Notas del libro segundo

[1] Newton añade en la segunda edición los Corolarios 1 y 2, con lo cual los cinco primitivos llevan los números 3 a 7. <<

[2] Newton hacia 1712, en un prefacio que pensó anteponer y del cual se conservan diferentes borradores, o estadios del borrador —vide Math. Papers, VIH, 625 y siguientes— dice que utilizó en los Principia el método de las cuadraturas muy ampliamente, «eodemque plurium usus sum in componendo libro precedente de Philosophiae Naturalis Principiis Mathematicis…»; pero además de los dos casos del Libro I ya mencionados, sólo es posible citar unos pocos más en los cuales debe tratar velocidades instantáneas (Proposiciones II, III, V-IX y XI-XIV del Libro II), en las cuales se ve obligado a tratar Vx y Vy (dx/dt) y (dy/dt). En todos los demás casos, pese a las diferentes afirmaciones, a lo largo de muchos textos aderezados contra Leibniz en su disputa, no queda rastro alguno de que hubiese utilizado «su método» para obtener ni sus resultados ni las demostraciones de los mismos. Antes bien, D. T. Whiteside en Math. Papers, 8, pág. 68, afirma que «sobre la base de un examen del texto de los Principia y de los manuscritos auxiliares de los mismos se apoya nuestra conclusión de que por el contrario la mayor parte de sus Proposiciones fueron derivadas esencialmente en la misma forma en que fueron impresas».

Pero este Lema II siempre fue aducido por Newton como argumento central de su prioridad y de su utilización del método infinitesimal tanto en los Principia como antes. En él presenta el principio fundamental del cálculo. Pero hay en torno un problema histórico que puede ser de alguna utilidad recordar aquí. Se trata de un Escolio que apareció en la primera edición al final del Lema. Volvió a aparecer en la segunda edición, aunque Newton redactó algunos arreglos y versiones alternativas, que luego descartó, y que finalmente desapareció en la última edición. Ya había muerto Leibniz en noviembre de 1716 y ya habían circulado más que de sobra las razones de uno y de otro. Conf. A. R. Hall Philosophers at War, Cambridge U. Press, 1980. El Escolio decía: «En cartas que hace diez años mediaron entre el sabio geómetra G. G. Leibniz y yo mismo, como manifestare que yo era poseedor de un método para determinar máximos y mínimos, para tratar tangentes y para hacer cosas semejantes, método que servía con términos irracionales, tanto como con términos racionales, y mediante trasposiciones literales que implicaban la siguiente Proposición (“dada una ecuación cualquiera que contenga cantidades fluentes, hallar las fluxiones, y viceversa”) la ocultare; me contestó el muy preclaro varón que también él había llegado a un método semejante, y comunicó un método apenas diferente al mío más que en las formas verbales y de notación. El fundamento de ambos métodos se halla en este Lema». Para el episodio completo, véase Hall, o. c. y Math. Papers, VIII. <<

[3] Aparecían en la 1.a edición (E1) dos Corolarios más: «Corolario 4: pero la partícula de tiempo, en que la partícula mínima NKLO de espacio es descrita es como el rectángulo KN·PQ, pues como el espacio NKLO es como la velocidad multiplicada por la partícula de tiempo; la partícula de tiempo será como dicho espacio dividido por la velocidad, es decir, como el rectángulo mínimamente pequeño KN·KL dividido por AP. Antes era KL como AP·PQ. Luego la partícula de tiempo es como KN·PQ o lo que es lo mismo, como PQ/CK. Q. E. D.

COROLARIO 5. Por el mismo argumento la partícula de tiempo en la que la partícula nklo de espacio es descrita en el ascenso es como PQ/CK». La figura era notablemente distinta y equivalía a la superposición de la de la Proposición VIII con la de la IX. <<

[4] En la primera edición Newton cometió un error que no detectó ni corrigió en la revisión para la segunda edición. Tampoco Cotes en su propio repaso. Cuando ya estaba impreso el cuadernillo correspondiente a esta Proposición (confer. Correspondencia, V, 951, pág. 347). Nicolás Bernuilli llegó de improviso a Londres y a primeros de octubre de 1712 hizo saber a Newton que su tío Bernuilli había encontrado un error en esta Proposición. Newton puso manos a la obra, paró la impresión que Cotes estaba realizando y reconstruyó el razonamiento. Decía la versión inicial: «Sea AK el plano perpendicular al plano de la figura; ACK la línea curva; C el cuerpo que se mueve en ella; y FCƒ la recta tangente a la misma en C. Imagínese que el cuerpo C ora progresa de A a K por la línea ACK, ora regresa por la misma línea; y en el progreso es impedido por el medio, al igual que en el regreso es impelido por él, de tal modo que en los mismos lugares siempre sea igual la velocidad del cuerpo en la ida o en la vuelta. Pero en tiempos iguales describa el cuerpo al ir un arco mínimo CG y el regresar el arco Cq; y sean CH, Ch longitudes rectas iguales, que describirían los cuerpos partiendo de C en dichos tiempos y sin las acciones del medio y de la gravedad: y desde los puntos C, G, g, trácense sobre el plano horizontal las perpendiculares CB, GD, gd de las cuales GD, gd que toquen a la tangente en F y ƒ. Por la resistencia del medio ocurre que el cuerpo que progresa en lugar de la longitud CH describe solamente la longitud CF; y por la fuerza de la gravedad el cuerpo es trasladado desde F a G: y por tanto, la pequeña línea HF debida a la fuerza de la resistencia y la pequeña línea FG debida a la fuerza de la gravedad se generan a la vez. Por lo tanto (por el Lema X del Libro I), la pequeña línea FG es como la fuerza de la gravedad y el cuadrado del tiempo conjuntamente, y (por estar dada la gravedad) como el cuadrado del tiempo; y la pequeña línea HF como la resistencia y la pequeña línea FG. Y de aquí que la resistencia sea como HF directamente y como FG inversamente o como HF/FG. Esto es así en segmentos nacientes. Pues en segmentos de magnitud finita estas razones no son exactas.

Y por un argumento semejante ƒg es como el cuadrado del tiempo y por ser iguales los tiempos, igual a FG; y el impulso con que es urgido el cuerpo que regresa es como hƒ/ƒg. Pero el impulso del cuerpo que regresa y del cuerpo que progresa, al comienzo mismo del movimiento, son iguales y, por tanto, también son iguales los proporcionales a los mismos hƒ/ƒg y HF/FG; y por la igualdad de ƒg y FG. también son iguales hƒ y HF. y también CF, CH (o cH) y Cƒ están en progresión aritmética, y de aquí que HF es la semidiferencia de las propias cƒ y CF; y la resistencia que antes fue como HF/FG es como (Cƒ - CF)/FG. Pero la resistencia es como la densidad del medio y el cuadrado de la velocidad. Y la velocidad es como la longitud recorrida CF directamente y el tiempo √FG inversamente, esto es como CF/√FG, y por tanto el cuadrado de la velocidad como CF2/FG. Por lo cual la resistencia, y su proporcional (Cƒ - CF)/FG es como la densidad del medio y CF2/FG conjuntamente; y de aquí que la densidad del medio es como (Cƒ - CF)/FG directamente y CF2/FG inversamente, esto es, como (Cƒ - CF)/CF2. Q. E. I.

Corolario 1. De aquí se sigue que si en Cƒ se toma Ck igual a CF y sobre el plano horizontal AK se deja caer la perpendicular ki secante de la curva ACK en b; la densidad del medio será como (FG - kl)/CF x (FG + kl). Pues ƒC será a kC como √ƒg o de √FG a √kl. Y por partes fk a kC, esto es, Cƒ - CF a CF como √FG + √kl a √kl, esto es (si ambos términos se multiplican por la razón primera naciente √FG + √kl) como FG - kl a kl + √FG x kl o también FG + kl. Pues la razón primera de las nacientes kl + √FG x kl y FG + kl es de igualdad. Escríbase, por tanto (FG - kl)/(FG + kl) en lugar de Cƒ - CF; y la densidad del medio que fue como (Cƒ - CF)/CF2 resultará como (FG - kl)/CF x FG + kl.

Corolario 2. De donde, puesto que 2HF y Cƒ - CF son iguales, y FG y kl (por la razón de igualdad) compongan 2FG; será 2HG a CF como FG - kl a 2FG; y por ello HF a FG, esto es, la resistencia a la gravedad, como el rectángulo CF x FG - kl a 4FG2».

Corolario 3. Es el actual Corolario 2.

Hemos introducido subrayados para significar la línea de argumentación errónea. 1) «…la pequeña línea FG debida a la fuerza de la gravedad…» FG no sólo es generada por la gravedad, sino también por la componente (aquí negativa) de la resistencia al movimiento según la linea CFH. Por ser negativa tiende hacia abajo coincidiendo con la gravedad y es segunda derivada de un tercer término en θ3: 2) «Como la fuerza de la gravedad y el cuadrado del tiempo conjuntamente». Aquí se olvida de que FG es además función de la componente resistencial del paso anterior, y por ello 3) la resistencia resultaría como HF/2FG. Y así en 4) no son iguales ƒg y FG; la diferencia entre ambos (el tercer término de la serie que no es despreciable) es ⅓(gP/v)θ3. Esta diferencia desconocida u olvidada por Newton le lleva a considerarlos iguales en 5) donde iguala las raíces √ƒg y √FG. De no ocurrir esto y haber seguido operando con √ƒg habría llegado a un resultado exacto en este Corolario 1. Bernuilli y Leibniz tomaron pie en este error para mantener que Newton no conocía en 1687 la técnica diferencial puesto que había tropezado en el desarrollo de la serie al no llegar a una derivada segunda. Whiteside en Mat. Papers, 8, 312-419 hace una exposición completa del contencioso, a la vez que muestra hasta dónde llegaba la competencia analítica de Newton. Por otra parte, en el Ejemplo 1 suprimió un pequeño párrafo en el que introducía los valores del problema por las variables de la serie porque en ellos aparecía un error a consecuencia de lo anterior, pero el método es el mismo. <<

[5] En las dos ediciones anteriores faltaban las figuras que ahora aparecen en esta Proposición, pero aparecían como figuras de los Casos 1, 2 y 3 de la Proposición XIII. En la tercera edición se trasladan todas a la Proposición XIV y se introducen las de la Proposición XIII tomando sólo parte de las antiguas, como observará el lector. <<

[6] Escolio: se introduce en la tercera edición. <<

[7] En la primera edición el enunciado era: «Las partículas que huyen unas de otras con fuerzas que son inversamente proporcionales a las distancias de sus centros componen un fluido elástico cuya densidad es proporcional a la compresión. Y viceversa, si la densidad de un fluido compuesto de partículas que huyen unas de otras es como la compresión, las fuerzas centrífugas de las partículas son inversamente proporcionales a las distancias de los centros».

En el Escolio suprimido en la segunda edición, en el antepenúltimo párrafo, un fragmento decía «De modo que si cada partícula con su fuerza, que sea inversamente como la distancia al centro de cada lugar, repele a todas las otras hasta el infinito; las fuerzas con las cuales el fluido puede ser comprimido y condensado igualmente en vasos semejantes, serán como los cuadrados de los diámetros de los vasos; y por ello la fuerza con la cual el fluido se comprime en el mismo vaso, será inversamente como el “latus cubicum” a la potencia 5 de la densidad». <<

[8] El Escolio general con que se cierra esta Sección VI se hallaba en la primera edición al final de la Sección VII. En su correspondencia con Cotes (Corresp. V-784, pág. 42) se limita a decir que «deseo que se imprima al final de la sexta sección inmediatamente después de la Proposición XXXI» y aunque hay algunas correcciones mínimas no hay ningún cambio sustancial en el aparato experimental incluido en el Escolio. En cambio suprimió un párrafo que seguía inmediatamente a la 4.a tabla que decía:

«La resistencia aquí nunca aumenta más que la razón del cuadrado de la velocidad. Y es verosímil que eso ocurriera en un péndulo mayor, siempre que el área aumente en razón del péndulo. Pues la resistencia tanto en el aire como en el agua, si la velocidad aumenta por pasos hasta el infinito, deberá aumentar al fin en una razón mayor que el cuadrado, toda vez que en los experimentos aquí descritos la resistencia es menor que la razón demostrada para los cuerpos muy veloces en las Proposiciones XXXVI y XXXVIII de este libro. Pues los cuerpos muy veloces dejan a su espalda un espacio vacío y, por tanto, la resistencia que sufren en su parte delantera, en nada es disminuida por la presión del medio en sus partes posteriores».

Hay algunos otros párrafos suprimidos que amplían la idea del anterior o en los que explica cómo hacerla más precisa mediante péndulos cónicos, cuyas resistencias están más acordes con la idea principal. Y finalmente (pág. 524) suprime dos pequeños párrafos. El primero (a continuación de «fluido sutil») decía: «pero opino que la causa ha de ser muy otra. Pues los tiempos de oscilación de la caja llena son menores que los tiempos de oscilación de la caja vacía y, por tanto, la resistencia de la caja llena en la superficie externa es mayor, según la velocidad y la longitud del espacio descrito oscilando, que la de la caja vacía. Al ser esto así, la resistencia de las cajas en sus partes internas o es nula o claramente insensible».

El segundo párrafo (después del último punto y aparte) decía: «Con el mismo método con el cual hemos hallado la resistencia de los cuerpos esféricos en el agua y en el mercurio puede hallarse la resistencia de cuerpos con otras figuras; y así las distintas figuras de naves construidas en modelos pequeños pueden compararse entre sí, para probar con pocos gastos cuales sean las naves más aptas para navegar». <<

[9] La revisión de esta sección VII tuvo su origen en las objeciones de Fatio (vide Proposición XXXVI, nota 12) y se remonta a los primeros años de la década anterior. En carta de Cotes a Newton (Corresp. V, 805, pág. 65) aquél acusa el recibo de la revisión de toda esta parte. También hay que destacar la discusión de Cotes sobre esta nueva revisión —en la carta mencionada y en las siguientes— porque aclaran notablemente las nuevas consideraciones de otros experimentos que llevan a Newton a la formulación actual (Torricelli, Halley, etc.).

La reforma consiste en:

a) Las Proposiciones XXXII y XXXIII son prácticamente las mismas.

b) En la Proposición XXXIII se suprimen los Corolarios 6, 7 y 8. El Corolario 9 pasa a ser, por tanto, el 6.º

c) Se suprime la Proposición XXXIV y la primitiva XXXV se renumera con el núm. XXXIV.

d) El resto de la sección, Proposición XXXV a XL y Escolio, se redactan de nuevo.

No incluimos aquí la traducción de este largo texto suprimido. Puede verse en Ap. I del tomo II de la edición de Koyré-Cohen. Cabe añadir que esta redacción junto con los experimentos correspondientes llevó a Newton largo tiempo por cuanto que Cotes rehizo los experimentos de Newton y halló objeciones que honestamente propuso. La respuesta de Newton (24 de marzo de 1711) incluye un largo ensayo relativo a estas Proposiciones XXXVI y siguientes (Corresp. V, 826, pág. 103, etc.). <<

[10] Corolarios: los corolarios suprimidos eran:

Corolario 6. «Mas como las partículas de los fluidos, debido a las fuerzas por las que mutuamente se repelen, no pueden moverse sin que a la vez agiten a otras partículas en torno y, por tanto, se muevan más difícilmente entre ellas que si careciesen de estas fuerzas; y cuanto mayores sean sus fuerzas centrífugas, tanto más difícilmente se muevan entre ellas: parece evidente que un proyectil en semejante fluido se moverá más difícilmente cuanto más intensas sean dichas fuerzas; y por tanto si la velocidad de un cuerpo muy veloz de los Corolarios anteriores se disminuyese, puesto que la resistencia disminuiría como el cuadrado de la velocidad, siempre que las fuerzas de las partículas disminuyesen en la misma razón cuadrada; y en cambio no se disminuirían las fuerzas, está claro que la resistencia disminuiría en menor razón que el cuadrado de la velocidad.

Corolario 7. Además, puesto que las fuerzas centrífugas llevan a aumentar la resistencia en la medida en que las partículas propagan su movimiento por el fluido mediante dichas fuerzas a mayor distancia mutua; y puesto que dicha distancia está en menor proporción respecto a cuerpos mayores; es evidente que el aumento de resistencia debido a dichas fuerzas para cuerpos mayores sea de menor importancia; y por tanto cuanto mayores sean los cuerpos tanto más exactamente la resistencia de los cuerpos en desaceleración decrece en razón cuadrada a la velocidad.

Corolario 8. De donde también la susodicha razón cuadrada se cumplirá más exactamente en los fluidos que, a igual densidad y fuerza elástica, consten de partículas más pequeñas. Pues si se disminuyen aquellos cuerpos mayores y las partículas del fluido, manteniendo sus densidades y su fuerza elástica, disminuyen en dicha razón, se mantendrá la misma razón de resistencia que antes; como se colige fácilmente de lo anterior». <<

[11] Era la XXXV de la primera edición. La primitiva XXXIV decía:

«PROPOSICIÓN XXXIV. TEOREMA XXVII.

Lo demostrado en las dos Proposiciones anteriores no se cumple cuando las partículas de los sistemas se suceden continuamente unas a otras, siempre que dichas partículas sean de gran lubricidad.

Imagínese que las partículas mutuamente se repelen con cualesquiera fuerzas y dichas fuerzas aumenten hacia la superficie de las partículas, hasta el infinito, mientras al alejarse de ellas disminuyen muy rápidamente y desaparecen de pronto. Imagínese también que los sistemas se comprimen de modo que sus partes se toquen salvo en la medida en que dichas fuerzas impiden el contacto. Pero sean los espacios por los que se difunden las fuerzas de las partículas sumamente angostos, de modo que las partículas se acerque mutuamente lo más posible. Se deslizarán con la misma facilidad que si fuesen sumamente lubrificadas, y si se apoyan entre ellas rebotaran unas de otras gracias a las fuerzas susodichas como si fuesen elásticas. En consecuencia, los movimientos serán los mismos en ambos casos, salvo en la medida en que la pequeña distancia de las partículas no contiguas entre ellas genere una diferencia, la cual puede disminuirse hasta el infinito disminuyendo los intersticios entre partículas. Ahora bien, lo demostrado en las dos Proposiciones precedentes se cumple en partículas no contiguas entre sí, y esto aunque los intervalos entre partículas, disminuyendo los espacios por los que se difunden las fuerza, disminuyen infinitamente. Y por tanto, lo mismo se cumple en partículas que se tocan, exceptuando las diferencias que al final resulten menores que unas diferencias dadas. Por tanto, digo que se cumplen exactamente. Si lo niegas asigna una diferencia para un caso cualquiera. Pero ya se ha probado que la diferencia es menor que cualquiera dada. Luego la diferencia se asigna erróneamente y, por tanto, no existe. Q. E. D.

Corolario 1. Por tanto, si todas las partes de dos sistemas reposan entre ellas excepto las que son mayores que las otras y son entre sí correspondientes y situadas semejantemente entre las demás. Estas, lanzadas de cualquier modo según líneas semejantemente dispuestas suscitarán en los sistemas movimientos semejantes y en tiempos proporcionales completarán espacios semejantes proporcionales a sus diámetros; y serán resistidas en razón compuesta del cuadrado de las velocidades y el cuadrado de los diámetros y en razón de la densidad de los sistemas.

Corolario 2. De donde, si dichos sistemas son dos fluidos semejantes y sus dos partes mayores son cuerpos proyectados dentro de ellos: pero las partículas de los fluidos son de gran lubricidad y proporcionales a los cuerpos en cuanto a magnitud y densidad; los cuerpos describirán en tiempos proporcionales espacios semejantes y proporcionales a sus diámetros, y serán resistidos en la razón expuesta en el Corolario anterior.

Corolario 3. Por tanto, en dicho fluido un proyectil dado en magnitud es resistido en razón del cuadrado de la velocidad.

Corolario 4. Pero si las partículas del fluido no son de la misma lubricidad o se agitan mutuamente con cualesquiera fuerzas que disminuyen la libertad de los movimientos; los proyectiles más lentos superarán la resistencia más difícilmente y, por tanto, serán resistidos en razón mayor que la del cuadrado de la velocidad». <<

[12] Esta Proposición —correspondiente a la XXXVII de la primera edición— primero fue objeto de una profunda corrección y después de una total reconstrucción. El motivo parece haber sido la crítica que de la primitiva hizo Fatio a Newton. Fatio escribió al margen en su copia de la primera edición: «No he podido librar a Newton de los errores contenidos en esta Proposición más que mediante el experimento; a saber, construyendo un vaso destinado a este propósito». Conf. Cohen: Introd., pág. 182. <<

[13] Cotes discute y analiza la nueva redacción de Newton con gran penetración. El lector interesado en seguir de cerca la evolución de todo este tema puede ver Corresp. V, 829 y siguientes, págs. 107 y siguientes, y también Math. Papers, VI, págs. 456 y siguientes. <<

[14] Escolio.

De nuevo aparecen correcciones en la base experimental, quizá debido a la premura con que inicialmente se hicieron, pero que a la vez son signo de la «debilidad» del aparato teórico con que Newton abordó toda la mecánica de fluidos. De hecho ésta no logró entrar en el buen camino, pese a las contribuciones de Daniel Bernuilli, Clairaut y D’Alambert, hasta que Euler —«Mechanica sive motus scientia analityce expósita», en 1736, y las tres memorias de 1753-1755. «Principes Generaux de l’etat d’equilibre des fluides», «Principes Generaux du moviment des fluides» y «Continuation des reserches sur la theorie du moviment des fluides»— estableció las bases definitivas de la hidrodinámica.

En este Escolio Newton había incluido unos párrafos que luego suprimió en la segunda edición que seguían al primer párrafo que concluye con «979 pies». Añadió: Escribe Mersenne en su Balística, Proposición XXXV, que él, hechos los experimentos oportunos, había hallado que el sonido en cinco segundos recorre 1150 toesas francesas (esto es, 6900 pies franceses). De donde toda vez que el pie francés es al inglés como 1068 a 1000, el sonido en un tiempo de un segundo debería recorrer 1474 pies ingleses. También escribe Mersenne que Robervall, geómetra insigne, había observado en el asedio de Theodon que el sonido de los cañones se había oído 13 ó 14 segundos después de ver el fuego, cuando se hallaba apenas a media legua de los cañones. La legua francesa tiene 2500 toesas y por tanto, en el tiempo de 13 o 14 segundos según la observación de Robervall, recorrió 7500 pies parisinos, y en un segundo 560 pies parisinos y casi 600 ingleses. Estas observaciones difieres mucho entre sí y nuestro cálculo se sitúa en lugar intermedio. En el pórtico de nuestro colegio de 208 pies de largo, el sonido producido en cualquiera de los extremos con cuatro rechazos produce cuatro ecos. Pero hechos los experimentos hallé que en cada recurso del sonido un péndulo de seis o siete pulgadas de largo oscilaba al primer choque con la ida y al segundo con la vuelta. No podía medir con exactitud la longitud del péndulo pero con la longitud de cuatro pulgadas las oscilaciones eran demasiado rápidas y con nueve pulgadas parecían demasiado lentas. De donde, el sonido yendo y viniendo completó 416 pies en menos tiempo que la oscilación del péndulo de nueve pulgadas y mayor que uno de cuatro pulgadas; esto es, en un tiempo menor que 28¾‴ y mayor que 19⅙‴ , y por tanto, en el tiempo de un segundo completa en pies ingleses más de 866 y menos que 1272, y por lo tanto es más veloz que lo observado por Robervall y menos que lo observado por Mersenne. Pero además determiné después con observaciones más exactas que la longitud del péndulo debe ser mayor que cinco y media pulgadas y menor que ocho pulgadas; y por tanto que el sonido en el tiempo de un segundo recorre más de 920 pies ingleses y menos que 1085. Por tanto, los movimientos de los sonidos, según el cálculo geométrico expuesto más arriba, situado entre dichos límites, concuerda con los fenómenos hasta donde fue posible hasta ahora intentarlo. Por tanto, puesto que este movimiento depende de la densidad del aire, se sigue que los sonidos consisten en la agitación de todo el aire y no del éter o de otro aire más sutil.

Algunos experimentos con el sonido propagado en vasos vacíos de aire parecen estar en contra, pero los vasos difícilmente pueden vaciarse de todo el aire; y cuando se vacían bastante los sonidos suelen disminuir bastante; por ejemplo, si de todo el aire permanece en el vaso sólo la centésima parte, el sonido deberá ser cien veces más tenue y, por tanto, no debe oírse menos que si alguien escuchando el mismo sonido emitido en el aire libre, se alejase después a una distancia diez veces mayor del objeto sonoro. Por tanto, habrá que comparar dos cuerpos igualmente sonoros y cuyas distancias del oyente estén en razón de la mitad de las densidades del aire; y si el sonido del primer cuerpo no supera al del segundo, desaparecerá la objeción.

Conocida la velocidad de los sonidos, se conocen también los intervalos de las pulsaciones. Escribe Mersenne (Libro I de los «de Harmonía». Proposición IV) que él (hechos ciertos experimentos que allí describe) encontró que una cuerda tensa en un segundo vibra 104 veces cuando está al unísono con una flauta de órgano de cuatro pies abierta o de dos pies cerrada a la que los organistas llaman C fa ut. Por tanto, son 104 pulsaciones en el espacio de 968 pies los que el sonido describe en el tiempo de un segundo y, por tanto, una pulsación ocupa un espacio de 9¼ pies aproximadamente; es decir, casi el doble de la flauta. De donde es verosímil que las anchuras de las pulsaciones en los sonidos de todas las flautas abiertas sean iguales al doble de las longitudes de las flautas. <<

[15] Añadía en el manuscrito original un Corolario 12 que, sin duda, canceló por redundante. «Corolario 12. Y por un argumento semejante es evidente que muchos orbes sólidos y concéntricos de los cuales los exteriores arrastren a los interiores no pueden permanecer en movimiento cualquiera sin aceleración y retardación, salvo que todos a la vez giren a modo de un solo cuerpo sólido sin traslación mutua o que el exterior y el interior, merced a alguna fuerza externa impuesta continuamente, sean obligados perseverar en sus movimientos; en cuyo caso los orbes intermedios girarán en movimientos intermedios, salvo que con fuerzas impuestas también externas les impida moverse o se les haga moverse de otro modo. Suprímanse semejantes fuerzas externas, y los orbes, frenados por el rozamiento mutuo, poco a poco reposarán entre ellos». <<