Sección XII. De las fuerzas atractivas de cuerpos esféricos

Sección XII DE LAS FUERZAS ATRACTIVAS DE CUERPOS ESFÉRICOS

PROPOSICIÓN LXX. TEOREMA XXX

Si hacia cada punto de una superficie esférica se dirigiesen fuerzas centrípetas iguales y decrecientes en razón del cuadrado de la distancia desde dichos puntos: digo que un corpúsculo situado en el interior de dicha superficie no es atraído hacia ningún lado por tales fuerzas.

Sea HIKL la superficie esférica y P el corpúsculo ubicado en el interior. Trácense por P hasta esa superficie las dos líneas HK, IL, que intercepten arcos HI, KL, muy pequeños; y, por la semejanza de los triángulos HPI, LPK (por el Corolario 3 del Lema VII), dichos arcos serán proporcionales a las distancias HP, LP; y las partículas ubicadas en HI, KL, de la superficie esférica delimitada por rectas que pasen por P en cualquier dirección se hallarán bajo la susodicha razón del cuadrado. Luego las fuerzas de dichas partículas ejercidas hacia el cuerpo P son iguales entre sí. Puesto que son directamente como las partículas, e inversamente como el cuadrado de las distancias. Y esas dos razones componen una razón de igualdad. Pero las atracciones iguales hechas en sentido contrario se destruyen mutuamente. Por la misma razón todas las atracciones de toda la superficie esférica son destruidas por atracciones contrarias. Por consiguiente, el cuerpo P no será impelido hacia parte alguna por dichas atracciones. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXI. TEOREMA XXXI

Con los mismos supuestos, digo que un corpúsculo situado fuera de una superficie esférica es atraído hacia el centro de la esfera con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la esfera.

Sean AHKB, ahkb, dos superficies esféricas iguales descritas con centros en S, s, y diámetros AB, ab, y sean P, p, corpúsculos situados en el exterior sobre la prolongación de dichos diámetros. Desde los corpúsculos trácense las líneas PHK, PIL y phk, pil, seccionando de los círculos máximos AHB, ahb, los arcos iguales HK, hk, e IL, il: desciendan sobre ellas las perpendiculares SD, sd; SE, se; IR, ir; tales que SD, sd, corten a PL, pl, en F y ƒ; caigan también sobre los diámetros las perpendiculares IQ, iq. Desvanézcanse los ángulos DPE, dpe; y por ser iguales las líneas DS y ds, ES y es, pueden considerarse iguales las líneas PE, PF, y pe, pƒ, así como los pequeños segmentos DF, dƒ; puesto que su razón última es de igualdad al desvanecerse a la vez los ángulos DPE, dpe. Una vez hecho esto, PI será a PF como RI a DF, y pƒ a pi como dƒ o DF a ri; y por tanto PI x pƒ a PF x pi como RI a ri, esto es (por el Corolario 3 del Lema VII) como el arco IH al arco ih. De nuevo PI a PS como IQ a SE, y ps a pi como se o SE a iq; y por tanto PI x ps a PS x pi como IQ a iq. Y el producto de las razones PI2 x pƒ x ps es a pz2 x PF x PS, como IH x IQ a ih x ig; esto es, como la superficie circular que describiría el arco IH al girar el semicírculo AKB sobre el diámetro AB es a la superficie circular que describiría el arco ih al girar el semicírculo akb sobre el diámetro ab. Y las fuerzas con las cuales estas superficies atraen según líneas tendentes hacia ellas a los corpúsculos P y p son (por hipótesis) directamente como dichas superficies e inversamente como el cuadrado de las distancias entre los cuerpos y las superficies, esto es, como pƒ x ps a PF x PS. Y estas fuerzas son a sus partes oblicuas que (una vez descompuestas las fuerzas según el Corolario II de las Leyes) tienden al centro según las líneas PS, ps, como PI a PQ, y pi a pq; esto es (por la semejanza de los triángulos PIQ y PSF, piq y psƒ) como PS a PF y ps a pƒ. De donde resulta que la atracción del corpúsculo P hacia S es a la atracción del corpúsculo p hacia s como PF x pƒ x ps / PS a pƒ x PF x PS / ps, esto es, como ps2 a PS2. Y por igual razón las fuerzas con las cuales las superficies descritas por la revolución de los arcos KL y kl atraen a los corpúsculos serán como ps2 a PS2. hallándose siempre en esta proporción las fuerzas de todas las superficies esféricas en que puedan dividirse ambas superficies esféricas, siempre que se tomen sd igual a SD y se igual a SE. Y, por composición, las fuerzas de todas las superficies esféricas ejercidas sobre los corpúsculos se hallarán en la misma proporción. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXII. TEOREMA XXXII

Si hacia cada punto de una esfera tienden fuerzas centrípetas iguales y decrecientes como el cuadrado de las distancias desde dichos puntos; y si está dada tanto la densidad como la razón del diámetro de la esfera a la distancia desde su centro hasta el corpúsculo: digo que la fuerza con la cual el corpúsculo es atraído será proporcional al semidiámetro de la esfera.

Pues supongamos que dos corpúsculos son atraídos cada uno de ellos por dos esferas, uno por una y otro por otra, y que sus distancias a los centros de las esferas son respectivamente proporcionales a los diámetros de las esferas, a la vez que las esferas se hallan compuestas de partículas semejantes y semejantemente dispuestas respecto a los corpúsculos. En tal caso las atracciones de un corpúsculo respecto a cada partícula de una esfera serán a las atracciones del otro corpúsculo respecto a cada partícula de la otra esfera como la razón compuesta de la razón directa de las partículas y de la razón inversa del cuadrado de las distancias. Pero las partículas son como las esferas, esto es, como el cubo de los diámetros, y las distancias son como los diámetros; y la primera razón directamente junto con el cuadrado de la segunda inversamente es la razón de diámetro a diámetro. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si giran unos corpúsculos en círculos en torno a esferas que constan de materia igualmente atractiva, y las distancias a los centros de esas esferas son proporcionales a los diámetros de las mismas; los tiempos periódicos serán iguales.

COROLARIO 2. Y viceversa, si los tiempos periódicos son iguales, las distancias serán proporcionales a los diámetros. Estos dos constan por el Corolario 3 de la Proposición IV.

COROLARIO 3. Si hacia cada punto de dos sólidos cualesquiera semejantes e igualmente densos tienden fuerzas centrípetas iguales y decrecientes según el cuadrado de las distancias a dichos puntos, las fuerzas, por las cuales los corpúsculos son atraídos hacia tales sólidos desde posiciones semejantes respecto a ellos, serán entre sí como los diámetros de los sólidos.

PROPOSICIÓN LXXIII. TEOREMA XXXIII

Si hacia cada punto de una esfera dada tienden fuerzas centrípetas iguales y decrecientes según el cuadrado de la distancia a dichos puntos, digo que un corpúsculo situado dentro de la esfera es atraído con una fuerza proporcional a su distancia al centro.

En la esfera ABCD, trazada con centro en S, póngase el corpúsculo P; y con centro en el mismo S y distancia SP supóngase trazada la esfera PEQF. Es evidente (por la Proposición LXX) que las superficies esféricas concéntricas de que se compone la diferencia entre esferas AEBF en nada actúa sobre el cuerpo P, al destruirse sus atracciones por las contrarias. Sólo queda la atracción de la esfera interior PEQF. Y (por la Proposición LXXII) ésta es como la distancia PS. Q. E. D.

ESCOLIO

Las superficies de que se componen los cuerpos no son aquí puramente matemáticas, sino orbes tan tenues que su espesor es casi nulo; o sea, orbes evanescentes de los cuales consta la esfera al final cuando el número de dichos orbes aumenta y su espesor disminuye hasta el infinito. Igualmente hay que entender los puntos, de los que se dice que constituyen las líneas, las superficies y los sólidos, como partículas iguales de magnitud despreciable.

PROPOSICIÓN LXXIV. TEOREMA XXXIV

Con los mismos supuestos, digo que un corpúsculo situado fuera de una esfera es atraído con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la misma.

Pues divídase la esfera en innumerables superficies esféricas concéntricas, y las atracciones sobre el corpúsculo resultantes de cada una de las superficies serán inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia del corpúsculo al centro (por la Proposición LXXI). Y al componer resultará la suma de las atracciones, esto es, la atracción del corpúsculo hacia toda la esfera, en la misma razón. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que a iguales distancias de los centros de esferas homogéneas las atracciones son como las esferas. Pues (por la Proposición LXXII) si las distancias son proporcionales a los diámetros de las esferas, las fuerzas serán como los diámetros. Disminúyase en esa razón la distancia mayor; y al ser ahora iguales las distancias, la atracción aumentará como el cuadrado de dicha razón; y, por lo tanto, será a la otra atracción como el cubo de dicha razón, esto es, como la razón de las esferas.

COROLARIO 2. A distancias cualesquiera las atracciones son como las esferas divididas por el cuadrado de las distancias.

COROLARIO 3. Si un corpúsculo se halla fuera de una esfera homogénea, es atraído con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de aquélla y la esfera está constituida de partículas atractivas; la fuerza de cualquier partícula decrecerá como el cuadrado de la distancia desde la partícula.

PROPOSICIÓN LXXV. TEOREMA XXXV

Si hacia cada punto de una esfera dada tienden fuerzas centrípetas iguales y decrecientes según el cuadrado de las distancias a cada punto; digo que otra esfera cualquiera semejante será atraída por ella con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre los centros.

Pues la atracción de cada partícula es inversamente como el cuadrado de su distancia al centro de la esfera atrayente (por la Proposición LXXIV) y, por tanto, resulta ser la misma que si toda la fuerza atractiva procediese de un único corpúsculo situado en el centro de la tal esfera. Pero dicha atracción es tanta cuanta, a su vez, sería la atracción del mismo corpúsculo si fuese atraído por cada partícula de la esfera atraída con una fuerza igual a aquélla con la que él mismo atrae. Pero dicha atracción del corpúsculo (por la Proposición LXXIV) sería inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la esfera; y, por lo tanto, la atracción de una esfera igual a ella se halla también en la misma razón. Q. E. D.

COROLARIO 1. Las atracciones de esferas hacia otras esferas homogéneas son como las esferas atrayentes divididas por el cuadrado de las distancias entre sus centros y los de las atraídas.

COROLARIO 2. Lo mismo ocurre cuando la esfera atraída también atrae. Puesto que cada punto de ésta atrae a cada punió de la otra con la misma fuerza con que a su vez son atraídos; por lo tanto, dado que en toda atracción (por la Ley III) son urgidos tanto el punto atrayente como el atraído, se igualarán las fuerzas de atracción mutua, manteniéndose las proporciones.

COROLARIO 3. Todo lo anteriormente demostrado sobre el movimiento de los cuerpos en torno al foco de las secciones cónicas vale cuando la esfera atrayente se sitúa en el foco y los cuerpos se mueven fuera de la misma.

COROLARIO 4. Y las cosas que se demostraron sobre el movimiento de los cuerpos en torno al centro de las secciones cónicas valen cuando el movimiento ocurra dentro de la esfera.

PROPOSICIÓN LXXVI. TEOREMA XXXVI

Si las esferas fueren desiguales de forma continua desde el centro hasta la circunferencia (en cuanto a densidad de materia y fuerza atractiva), mientras son iguales en todo lo demás, en todo su perímetro y para cada distancia dada al centro; y la fuerza atractiva de cada punto decrece según el cuadrado de la distancia del cuerpo atraído: digo que la fuerza total con la cual una esfera de este tipo atrae a otra será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre centros.

Sean varias esferas concéntricas semejantes AB, CD, EF, etc., que al añadir las interiores a las exteriores compongan una materia más densa hacia el centro y al suprimirlas la dejen más tenue; éstas (por la Proposición LXXV) atraerán a cualesquiera otras esferas concéntricas semejantes, GH, IK, LM, etc., cada una a cada una, con fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia SP. Y por suma o resta, el total de todas esas fuerzas o el exceso de unas sobre otras, esto es, la fuerza con la cual toda la esfera AB, compuesta de todas las concéntricas o de todas las diferencias de las concéntricas, atrae a toda la esfera GH, compuesta de las concéntricas o de las diferencias de las concéntricas, estará en la misma razón. Auméntese hasta el infinito el número de esferas concéntricas de modo que la densidad de la materia a la vez que la fuerza atractiva crezca o decrezca según alguna ley desde la periferia hacia el centro; y añadiendo materia no atractiva complétese donde sea preciso la falta de densidad hasta que las esferas adquieran la forma deseada; y la fuerza con la cual una atraerá a la otra también ahora estará, por el argumento anterior, en esa misma razón inversa del cuadrado. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si muchas esferas de éstas, mutuamente semejantes en todo, se atraen entre sí, a distancias iguales cualesquiera entre centros, sus atracciones aceleratrices una a una serán como las esferas atrayentes.

COROLARIO 2. Y a distancias desiguales cualesquiera, serán como las esferas atrayentes divididas por los cuadrados de las distancias entre centros.

COROLARIO 3. Y las atracciones motrices o los pesos de una esfera hacia otra serán, a distancias iguales de los centros, como las esferas atrayentes y las atraídas conjuntamente, esto es, como el contenido de las esferas resultante de su multiplicación.

COROLARIO 4. Y a distancias desiguales, directamente como dichos contenidos e inversamente como los cuadrados de las distancias entre centros.

COROLARIO 5. Lo mismo vale cuando la atracción procede de la fuerza atractiva de ambas esferas atrayéndose mutuamente una a otra. Pues la atracción se duplica con ambas fuerzas, guardando la proporción.

COROLARIO 6. Si esferas de esta clase giran en torno a otras en reposo, una en torno a cada una, y las distancias entre los centros de las que giran y los de las que están en reposo fuesen proporcionales a los diámetros de las que están en reposo, los tiempos periódicos serán iguales.

COROLARIO 7. Y viceversa, si los tiempos periódicos son iguales; las distancias serán proporcionales a los diámetros.

COROLARIO 8. A esto mismo se atienen todas las cosas demostradas más arriba sobre el movimiento de cuerpos en torno a focos de secciones cónicas, cuando en el foco se sitúa la esfera atractiva de cualquiera forma o condición de las descritas.

COROLARIO 9. Y de igual modo cuando los cuerpos que giran son también esferas atractivas de cualquier condición ya descrita.

PROPOSICIÓN LXXVII. TEOREMA XXXVII

Si hacia cada uno de los puntos de esferas tienden fuerzas centrípetas proporcionales a las distancias de los puntos a los cuerpos atraídos: digo que la fuerza compuesta con la cual se atraen mutuamente dos esferas es como la distancia entre los centros de las esferas.

CASO 1. Sea la esfera AEBF, S su centro, P un corpúsculo atraído, PASB el eje de la esfera que pasa por el centro del corpúsculo, EF, eƒ, dos planos perpendiculares al eje y que cortan la esfera y equidistantes a un lado y otro del centro de la esfera; G, g, las intersecciones de los planos y el eje y H un punto cualquiera en el plano EF. La fuerza centrípeta del punto H sobre el corpúsculo P ejercida según la línea PH es como la distancia PH; y (por el Corolario II de las Leyes) según la línea PG, o sea hacia el centro S, es como la longitud PG. Por lo tanto, la fuerza de todos los puntos del plano EF, esto es, la fuerza de todo el plano, con la cual el corpúsculo P es atraído hacia el centro S es como la distancia PG multiplicada por el número de puntos, esto es, como el sólido contenido bajo el plano EF y la distancia PG. E igualmente la fuerza del plano eƒ, por la cual el corpúsculo P es atraído hacia el centro S, es como dicho plano multiplicado por su distancia Pg, o como el plano EF igual al anterior multiplicado por esa distancia Pg; y la suma de las fuerzas de ambos planos es como el plano EF multiplicado por la suma de las distancias PG + Pg, esto es, como dicho plano multiplicado por el doble de la distancia PS del centro hasta el corpúsculo, o como el doble del plano EF multiplicado por la distancia PS, o como la suma de los planos iguales EF + eƒ multiplicada por esa misma distancia. Y por un argumento similar, las fuerzas de todos los planos en toda la esfera, equidistantes del centro de la misma, son como la suma de los planos multiplicada por la distancia PS, esto es, como toda la esfera y la distancia PS conjuntamente. Q. E. D.

CASO 2. El corpúsculo P atraiga ahora a la esfera AEBF. Por el mismo argumento se probará que la fuerza por la que dicha esfera es atraída será como la distancia PS. Q. E. D.

CASO 3. Sea ahora otra esfera compuesta de innumerables corpúsculos P; y puesto que la fuerza por la que es atraído cada corpúsculo es como la distancia del corpúsculo al centro de la primera esfera y la esfera conjuntamente, y por lo tanto es la misma que si toda ella procediera de un corpúsculo único situado en el centro de la esfera; la fuerza total con la cual todos los corpúsculos son atraídos hacia la segunda esfera, esto es, con la cual es atraída toda la dicha esfera, será la misma que si dicha esfera fuera atraída por una fuerza procedente de un único corpúsculo en el centro de la primera esfera, y por tanto proporcional a la distancia entre los centros de las esferas. Q. E. D.

CASO 4. Si las esferas se atraen mutuamente se duplicarán las fuerzas manteniéndose la proporción. Q. E. D.

CASO 5. Sitúese ahora el corpúsculo p dentro de la esfera AEBF; y puesto que la fuerza del plano eƒ sobre el corpúsculo es como el sólido contenido bajo dicho plano y la distancia pg, y la fuerza contraria del plano EF es como el sólido contenido bajo dicho plano y la distancia pG, la fuerza compuesta de ambas será como la diferencia de los sólidos, esto es, como la suma de los planos iguales multiplicada por la semidiferencia de las distancias, esto es, como dicha suma multiplicada por la distancia pS, distancia del corpúsculo al centro de la esfera. Y, por un argumento similar la atracción de todos los planos EF, eƒ, de toda la esfera, esto es, la atracción de toda la esfera es conjuntamente como la suma de todos los planos, o sea la esfera toda y, como pS, distancia del corpúsculo al centro de la esfera Q. E. D.

CASO 6. Y si se compone una nueva esfera con innumerables corpúsculos p situada dentro de la esfera anterior AEBF, se probará como antes que la atracción, tanto simple de una esfera hacia otra, como mutua entre ambas una hacia otra, será como la distancia entre centros pS. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXVIII. TEOREMA XXXVIII

Si al pasar del centro hacia la circunferencia las esferas son constantemente desiguales y heterogéneas, pero en cada círculo a distancias dadas del centro son continuamente iguales; y la fuerza atractiva de cada punto fuese como la distancia del cuerpo atraído: digo que la fuerza total con la cual dos esferas de este tipo se atraerán mutuamente será proporcional a la distancia entre los centros de las esferas.

Esto se demuestra a partir de la Proposición precedente, del mismo modo que la Proposición LXXVI se demostró a partir de la Proposición LXXV.

COROLARIO. Lo que se demostró más arriba en las Proposiciones X y LXIV sobre el movimiento de los cuerpos en torno a los centros de secciones cónicas, tiene valor cuando todas las atracciones surgen de fuerzas de cuerpos esféricos del tipo recién descrito, y los cuerpos atraídos son esferas también del mismo tipo.

ESCOLIO

Acabo de exponer los dos casos más notables de atracciones; a saber, cuando las fuerzas centrípetas decrecen en razón del cuadrado de las distancias, o cuando crecen según la razón simple de las distancias, haciendo en ambos casos que los cuerpos giren en secciones cónicas, y componiendo con dicha ley las fuerzas centrípetas de los cuerpos esféricos al separarse del centro haciéndolas crecer o decrecer según el caso. Lo cual es digno de tenerse en cuenta. Resultaría demasiado prolijo contemplar uno a uno los demás casos que ofrecen soluciones menos elegantes. Prefiero incluirlos y determinarlos a la vez a todos juntos con el método general siguiente.

LEMA XXIX

Si en torno a un centro S se describe un círculo cualquiera AEB y se trazan con centro en P dos círculos EF, eƒ, que cortan al primero en E, e, y a la línea PS en F, ƒ; y sobre PS descienden las perpendiculares ED, ed: digo que, si se supone que disminuyen infinitamente las distancias de los arcos EF, eƒ, la razón última de la línea evanescente Dd a la línea evanescente Fƒ será la misma que la de la línea PE a la línea PS.

Pues si la línea Pe corta al arco EF en q; y la recta Ee, que coincide con el arco evanescente Ee, prolongada, corta a la recta PS en T; y desde S se traza sobre PE la normal SG: por la semejanza de los triángulos DTE, dTe, DES; Dd será a Ee como DT a TE, o como DE a ES; y por la semejanza de los triángulos Eeq, ESG (por el Lema VIII y el Corolario 3 del Lema VII), Ee será a eq o Fƒ como ES a SG; y, por consiguiente, Dd es a Fƒ como DE a SG; esto es (por la semejanza de los triángulos PDE, PGS) como PE a PS. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXIX. TEOREMA XXXIX

Si una superficie EF ƒe llega a ser evanescente al disminuir continuamente hasta el infinito su anchura y con su giro en torno al eje PS describe un sólido esférico cóncavo-convexo hacia cada una de cuyas partículas iguales tienden fuerzas centrípetas iguales: digo que la fuerza con la cual dicho sólido atrae a un corpúsculo situado en P está en razón compuesta de la razón del sólido DE2 x Fƒ y la razón de la fuerza con la cual la partícula dada en el lugar Fƒ atraería al mismo corpúsculo.

Pues si consideramos primero la fuerza de la superficie esférica FE generada por el giro del arco FE y cortada en un punto cualquiera r por la línea de; la parte anular de la superficie, generada por el giro del arco rE, será como el segmento Dd, manteniéndose el radio PE de la esfera (como demostró ARQUÍMEDES en el libro De Sphera et Cylindro). Y la fuerza de tal superficie, ejercida según las líneas PE o Pr colocadas en la superficie cónica en cualquier punto, será como dicha superficie cónica anular; esto es, como el segmento Dd o, lo que es lo mismo, como el rectángulo comprendido por el radio de la esfera PE y el segmento Dd: pero si se ejerce según la línea PS tendente hacia el centro S será menor en la razón de PD a PE, y por tanto como PD x Dd. Supóngase ahora que la línea DF se divide en innumerables partículas iguales, cada una de las cuales se denomina Dd; entonces la superficie FE quedará dividida en otros tantos anillos iguales, cuyas fuerzas serán como la suma de todos los PD x Dd, esto es, como 1 / 2PF2 - 1 / 2PD2 y, por lo tanto, como DE2. Ahora multiplíquese la superficie FE por la altura Fƒ y resultará la fuerza del sólido EFƒe ejercida sobre el corpúsculo P como DE2 x Fƒ, esto cuando se dé la fuerza que una partícula dada Fƒ ejerce sobre el corpúsculo P a la distancia PF. Pero si no se da dicha fuerza, la fuerza del sólido EF ƒe será como el sólido DE2 x Fƒ y la fuerza no dada conjuntamente. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXX. TEOREMA XL

Si hacia cada partícula igual de una esfera ABE, descrita con centro en S, tienden fuerzas centrípetas iguales, y desde cada punto D sobre el eje de la esfera AB, en el que se halla situado un corpúsculo P, se elevan las perpendiculares DE que tocan a la esfera en E, y sobre ellas se toman las longitudes DN, que son conjuntamente como DE2 x PS / PE y la fuerza que la partícula de la esfera situada en el eje a la distancia PE ejerce sobre el corpúsculo P: digo que la fuerza total con la cual el corpúsculo P es atraído hacia la esfera es como el área ANB comprendida bajo el eje AB de la esfera y la línea curva ANB, de la cual el punto N es siempre tangente.

Pues, manteniendo las construcciones del Lema y del Teorema anteriores, imagínese al eje de la esfera AB dividido en innumerables partículas iguales Dd, y a toda la esfera dividida en otras tantas láminas esféricas cóncavo-convexas EFFe; y elévese la perpendicular dn. Por el Teorema anterior, la fuerza con la cual la lámina EFƒe atrae al corpúsculo P es como DE2 x Fƒ y la fuerza de una sola partícula ejercida a la distancia PE o PF conjuntamente. Pero (por el Lema anterior) Dd es a Fƒ como PE a PS, y por tanto Fƒ es igual a PS x Dd / PE, y DE2 x Fƒ es igual a Dd x DE2 x PS / PE, y por tanto la fuerza de la lámina EFƒe es como Dd x DE2 x PS / PE y la fuerza de la partícula ejercida a la distancia PF conjuntamente, esto es (por hipótesis), como DN x Dd, o el área evanescente DNnd. Por tanto, las fuerzas de todas las láminas ejercidas sobre el cuerpo P son como todas las áreas DNnd, esto es, la fuerza total de la esfera como toda el área ANB. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula permanece siempre la misma a todas las distancias y DN es como DE2 x PS / PE, la fuerza total con la que el corpúsculo es atraído por la esfera será como el área ANB.

COROLARIO 2. Si la fuerza centrípeta de las partículas es inversamente como la distancia del corpúsculo atraído por ellas y DN como DE2 x PS / PE2 la fuerza con la cual el corpúsculo P es atraído por toda la esfera será como el área ANB.

COROLARIO 3. Si la fuerza centrípeta de las partículas es inversamente como el cubo de la distancia del corpúsculo atraído por ellas y DN es como DE2 x PS / PE4, la fuerza con la cual el corpúsculo es atraído por toda la esfera será como ANB.

COROLARIO 4. Y, en general, si se supone que la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula de la esfera es inversamente como la cantidad V y DN como DE2 x PS / PE x V, la fuerza con la que el corpúsculo es atraído por toda la esfera será como el área ANB.

PROPOSICIÓN LXXXI. PROBLEMA XLI

Suponiendo lo anterior, mídase el área ANB.

Desde el punto P trácese la recta PH tangente a la esfera en H, y sobre el eje PAB descienda la normal HI y biséquese PI en L; y (por la Proposición XII del libro II de los [Elementos]) PE2 = PS2 + SE2 + 2PSD. Pero SE2 o SH2 (por la semejanza de los triángulos SPH, SHI) es igual al rectángulo PSI. Por tanto, PE2 es igual al contenido bajo PS y PS + SI + 2SD, esto es, bajo PS y 2LS + 2SD, esto es, bajo PS y 2LD. Además, DE2 es igual a SE2 - SD2, o sea, SE2 - LS2 + 2SLD - LD2, esto es, 2SLD - LD2 - ALB. Pues LS2 - SE2 o LS2 - SA2 (por la Proposición VI del libro II de los [Elementos]) es igual al rectángulo ALB. Si por DE2 se escribe 2SLD - LD2 - ALB; y la cantidad DE2 x PS / PE x V, que según el Corolario 4 de la Proposición anterior es como la longitud de la ordenada aplicada en DN, quedará descompuesta en tres partes 2SLD x PS / PE x V - LD2 x PS / PE x V - ALB x PS / PE x V: donde si en lugar de V escribimos la razón inversa de la fuerza centrípeta, y en lugar de PE la media proporcional entre PS y 2LD, dichas tres partes resultan ordenadas de las curvas correspondientes, cuyas áreas se obtienen por métodos ya comunes. Q. E. F.

EJEMPLO 1. Si la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula de la esfera fuese inversamente como la distancia; escríbase por V la distancia PE y en lugar de PE2 escríbase 2PS x LD, y DN será como SL - 1 / 2LD - ALB / 2LD. Supóngase a DN igual a su doble 2SL - LD - ALB / LD; y transportando a lo largo de la longitud AB la parte dada de la ordenada 2SL describirá el área rectangular 2SL x AB; mientras la parte indefinida LD, transportada normalmente por la misma longitud, con un movimiento continuo tal que al moverse crezca o decrezca para permanecer siempre igual a la longitud LD, describirá el área LB2 - LA2 / 2, esto es, el área SL x AB; la cual restada del área anterior 2SL x AB deja el área SL x AB. Y la tercera parte ALB / LD, transportada también con un movimiento local normal sobre la misma longitud, describirá un área hiperbólica; la cual, restada del área SL x AB dejará el área buscada ANB. De donde surge la construcción siguiente del problema. Elévense por los puntos L, A, B, las perpendiculares Ll, Aa, Bb, haciendo que Aa sea igual a LB y Bb igual a LA. Siendo asíntotas Ll, LB, trácese por los puntos a, b, la hipérbola ab. Y trazada la cuerda ba cerrará el área aba igual al área buscada ANB.

EJEMPLO 2. Si la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula de la esfera fuere inversamente como el cubo de la distancia, o (lo que es igual) como dicho cubo dividido por un plano dado; escríbase PE2/ 2AS2 en lugar de V, ya también 2PS x LD en lugar de PE2, y DM será como SL x AS2 / PS x LD - AS2 / 2PS - ALB x AS2 / 2PS x LD2, esto es (por la proporcionalidad continua de PS, AS, SI) como LSI / LD - ½SI - ALB x SI / 2LD2. Si se llevan estas tres partes sobre la longitud AB, la primera de ellas LSI / LD generará un área hiperbólica; la segunda ½SI el área ½AB x SI; la tercera ALB x SI / 2LD2 el área ALB x SI / 2LA - ALB x SI / 2LB, esto es, ½AB x SI. Réstese de la primera suma de la segunda y la tercera y quedará el área buscada ANB. De donde la construcción del problema resulta como sigue. Por los puntos L, A, S, B, elévense las perpendiculares Ll, Aa, Ss, Bb, de las cuales Ss sea igual a SI y por el punto s con las asíntotas Ll, LB, trácese la hipérbola asb que encuentre a las perpendiculares Aa y Bb en a y b; y restando el rectángulo 2ASI del área hiperbólica AasbB quedará el área buscada ANB.

EJEMPLO 3. Si la fuerza centrípeta tendente hacia cada partícula de la esfera decrece como la cuarta potencia de la distancia de las partículas, escríbase PE4 / 2AS3 en lugar de V, después √(2PS x LD) en lugar de PE, y DN vendrá a ser como SI2 x SL / √2SI x 1 / √LD3 - SI2 / 2√2SI x 1 / √LD - SI2 x ALB / 2√2SI x 1 / √LD5; y al llevar estas tres partes sobre la longitud AB producen otras tantas áreas, a saber: 2SI2 x SL / √2SI en (1 / √LA - 1 / √LB); SI2 / √2SI en (√LB - √LA); y SI2 x ALB / 3√2SI en (1 / √LA3 - 1 / √LB3). Y tras la reducción debida dan 2SI2 x SL / LI, SI2, y SI2 + 2SI3 / 3LI. De estas, a su vez, después de resta las últimas de la primera, resulta 4SI3 / 3LI. Por tanto la fuerza total con la cual el corpúsculo P es atraído hacia el centro de la esfera es como SI3 / PI esto es, como el inverso de PS3 x PI. Q. E. I.

Con el mismo método podemos determinar la atracción de un corpúsculo ubicado dentro de la esfera, pero es más directo por el Teorema siguiente.

PROPOSICIÓN LXXXII. TEOREMA XLI

En una esfera descrita con centro en S y radio SA, si se toman SI, SA, SP, continuamente proporcionales: digo que la atracción de un corpúsculo dentro de la esfera en un lugar cualquiera I es a la atracción del mismo juera de la esfera en el lugar P en razón compuesta de la raíz cuadrada de la razón de las distancias al centro IS, PS, y de la raíz cuadrada de la razón de las fuerzas centrípetas tendentes al centro en dichos lugares P, I.

Puesto que si las fuerzas centrípetas de las partículas de la esfera fuesen inversamente como la distancia al corpúsculo atraído por ellas, la fuerza, con la cual el corpúsculo situado en I es atraído por toda la esfera, será a la fuerza con la cual es atraído en P, en razón compuesta de la raíz cuadrada de la razón de las distancias SI a SP, y de la raíz cuadrada de la razón de la fuerza centrípeta en el lugar I de una partícula que la produce desde el centro, respecto a la fuerza centrípeta en P generada también por la misma partícula desde el centro, esto es, inversamente como la raíz cuadrada de las distancias respectivas SI, SP. Estas dos razones de ralees cuadradas componen razón de igualdad, y por tanto, las atracciones en I y P producidas por toda la esfera son iguales. Con un cálculo similar se encontrará que, si las fuerzas de las partículas de la esfera son inversamente como el cuadrado de la razón de las distancias, la atracción en I es a la atracción en P como la distancia SP al semidiámetro SA de la esfera; si dichas fuerzas son inversamente como la razón cúbica de las distancias, las atracciones en I y P serán entre sí como SP2 a SA2; si fuesen como la cuarta potencia, como SP3 a SA3. Por tanto, como la atracción en P, en este último caso, resulta ser inversamente como PS3 x PI, la atracción en I será inversamente como SA3 x PI, esto es (por estar dado SA3) inversamente como PI. Y así sucesivamente hasta el infinito. El teorema, pues, se demuestra así: Manteniendo las construcciones anteriores, y existiendo un corpúsculo en un lugar cualquiera P, la ordenada DN resultó ser como DE2 x PS/ PE x V. Luego si se traza IE, ordenada para otro lugar I del corpúsculo, «mutatis mutandis», resultará ser como DE2 x IS/ IE x V.

Supóngase que las fuerzas centrípetas procedentes de un punto E cualquiera de la esfera son entre sí a las distancias IE y PE como PEn a IEn (donde n representa la potencia de PE y de IE) y dichas ordenadas resultarán como DE2 x PS/ PE x PEn y DE2 x IS/ IE x IEn, cuya razón mutua es como PS x IE x IEn a IS x PE x PEn. Por ser SI, SE, SP, continuamente proporcionales, los triángulos SPE, SEI, son semejantes, y por ello IE es a PE como IS a SE o SA; en lugar de la razón IE a PE escríbase la razón IS a SA; y la razón de las ordenadas resultará ser PS x IEn a SA x PEn. Pero la razón de PS a la raíz cuadrada de SA es la razón de las distancias PS, SI; y la razón de IEn a la raíz cuadrada de PEn (por ser IE a PE como IS a SA) es la razón de las fuerzas para las distancias PS, IS. Luego las ordenadas, y las áreas que describen las ordenadas, y las atracciones proporcionales a éstas, están en razón compuesta de las raíces cuadradas de aquellas razones. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXXIII. PROBLEMA XLII

Hallar la fuerza con la cual un corpúsculo situado en el centro de una esfera es atraído hacia cualquier segmento de la misma.

Sea P un cuerpo en el centro de la esfera y RBSD el sector de la misma contenido entre el plano RDS y la superficie esférica RBS. Con la superficie esférica EFG descrita con centro en P córtese DB en F, y distínganse las dos partes del sector BREFGS y FEDG. Sea dicha superficie no algo puramente matemático, sino físico, que tiene una profundidad mínima. Llámese a esta profundidad O, y esta superficie será (por las demostraciones de ARQUÍMEDES) como PF x DF x O. Supongamos además que las fuerzas atractivas de las partículas de la esfera son inversamente como la potencia de las distancias de índice n; y la fuerza con la cual la superficie EFG atrae al cuerpo P será (por la Proposición LXXIX) como DE2 x O/ PFn, esto es, como 2DF x O/ PFn - 1 - DF2 x O/ PFn. Sea la perpendicular FN multiplicada por O proporcional a esta cantidad; y el área curvilínea BDI, descrita por la ordenada FN al ser aplicada sobre la longitud DB con un movimiento continuo, será como la fuerza total con la cual el segmento completo RBSD atrae al cuerpo P. Q. E. I.

PROPOSICIÓN LXXXIV. PROBLEMA XLIII

Hallar la fuerza con la cual un corpúsculo situado sobre el eje de cualquier segmento de una esfera y fuera del centro de la misma es atraído por dicho segmento.

Atraiga el segmento EBK al corpúsculo P situado sobre su eje ADB. Con centro en P y distancia PE descríbase la superficie esférica EFK mediante la cual se segregan las dos partes del segmento EBKFE y EFKDE. Hállese la fuerza de la parte primera por la Proposición LXXXI y la fuerza de la segunda por la Proposición LXXXIII; y la suma de las fuerzas será la fuerza del segmento completo EDKDE. Q. E. I.

ESCOLIO

Explicadas las atracciones de los cuerpos esféricos, es ya hora de pasar a las leyes de las atracciones de otros cuerpos que constan también de partículas atractivas; pero tratarlas minuciosamente es menos necesario para mi propósito. Será suficiente, por su escaso uso en temas filosóficos, añadir algunas Proposiciones más generales sobre las fuerzas de tales cuerpos y de los movimientos resultantes.