Sección V. La obtención de órbitas cuando no se da ninguno de los focos

Sección V LA OBTENCIÓN DE ÓRBITAS CUANDO NO SE DA NINGUNO DE LOS FOCOS

LEMA XVII

Si de un punto cualquiera P de una sección cónica dada se trazan las líneas rectas PQ, PR, PSy PT según ángulos dados sobre los lados prolongados infinitamente AB, CD, AC, DB de un trapecio ABDC que se halla inscrito en la dicha sección cónica y trazadas las líneas una a cada uno; ocurrirá que el rectángulo de las rectas trazadas sobre los dos lados opuestos PQ x PR estará con respecto al rectángulo de las trazadas sobre los otros dos lados opuestos PS x PT en una razón dada.

CASO 1. Supongamos, en primer lugar, que las líneas trazadas sobre los lados opuestos son paralelas a otro de los restantes lados, por ejemplo PQ y PR al lado AC, y PS y PT al lado AB. Además, sean dos de los lados opuestos, por ejemplo AC y BD, paralelos entre sí. Entonces también la recta que biseca dichos lados paralelos será uno de los diámetros de la sección cónica y bisecará también a RQ. Sea O el punto en que RQ es bisecada, y PO será ordenada aplicada al diámetro. Prolónguese PO hasta K de tal modo que OK sea igual a PO y OK será ordenada aplicada al diámetro en sentido opuesto. Dado que los puntos A, B, P y K están en la sección cónica y que PK corta a AB en un ángulo dado, tendremos (por las prop. 17, 19, 21 y 23 del Lib. III de las cónicas de Apolonio) que el rectángulo PQK está con el rectángulo AQB en una razón dada. Pero QK y PR son iguales, por cuanto son diferencias iguales de OK, OP y OQ, OR, y por tanto también los rectángulos PQK y PQ x PR son iguales; y en consecuencia el rectángulo PQ x PR está con el rectángulo AQB, esto es, con el rectángulo PS x PT en una razón dada. Q. E. D.

CASO 2. Supongamos ahora que los lados opuestos del trapecio AC y BD no sean paralelos. Tracemos Bd paralela a AC y que corte tanto a la recta ST en t como a la sección cónica en d. Unamos Cd, secante de PQ en r, y tracemos DM paralela a PQ y secante de Cd en M y de AB en N. Ahora, por la semejanza de los triángulos BTt, DBN, ocurre que Bt o PQ es a Tt como DN a NB. Y así también Rr es a AQ o a PS como DM es a AN.

Luego multiplicando antecedentes por antecedentes y consecuentes por consecuentes, como el rectángulo PQ x Rr es al rectángulo PS x Tt del mismo modo el rectángulo NDM es al rectángulo ANB, y (por el Caso 1) el rectángulo PQ x Pr es al rectángulo PS x Pt y, dividiendo, también es el rectángulo PQ x PR al rectángulo PS x PT. Q. E. D.

CASO 3. Supongamos, por fin, que las cuatro líneas PQ, PR, PS, PT, no son paralelas a los lados AC, AB, sino que son inclinadas respecto a ellos. Tracemos en su lugar Pq, Pr, paralelas al lado AC; y tracemos Ps, Pt, paralelas a AB; por estar dados los ángulos de los triángulos PQq, PRr, PSS, PTt, se darán las razones PQ a Pq, PR a Pr, PS a Ps, y PT a Pt; y por tanto las razones compuestas PQ x PR a Pq x Pr y PS x PT a Ps x Pt. Pero según lo demostrado más arriba, la razón Pq x Pr a Ps x Pt está dada: luego también lo estará la razón PQ x PR a PS x PT. Q. E. D.

LEMA XVIII

Con los mismos supuestos, si el rectángulo de las dos líneas trazadas a dos lados opuestos del trapecio, PQ x PR, está al rectángulo PS x PT de las trazadas sobre los otros dos lados en una razón dada, entonces el punto P desde el que se trazan dichas líneas es tangente a la sección cónica descrita en torno al trapecio.

Supongamos una sección cónica descrita por los puntos A, B, C, D, e infinitos puntos P como por ejemplo p: digo que el punto P siempre será tangente a esta sección. Si lo negaras, únase AP secante a la sección cónica en un punto distinto de P, si ello es posible, como por ejemplo en b. Por consiguiente, si de estos puntos p y b se trazan sobre los lados del trapecio según ángulos dados las rectas pq, pr, ps, pt, y bk, bn, bƒ, bd; tendremos que bk x bn será a bƒ x bd como (por el Lema XVII) pq x pr a ps x pt y por tanto (por hipótesis) como PQ x PR a PS x PT. Y debido a la semejanza de los trapecios bkAƒ, PQAS, como es bk a bƒ así es PQ a PS. Por lo cual, dividiendo los términos de la primera proporción por los correspondientes de ésta, bn será a bd como PR a PT. Por tanto los trapecios equiángulos Dnbd, DRPT son semejantes y sus diagonales Db, DP coinciden. Y de este modo b cae en la intersección de las líneas AP, DP y por tanto coincide con P. Por ello sea cual sea el punto donde se suponga P caerá en la sección cónica supuesta. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí que, si desde un punto común P se trazan tres rectas PQ, PR, PS sobre otras tres dadas en posición, una a cada una y según ángulos dados y el rectángulo formado por dos de las trazadas PQ x PR es al cuadrado de la tercera PS según una razón dada, el punto P desde el que fueron trazadas estará ubicado en la sección cónica tangente a las líneas AB, CD en A y C; y viceversa. Pues aproxímese hasta juntarse la línea BD a la línea AC manteniendo su posición las tres AB, CD, AC; después hagamos lo mismo con PT hacia PS; y entonces el rectángulo PS x PT devendrá PS2 y las rectas AB, CD que cortaban la curva en los puntos A y B, C y D ya no pueden cortar más la curva en aquellos puntos coincidentes, sino sólo ser tangentes en ellos.

ESCOLIO

En este Lema el nombre de sección cónica se toma en sentido amplio, de modo que se comprenda bajo el mismo tanto la sección rectilínea que pase por el vértice del cono como la circular paralela a la base. Pues si el punto p cae en la recta con que se unen los puntos A y B o los puntos C y D la sección cónica se transforma en dos rectas de las cuales una coincide con la recta en la que cae el punto p y la otra es la recta con la que quedan unidos entre sí dos de los otros cuatro puntos. Si dos ángulos opuestos del trapecio tomados conjuntamente son iguales a dos rectos y las cuatro líneas PQ, PR, PS, PT, se trazan sobre sus lados ya perpendicularmente ya con un grado de inclinación dado y el rectángulo comprendido entre dos de ellas PQ x PR es igual a PS x PT comprendido entre las otras dos, entonces la sección cónica resultará un círculo. Y lo mismo ocurre si se trazan cuatro líneas con ángulos cualesquiera y el rectángulo PQ x PR comprendido entre dos de ellas es al rectángulo PS x PT comprendido entre las otras dos como el rectángulo comprendido entre los senos de los ángulos S, T, en los que inciden las dos últimas PS, PT es al rectángulo comprendido entre los senos de los ángulos Q, R, en que inciden las dos primeras PQ, PR. En todos los demás casos el lugar del punto P será una de las tres figuras que comúnmente se denominan secciones cónicas. Pero en lugar del trapecio ABCD puede colocarse un cuadrilátero cuyos dos lados opuestos se crucen mutuamente como diagonales. Y uno o dos de los cuatro puntos A, B, C, D, pueden llevarse al infinito con lo que los lados de la figura que convergen en dichos puntos resultarán paralelos; y en tal caso la sección cónica pasará por los demás puntos mientras que en la dirección de las paralelas irá hacia el infinito.

LEMA XIX

Hallar el punto P a partir del cual, si se trazan las cuatro rectas PQ, PR, PS, PT sobre otras cuatro en posición dada AB, CD, AC, BD, una a una y con ángulos dados, el rectángulo PQ x PR comprendido entre dos de aquéllas sea al rectángulo PS x PT comprendido entre las otras dos según una razón dada.

Hagamos que las líneas AB, CD, sobre las que se trazan las rectas PQ, PR, que contienen uno de los rectángulos, se crucen con las otras dos líneas de posición dada en los puntos A, B, C, D. Desde cualquiera de ellos A tracemos la recta AH en la que queremos hallar el punto P. Corte esta línea a las opuestas BD, CD, a saber, a BD en H y a CD en I y por estar dados todos los ángulos de la figura estarán dadas las razones de PQ a PA y de PA a PS y por tanto la de PQ a PS. Restando ésta de la razón dada de PQ x PR a PS x PT tendremos la razón de PR a PT, y sumando las razones dadas PI a PR y PT a PH tendremos la razón PI a PH, y por ende el punto P. Q. E. I.

COROLARIO 1. De aquí que también se pueda trazar una tangente a un punto cualquiera D del lugar de los infinitos puntos P. Pues la cuerda PD, cuando coinciden los puntos P y D, esto es, cuando discurre AH por el punto D, resulta una tangente. En tal caso la razón última de las evanescentes IP y PH, se halla como se ha visto más arriba. Tracemos CF, paralela a la propia AD, tal que corte a BD en F y cortada en E según la dicha razón última, y también de DE será tangente dado que CF y la evanescente IH son paralelas e igualmente cortadas en E y en P.

COROLARIO 2. De aquí también puede definirse el lugar de todos los puntos P. Tracemos por uno cualquiera de los puntos A, B, C, D, por ejemplo A, la tangente AE al lugar de todos los puntos y por otro punto cualquiera B tracemos una paralela BF a la tangente y que corte al lugar en F. Por el Lema XIX se hallará el punto F. Bisecando a BF en G y siendo indefinida la línea AG, ésta será la posición del diámetro al que vienen aplicadas ordenadamente BG y FG. Corte ahora AG al lugar en H y entonces AH será el diámetro o «latus transversum» al cual el «latus rectum» será como BG2 a AG x GH. Si AG nunca cortase el lugar de los puntos, permaneciendo la línea AH infinita, entonces el lugar será una parábola y su «latus rectum» perteneciente al diámetro AG será BG2 / AG. Pero si corta al lugar en algún punto, entonces el lugar será una hipérbola cuando los puntos A y H estén situados al mismo lado del punto G; y una elipse cuando G esté entre A y H, salvo cuando por casualidad se dé que AGB sea recto y por tanto BG2 sea igual al rectángulo AGH, caso en el que tendremos un círculo.

Y de este modo tenemos resuelto en el corolario, no por cálculo sino por composición geométrica como querían los antiguos, el problema por ellos planteado de las cuatro líneas, sugerido por Euclides y replanteado por Apolonio.

LEMA XX

Sea un paralelogramo cualquiera ASPQ cuyos dos ángulos opuestos A y P son tangentes a una sección cónica cualquiera en los puntos A y P; y prolónguense los lados AQ, AS de uno de ellos al infinito, hasta cortar a dicha sección en B y C; desde los puntos de cruce B y C trácense hasta un quinto punto D de la sección otras dos rectas BD, CD que corten en T y R a los otros dos lados PS, PQ prolongados del paralelogramo: las abscisas parciales PR y PT de los lados estarán siempre en una razón dada. Y al contrario, si tales abscisas parciales están entre sí en una razón dada, el punto D será tangente a la sección cónica que pase por los dichos cuatro puntos A, B, C, P.

CASO 1. Únanse BP, CP y trácense desde el punto D las dos rectas DG, DE, de las que la primera DG sea paralela a AB y corte a PB, PQ, CA, en H, I, G; y la otra DE sea paralela a AC y corte a PC, PS, AB, en F, K, E: (por el Lema XVII) el rectángulo DE x DF será al rectángulo DG x DH según una razón dada. Pero PQ es a DE (o IQ) como PB a HB, y por tanto como PT a DH; y miembro a miembro, PQ es a PT como DE a DH. Y además PR es a DF como RC es a DC, y por tanto como PS (o IG) a DG, y alternativamente PR es a PS como DF a DG; y conjugando las razones, el rectángulo PQ x PR es al rectángulo PS x PT como el rectángulo DE x DF al rectángulo DG x DH, y por ende en razón dada. Pero PQ y PS están dados, luego también está dada la razón PR a PT. Q. E. D.

CASO 2. Pero si se supone que PR y PT están entre sí en una razón dada, entonces razonando de igual modo en sentido inverso se seguirá que el rectángulo DE x DF está con el rectángulo DG x DH en una razón dada, y por tanto el punto D (por el Lema XVIII) cae en la sección cónica que pasa por los puntos A, B, C, P. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si se hace a BC secante de PQ en r, y se toma Pt sobre PT en razón a Pr precisamente en la misma que guarda PT a PR: entonces Bt será tangente a la sección cónica en el punto B. Pues imaginemos al punto D acercándose al punto B de modo que, al tender a desaparecer la cuerda BD, BT resulte tangente; y CD lo mismo que BT coincidirían con CB y Bt.

COROLARIO 2. Y viceversa, si Bt es tangente y BD, CD coinciden en un punto D cualquiera de una sección cónica, entonces PR será a PT como Pr a Pt. Y, por el contrario, si PR es a PT como Pr a Pt entonces BD, CD coinciden en un punto cualquiera D de una sección cónica.

COROLARIO 3. Una sección cónica no corta a otra sección cónica más que en cuatro puntos. Pues, si posible fuera, pasen dos secciones cónicas por cinco puntos A, B, C, P, O, y córtelas la recta BD en los puntos D, d, mientras que la recta Cd corta a PQ en q. En consecuencia, PR es a PT como Pq a PT; de donde PR y Pq son iguales entre sí, contra la hipótesis.

LEMA XXI

Si dos rectas BM, CM, móviles e infinitas trazadas por puntos dados B, C, a modo de polos, describen mediante el punto M en que se cruzan una recta MN de posición dada, y si otras dos rectas infinitas BD, CD, son trazadas de modo que constituyan con las primeras en los puntos B, C, los ángulos dados MBD, MCD, digo estas dos BD, CD, mediante el punto en que se cruzan D, describen una sección cónica que pasa por los puntos B, C. Y viceversa, si las rectas BD, CD, mediante el punto en que se cruzan D describen una sección cónica que pasa por los puntos B, C, A, y el ángulo DBM es siempre igual al ángulo dado ABC y el ángulo DCM es siempre igual al ángulo dado ACB entonces el punto M cae en una recta de posición dada.

Pues trácese sobre la recta MN el punto N y cuando el punto móvil M coincide con el inmóvil N, coincida también el punto móvil D con el inmóvil P. Únanse CN, BN, CP, BP, y desde el punto P trácense las rectas PT, PR, que cortan a BD, CD, en T y R y que forman el ángulo BPT igual al ángulo dado BNM y el ángulo CPR igual también al ángulo dado CNM. Dado (por hipótesis) que los ángulos MBD, NBP son iguales así como los ángulos MCD, NCP, si se restan los ángulos comunes NBD y NCD, permanecerán iguales los ángulos NBM y PBT, NCM y PCR: Y por tanto los triángulos NBM, PBT son semejantes lo mismo que los triángulos NCM, PCR. Por lo cual PT es a NM como PB a NB, y PR a NM como PC a NC. Pero los puntos B, C, N, P son inmóviles. En consecuencia PT y PR están en razón dada a NM y por ende en razón dada entre sí; consecuentemente (por el Lema XX) el punto D, en el que constantemente concurren las rectas móviles BT y CR, coincide con los de la sección cónica que pasa por los puntos B, C, P. Q. E. D.

Y por el contrario, si el punto móvil D coincide con la sección cónica que pasa por los puntos B, C, A, y el ángulo DBM es siempre igual al ángulo dado ABC y el ángulo DCM también es siempre igual al ángulo dado ACB, y cuando el punto D coincide sucesivamente en dos puntos cualesquiera inmóviles p, P de la sección, el punto móvil M coincide también sucesivamente en dos puntos inmóviles n, N: trácese por dichos puntos n, N la recta n, N y ella será el lugar constante de dicho punto móvil M. Pues, si fuera posible, hágase correr al punto M por una curva. El punto D será tangente a una sección cónica que pase por cinco puntos B, C, A, p, P, mientras el punto M es tangente constantemente a una línea curva. Pero, según lo ya demostrado, el punto D toca también la sección cónica que pasa por los mismos cinco puntos B, C, A, p, P, mientras el punto M toca constantemente una línea recta. Luego las dos secciones cónicas pasan por los mismos cinco puntos, contra el Corolario 3 del Lema XX. Por tanto hacer al punto M recorrer una línea curva es absurdo. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XXII. PROBLEMA XIV

Trazar una trayectoria por cinco puntos dados.

Sean los cinco puntos A, B, C, P, D, dados. Desde uno de ellos cualquiera A hasta otros dos cualesquiera B, C, considerados como polos, tracemos las rectas AB, AC, así como las paralelas a estas TPS, PRQ, por el cuarto punto P. Tracemos después desde los dos polos B, C, por el quinto punto D, las dos rectas infinitas BDT, CRD, que corten a las últimamente trazadas TPS, PRQ (la primera a la primera y la segunda a la segunda) en T y R. Por fin, trazada tr paralela a TR, córtense las líneas Pt, Pr, tales que sean proporcionales a PT, PR; y si por los extremos t, r, de tales líneas y por los polos B, C, se trazan las líneas Bƒ, Cr concurrentes en d, entonces dicho punto d estará situado en la trayectoria buscada. Pues (por el Lema XX) dicho punto está situado en la sección cónica que pasa por los cuatro puntos A, B, C, P; y al tender a desaparecer las líneas Rr, Tt, tiende a coincidir el punto d con el punto D. Luego la sección cónica pasa por los cinco puntos A, B, C, P, D. Q. E. D.

Lo mismo de otra manera

Únanse tres de entre los puntos dados, A, B, C; y en torno a dos tomados como polos, B, C, háganse girar los ángulos ABC, ACB, de magnitud dada y aplíquense los lados BA, CA primero al punto D y después al punto P y señálense los puntos M, N en los que se cruzan entre sí los otros dos lados BL, CL. Trácese la recta infinita MN y háganse girar los mencionados ángulos móviles en torno a sus polos B, C, con la condición de que la intersección de los lados BL, CL o de BM, CM, supongámosla m, caiga siempre sobre la recta infinita MN; y la intersección de los lados BA, CA o BD, CD, supongámosla d, definirá la trayectoria buscada PADdB. Pues (por el Lema XXI) el punto d coincidirá con la sección cónica que pase por los puntos B, C: y cuando el punto m llega a los puntos L, M, N, el punto d (por construcción) llegará a los puntos A, D, P. Describirá pues una sección cónica que pase por los cinco puntos A, B, C, P, D. Q. E. F.

COROLARIO 1. De aquí que, con facilidad, se pueda trazar una recta que toque a la trayectoria en un punto dado B cualquiera. Llévese el punto d hasta el punto B y la recta Bd será la tangente buscada.

COROLARIO 2. De donde también pueden hallarse los centros de las trayectorias, los diámetros y los «latera recta», como en el Corolario 2 del Lema XIX.

ESCOLIO

La construcción primera resulta un poco más simple uniendo BP y tomando sobre ella, prolongada si es menester, Bp a BP como PR es a PT; y trazando por p la recta infinita pe paralela a SPT, tomando además sobre ella a pe siempre igual a Pr y haciendo que las rectas Be, Cr, concurran en d. Pues dado que serán iguales las razones de Pr a Pt, PR a PT, pB a PB, pe a Pt, también lo serán pe y Pr. Con este método los puntos de la trayectoria se hallan muy fácilmente, salvo que se prefiera describir la curva mecánicamente, como en la segunda construcción.

PROPOSICIÓN XXIII. PROBLEMA XV

Trazar una trayectoria que pase por cuatro puntos y sea tangente a una recta dada en posición.

CASO 1. Supóngase dada la tangente HB, el punto de contacto B, y los otros tres puntos C, D, P. Únanse BC, procurando que PS sea paralela a la recta BH y que PQ lo sea a la recta BC; complétese el paralelogramo BSPQ. Trácese BD secante de SP en T, y CD secante de PQ en R. Finalmente, trazada la línea tr paralela a TR, tomemos sobre PQ, PS los segmentos Pr, Pt, respectivamente proporcionales a PR, PT; y trazadas las líneas Cr, Bt, el punto d en que se cortan (por el Lema XX) caerá siempre en la trayectoria que hay que describir.

De otro modo

Hágase girar tanto el ángulo de magnitud dada CBH en torno al polo B, como el radio rectilíneo prolongado en ambas direcciones DC en torno al polo C. Señálense los puntos M, N en los cuales el lado BC del ángulo corta a dicho radio cuando el otro lado BH del ángulo coincide con el susodicho radio en los puntos P y D. Después haciendo que el radio dicho CP o CD y el lado BC del ángulo coincidan siempre con la recta infinita MN, el cruce del otro lado BH con el radio describirá la trayectoria buscada.

Pues si en la construcción del problema anterior el punto A alcanza el punto B, las líneas CA y CB coincidirán y la línea AB en su última situación se convertirá en la tangente BH; y por tanto las construcciones hechas antes vienen a ser las mismas que las hechas ahora. En consecuencia, la concurrencia del lado BH con el radio describirá la sección cónica por los puntos C, D, P y la recta BH será tangente en el punto B. Q. E. F.

CASO 2. Sean los cuatro puntos dados B, C, D, P situados fuera de la tangente HI. Únanse dos a dos con las líneas BD, CP concurrentes en G y que cortan a la tangente en H e I. Córtese la tangente en A de tal modo que HA sea a IA como es el rectángulo bajo la media proporcional entre CG y GP y la media proporcional entre BH y HD al rectángulo bajo la media proporcional entre DG y GB y la media proporcional entre PI e IC; y será A el punto de contacto. Pues si HX, paralela a PI, cortase a la trayectoria en cualesquiera puntos X e Y, habrá que colocar (por las cónicas) al punto A de tal modo que HA2 sería a AI2 en razón compuesta de la razón del rectángulo XHY al rectángulo BHD, o del rectángulo CGP al rectángulo DGB, y de la razón del rectángulo BHD al rectángulo PIC. Así pues, una vez hallado el punto de contacto A, se describirá la trayectoria como en el caso primero. Q. E. F.

Sin embargo, puede tomarse el punto A entre los puntos H e Y o fuera de ellos; y, en consecuencia, describir por duplicado la trayectoria.

PROPOSICIÓN XXIV. PROBLEMA XVI

Trazar una trayectoria que pase por tres puntos dados y sea tangente a dos rectas de posición dada.

Sean las tangentes dadas HI, KL y los puntos B, C, D. Trácese por dos cualesquiera puntos B, D la recta infinita BD que cruza a las tangentes en los puntos H, K. Después por otros dos puntos cualesquiera C, D, trácese la recta infinita CD que cruce a las tangentes en los puntos I, L. Córtese a las rectas así trazadas en R y S de tal modo que sea HR a KR como es la media proporcional entre BH y HD a la media proporcional entre BK y KD, e IS a LS como la media proporcional entre CI e ID a la media proporcional entre CL y LD. Pero córtese por un punto arbitrario, ya entre les puntos K y H, I y L, ya fuera de ellos; trácese RS secante de las tangentes en A y P y serán A y P los puntos de contacto. Pues si se supone que A y P fuesen puntos de contacto situados en otros pintos de las tangentes y por uno de los puntos H, I, K, L, por ejemplo, I, situado en otra tangente HI, se traza la recta IY paralela a la otra tangente KL y que corte a la curva en X e Y, en la cual recta se toma además IZ como media proporcional entre IX e IY el rectángulo XIY, o IZ2 (por las cónicas), será a LP2 como el rectángulo CID al rectángulo CLD, esto es (por constricción) como SI2 a SL2 y por tanto IZ a LP como SI a SL. Los puntos S, P, Z, pertenecen, por tanto, a una misma recta. Ahora bien, al concurrir las tangentes en G, ocurrirá por las cónicas que el rectángulo XIY o IZ2 será a IA2 como GP2 a GA2 y por Unto IZ a IA como GP a GA. Pertenecen pues los puntos P, Z, y A a la misma recta y por tanto los puntos S, P y A están en la misma recta. Y con un argumento semejante se probará que los puntos R, P y A están en la misma recta. Pertenecen, pues, los puntos de contacto A y P a la recta RS. Y una vez hallados éstos, la trayectoria se trazará como en el caso primero del problema anterior Q. E. F.

En esta proposición, y en el caso segundo de la anterior, las constricciones son las mismas, tanto si la recta XY corta a la trayectoria en X e Y como si no la corta; tales construcciones no dependan de dicha sección. Sino que, una vez demostradas las constricciones cuando la recta corta a la trayectoria, quedan también patentes las construcciones cuando no la corta; y por amor a la brevedad no me detengo en demostrarlas más profusamente.

LEMA XXII

Transformar unas figuras en otras del mismo género.

Sea la figura a transformar una figura cualquiera HGI. Trácense según plazca dos rectas paralelas OA, BL secantes a una tercera AB en los puntos A y B y en posición dada, y desde un punto cualquiera G de la figura trácese una línea GD, paralela a la misma OA. Después desde un punto O, dado en la línea OA, trácese hasta el punto D la recta OD que corte a la recta BL en d, y desde el punto de cruce elévese la recta dg de modo que contenga con la recta BL un ángulo dado, y además tal que tenga respecto a Od la misma razón que DG tiene respecto a OD; será g entonces en la nueva figura hgi el punto correspondiente a G. Del mismo modo cada punto de la primera figura vendrá a dar cada punto de la nueva figura. Pues imagínese que el punto G recorre con un movimiento continuo todos los puntos de la primera figura, y que el punto g también con movimiento continuo recorre todos los puntos de la nueva figura describiéndola de paso. Para distinguirlas llamemos DG a la primera ordenada, dg a la ordenada nueva; llamemos AD a la abscisa primera y ad a la abscisa nueva; llamemos O al polo y OD al radio abscindente, OA al radio ordenado primero y Oa (con el que se cierra el paralelogramo OABa) al radio ordenado nuevo.

Digo ahora que si el punto G toca a la línea recta en posición dada, el punto g tocará también a la línea recta de posición dada. Si el punto G toca la sección cónica, el punto g tocará también la sección cónica. Incluyo aquí el círculo entre las secciones cónicas. Pues si el punto G toca una línea de tercer orden analítico, el punto g tocará una línea del mismo orden; y lo mismo para curvas de orden superior. Dos líneas que sean tocadas por los puntos G, g serán siempre del mismo orden analítico. Puesto que ad es a OA como son Od a OD, dg a DG y AB a AD; por tanto, AD es OA x AB / ad, y DG es igual a OA x dg / ad. Ahora si el punto G toca una línea recta y por tanto en la ecuación que contenga la relación entre la abscisa AD y la ordenada DG, dichas líneas indeterminadas AD y DG no alcanzan más que una única dimensión, escribiendo en esta ecuación OA x AB / ad en lugar de AD, y OA x dg / ad en lugar de DG, se obtendrá una nueva ecuación en la que la abscisa nueva ad y la nueva ordenada dg no alcanzarán más que una sola dimensión, y precisamente la que da por resultado una línea recta. Pero si AD y DG, o una de ellas, alcanzase en la primera ecuación una segunda dimensión, también ad y dg alcanzarán segundas dimensiones en la segunda ecuación. Y lo mismo para tres o más dimensiones. Las indeterminadas ad, dg en la segunda ecuación y AD, DG en la primera alcanzarán siempre el mismo número de dimensiones, y por tanto las líneas a las que toquen los puntos G, g son del mismo orden analítico.

Digo además que si una recta tocase una línea curva en la primera figura; esta recta trasladada del mismo modo con la curva a la nueva figura tocará a esta línea curva en la nueva figura; y viceversa. Pues si dos puntos cualesquiera de la curva se acercan entre sí y llegan a coincidir en la primera figura, los mismos puntos trasladados se acercarán entre sí y llegarán a coincidir en la nueva figura; y por tanto, las rectas con las que estos puntos estuvieron unidos resultarán a la vez tangentes de las curvas en ambas figuras.

Pueden construirse demostraciones de estas afirmaciones de modo más geométrico. Pero prefiero la brevedad.

Por tanto, si se ha de transformar una figura rectilínea en otra bastará trasladar las intersecciones de las rectas que constituyen la primera figura y por ellas trazar las rectas de la nueva. Si se ha de tratar, en cambio, de transformar una figura curvilínea, hay que trasladar los puntos, las tangentes y demás rectas en cuya virtud se define la curva. Sirve así este lema para resolver los problemas más difíciles, trasformando las figuras propuestas en otras más sencillas. Por tanto, cualesquiera rectas convergentes pueden trasformarse en paralelas si se toma como primer radio ordenado una línea recta cualquiera que pasa por el punto de convergencia; y esto porque dicho punto de convergencia cae de este modo en el infinito; y líneas paralelas son aquellas que nunca se encuentran. Pero, después que se resuelve el problema en la nueva figura, si realizando operaciones inversas, esta figura se trasforma en la primitiva, se tendrá la solución buscada.

También es útil este Lema para la solución de problemas de sólidos. Pues cuantas veces se presenten dos secciones cónicas con cuya intersección se pueda resolver el problema, se puede transformar cualquiera de ellas, si es una hipérbola o una parábola en una elipse: después la elipse se transforma fácilmente en un círculo. También una recta y una sección cónica, en la construcción de problemas de planos, se transforman en una recta y un círculo[26].

PROPOSICIÓN XXV. PROBLEMA XVII

Describir una trayectoria que pase por dos puntos dados y sea tangente a tres rectas de posición dada.

Trácese una recta infinita por el punto de intersección mutua de dos tangentes cualesquiera y por el punto de intersección de una tercera tangente con la recta que pase por los dos puntos dados; tomando como primer radio ordenado la recta así trazada, transfórmese la figura, por el lema anterior, en una nueva figura. En esta nueva figura las dos tangentes aquéllas resultarán entre sí paralelas, y la tangente tercera vendrá a ser paralela a la recta que pase por los dos puntos dados. Sean hi, kl dichas tangentes paralelas, ik la tercera tangente y hl la recta paralela a esta tercera tangente y que pasa por los puntos ab, por los que en esta nueva figura debe pasar la sección cónica, y que completa el paralelogramo hikl. Córtense las rectas hi, ik, kl en c, d, e, de modo que he sea al lado cuadrado del rectángulo ahb, que ic sea a id, y ke a kd como la suma de las rectas hi y kl es a la suma de las tres líneas de las cuales la primera es la recta ik, y las otras dos son los lados cuadrados de los rectángulos ahb y alb; y serán c, d, e los puntos de contacto. Pues, por las cónicas, hc2 es al rectángulo ahb como ic2 es a id2 y como ke2 es a kd2 y como el2 es al rectángulo alb; y por tanto están en dicha razón subduplicada he al lado cuadrado del rectángulo ahb, ic a id, ke a kd y el al lado cuadrado del rectángulo alb, y sumando estarán en la razón dada todos los antecedentes hi y kl respecto a todos los consecuentes que son el lado cuadrado del rectángulo alb[27]. Se tienen, pues, a partir de aquella razón dada los puntos de contacto c, d, e, en la nueva figura. Por las operaciones inversas del último Lema trasládense estos puntos sobre la primera figura, y en ella (por el Prob. XIV) se trazará la trayectoria. Q. E. F. Por lo demás, como los puntos a, b, bien caerán entre los puntos h, l, bien fuera, los puntos c, d, e, deberán caer o entre los puntos h, i, k, l, o fuera. Si uno de los puntos a, b, cae entre los puntos h, l, y el otro cae fuera, el problema es imposible.

PROPOSICIÓN XXVI. PROBLEMA XVIII

Trazar una trayectoria que pase por un punto dado y sea tangente a cuatro rectas de posición dada.

Trácese desde la intersección de dos tangentes cualesquiera una recta infinita hasta la intersección de las otras dos tangentes; y por tanto también están en dicha razón subduplicada tomando dicha recta por primer radio ordenado, trasfórmese la figura (por el Lema XXII) en una nueva figura, y los dos pares de tangentes, que concurrían en el primer radio ordenado, resultarán paralelas. Sean éstas hi y kl, ik y hl que completan el paralelogramo hikl. Sea p el punto correspondiente en esta nueva figura al punto dado en la primera. Trácese por el centro O de la figura la línea pq, y siendo Oq igual a Op será q el otro punto por el que pasará la sección cónica en esta nueva figura. Por la operación inversa del Lema XXII trasládese este punto a la figura primera y se tendrán en ella dos puntos por los que debe trazarse la trayectoria. Por ellos, en efecto, por el Problema XVII, puede trazarse dicha trayectoria. Q. E. F.

LEMA XXIII

Si dos rectas de posición dada AC, BD terminan en dos puntos dados A, B, y están entre sí en una razón dada y la recta CD con la que se unen los puntos indeterminados C, D, es cortada en K en una razón dada: digo que el punto K está en una recta de posición dada.

Concurran, pues, las rectas AC, BD, en E, y sobre BE tómese BG a AE como es BD a AC, y sea FD siempre igual a la distancia dada EG; y por construcción EC será a GD, esto es, a EF como AC a BD, y por tanto en razón dada, y por tanto estará dado el tipo de triángulo EFC. Córtese CF en L de modo que CL esté en razón a CF como CK a CD; y por la razón dada anterior, se dará también el tipo de triángulo EFL; y por tanto, el punto L estará situado en la recta EL de posición dada. Únase LK, y los triángulos CLK, CFD serán semejantes; y por estar dadas FD y la razón de LK a FD, estará dada también LK. Igual a ésta tómese EH y ELKH será siempre un paralelogramo. Se halla pues el punto K en el lado de posición dada HK de dicho paralelogramo. Q. E. D.

COROLARIO. Por estar la figura EFLC dada en especie, las tres rectas EF, EL y EC, esto es, GD, HK y EC están entre sí en una razón dada.

LEMA XXIV

Si tres rectas fuesen tangentes a cualquier sección cónica de las cuales dos fuesen paralelas y de posición dada, digo que el semidiámetro de la sección paralelo a estas dos será media proporcional entre los segmentos de las mismas comprendidos entre los puntos de contacto y la tercera tangente.

Sean AF, GB dos paralelas tangentes a la sección cónica ADB en los puntos A y B; sea EF una tercera recta tangente a la sección cónica en I, y que se corte con las dos tangentes anteriores en F y G; y sea CD el semidiámetro de la figura paralelo a las tangentes: digo que AF, CD, BG, están en proporción continua.

Pues si los diámetros conjugados AB, DM cortasen a la tangente FG en E y H y se cortasen mutuamente en C y se completase el paralelogramo IKCL; ocurrirá por la naturaleza de las cónicas que EC será a CA como CA a CL, y también como las diferencias EC - CA a CA - CL, esto es como EA a AL y sumando, EA a EA + AL, o sea EL como EC a EC + CA, o sea EB; y por tanto, por la semejanza de los triángulos EAF, ELI, ECH, EBG, AF es a LI como CH es a BG. Al igual que, por la naturaleza de las cónicas, LI o CK es a CD como CD es a CH; y por tanto permutadas adecuadamente AF es a CD como CD es a BG. Q. E. D[28].

COROLARIO 1. De aquí que si dos tangentes FG, PQ cortasen a las tangentes paralelas AF, BG en F y G, P y Q y se cortasen entre sí en O; permutadas adecuadamente ocurriría que AF es a BQ como AP es a BG, y por separación como FP a GQ, y por tanto como FO a OG.

COROLARIO 2. De donde también dos rectas PG, FQ trazadas por los puntos P y G, F y Q concurren en la recta ACB que pase por el centro de la figura y por los puntos de contacto A, B.

LEMA XXV

Si los cuatro lados de un paralelogramo, prolongados infinitamente, fuesen tangentes a una sección cónica y son cortados a su vez por una quinta tangente cualquiera; tomando las abscisas de dos lados cualesquiera contiguos y terminadas ellas en los ángulos opuestos del paralelogramo: digo que cada una de las abscisas será al lado del que es abscisa como la parte del otro lado contiguo comprendida entre el punto de contacto y el tercer lado es a la otra parte de las abscisas.

Sean los cuatro lados ML, IK, KL, MI del paralelogramo MLIK tangentes a la sección cónica en A, B, C, D, y corte la quinta tangente FQ a dichos lados en F, Q, H y E; tómese sobre los lados MI, KI, las abscisas ME, KQ, o sobre los lados KL, ML, las abscisas KH, MF: digo que ME será a MI como BK a KQ; y KH a KL como AM a MF. Pues, por el corolario primero del Lema anterior ME es a El como AM o BK a BQ, y sumando ME a MI como BK a KQ. Q. E. D. Y también KH a HL como BK o AM a AF, y dividiendo KH a KL como AM a MF. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si se tiene dado el paralelogramo IKLM, descrito en torno a una sección cónica dada, se tendrá dado también el rectángulo KQ x ME, al igual que el rectángulo igual a este KH x MF. Pues dichos rectángulos son iguales por la semejanza de los triángulos KQH, MFE.

COROLARIO 2. Y si se traza una sexta tangente eq que incida sobre las tangentes KI, MI en q y e; el rectángulo KQ x ME será igual al rectángulo Kq x Me; y KQ será a Me como Kq a ME y sustrayendo como Qq a Ee.

COROLARIO 3. De donde también, si se unen y se bisecan Eq y eQ y se traza una recta por los puntos de las bisecciones, pasará esta recta por el centro de la sección cónica. Puesto que al ser Qq a Ee como KQ a Me dicha recta pasará por la mitad de todas las rectas Eq, eQ, Mk (por el Lema XXIII) y el medio de la recta MK es el centro de la sección.

PROPOSICIÓN XXVII. PROBLEMA XIX

Describir una trayectoria que sea tangente a cinco rectas de posición dada.

Supónganse dadas en posición las tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Biséquense en M y N las diagonales AF, BE, contenidas entre cuatro tangentes cualesquiera ABFE y (por el Corolario 3 del Lema XXV) la recta MN trazada por los puntos de las bisecciones pasará por el centro de la cónica. Después biséquense en P y Q las diagonales (digamos) BD, GF, de la figura cuadrilátera BGDF contenidas entre otras cuatro tangentes cualesquiera, y la recta PQ trazada por los puntos de la bisección pasará por el centro de la trayectoria cónica. Se tendrá pues el centro en el punto de concurso de las bisecantes. Sea O dicho punto. Trácese a cualquiera tangente BC una paralela KL, tal que esté situada a la distancia precisa para que el centro O quede en el punto medio entre las paralelas, y trazada KL será tangente a la trayectoria a describir. Por los puntos de contacto C y K, F y L de estas tangentes no paralelas CL, FK, con las paralelas CF, KL, trácense CK, FL, concurrentes en R, y la recta OR trazada y prolongada cortará a las tangentes paralelas CF, KL, en los puntos de contacto. Esto es evidente por el Corolario 2 del Lema XXIV. Del mismo modo es posible hallar los demás puntos de contacto y finalmente, por la construcción del prob. XIV, describir la trayectoria. Q. E. F.

ESCOLIO

Los problemas en que se dan o los centros o las asíntotas de las trayectorias quedan incluidos en lo que precede. Pues dados a la vez los centros y los puntos y las tangentes, están dados también todos los demás puntos y tangentes de la otra parte equidistantes del centro. Una asíntota debe ser considerada como si fuera una tangente y su término infinitamente distante (por decirlo así) como el punto de contacto. Imagínese que el punto de contacto de una tangente cualquiera se alejase hasta el infinito, en tal caso la tangente se transforma en asíntota y las construcciones de los problemas precedentes se transforman en construcciones en las que se da una asíntota.

Una vez descrita la trayectoria es posible hallar los ejes y los focos de la misma por este método. En la construcción y figura del Lema XXI hágase que los lados BP, CP, de los ángulos móviles PBN, PCN, con cuya intersección se describía la trayectoria, sean entre sí paralelos y, conservando su misma posición, giren sobre sus polos B, C, en dicha figura. Entre tanto, los otros lados CN, BN, de dichos ángulos describirán con su intersección en K o k el círculo BGKC. Sea O el centro de este círculo. Desde este centro trácese sobre la regla MN, en la que concurrían los lados CN, BN, mientras se trazaba la trayectoria cónica, la normal OH que corta el círculo en K y L. Y cuando los otros lados CK, BK, concurren en el punto susodicho K que está más cerca de la regla, los lados primeros CP, BP, serán paralelos al eje mayor, y perpendiculares al menor; y lo contrario ocurrirá si los mismos lados concurren en el punto más distante L. De donde si se da el centro de la trayectoria se darán también los ejes. Y dados éstos, los focos están a un paso.

Pero los cuadrados de los ejes están entre sí como KH a LH, y de aquí es fácil describir una cónica de una especie dada por cuatro puntos dados. Pues si dos de los puntos dados se toman como los polos C, B, el tercero dará los ángulos móviles PCK, PBK; dados éstos se puede trazar el círculo BGKC. Entonces, por estar dada la especie de trayectoria cónica, se tendrá la razón OH a OK y por tanto la propia OH. Con centro en O y con distancia OH trácese otro círculo y la recta tangente a este círculo que pasa por el cruce de los lados CK, BK, cuando los lados primeros CP, BP, concurren en el cuarto punto dado, será la regla aquella MN con cuya ayuda se traza la trayectoria. De donde también a veces un trapecio de especie dada (si se exceptúan algunos casos imposibles) puede inscribirse en cualquiera sección cónica dada.

Hay otros Lemas en cuya virtud pueden trazarse trayectorias de una especie dada, si se dan los puntos y las tangentes. De este género es el de que si se traza una línea recta por un punto de posición dada que corte a una sección cónica dada en dos puntos y se biseca el intervalo comprendido entre las intersecciones, el punto de la bisección es tangente a otra sección cónica de la misma especie que la anterior y cuyos ejes son paralelos a los ejes de la anterior. Pero paso a cosas más útiles.

LEMA XXVI

Situar uno a uno los tres ángulos de un triángulo de especie y magnitud dadas sobre tres rectas dadas también en posición y que no sean entre sí paralelas ninguna.

Se tienen en posición tres rectas infinitas AB, AC, BC y es preciso colocar el triángulo DEF de tal manera que su ángulo D toque la línea AB, el ángulo E toque la línea AC y el ángulo F la línea BC. Sobre DE, DF y EF trácense tres segmentos circulares DRE, DGF, EMF, que comprendan ángulos respectivamente iguales a los ángulos BAC, ABC, ACB. Pero se han de trazar estos segmentos sobre aquellas partes de las líneas DE, DF, EF, de tal modo que al girar las letras DRFD lo hagan en el mismo orden que las letras BACB y que las letras DGFE giren en el mismo orden que las letras ACBA; después complétense estos segmentos circulares en sus círculos completos. Sea G el punto en que se corten los dos primeros círculos y sean sus centros P y Q. Unidos GP, PQ, tómese Ga a AB como GP a PQ y, con centro en G y con distancia Ga trácese un círculo que corte al círculo primero DGE en a. Únase por una parte aD secante del círculo segundo DFG en b y por otra aE secante del círculo tercero EMF en c. Y ya es factible la figura ABCdeƒ semejante e igual a la figura abcDEF. Con lo cual se completa el problema.

Trácese, pues, Fc que toque a aD en n, y únanse aG, bG, QG, QD, PD. Por construcción, el ángulo EaD es igual al ángulo CAB, y el ángulo acF igual al ángulo ACB, y por tanto el triángulo anc equiángulo con el triángulo ABC. Luego el ángulo anc o FnD, es igual al ángulo ABC y por tanto al ángulo FbD, y por eso el punto n coincide con el punto b. Además, el ángulo GPQ, que es la mitad del ángulo central GPD, es igual al ángulo ni la circunferencia GaD, y el ángulo GQP, que es la mitad del ángulo central GQD, es igual al complemento para dos rectos del ángulo en la circunferencia GbD y por tanto igual al ángulo Gba; v así los ángulos GPQ, Gab son semejantes; y Ga es respecto a ab como GP es a PQ; esto es (por construcción) como Ga a AB. Pero son iguales ab y AB y por tanto los triángulos abc y ABC, que acabamos de probar que son semejantes, son también iguales. En consecuencia, puesto que los ángulos D, E, F, del triángulo DEF caen respectivamente sobre los lados ab, ac, bc, del triángulo abc, la figura ABCdeƒ puede ser completada semejante e igual a la figura abcDEF, y construyéndola quedará resuelto el problema. Q. E. F.

COROLARIO. Ahora puede trazarse una recta cuyas partes de longitud dada queden interceptadas entre tres rectas de posición duda. Supongamos el triángulo DEF, cuyo punto D se acerca al ludo EF, y cuyos lados DE, DF, están colocados sobre una recta, convirtiéndose en una línea recta cuya parte dada DE estará interceptada por las rectas de posición dada AB, AC y la otra parte dada DF estará interceptada por las rectas de posición dada AB, BC; y aplicando la construcción precedente a este caso quedará el problema resuelto.

PROPOSICIÓN XXVIII. PROBLEMA XX

Describir una trayectoria dada en cuanto a forma y magnitud cuyas partes dadas queden interceptadas por tres rectas de posición dada.

La trayectoria que se ha de describir habrá de ser semejante e igual a la curva DEF y habrá de estar cortada por tres rectas AB, AC, BC, de posición dada en partes semejantes e iguales a las partes dadas de esta DE y EF.

Tracemos las rectas DE, EF, DF y hagamos que los ángulo D, E, F, de este triángulo DEF caigan sobre las rectas de posición dada (por el Lema XXVI) y después tracemos la trayectoria en torno al triángulo semejante e igual a la curva DEF. Q. E. F.

LEMA XXVII

Describir un trapecio de forma dada cuyos ángulos toquen cada uno a cada una de cuatro rectas dadas en posición tales que ni toda sean paralelas ni converjan en un punto común.

Sean las cuatro rectas dadas en posición ABC, AD, BD, CE de las cuales, la primera corta a la segunda en A, a la tercera en I y a la cuarta en C; y hay que describir un trapecio ƒghi, que sea semejante al trapecio FGHI; y cuyo ángulo ƒ igual al ángulo dado F, toque a la recta ABC y el resto de los ángulos g, h, i, iguales a los ángulos también dados G, H, I, toquen a las otra líneas AD, BD, CE, respectivamente. Únase FH y sobre FG, FH FI, trácense otros tantos segmentos circulares FSG, FTH, FVI, de los cuales el primero FSG comprenda un ángulo igual al ángulo BAD, el segundo FTH comprenda un ángulo igual al ángulo CBD y el tercero FVI comprenda un ángulo igual al ángulo ACE Pero deben trazarse los segmentos hacia aquellas partes de la: líneas FG, FH, FI, de modo tal que el orden de las letras FSGI sea el mismo orden circular que el de las letras BADB y que e orden de las letras FTHF sea el mismo que el de las letras CBDC y que el de las letras FVIF sea el mismo en su giro que el de las letras ACEA. Complétense los segmentos en círculos completos y sea P el centro del primer círculo FSG, y Q el centro del segundo ITH. Únanse y prolónguese PQ y tómese sobre ella QR en la misma proporción a PQ que tiene BC a AB. Pero tómese QR hacia el lado del punto Q tal que el orden de las letras P, Q, R, sea el mismo que el de las letras A, B, C; y con centro en R y con distancia RF trácese un cuarto círculo FNc que corte al círculo tercero FVI en c. Únase Fe cortando al círculo primero en a y al segundo en b. Trácense aG, bH, cI, y puede obtenerse la figura ABCƒghi semejante a la figura abcFGHI. Una vez hecho esto el trapecio ƒghi será el mismo que era preciso construir.

Pues, los dos círculos primeros FSG, FTH, córtense mutuamente en K. Únanse PK, QK, RK, aK, bK, cK, y prolónguese QP hasta L. Los ángulos en las circunferencias FaK, FbK, FdC, son mitades de los ángulos centrales FPK, FQK, FRK, y por tanto iguales a los ángulos que son mitad de ellos, LPK, LQK, LRK. Por tanto, la figura PQRK es equiángula y semejante a la figura abcK y por ello ab es a bc como PQ es a QR, esto es, como AB a BC. Y además por construcción los ángulos ƒAg, ƒBh, ƒCi son iguales a los ángulos FaG, FbH, Fel. Luego puede construirse la figura ABCƒghi semejante a la figura abcFGHl. Hecho esto se tendrá el trapecio ƒghi, semejante al trapecio FGHI, y con sus ángulos ƒ, g, h, i, tocará a las rectas ABC, AD, BD, CE. Q. E. F.

COROLARIO. Ahora se puede trazar una recta cuyas partes, interceptadas por cuatro rectas dadas en posición según un cierto orden, tendrán entre sí una proporción dada. Auméntense los ángulos FGH, GHI, hasta el punto que las rectas FG, GH, HI, se hallen sobre una misma recta y para construir el problema en el presente caso se trazará la recta ƒghi cuyas partes ƒg, gh, hi, interceptadas por las cuatro rectas de posición dada AB y AD, AD y BD, BD y CE, serán entre sí como las líneas FG, GH, HI, y mantendrán entre sí el mismo orden. Pero esto mismo se halla más directamente como sigue.

Prolónguese AB hasta K y BD hasta L, de modo que BK sea u AB como HI a GH, y DL a BD como GI a FG, y únanse KL con la prolongación de CE pasando por i. Prolónguese iL hasta M de modo que LM sea a iM como GH es a HI y trácese ahora MQ paralela a LB y que corte a la recta AD en g así como gi que corte a AB, BD en ƒ, h. Y digo que está hecho.

Pues corte Mg a la recta AB en Q, y AD a la recta KL en S, y trácese AP que sea paralela a BD y toque a iL en P, y estarán en idéntica razón gM a Lh (gi a hi, Mi a Li, GI a HI, AK a BK) y AP a BL. Córtese DL en R de modo que DL sea a RL en la misma dicha razón; y por ser proporcionales gS a gM, AS a AP y DS a DL, por lo mismo, como gS es a Lh será AS a BL y DS a RL; y conjuntamente BL - RL a Lh - BL como AS - DS a gS - AS. Esto es, BR a Bh como AD a Ag, y por tanto, como BD a gQ. Y alternativamente BR a BD como Bh a gQ, o sea ƒh a ƒg. Pero por construcción la línea BL fue cortada en razón idéntica en D y en R a como lo fue la línea FI en G y en H: por ello BR es a BD como FH es a FG. Luego ƒh es a ƒg como FH es a FG. Pero como también sea gi a hi como Mi a Li, esto es, como GI a HI, es evidente que las líneas FI, ƒi están cortadas de modo igual en G, H y en g, h. Q. E. F.

En la construcción de este Corolario, después de trazar LK secante de CE en i, se puede prolongar iE hasta V de modo que EV sea a Ei como FH es a HI, y trazar Vƒ paralela a BD. Lo mismo ocurre si con centro en i y distancia IH se describe un círculo que corte a BD en X y se prolonga iX hasta Y de modo que iY sea igual a IF, y se traza Yƒ paralela a BD.

De este problema ya dieron otras soluciones Wren y Wallis hace tiempo.

PROPOSICIÓN XXIX. PROBLEMA XXI

Describir una trayectoria de forma dada que esté cortada en partes dadas en orden, forma y proporción por cuatro rectas dadas en posición.

Ha de trazarse una trayectoria que sea semejante a la línea curva FGHI y cuyas partes, semejantes y proporcionales a las partes de aquella FG, GH, HI, estén interceptadas entre las rectas AB y AD, AD y BD, BD y CE dadas en posición, la primera entre las primeras, la segunda entre las segundas, la tercera entre las terceras. Trazadas las rectas FG, GH, HI, FI, trácese (por el Lema XXVII) el trapecio ƒghi, semejante al trapecio FGHI, y tal que sus ángulos ƒ, g, h, i, toquen las rectas de posición dada AB, AD, BD, CE, cada uno a cada una en el orden dicho. Después trácese la trayectoria en torno a este trapecio y será semejante a la línea curva FGHI.

ESCOLIO

También se puede construir este problema como sigue. Unidos FG, GH, HI, FI, prolónguese GF hasta V, y únanse FH, IG, y háganse los ángulos CAK, DAL iguales a los ángulos FGH, VFH. Sean concurrentes AK y AL con la recta BD en K y en L, y desde aquí trácense KM y LN tales que, KM forme el ángulo AKM igual al ángulo GHI y sea como HI es a GH, y LN forme el ángulo ALN igual al ángulo FHI y sea a AL como HI es a FH. Pero han de trazarse AK, KM, AL, LN hacia aquel lado de las líneas AD, AK, AL que permita que las letras CAKMC, ALKA, DALND giren en el mismo orden que las letras FGHIF; y trazada MN vaya a encontrar a CE en i. Hágase el ángulo iEP igual al ángulo IGF, y sea PE a Ei como FG a GI; y trácese por P la recta PQƒ que contenga con la recta ADE al ángulo PQE igual al ángulo FIG, y corte a la recta AB en ƒ, y únase ƒi. Pero trácense PE y PQ hacia los lados de las líneas CE, PE de modo que la disposición circular de las letras PEiP y PEQP sea la misma que la de las letras FGHIF, y si sobre la línea ƒi, también con el mismo orden de las letras, se forma el trapecio ƒghi, semejante al trapecio FGHI, y se circunscribe la trayectoria de forma dada, se habrá resuelto el problema.

Hasta aquí hemos tratado de cómo hallar las órbitas. Falta ahora que tratemos de cómo determinar los movimientos de los cuerpos en las órbitas descubiertas.