que disminuye cuando los nodos están en los otros octantes, entre A y D, B y C. Y por ello la inclinación es máxima cuando los nodos están en las sicigias. Al ir pasando los nodos de las sicigias a las cuadraturas la inclinación va disminuyendo con cada aproximación del cuerpo a los nodos; y llega a ser mínima cuando los nodos están en las cuadraturas y el cuerpo en las sicigias; después crece de nuevo al mismo paso que antes decreció; y al acercarse los nodos a las sicigias siguientes, alcanza la anterior magnitud.

COROLARIO 11. Puesto que el cuerpo P es atraído continuamente del plano de su órbita cuando los nodos se hallan en las cuadraturas, y ello en dirección a S durante su tránsito del nodo C hasta el D pasando por la conjunción A; y en dirección contraria durante su tránsito del nodo D al C pasando por la oposición B: es evidente que en su movimiento desde el nodo C el cuerpo se separa continuamente del primitivo plano de su órbita CD hasta su llegada al nodo siguiente; y por esto, al distanciarse mucho en este nodo del plano primitivo CD, pasa por el plano de la órbita EST no por el otro nodo D correspondiente a dicho plano, sino por un punto situado hacia el lado de S, punto que se convierte, por tanto, en el nuevo lugar del nodo en retroceso. Y, por un razonamiento similar, los nodos continúan retrocediendo cu cada tránsito del cuerpo de este nodo al siguiente. Por consiguiente los nodos situados en las cuadraturas retroceden continuamente; en las sicigias, donde los movimientos no se perturban en absoluto en el sentido de la latitud, están en reposo; en los puntos intermedios, al participar de ambas condiciones, retroceden más lentamente: y por lo tanto, al ser siempre o retrógrados o estacionarios, resultarán adelantados con cada revolución.

COROLARIO 12. Todos los errores descritos en estos Corolarios son algo mayores en las conjunciones de los cuerpos P, S que en sus oposiciones; y esto por ser mayores las fuerzas generadoras NM y ML.

COROLARIO 13. Pese a que las razones dadas en estos Corolarios no dependan de la magnitud del cuerpo S, todo lo que antecede se cumple cuando se atribuye al cuerpo S una magnitud tan grande como para que el sistema de los cuerpos T y P gire en torno a él. Y al aumentar el tamaño del cuerpo S y con ello su fuerza centrípeta de la que surgen los errores del cuerpo P, resultarán mayores, a distancias iguales, los susodichos errores en este caso que en el otro, cuando el cuerpo S gira en torno al sistema de cuerpos P y T.

COROLARIO 14. Pero como las fuerzas NM y ML, cuando el cuerpo S se halla a gran distancia, son aproximadamente como la fuerza SK y la razón PT a ST conjuntamente, esto es, si se diesen tanto la distancia PT como la fuerza absoluta de S, como el inverso de ST3; y son también las dichas fuerzas NM y ML las causas de todos los errores y efectos vistos en los anteriores Corolarios: es evidente que todos los efectos mencionados, permaneciendo el sistema de cuerpos P y T, y cambiando solamente la distancia ST y la fuerza absoluta del cuerpo S, estarán muy aproximadamente en razón compuesta de la razón directa de la fuerza absoluta del cuerpo S y de la razón inversa de la distancia ST al cubo. De donde se sigue que, si el sistema de cuerpos T y P gira en torno al cuerpo lejano S, las fuerzas NM y ML, así como sus efectos, serán (por los Corolarios 2 y 6 de la Proposición IV) inversamente como el cuadrado del tiempo periódico. Y además, si la magnitud del cuerpo S es proporcional a su fuerza absoluta, las fuerzas NM y ML y sus efectos serán en razón directa del cubo del diámetro aparente del cuerpo lejano S visto desde T, y viceversa. Ya que estas razones son las mismas que la anterior razón compuesta.

COROLARIO 15. Y aunque si las órbitas ESE y PAB, conservando sus formas, proporciones e inclinación mutua, alterasen su magnitud y si las fuerzas de los cuerpos S y T permaneciesen constantes o cambiasen en una razón dada, estas fuerzas (esto es, la fuerza del cuerpo T que hace al cuerpo P desviarse de su curso recto para seguir la órbita PAB, y la fuerza del cuerpo S que obliga al cuerpo P a desviarse de dicha órbita) siempre actuarán del mismo modo y en la misma proporción, necesariamente todos los efectos serán semejantes y proporcionales, como también serán proporcionales los tiempos de los efectos; esto es, todos los errores lineales serán como los diámetros de las órbitas, mientras los errores angulares serán como antes, y los tiempos de errores lineales semejantes, o de errores angulares iguales serán como los tiempos periódicos de las órbitas.

COROLARIO 16. De donde, si están dadas las formas de las órbitas y sus inclinaciones mutuas, y se alteran de cualquier modo las magnitudes, fuerzas y distancias de los cuerpos, de los errores dados y de los tiempos de los errores en un caso se pueden inferir los errores y los tiempos de los errores de otro caso con gran aproximación; pero más brevemente aún con el método siguiente. Las fuerzas NM y ML, permaneciendo constante el resto, son como el radio TP; y sus efectos periódicos (por el Corolario 2 del Lema X) como las fuerzas y el cuadrado del tiempo periódico del cuerpo P conjuntamente. Estos son los errores lineales del cuerpo P; y de aquí que los errores angulares vistos desde el centro T (esto es, tanto el movimiento del auge y de los nodos como todos los errores aparentes en longitud y en latitud) son para cada revolución del cuerpo P aproximadamente como el cuadrado del tiempo de la revolución. Al componer estas razones con las razones del Corolario 14 resulta que en todo sistema de cuerpos T, P, S, en donde P gira en torno a T muy cercano a él, y T gira en torno a S muy distante, los errores angulares del cuerpo P visto desde T serán, en cada revolución del cuerpo P, directamente como el cuadrado del tiempo periódico del cuerpo P, e inversamente como el cuadrado del tiempo periódico del cuerpo T. Y por tanto el movimiento medio del auge estará en una razón dada con el movimiento medio de los nodos; y ambos movimientos serán directamente como el tiempo periódico de P, c inversamente como el cuadrado del tiempo periódico de T. Aumentando o disminuyendo la excentricidad e inclinación de la órbita PAB no se alteran los movimientos del auge y de los nodos de manera sensible, salvo que aquellos sean demasiado grandes.

COROLARIO 17. Dado que la línea LM resulta unas veces mayor y otras menor que el radio PT, represéntese el valor medio de la fuerza LM por dicho radio PT; y este valor será a la fuerza media SK o SN (que puede representarse también por ST) como la longitud PT a la longitud ST. Pero la fuerza media SN o ST, mediante la cual el cuerpo T es retenido en su órbita en torno a S, es a la fuerza, mediante la cual el cuerpo P es retenido en su órbita en torno a T, en razón compuesta de la razón del radio ST al radio PT y de la razón cuadrada del tiempo periódico del cuerpo P en torno a T al tiempo periódico del cuerpo T en torno a S. Y por lo mismo la fuerza media LM es a la fuerza que retiene al cuerpo P en su órbita en torno a T (o también por la que el susodicho cuerpo P podría girar en el mismo tiempo periódico en torno al punto móvil T a la distancia PT) en dicha razón cuadrada de los tiempos periódicos. Por tanto, dados los tiempos periódicos y la distancia PT, está dada la fuerza media LM; y dada ésta, también está dada muy aproximadamente la MN, por la analogía de las líneas PT, MN.

COROLARIO 18. Supongamos que muchos cuerpos fluidos se mueven en torno al mismo T a distancias iguales y bajo las mismas leyes con las que el cuerpo P gira en torno al cuerpo T; y que al llegar a ser contiguos acaban formando un anillo fluido, redondo y concéntrico con el cuerpo T; y cada parte del anillo, realizando todos sus movimientos según la ley del cuerpo P, se acercará más al cuerpo T, y se moverá más rápidamente en las conjunciones y oposiciones de la misma y del cuerpo S, que en las cuadraturas. Los nodos de dicho anillo, o sea, sus intersecciones con el plano de la órbita del cuerpo S o T, estarán en reposo en las sicigias; pero fuera de las sicigias, se moverán hacia atrás, y en las cuadraturas muy rápidamente, en otros puntos más lentamente. La inclinación del anillo también variará y su eje oscilará en cada revolución, y al completarse ésta retornará a su estado anterior, salvo en la medida en que sea desplazada circularmente por la precesión de los nodos.

COROLARIO 19. Imaginemos ahora que la esfera del cuerpo T, constituida de materia no fluida, se expande y se extiende hasta alcanzar dicho anillo, y que hay agua en un foso excavado a lo largo de toda su circunferencia mientras gira uniformemente sobre su eje con el mismo movimiento periódico. Al ser este líquido acelerado y retardado alternativamente (como en el Corolario anterior) será más veloz en las sicigias y más lento en las cuadraturas que la superficie de la esfera, y así experimentará flujo y reflujo dentro del foso como el mar. Si se suprimiese la atracción del cuerpo S, el agua no adquiriría ningún movimiento de flujo o reflujo al girar en torno al centro en reposo de la esfera. La razón es la misma para una esfera que se desplaza uniformemente en línea recta mientras gira en torno a su centro (por el Corolario V de las Leyes) y para una esfera uniformemente desviada de su curso rectilíneo (por el Corolario VI de las mismas Leyes). Pero si se acerca el cuerpo S, por su desigual atracción, el agua será perturbada inmediatamente. Y será efectivamente mayor la atracción del agua más cercana y menor la de la más lejana. Pues la fuerza LM atraerá el agua en las cuadraturas hacia abajo, y la hará descender hasta las sicigias; y la fuerza KL la atraerá hacia arriba en las sicigias, detendrá su descenso y la hará ascender hasta las cuadraturas, salvo en la medida en que el flujo y reflujo del agua es obligado por el foso, y resulta algo retardado por el rozamiento.

COROLARIO 20. Si ahora el anillo se torna rígido y el globo disminuye, cesará el movimiento de flujo y reflujo; pero permanecerá el movimiento oscilatorio de la inclinación así como la precesión de los nodos. Supóngase que el globo tiene el mismo eje que el anillo y que completa sus revoluciones en el mismo tiempo, que toca por dentro al anillo con su superficie y esté adherido a él; al compartir el movimiento del anillo, el conjunto de los dos oscilará, y los nodos retrocederán. Pues el globo, como diremos ahora, es indiferente para recibir todas las impresiones. El ángulo máximo de inclinación para el anillo que rodea al globo ocurre cuando los nodos se hallan en las sicigias. Al pasar los nodos desde aquí hacia las cuadraturas, intenta reducir su inclinación y con este intento comunica un movimiento al globo entero. El globo retiene este movimiento impreso hasta que el anillo con un intento contrario suprime este movimiento e imprime otro en sentido contrario: de este modo el movimiento máximo de inclinación decreciente ocurre cuando los nodos se hallan en las cuadraturas, y el ángulo mínimo de inclinación en los octantes posteriores a las cuadraturas; y de nuevo el máximo movimiento de reclinación en las sicigias y el ángulo máximo en los octantes siguientes. Igual es el caso para el globo despojado de anillo cuando en las regiones ecuatoriales es algo más alto o conste de materia algo más densa que en los polos. Pues este exceso de materia en la parte ecuatorial hace las veces de anillo. Y aunque se suponga que, al aumentar la fuerza centrípeta de este globo en cualquier forma, todas sus partes tenderían hacia abajo, como las partes en gravitación de la Tierra, apenas cambiarían por ello los fenómenos de este Corolario y del precedente; salvo en lo que variasen los lugares de máximas y mínimas alturas del agua. Pues el agua en su órbita ya no se sostiene y permanece por su fuerza centrífuga, sino por el foso donde fluye. Y además la fuerza LM atrae el agua hacia abajo en máximo grado en las cuadraturas, y la fuerza KL o NM - LM la atrae en el mayor grado hacia arriba en las sicigias. Y las dos fuerzas conjuntas dejan de atraer el agua hacia abajo y empiezan a atraerla hacia arriba en los octantes anteriores a las sicigias; y dejan de atraer el agua hacia arriba y empiezan a atraerla hacia abajo en los octantes posteriores a las sicigias. De aquí que la máxima altura del agua pueda ocurrir en los octantes posteriores a las sicigias, y la mínima aproximadamente en los octantes siguientes a las cuadraturas; salvo en la medida en la que el movimiento ascendente o descendente impreso por dichas fuerzas pueda continuar un poco por causa de la fuerza ínsita del agua, o detenerse un poco más pronto por causa de los obstáculos en el foso.

COROLARIO 21. Por la misma razón es por la que el exceso de materia del globo en el ecuador hace que los nodos sean retrógrados, y también que el aumento de dicho exceso aumente tal regreso, y que por su disminución disminuya y que con la supresión desaparezca. Si se suprimiese la materia redundante, esto es, si el globo en el ecuador fuese menos abultado o menos denso que en los polos, se originaría un movimiento de los nodos hacia adelante.

COROLARIO 22. Y de aquí, a su vez, que del movimiento de los nodos se desprenda la constitución del globo. Ya que si el globo conserva los mismos polos de modo constante y el movimiento de los nodos es retrógrado, en el ecuador hay un exceso de materia; pero si se mueven hacia adelante entonces hay falta de ella. Supóngase que un globo uniforme y perfectamente redondo se halle primero en reposo en un espacio libre; después es empujado por un impulso cualquiera ejercido oblicuamente sobre su superficie, y adquiere así un movimiento en parte circular y en parte rectilíneo. Puesto que semejante globo es completamente indiferente respecto a todos los ejes que pasan por su centro, ni es más propenso hacia un eje, o hacia una posición del eje, que hacia otra; es evidente que jamás cambiará ni de eje ni de posición del eje por su propia fuerza. Sea empujado ahora con un nuevo impulso oblicuamente ejercido sobre la misma parte de la superficie en que se ejerció antes; y como el antes o el después en nada cambia el efecto de un impulso, es evidente que estos dos impulsos ejercidos sucesivamente producen el mismo movimiento que si se hubiesen ejercido a la vez, esto es, el mismo que tendría el globo si hubiese sido empujado por una sola fuerza compuesta de las dos (por el Corolario II de las Leyes), esto es, un movimiento simple en torno a un eje de inclinación dada. E igual es el caso si el segundo impulso se diese en cualquier lugar del ecuador del primero, lo mismo que ocurriría si el primer impulso se aplicase sobre un lugar cualquiera del ecuador del movimiento generado por el segundo impulso sin el concurso del primero; y por tanto, el de ambos impulsos ejercidos sobre cualesquiera lugares: dichos impulsos generarán el mismo movimiento circular que si se efectuasen a la vez y cada vez en el lugar de la intersección de los ecuadores de los movimientos generados por cada uno de ellos. Por tanto, un globo homogéneo y perfecto no retiene muchos movimientos diferenciados, sino que compone todos los movimientos impresos y los reduce a uno, y en tanto depende de él, gira siempre con un movimiento simple y uniforme en torno a un único eje dado y de inclinación invariable. Y ni siquiera la fuerza centrípeta podrá cambiar la inclinación del eje o la velocidad de rotación. Pues si suponemos el globo dividido en dos hemisferios por un plano que pase por su centro y por el centro al que se dirige la fuerza, dicha fuerza urgirá siempre por igual a ambos hemisferios y, por tanto, el globo no se inclinará hacia ningún lado en cuanto a su movimiento de rotación. Pero añádase en cualquier lugar entre el polo y el ecuador nueva materia acumulada en forma de monte, y ésta, con el intento continuo de alejarse de su centro de movimiento, perturbará el movimiento del globo y hará que sus polos vaguen por su superficie, describiendo círculos en torno de sí mismos y de sus puntos opuestos continuamente. Y tamaña desviación no se corregirá hasta que dicho monte no se sitúe, bien en cualquiera de los polos, en cuyo caso (por el Corolario 21) los nodos ecuatoriales se adelantarán; bien en el ecuador, y por esta causa (por el Corolario 20) retrocederán; o bien, finalmente, añadiendo materia nueva al otro lado del eje que venga a equilibrar el movimiento del monte, y de este modo los nodos se adelantarán o retrocederán según se hallen el monte y esta nueva materia más cerca del polo o del ecuador.

PROPOSICIÓN LXVII. TEOREMA XXVII

Supuestas las mismas leyes de las atracciones, digo que el cuerpo exterior S, con radios trazados al centro común de gravedad O de los cuerpos interiores P, T, describe en torno a dicho centro áreas más proporcionales a los tiempos y una órbita más cercana a la forma de una elipse con foco en dicho centro, que la que describiría en torno al cuerpo mayor y más interior T con radios trazados a él.

Puesto que las atracciones del cuerpo S hacia T y P componen su atracción absoluta, que se dirige más hacia O, centro común de gravedad de T y P, que hacia el cuerpo mayor T, y es más proporcional al inverso del cuadrado de la distancia SO que al del cuadrado de la distancia ST; como fácilmente verá quien piense en ello.

PROPOSICIÓN LXVIII. TEOREMA XXVIII

Supuestas las mismas leyes de las atracciones, digo que el cuerpo exterior S, con radios trazados al centro común de gravedad O de los cuerpos interiores P y T, describe áreas más proporcionales a los tiempos en torno a dicho centro y una órbita más semejante a la forma de una elipse con foco en dicho centro, si el cuerpo mayor y más interior fuese perturbado por tales atracciones igual que los demás, que si éste, o bien reposa sin atracción alguna, o bien es atraído mucho más o mucho menos o perturbado mucho más o mucho menos.

Se demuestra casi del mismo modo que la Proposición LXVI, pero con un argumento más prolijo, del cual prescindo por eso. Bastará considerarlo como sigue. De la última Proposición se sigue que el centro hacia el que se ve urgido el cuerpo S por las tuerzas conjuntas está próximo al centro común de gravedad de los otros dos. Si aquel centro coincide con este centro común y el centro común de gravedad de los tres estuviese en reposo, el cuerpo S por una parte, y el centro común de los otros dos por oirá, describirán elipses exactas en torno al centro común en reposo de los tres. Esto se sigue del Corolario 2 de la Proposición LVIII, al compararlo con lo demostrado en las Proposiciones LXIV y LXV. Este movimiento elíptico es un tanto perturbado por la distancia entre el centro de los dos cuerpos y el centro hacia el cual es atraído el tercer cuerpo S. Añádase además un movimiento al centro común de los tres, y aumentará la perturbación. Por lo tanto, la perturbación será mínima cuando el centro común de los tres está en reposo; esto es, cuando el cuerpo mayor y más interior T es atraído con la misma ley de los otros: y se hace mayor cada vez cuando el centro común de los tres, al disminuir el movimiento del cuerpo T, empieza a moverse y se va agitando más y más.

COROLARIO. Y de aquí que, si varios cuerpos pequeños giran en torno a uno mayor, se pueda inferir que las órbitas descritas se aproximarán más a elipses, y la descripción de las áreas será más uniforme si todos los cuerpos se atraen y perturban mutuamente con fuerzas aceleratrices directamente proporcionales a sus fuerzas absolutas e inversamente proporcionales a los cuadrados de las distancias, y el foco de cada órbita se halla en el centro común de gravedad de todos los cuerpos interiores (a saber, si el foco de la órbita primera y más interior se halla en el centro de gravedad del cuerpo mayor y más interior; el foco de la segunda en el centro común de gravedad de los dos cuerpos más interiores; el de la tercera en el centro común de gravedad de los tres interiores, y así sucesivamente) que si el cuerpo interior estuviese en reposo y se convirtiera en el foco común de todas las órbitas.

PROPOSICIÓN LXIX. TEOREMA XXIX

En un sistema de varios cuerpos A, B, C, D, etc., si un cuerpo A atrae a todos los otros B, C, D, etc., con fuerzas aceleratrices que son inversamente como los cuadrados de las distancias al cuerpo atrayente; y otro cuerpo B atrae también a los otros cuerpos A, C, D, etc., con fuerzas que son inversamente como el cuadrado de las distancias al cuerpo atrayente: las fuerzas absolutas de los cuerpos atrayentes A, B, serán entre sí como los propios cuerpos A, B, a quienes corresponden dichas fuerzas.

Pues las atracciones aceleratrices de todos los cuerpos B, C, D, etc., hacia A son iguales entre sí a distancias iguales, por hipótesis; y de igual modo las atracciones aceleratrices de todos los cuerpos hacia B son iguales a distancias iguales. Pero la fuerza atractiva absoluta del cuerpo A es a la fuerza atractiva absoluta del cuerpo B como la atracción aceleratriz de todos los cuerpos hacia A es a la atracción aceleratriz de todos los cuerpos hacia B, a distancias iguales; y así es la atracción aceleratriz del cuerpo B hacia A a la atracción aceleratriz del cuerpo A hacia B. Pero la atracción aceleratriz del cuerpo B hacia A es a la atracción aceleratriz del cuerpo A hacia B, como la masa del cuerpo A a la masa del cuerpo B; puesto que las fuerzas motrices, que (por las Definiciones segunda, séptima y octava) son como las fuerzas aceleratrices y los cuerpos atraídos conjuntamente, son en este caso (por la Ley tercera del movimiento) iguales entre sí. Por lo tanto, la fuerza atractiva absoluta del cuerpo A es a la fuerza atractiva absoluta del cuerpo B como la masa del cuerpo A es a la masa del cuerpo B. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por tanto, si cada cuerpo del sistema, A, B, C, D, etc., considerado individualmente, atrae a todos los otros con fuerzas aceleratrices que son inversamente como los cuadrados de las distancias al atrayente; las fuerzas absolutas de todos estos cuerpos serán unas a otras como los propios cuerpos.

COROLARIO 2. Por la misma razón, si cada cuerpo del sistema, A, B, C, D, etc., considerado individualmente atrae a lodos los otros con fuerzas aceleratrices que están en razón directa o inversa de alguna potencia de las distancias al atrayente, o que vienen definidas por las distancias desde cada cuerpo atrayente según alguna ley común; está claro que las fuerzas absolutas de dichos cuerpos son como los cuerpos.

COROLARIO 3. En un sistema de cuerpos cuyas fuerzas decrecen en razón del cuadrado de las distancias, si los cuerpos menores giran en torno al mayor en elipses que tienen el foco común en el centro del cuerpo mayor y se aproximan lo más posible a dicha figura, a la vez que con radios trazados a dicho cuerpo mayor describen áreas lo más proporcionales posible a los tiempos: las fuerzas absolutas de dichos cuerpos serán entre sí en razón exacta o muy aproximada de los cuerpos; y viceversa. Es evidente por el Corolario de la Proposición XLVIII junto con el Corolario primero de esta Proposición.

ESCOLIO

Estas proposiciones nos conducen a la analogía entre fuerzas centrípetas y cuerpos centrales, hacia los cuales suelen dirigirse dichas fuerzas; pues parece razonable que las fuerzas que se dirigen hacia los cuerpos dependan de la naturaleza y magnitud de dichos cuerpos, como ocurre con los imanes. Y cuantas veces ocurren estos casos se tendrán que calcular las atracciones de los cuerpos atribuyendo a cada una de sus partículas las fuerzas adecuadas y obteniendo la suma de fuerzas. Tomo aquí la palabra atracción de modo genérico para cualquier conato de los cuerpos de acercarse mutuamente, tanto si tal conato acontece por la acción de los cuerpos, que se buscan unos a otros o se agitan mutuamente mediante emisión de espíritus, como si surge de la acción del éter o del aire o de cualquier otro medio corpóreo o incorpóreo que empuje de alguna forma a los cuerpos inmersos en él unos hacia otros. Y en el mismo sentido genérico utilizo el término impulso, ocupándome en este tratado no de las especies de fuerzas y cualidades físicas, sino de las cantidades y proporciones matemáticas, como expliqué en las definiciones. En matemáticas se han de investigar las magnitudes de las fuerzas y las razones que se siguen en cualesquiera condiciones supuestas: después, al descender a la física, hay que comparar estas razones con los fenómenos; para que aparezca cuáles condiciones de esas fuerzas corresponden a cada clase de cuerpos atractivos. Y sólo después será posible discutir con más seguridad sobre las clases de fuerzas, de las causas y razones físicas. Veamos, pues, con qué fuerzas deberán interaccionar entre sí los cuerpos esféricos constituidos de partículas atractivas de la manera ya dicha y qué movimientos van a seguirse de ello.