Sección II. Del movimiento de los cuerpos a los que se resiste en razón del cuadrado de las velocidades

Sección II DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A LOS QUE SE RESISTE EN RAZÓN DEL CUADRADO DE LAS VELOCIDADES

PROPOSICIÓN V. TEOREMA III

Si se resiste a un cuerpo en razón del cuadrado de la velocidad, y el mismo se mueve sólo por la fuerza insita a través de un medio homogéneo; y los tiempos se toman en progresión geométrica que va desde los términos menores a los mayores: digo que las velocidades al comienzo de cada tiempo son como el inverso de dicha progresión; y que los espacios descritos en cada uno de los tiempos son iguales.

Pues al ser la resistencia del medio proporcional al cuadrado de la velocidad y el decremento de la velocidad proporcional a la resistencia, si se divide el tiempo en innumerables partículas iguales, los cuadrados de las velocidades al comienzo de cada tiempo serán proporcionales a las diferencias de las mismas velocidades. Tómense dichas partículas de tiempo AK, KL, LM, etc., sobre la recta CD, y elévense las perpendiculares AB, Kk, Ll, Mm, hasta que encuentren a la hipérbola BklmG, descrita con centro en C y las asíntotas rectangulares CD, CH, en los puntos B, k, l, m, etc., y AB será a Kk como CK a CA, y por partes AB - Kk a Kk como Kk a CA y, en consecuencia, como AB x Kk a AB x CA. Por lo cual, como están dados AK y AB x CA, AB - Kk será como AB x Kk; y por fin, cuando AB y Kk coinciden, como AB2. Y por un argumento similar, Kk - Ll, Ll - Mm, etc., serán como Kk2, Ll2, etc. Por tanto, los cuadrados de las líneas AB, Kk, Ll, Mm, etcétera, son como sus diferencias y, por eso, al ser también los cuadrados de las velocidades como las diferencias de las mismas, la progresión de ambas será semejante. Demostrado esto, también se sigue que las áreas descritas con estas líneas están en progresión igual que los espacios descritos por las velocidades. Luego si la velocidad al inicio del primer tiempo AK se representa por la línea AB, y la velocidad al inicio del segundo KL se representa por la línea Kk, y la longitud descrita en el primero por el área AKkB; todas las velocidades subsiguientes serán representadas por las líneas siguientes Ll, Mm, etc., y las longitudes descritas por las áreas Kl, Lm, etc. Y componiendo, si el tiempo total se representa por la suma de sus partes AM, la longitud total descrita se representa por la suma de sus partes AMmB. Imagínese ahora que el tiempo AM se divide en partes AK, KL, LM, etc., de tal modo que CA, CK, CL, CM, etc., estén en progresión geométrica; aquellas partes también estarán en la misma progresión, lo mismo que las velocidades AB, Kk, Ll, Mm, etc., estarán en dicha progresión inversa, y los espacios descritos Ak, Kl, Lm, etc., serán iguales. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por tanto, es evidente que si se representa el tiempo por una parte cualquiera AD de la asíntota, y la velocidad al inicio del tiempo por la ordenada AB, la velocidad al fin del tiempo se representará por la ordenada DG, y el espacio total descrito por el área hiperbólica adyacente ABDG; lo mismo que el espacio que puede recorrer un cuerpo en el tiempo AD con la primera velocidad AB en un medio no resistente, mediante el rectángulo AB x AD.

COROLARIO 2. De donde, el espacio recorrido en un medio resistente viene dado si se lo toma respecto al espacio que puede recorrerse con velocidad uniforme AB en el mismo tiempo y en medio no resistente, en la proporción del área hiperbólica ABGD al rectángulo AB x AD.

COROLARIO 3. También está dada la resistencia del medio estableciéndola, al comienzo mismo del movimiento, igual a una fuerza centrípeta uniforme, la cual pudiese generar en un cuerpo en descenso a través de un medio no resistente la velocidad AB en el tiempo AC. Pues, si se traza BT tangente a la hipérbola en B y encuentra a la asíntota en T, la recta AT será igual a la propia AC, y representará al tiempo, en el cual la resistencia inicial continuada uniformemente anularía a toda la velocidad AB.

COROLARIO 4. Y de aquí que también esté dada la proporción de esta resistencia respecto a la gravedad o a otra cualquiera fuerza centrípeta dada.

COROLARIO 5. Y viceversa, si se da la proporción de la resistencia a una fuerza centrípeta dada; viene dado el tiempo AC en el que la fuerza centrípeta igual a la resistencia puede generar una velocidad AB cualquiera: y de aquí viene dado el punto B por el cual debe pasar la hipérbola con asíntotas CH, CD; al igual que el espacio ABGD que puede recorrer un cuerpo que inicia su movimiento con la susodicha velocidad AB, en un tiempo cualquiera AD y en un medio homogéneo resistente.

PROPOSICIÓN VI. TEOREMA IV

Los cuerpos esféricos homogéneos e iguales a los que se oponen resistencias como el cuadrado de las velocidades y que se mueven por su sola fuerza ínsita describen espacios iguales siempre en tiempos que sean inversamente como las velocidades iniciales, y pierden partes de las velocidades proporcionales a los todos.

Con asíntotas rectangulares CD, CH, trácese una hipérbola cualquiera Bb Ee que corte a las perpendiculares AB, ab, DE, de, en B, b, E, e, y representen las velocidades iniciales las perpendiculares AB, DE, etc., y los tiempos las líneas Aa, Dd. Pero (por hipótesis) DE es a AB como Aa es a Dd, y también (por la naturaleza de la hipérbola) como CA a DC; y por composición, como Ca a Cd. Luego las áreas ABba, DEed, esto es, los espacios descritos son iguales entre sí, y las velocidades iniciales AB, DE, son proporcionales a las últimas ab, de, y por ello, por división, también proporcionales a sus partes perdidas AB - ab, DE - de. Q. E. D.

PROPOSICIÓN VII. TEOREMA V

Los cuerpos esféricos a los que se resiste en razón cuadrada de la velocidad en tiempos que son directamente como los movimientos iniciales e inversamente como las resistencias iniciales, perderán partes de sus movimientos proporcionales a los todos, y describirán espacios proporcionales al producto de esos tiempos por las velocidades iniciales.

Puesto que las partes perdidas de los movimientos son como el producto de la resistencia y los tiempos. Por tanto, al ser dichas partes proporcionales a los todos, el producto de la resistencia y el tiempo deberá ser como el movimiento. Por lo cual, el tiempo será directamente como el movimiento e inversamente como la resistencia. Por lo tanto, tomadas las partículas de tiempo según dicha razón, los cuerpos perderán siempre partículas de movimiento proporcionales a los todos, y por lo mismo, retendrán velocidades siempre proporcionales a sus velocidades iniciales. Y, por la razón de velocidades dada, siempre describirán espacios que son como las velocidades iniciales multiplicadas por los tiempos. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por tanto, si a cuerpos igualmente veloces se los resiste en razón del cuadrado de los diámetros: los globos homogéneos que se mueven con cualquier velocidad, al describir espacios proporcionales a sus diámetros, perderán partes del movimiento proporcionales a los todos. Pues el movimiento de un globo cualquiera será como el producto de su velocidad y masa, esto es, como el producto de la velocidad y el cubo del diámetro; la resistencia (por hipótesis) será como el producto del cuadrado del diámetro y el cuadrado de la velocidad; y el tiempo (por esta Proposición) estará en razón directa de la primera razón y en razón inversa de la segunda, esto es, directamente del diámetro e inversamente de la velocidad; y por ello el espacio, proporcional al tiempo y a la velocidad, es como el diámetro.

COROLARIO 2. Si a cuerpos igualmente veloces se los resiste en razón de la potencia 3⁄2 del diámetro: los globos homogéneos que se muevan a cualquier velocidad, al describir espacios en razón de la potencia 3⁄2 de los diámetros, perderán partes de movimiento proporcionales a los todos.

COROLARIO 3. Y en general, si a cuerpos igualmente veloces se los resiste en razón de una potencia cualquiera del diámetro: los espacios en los cuales los globos homogéneos, al moverse con una velocidad cualquiera, perderán partes de movimiento proporcionales a los todos, serán como los cubos de los diámetros aplicados a dicha potencia. Sean dichos diámetros D y E; y si las resistencias, cuando se suponen las velocidades iguales, son Dn y En, los espacios en los cuales los globos, al moverse con cualquier velocidad, perderán partes de movimiento proporcionales a los todos serán como D3-n y E3-n. Y por lo tanto, los globos homogéneos que describan espacios proporcionales a dichos D3-n y E3-n retendrán velocidades en la misma mutua proporción que al principio.

COROLARIO 4. Pero si los globos no fuesen homogéneos, el espacio descrito por el globo más denso debe aumentarse en razón de la densidad. Pues el movimiento, a igual velocidad, es mayor en razón de la densidad, y el tiempo (por esta Proposición) aumenta en razón directa del movimiento, y el espacio recorrido en razón del tiempo.

COROLARIO 5. Y si los globos se mueven en distintos medios, el espacio, si el medio es más resistente, «caeteris paribus», habrá de disminuirse en razón de la resistencia. Pues el tiempo (por esta Proposición) disminuirá en razón del aumento de la resistencia, y el espacio en razón del tiempo.

LEMA II[2]

El momento de una generada es igual a los momentos de cada lado generador multiplicados por los índices de las potencias de dichos lados y sus coeficientes continuamente.

Llamo generada a cualquier cantidad que se engendra, en aritmética por multiplicación, división y extracción de raíces de lados o términos cualesquiera; en geometría del cálculo de áreas y lados, o de extremos y medios proporcionales sin sumar ni restar. Este tipo de cantidades son productos, cocientes, raíces, rectángulos, cuadrados, cubos, lados cuadrados, lados cúbicos y similares. Considero aquí a dichas cantidades como indeterminadas y variables y como si creciesen y decreciesen con un movimiento o flujo continuo; y a sus incrementos o decrementos momentáneos es a lo que llamo momentos: de modo que los incrementos pueden considerarse como momentos añadidos o positivos y los decrementos como negativos o substraídos. Pero cuídese de no entenderlo como partículas finitas. Las partículas finitas no son momentos, sino las cantidades mismas generadas por los momentos. Han de entenderse como los mismos principios nacientes de las magnitudes finitas. Y ni siquiera se contempla en este lema la magnitud de los momentos, sino la proporción primera entre momentos nacientes. Lo mismo ocurre si en lugar de momentos se trata de las velocidades de los incrementos (que también pueden llamarse movimientos, mutaciones, fluxiones de cantidades) o bien de cualquier cantidad finita proporcional a dichas velocidades. El coeficiente de cualquier lado generador es la cantidad que resulta al aplicar la generada a dicho lado.

Por lo cual el sentido del lema es que si los momentos de unas cantidades A, B, C, etc., que aumentan o disminuyen en flujo continuo, o las velocidades de las mutaciones proporcionales a aquellos se llaman a, b, c, etc., el momento o mutación del rectángulo generado AB sería aB + bA, el momento del área generada ABC sería aBC + bAC + cAB: y los de las potencias generadas A2, A3, A4, A½, A3⁄2, A⅓, A2⁄3, A-1, A-2 y A-½ serán respectivamente: 2aA, 3aA2, 4aA3, ½aA-½, 2⁄3aA½, ⅓aA-2⁄3, 2⁄3aA-⅓, -aA-2, -2aA-3 y -½aA-3⁄2; y, en general, que el momento de una potencia cualquiera An⁄m sería n⁄maAn - m⁄m. También que el momento de la cantidad generada A2B será 2aAB + bA2, que el momento de la generada A3B4C2 será 3aA2B4C2 + 4bA3B3C2 + 2cA3B4C, y de la generada A3 / B2 o de A3B-2 será 3aA2B-2 - 2bA3B3, etc. Y el Lema se demuestra del siguiente modo: CASO 1. Un rectángulo cualquiera AB que crece con un movimiento continuo, cuando de sus lados A y B faltaban la mitad de los momentos ½a y ½b, era A - ½a por B - ½b, o también AB - ½bA + ¼ab; y en el momento en que ambos lados A y B quedan aumentados con las otras mitades de los momentos resulta A + ½a por B + ½b, o AB + ½aB + ½bA + ¼ab. De este rectángulo réstese el anterior y quedará un exceso de aB + bA. Por tanto, con todos los incrementos a y b de los lados se genera el incremento aB + bA del rectángulo. Q. E. D.

CASO 2. Supóngase que AB es siempre igual a G y el momento del contenido ABC, o sea, de GC (por el caso 1) será gC + cG, esto es (si se sustituyen G y g por AB y aB + bA), aBC + bAC + cAB. Y lo mismo para cualquier contenido bajo cualquier número de lados. Q. E. D.

CASO 3. Supóngase que los lados A, B, C, son siempre iguales entre sí, y el momento del rectángulo AB, esto es, de A2, que sería aB + bA, vendrá a ser 2aA; y el de A3, esto es, el del contenido ABC, que sería aBC + bAC + cAB, 3aA2. Y por la misma razón el momento de una potencia cualquiera An será naAn - 1. Q. E. D.

CASO 4. De donde, como 1 / A por A sea 1, el momento de 1 / A multiplicado por A, junto con 1 / A multiplicado por a, será el momento de 1, es decir, nulo. Por tanto, el momento de 1 / A o de A-1 es -a / A2. Y, en general, puesto que 1 / An por An es 1, el momento de 1 / An multiplicado por An junto con 1 / An por naAn - 1 será nulo. Y por lo mismo el momento de 1 / An o de An será -na / An + 1. Q. E. D.

CASO 5. Y, puesto que A½ por A½ es A, el momento de A½ multiplicado por 2A½ será a por el caso 3: por lo mismo el momento de A½ será a / 2A½ o ½aA-½. Y, en general, siendo Am⁄n igual a B, entonces Am será igual a Bn y, por tanto, maAm - 1 igual a nbBn - 1, o nbA-m⁄n y, por ello, m / naAm - n⁄n es igual a b, es decir, igual al momento de Am⁄n. Q. E. D.

CASO 6. Por tanto, el momento de cualquier cantidad generada AmBn es el momento de Am multiplicado por Bn, junto con el momento de Bn multiplicado por Am, esto es, maAm - 1Bn + nbBn - 1Am; y esto tanto si los índices de las potencias m, n, son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Y lo mismo ocurre para contenidos bajo muchas potencias. Q. E. D.

Corolario 1. De aquí que, cuando son cantidades continuamente proporcionales, si se da un término, los momentos de los otros términos serán como los mismos términos multiplicados por el número de intervalos entre ellos y el término dado. Sean A, B, C, D, E, F, continuamente proporcionales; y si se da el término C, los momentos del resto de los términos serán entre sí como -2A, -B, D, 2E, 3F.

COROLARIO 2. Y si en cuatro proporcionales se dan los dos medios, los momentos de los extremos serán como los propios extremos. Lo mismo hay que entender respecto a los lados de un rectángulo dado cualquiera.

COROLARIO 3. Y si se da la suma o la diferencia de dos cuadrados, los momentos de los lados serán inversamente como los lados.

ESCOLIO

En una carta que escribí al Sr. Collins el 10 de diciembre de 1672 una vez que describí el método de tangentes que sospechaba ser el mismo que el de Sluse, no publicado todavía en aquella fecha, añadí: «Esto es un caso particular o mejor un Corolario de un método general que se extiende sin farragosos cálculos, no sólo al trazado de tangentes a cualquier línea curva geométrica o mecánica, o relacionadas de cualquier forma a otras líneas rectas o curvas, sino también a la resolución de otras clases de problemas más abstrusos sobre curvaturas, áreas, longitudes, centros de gravedad de curvas, etc., y tampoco (como el método de máximos y mínimos de Hudden) se limita a las solas ecuaciones que se hallan libres de cantidades irracionales. He combinado dicho método con este otro mediante el cual resuelvo las ecuaciones reduciéndolas a series infinitas». Hasta aquí la carta. Y estas últimas palabras se refieren a un tratado que había escrito sobre estos temas en el año 1671. Mas, el fundamento de dicho método general se halla contenido en el Lema anterior.

PROPOSICIÓN VIII. TEOREMA VI[3]

Si un cuerpo, en un medio uniforme, bajo la acción uniforme de la gravedad, asciende o desciende en línea recta, y se divide la totalidad del espacio recorrido en partes iguales, y se averiguan las fuerzas absolutas al principio de cada una de las partes (sumando la resistencia del medio a la fuerza de la gravedad cuando el cuerpo asciende y restándola cuando desciende), digo que dichas fuerzas absolutas se hallan en progresión geométrica.

Represéntese la fuerza de la gravedad por una línea dada AC; la resistencia por una línea indefinida AK; la fuerza absoluta en el descenso del cuerpo por la diferencia KC; la velocidad del cuerpo por la línea AP, que sea media proporcional entre AK y AC, y por tanto como la raíz cuadrada de la resistencia; el incremento de la resistencia producido en una partícula de tiempo dada por el segmento KL, y el incremento simultáneo de velocidad por el segmento PQ; y con centro en C y con las asíntotas rectangulares CA, CH trácese una hipérbola BNS que corte a las perpendiculares AB, KN, LO, en los puntos B, N, O. Puesto que AK es como AP2, el momento KL de éste será como el momento 2APQ de aquél, esto es, como AP x KC; pues el incremento PQ de la velocidad (por la Ley II del movimiento) es proporcional a la fuerza generatriz KC. Multiplicando la razón de KL por la razón de KN se tendrá el rectángulo KL x KN que será como AP x KC x KN; esto es, por estar dado el rectángulo KC x KN, como AP. Pero la razón última del área hiperbólica KNOL al rectángulo KL x KN cuando coinciden los puntos K y L es la de igualdad. Luego dicha área hiperbólica evanescente es como AP. Por tanto, toda el área hiperbólica ABOL se compone de partículas KNOL siempre proporcionales a la velocidad AP, y en consecuencia es proporcional al espacio descrito con dicha velocidad. Divídase ahora la susodicha área en partes iguales ABMI, IMNK, KNOL, etcétera, y las fuerzas absolutas AC, IC, KC, LC, etc., estarán en proporción geométrica. Q. E. D. Y por el mismo argumento, cuando el cuerpo asciende, tomando, hacia el lado contrario del punto A, las áreas iguales ABmi, imnk, knol, etc., se verá que las fuerzas absolutas AC, iC, kC, lC, etc., son continuamente proporcionales. Y por lo tanto, si en el ascenso y en el descenso se toman iguales todos los espacios, todas las fuerzas absolutas lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, etc., serán continuamente proporcionales. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si se representa el espacio recorrido mediante el área hiperbólica ABNK, la fuerza de la gravedad, la velocidad del cuerpo y la resistencia del medio pueden representarse respectivamente por las líneas AC, AP y AK; y viceversa.

COROLARIO 2. Y la línea AC viene a ser la representación de la velocidad máxima que puede alcanzar un cuerpo en un descenso infinito.

COROLARIO 3. Por tanto, si se conoce la resistencia de un medio a una velocidad dada, se hallará la velocidad máxima tomando a ésta con relación a dicha velocidad dada como la raíz cuadrada de la razón entre la fuerza de la gravedad y la resistencia dada del medio ya conocida.

PROPOSICIÓN IX. TEOREMA VII

Supuesto lo ya demostrado, digo que si las tangentes de los ángulos de un sector circular y de un sector hiperbólico se toman proporcionalmente a las velocidades, siendo el radio de una magnitud determinada, el tiempo total de ascenso hasta el punto más alto será como el sector del círculo, y el tiempo total de descenso desde el punto más alto como el sector de la hipérbola.

Trácese AD perpendicular e igual a la recta AC que representa a la fuerza de la gravedad. Con centro en D y semidiámetro AD, trácese tanto el cuadrante de círculo AtE, como la hipérbola rectangular AVZ que tiene como eje AX, el vértice principal en A y la asíntota DC. Únanse Dp, DP y el sector circular AtD será como el tiempo total de ascenso al punto más alto; y el sector hiperbólico ATD como el tiempo total de descenso desde el punto más alto, mientras las tangentes Ap, AP de los sectores sean como las velocidades.

CASO 1. Trácese Dvq de modo que corte los momentos del sector ADt y del triángulo ADp, o partículas mínimas descritas al mismo tiempo tDv, y qDp. Como dichas partículas, por tener el mígalo D común, son como el cuadrado de los lados, la partícula tDv será como qDp x tD2 / pD2, esto es, por estar dada tD, como qDp / pD2. Pero pD2 es AD2 + Ap2, es decir, AD2 + AD x Ak, o, AD x Ck, y qDp es ½ AD x pq. Por lo tanto, tDv, la partícula del sector, es como pq/Ck; esto es, directamente como el decremento mínimo de la velocidad pq, e inversamente como la fuerza Ck que hace disminuir la velocidad; y por tanto como la partícula de tiempo correspondiente al decremento de la velocidad. Y, componiendo, la suma de todas las partículas tDv en el sector ADt vendrá a resultar como la suma de las partículas de tiempo correspondientes a cada partícula pq perdida de la velocidad decreciente Ap, hasta que dicha velocidad, disminuyendo hasta anularse, desaparezca; esto es, el sector completo ADt es como el tiempo total de ascenso hasta el punto más alto. Q. E. D.

CASO 2. Trácese DQV tal que corte las partículas mínimas TDV y PDQ tanto del sector DAV como del triángulo DAQ; y dichas partículas serán entre sí como DT2 a DP2, esto es (si TX y AP son paralelas) como DX2 a DA2 o TX2 a AP2 y, por partes, como DX2 - TX2 a DA2 - AP2. Pero, por la naturaleza de la hipérbola, DX2 - TX2 es AD2, y por hipótesis, AP2 es AD x AK. Luego, las partículas son entre sí como AD2 a AD2 - AD x AK; esto es, como AD a AD - AK, o también, AC a CK; y por ello la partícula TDV del sector es PDQ x AC / CK; y por estar dadas AC y AD, como PQ/CK, esto es, directamente como el incremento de la velocidad e inversamente como la fuerza que genera el incremento. Y, componiendo, se tendrá la suma de las partículas de tiempo en las cuales se generan todas las partículas PQ de la velocidad AP, que vendrá a ser como la suma de las partículas del sector ATD, esto es, el tiempo total como el sector total. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que, si AB es igual a la cuarta parte de AC, el espacio recorrido por un cuerpo que cae en un tiempo cualquiera será al espacio que puede recorrer dicho cuerpo con la velocidad máxima AC, moviéndose uniformemente durante el mismo tiempo, como el área ABNK, que representa el espacio recorrido en la caída, al área ATD, que representa el tiempo. Pues, dado que AC es a AP como AP a AK, LK será (por el corolario 1 del Lema II de este libro) a PQ como 2AK a AP, esto es, como 2AP a AC, y por ello LK a ½PQ como AP a ¼AC o AB; pero KN es a AC o AD como AB a CK; y por tanto, «ex aequo», LKNO es a DPQ como AP a CK. Pero DPQ era a DTV como CK a AC. Luego «ex aequo» otra vez, LKNO es a DTV como AB a AC; esto es, como la velocidad del cuerpo que cae a la velocidad máxima que puede adquirir el cuerpo al caer. Puesto que los momentos LKNO y DTV de las áreas ABNK y ATD son como las velocidades, todas las partes de dichas áreas generadas en los mismos tiempos, serán como los espacios recorridos en los mismos tiempos y, por lo mismo, las áreas totales ABNK y ATD generadas desde el principio serán como los espacios totales recorridos desde el comienzo del descenso. Q. E. D.

COROLARIO 2. Y lo mismo se sigue para el espacio recorrido en el ascenso. A saber, que dicho espacio total es al espacio recorrido con velocidad uniforme AC en el mismo tiempo, como el área ABnk al sector ADt.

COROLARIO 3. La velocidad del cuerpo que cae en el tiempo A I D es a la velocidad que adquiriría en el mismo tiempo en un espacio sin resistencia, como el triángulo APD al sector hiperbólico ATD. Pues la velocidad en un medio no resistente sería como el tiempo ATD, mientras en un medio resistente es como AP, esto es, como el triángulo APD. Y estas velocidades al comienzo del descenso son iguales entre sí, como lo son las áreas ATD, APD.

COROLARIO 4. Por la misma razón la velocidad en el ascenso es a la velocidad con la cual un cuerpo en un espacio no resistente perdería todo su movimiento ascendente, como el triángulo ApD al sector circular AtD, o como la recta Ap al arco At.

COROLARIO 5. Por lo tanto, el tiempo en el cual un cuerpo, cayendo en un medio resistente, adquiriría la velocidad AP es al tiempo en el cual adquiriría la velocidad máxima AC cayendo en un espacio no resistente, como el sector ADT al triángulo ADC: y el tiempo en el cual perdería ascendiendo en un medio resistente la velocidad Ap será al tiempo en el cual puede perder la misma velocidad ascendiendo en un espacio no resistente, como el arco At a su tangente Ap.

COROLARIO 6. De aquí que, dado el tiempo, está dado el espacio recorrido en el ascenso o en el descenso. Pues la velocidad máxima de un cuerpo que desciende hasta el infinito está dada (por los Corolarios 2 y 3 del Teorema VI del Libro II) y con ello se da el tiempo en el cual el cuerpo puede alcanzar dicha velocidad cayendo en un espacio no resistente. Y tomando el sector ADT o ADt respecto al triángulo ADC en la razón del tiempo dado al tiempo recién hallado, se tendrán tanto la velocidad AP o Ap como el área ABNK o ABnk que es al sector ADT o ADt como el espacio buscado al espacio que, en un tiempo dado, y con la velocidad máxima ya antes hallada, podría recorrer uniformemente.

COROLARIO 7. Y en sentido inverso, a partir de los espacios dados de ascenso o descenso ABnk o ABNK, se tendrá el tiempo ADt o ADT.

PROPOSICIÓN X. PROBLEMA III[4]

Suponiendo que la fuerza uniforme de la gravedad tiende directamente hacia el plano del horizonte, y que la resistencia del medio es como la densidad del mismo y el cuadrado de la velocidad conjuntamente: hallar tanto la densidad del medio en cada punto capaz de obligar al cuerpo a moverse en una curva dada cualquiera, como la velocidad del cuerpo y la resistencia del medio en cada punto.

Sea PQ un plano perpendicular al plano de la figura; PFHQ una línea curva que corta a dicho plano en los puntos P y Q; G, H, I, K, cuatro lugares del cuerpo que recorre dicha curva desde F hacia Q; y GB, HC, ID, KE, cuatro paralelas ordenadas trazadas desde dichos puntos sobre el plano horizontal y que caen sobre la línea horizontal PQ en los puntos B, C, D, E; y sean iguales las distancias BC, CD, DE, comprendidas entre esas ordenadas. Desde los puntos G y H trácense las rectas GL, HN, tangentes a la curva en G y H, y cortando a las ordenadas CH, DI, prolongadas hacia arriba en L y N, y complétese el paralelogramo HCDM. Y los tiempos en los cuales el cuerpo describe los arcos GH, HI, serán como la raíz cuadrada de las alturas LH, NI que describiría el cuerpo en dichos tiempos, cayendo desde las tangentes; y las velocidades serán como las longitudes recorridas GH, HI, directamente e inversamente como los tiempos. Represéntense los tiempos por T y t y las velocidades por GH/T y HI/t; y el decremento de la velocidad ocurrido en el tiempo t represéntese por GH / T - HI / t. Este decremento surge de la resistencia que retarda al cuerpo y de la gravedad que lo acelera. La gravedad genera, en un cuerpo que cae y al caer recorre el espacio NI, una velocidad capaz de hacer al cuerpo recorrer un espacio doble de aquel en el mismo tiempo, como demostró GALILEO; esto es, 2NI/t; pero en el cuerpo que describe el arco HI solamente aumenta en dicho arco la longitud HI - HN o MI x NI / HI; y, por lo mismo, tan sólo genera la velocidad 2MI x NI / t x HI. Añádase esta velocidad al decremento antedicho, y se tendrá el decremento de la velocidad debido a la sola resistencia, a saber, GH / T - HI / t + 2MI x NI / t x HI. Y por tanto, puesto que en el mismo tiempo la gravedad genera en un cuerpo que cae la velocidad 2NI / t, la resistencia será a la gravedad como GH / T - HI / t + 2MI x NI / t x HI a 2NI / t o como t x GH / T - HI + 2MI x NI / HI a 2NI.

Y ahora, en lugar de las abscisas CB, CD, CE, escríbase -o, o, 2o. Por la ordenada CH escríbase P, y por MI una serie cualquiera como Qo + Roo + So3 + etc. Y todos los términos de la serie posteriores al primero, a saber, Roo + So3 + etc., serán NI, y las ordenadas DI, EK y BG serán P - Qo - Roo - So3 - etc., P - 2Qo - 4Roo - 8So3 - etc., y P + Qo - Roo + So3 - etc., respectivamente. Elevando al cuadrado las diferencias de las ordenadas BG - CH y CH - DI y sumando a los cuadrados resultantes los cuadrados de las propias BC, CD se obtendrán oo + QQoo - 2QRo3 + etc., y oo + QQoo + 2QRo3 + etc., cuadrados de los arcos GH, HI, cuyas raíces o√1 + QQ - QRoo / √1 + QQ y o√1 + QQ + QRoo / √1 + QQ son los arcos GH y HI. Además, si de la ordenada CH se resta la semisuma de las ordenadas BG y DI, y de la ordenada DI se resta la semisuma de las ordenadas CH y EK quedarán Roo y Roo + 3So3, sagitas de los arcos GI y HK. Pero éstas son proporcionales a los segmentos LH y NI y, por tanto, como el cuadrado de los tiempos infinitamente pequeños T y t; y de aquí que la razón t / T es √R + 3So / R o R + 3⁄2So / R; mientras que t x GH / T - HI + 2MI x NI / HI, una vez sustituido los valores de t/T, GH, HI, MI y NI por los ahora hallados, resulta 3Soo / 2R x √1 + QQ. Y puesto que 2NI es 2Roo, la resistencia será ahora a la gravedad como 3Soo / 2R x √1 + QQ a 2Roo, esto es, como 3S√1 + QQ a 4RR.

Y la velocidad es aquella con la cual un cuerpo partiendo de un punto cualquiera H según la tangente HN podría moverse descendiendo en el vacío por una parábola de diámetro HC y «latus rectum» HN2 / NI o 1 + QQ / R.

Y la resistencia es como la densidad del medio y el cuadrado de la velocidad conjuntamente, y por tanto la densidad del medio es directamente como la resistencia e inversamente como el cuadrado de la velocidad, esto es, como 3S√1 + QQ / 4RR directamente y 1 + QQ / R inversamente, esto es, como S / R√1 + QQ. Q. E. I.

COROLARIO 1. Si la tangente HN se prolonga a ambos lados de modo que llegue a cortar a una ordenada cualquiera AF en T, HT / AC será igual a √1 + QQ, y por tanto en lo que antecede se puede escribir en lugar de √1 + QQ. Por lo cual la resistencia será a la gravedad como 3S x HT a 4RR x AC, la velocidad será como HT / AC√R y la densidad del medio como S x AC / R x HT.

COROLARIO 2. Y por ello, si se definiese la línea curva PFHQ mediante la relación entre la base o abscisa AC y la ordenada CH, como es habitual, y el valor de la ordenada se resuelve en una serie convergente, el problema se resuelve rápidamente mediante los primeros términos de la serie, como en los ejemplos siguientes.

EJEMPLO 1. Sea la línea PFHQ un semicírculo descrito sobre el diámetro PQ, y hállese la densidad del medio que obligue a un proyectil a moverse en dicha línea.

Bisecado el diámetro PQ en A, llámese a AQ, n; a AC, a; a CH, e; y a CD, o: y DI2 o AQ2 - AD2 será igual a: nn - aa - 2ao - oo, o también, ee - 2ao - oo, y al extraer la raíz según nuestro método, resultará

DI = e -

ao / e

-

oo / 2e

-

aaoo / 2e3

-

ao3 / 2e3

-

a3o3 / 2e5

- etc.

Aquí sustituyase ee + aa por nn y resultará

DI = e -

ao / e

-

nnoo / 2e3

-

anno3 / 2e5

- etc.

En esta serie distingo entre los términos sucesivos del modo siguiente. Llamo término primero a aquel en el que no se da la cantidad pequeña o; segundo a aquel en el que dicha cantidad es de una sola dimensión; tercero al que la contiene con dos; cuarto al que la contiene con tres; y así indefinidamente. Y el término primero, que aquí es e, denotará siempre la longitud de la ordenada CH incidente en el comienzo de la cantidad indefinida o. El término segundo, que aquí es ao / e, denotará la diferencia entre CH y DN, esto es, el segmento MN, que queda cortado al completar el paralelogramo HCDM, y por lo tanto determina siempre la posición de la tangente HN; como en este caso tomando MN a HM como ao / e a o, o también a a e. El tercer término que es aquí nnoo / 2e3, denotara el segmento IN que se halla entre la tangente y la curva, y por tanto determina el ángulo de contacto IHN o la curvatura que tiene la línea curva en H. Si dicho segmento IN es de magnitud finita será designada por el término tercero junto con los que le siguen hasta el infinito. Pero si dicho segmento disminuye hasta el infinito, los términos siguientes resultarán infinitamente más pequeños que el tercero y, por tanto, pueden despreciarse. El término cuarto determina la variación de la curvatura, el quinto la variación de la variación y así sucesivamente. De lo cual, de paso, se desprende la utilidad no desdeñable de estas series en la solución de problemas que dependen de tangentes y de la curvatura de las curvas.

Compárese ahora la serie

e -

ao / e

-

nnoo / 2e3

-

anno3 / 2e5

- etc.

con la serie P - Qo - Roo - So3 - etc. y después en lugar de P, Q, R y S escríbase e, a / e, nn / 2e3, ann / 2e5 y en lugar de √1 + QQ escríbase √1 + aa / ee o n / e, y la densidad del medio resultará como a / ne, esto es (por estar n dada) como a / e o como AC / CH, es decir, como la longitud de la tangente HT que termina en el semidiámetro AF que se eleva perpendicularmente sobre PQ; mientras la resistencia será a la gravedad como 3a a 2n, esto es, como 3AC al diámetro del círculo PQ; la velocidad en cambio será √CH. Por tanto, si el cuerpo parte del punto F, con la velocidad precisa, según una línea paralela a PQ, y la densidad del medio en cada punto H es como la longitud HT de la tangente, y la resistencia es también en cada punto H respecto a la fuerza de la gravedad como 3AC a PQ, dicho cuerpo describirá el cuadrante FHQ del círculo. Q. E. I.

Pero si dicho cuerpo partiese del punto P según una línea perpendicular a PQ, y comenzase a moverse en el arco del semicírculo PFQ, habría que tomar AC o a hacia el otro lado del centro A y por tanto habría que cambiar su signo y escribir -a en lugar de +a. Con ello resultaría la densidad del medio como -a / e. Pero la naturaleza no admite una densidad negativa o, lo que es lo mismo, que acelere el movimiento: y por lo tanto no puede acontecer naturalmente que un cuerpo ascendiendo desde P describa el cuadrante PF del círculo. Para esto el cuerpo tendría que ser acelerado por un medio impelente, no ser retardado por un medio resistente.

EJEMPLO 2. Sea la línea PFQ una parábola que tiene su eje AF perpendicular a la línea del horizonte PQ, y hállese la densidad del medio que haga que un proyectil se mueva por ella.

De la naturaleza de la parábola se sigue que el rectángulo PDQ es igual al rectángulo comprendido bajo la ordenada DI y una cierta recta dada: esto es, si llamamos a dicha recta b, a PC, a; a PQ, c; a CH, e; y a CD, o; el rectángulo (a + o) x (c - a - o), o, ac - aa - 2ao + co - oo es igual a b x DI, y por tanto, DI es igual a ac - aa / b + c - 2a / bo - oo / b.

Ahora habrá que escribir el segundo término de esta serie c - 2a / b x o, por Qo, mientras el tercero oo / b, lo sera en lugar de Roo. Pero como no hay más términos, el coeficiente S del cuarto desaparecerá, con lo cual la cantidad S / R√1 + QQ a laque es proporcional la densidad, se anula. Y por consiguiente, un proyectil se moverá en una parábola cuando la densidad del medio sea nula, como ya demostró Galileo. Q. E. I.

EJEMPLO 3. Sea la línea AGK una hipérbola que tiene como asíntota a NX perpendicular al plano horizontal AK; y se trata de hallar la densidad del medio que haga a un proyectil moverse en dicha línea.

Sea MX la otra asíntota que corta a la prolongación de la ordenada DG en V; y por la naturaleza de la hipérbola vendrá dado el rectángulo XV x VG. También estará dada la razón de DN a VX, y por tanto está dado también el rectángulo DN x VG. Sea éste bb: y completando el paralelogramo DNXZ, escríbase por BN, a; por BD, o; por NX, c; y la razón dada de VZ a ZX o DN supongamos que es m / n. Y entonces DN será igual a a - o, VG igual bb / a - o, VZ igual a m / n(a - o) y GD o NX - VZ - VG igual a c -

m / n

a +

m / n

o -

bb / a - o

,

Resuélvase el término bb / a - o en la serie convergente

bb / a

+

bb / aa

o +

bb / a3

oo +

bb / a4

o3, etc.;

y GD resultará igual a

c -

m / n

a -

bb / a

o +

m / n

o -

bb / aa

o -

bb / a3

o2 -

bb / a4

o3, etc.

El segundo término, m / no - bb / aao, de esta serie ha de tomarse por Qo, el tercero con el signo cambiado, bb / a3o2, por Ro2, el cuarto también con el signo cambiado, bb / a4o3 por So3, y sus coeficientes m / n - bb / aa, bb / a3 y bb / a4 deben ponerse en la regla anterior en lugar de Q, R y S. Una vez hecho esto, la densidad del medio resultará como

bb⁄a4 / bb⁄a3 √1 + mm⁄nn - 2mbb⁄naa + b4⁄a4

o como, 1 / √aa + mm⁄nnaa - 2mbb⁄n + b4⁄aa, esto es, si sobre VZ se toma VY igual a VG, como 1 / XY. Porque aa y mm / nnaa - 2mbb / n + b4 / aa son los cuadrados de XZ y de ZY. Luego la razón de la resistencia a la gravedad es la de 3XY a 2TG; y la velocidad es aquella con la que un cuerpo recorrería una parábola que tuviese el vértice G, el diámetro DG, y el «latus rectum» XY2 / VG. Supóngase también que las densidades del medio en cada punto G son inversamente como las distancias XY, y que la resistencia en un punto G es a la gravedad como 3XY a 2YG; y un cuerpo lanzado desde el punto A con la velocidad adecuada describirá la hipérbola dicha AGK. Q. E. I.

EJEMPLO 4. Supóngase indefinidamente que la línea AGK es una hipérbola con centro en X, descrita entre las asíntotas MX, NX, de tal modo que, construido el rectángulo XZDN, cuyo lado ZD corte a la hipérbola en G y a su asíntota en V, y fuese VG inversamente como ZX o DN a una potencia cualquiera DNn, cuyo índice es el número n; y se busca la densidad del medio con la cual un proyectil recorra dicha curva.

Escríbanse A, O, C, en lugar de BN, BD, NX respectivamente, y sea VZ a XZ o DN como d a e, y VG igual a bb / DN3; y DN será igual a A - O, VG= bb / (A - O)n, VZ= d / e(A - O), y GD o NX - VZ - VG igual a C - d / eA + d / eO - bb / (A - O)n. Resuélvase el termino bb / (A - O)n en la serie infinita

bb / An

+

nbb / An + 1

O +

nn + n / 2An + 2

bbO2 +

n3 + 3nn + 2n / 6An + 3

bbO3, etc.

y GD será igual a

C -

d / e

A -

bb / An

+

d / e

O -

nbb / An + 1

O

-

+nn + n / 2An + 2

bbO2 -

+n + 3nn + 2n/ 6An + 3

bbO3

etcétera. El segundo término, d / eO - nbb / An + 1O, de esta serie habrá de tomarse por Qo, mientras el tercero, nbb + n / 2An + 2bbO2, lo será por Ro2, el cuarto, n3 + 3nn + 2n / 6An + 3bbO3, por So3. Y de aquí que la densidad del medio, S / R√1 + QQ, en un punto G cualquiera resulte

n + 2 / 3√a2 + dd⁄eeA2 - 2dnbb⁄eAnA + nnb4⁄A2n

y por lo tanto, si sobre VZ se toma VY igual a n x VG, dicha densidad es inversamente como XY. Porque A2 y dd / eeA2 - 2dnbb / eAnA + nnb4 / A2n son los cuadrados de las propias XZ y ZY. Y la resistencia en el mismo punto G se hace respecto a la gravedad como 3S x XY / A a 4RR, es decir, como XY a 2nn + 2n / n + 2VG. Y la velocidad es allí la misma que aquella con la cual el cuerpo lanzado se movería en una parábola con vértice en G, diámetro GD y «latus rectum» 1 + QQ / R o 2XY2 / (nn + n) x VG. Q. E. I.

ESCOLIO

Por la misma razón por la que en el Corolario primero resulta la densidad del medio como S x AC / R x HT, si la resistencia se supone como una potencia cualquiera Vn de la velocidad V, la densidad del medio resultará como S / R4 - n⁄2 x (AC / HT)n - 1. Y por lo tanto, si la curva puede ser establecida de modo que responda a la razón de S / R4 - n⁄2 a (HT / AC)n - 1, o S2 / R4 - n a (1 + QQ)n - 1, el cuerpo se moverá en dicha curva en un medio uniforme con resistencia que sea como la potencia Vn de la velocidad. Pero volvamos a curvas más sencillas.

Puesto que el movimiento no ocurre en parábolas salvo en medios no resistentes, mientras que en las hipérbolas descritas aquí ocurre con resistencia continua, es evidente que la línea descrita por un proyectil en un medio uniformemente resistente se acerca más a estas hipérbolas que a una parábola. La línea es ciertamente de naturaleza hiperbólica, pero tal que en el vértice dista más de las asíntotas y en las partes lejanas del vértice se acerca más a las asíntotas de lo que se refleja en las hipérbolas aquí descritas. Sin embargo, la diferencia entre éstas y aquélla no es tan acusada como para impedir el uso adecuado de unas por otra en la práctica. Y quizá sean más útiles éstas que una hipérbola más exacta y a la vez más compleja. Por lo demás pueden utilizarse como sigue.

Complétese el paralelogramo HYGT, y la recta GT tocará a la hipérbola en G, y por tanto la densidad del medio en G es inversamente como la tangente GT, y la velocidad en ese punto como GT2 / GV, la resistencia, en cambio, respecto a la fuerza de la gravedad es como GT a 2nn + 2n / n + 2 x GV.

Por tanto, si un cuerpo lanzado desde el punto A, según la línea AH describiere la hipérbola AGK, y prolongada AH cortase a la asíntota NX en H, y trazada AI paralela a la anterior cortase a la otra asíntota MX en I; la densidad del medio será en A inversamente como AH, y la velocidad del cuerpo como √AH2 / AI, y la resistencia respecto a la gravedad en ese punto como AH a 2nn + 2n / n + 2 x AI. De donde se deducen las siguientes reglas.

REGLA 1. Si se mantienen tanto la densidad del medio en A como la velocidad con que se lanza el cuerpo, y se cambia el ángulo NAH, se mantendrán las longitudes AH, AI, HX. Y por tanto, si dichas longitudes fuesen halladas en algún caso, podrá determinarse la hipérbola sin dificultad a partir de un ángulo NAH cualquiera dado.

REGLA 2. Si se mantienen el ángulo NAH y la densidad del medio en A, pero se cambia la velocidad con que se proyecta al cuerpo, se mantendrá la longitud AH, y variará IA en razón inversa del cuadrado de la velocidad.

REGLA 3. Si se mantienen el ángulo NAH, la velocidad del cuerpo en A y la gravedad aceleratriz, mientras se aumenta la proporción de la resistencia en A respecto a la gravedad motriz según una razón cualquiera, la proporción de AH a AI aumentará en la misma razón, pero se mantendrá el «latus rectum» de la parábola susodicha y la proporcionalidad a él de la longitud AH2 / AI; y por tanto, AH disminuye en esa proporción, mientras AI disminuye como el cuadrado de dicha razón. Pero la proporción de la resistencia al peso aumenta, tanto si a igual tamaño la gravedad específica es menor, como si la densidad del medio es mayor, o si la resistencia, a menor tamaño, disminuye en menor razón que el peso.

REGLA 4. Puesto que la densidad del medio es mayor cerca del vértice de la hipérbola que en el punto A, para obtener la densidad media debe hallarse la razón de la menor de las tangentes GT a la tangente AH, y aumentar la densidad en A en una razón algo mayor que la de la semisuma de estas tangentes respecto a la menor de las tangentes GT.

REGLA 5. Si se dan las longitudes AH, AI y hay que trazar la figura AGK; prolónguese HN hasta X, de modo que HX sea a AI como n + 1 a 1, y con centro en X y asíntotas MX, NX trácese la hipérbola por el punto A, de tal suerte que AI sea a cualquiera VG como XVn a XIn.

REGLA 6. Cuanto mayor es el número n, tanto más exactas son estas hipérbolas al ascender el cuerpo desde A y tanto menos exactas en su descenso hacia K; y viceversa. La hipérbola cónica goza de una razón media y es más simple que las otras. Por lo cual, si la hipérbola es de este tipo y hay que hallar el punto K, en el cual el cuerpo lanzado incide sobre una recta cualquiera AN que pasa por el punto A: la recta AN prolongada corte a las asíntotas MX, NX, en M y N, y tómese NK igual a AM.

REGLA 7. Y de aquí se sigue un método expeditivo para determinar esta hipérbola partiendo de fenómenos. Láncense dos cuerpos semejantes e iguales, con la misma velocidad, con ángulos distintos AHK, hAk, que caigan sobre el plano horizontal en K y k; y anótese la proporción de AK a Ak. Sea ésta d a e. Levantando ahora una perpendicular AI de una longitud cualquiera, señálese en cualquier forma la longitud AH o Ah, y desde esto, mediante la Regla 6, obténgase gráficamente la longitud de AK y de Ak. Si la razón de AK a Ak es la misma que la de d a e, la longitud AH se tomó correctamente. Pero si es menor, tómese sobre la recta indefinida SM la longitud SM igual a la longitud asumida AH y elévese la perpendicular MN igual a la diferencia de las razones AK / Ak - d / e multiplicada por una recta dada cualquiera. Con método semejante, a partir de la asunción de varias longitudes AH se tendrán varios puntos N, y por todos ellos se hará pasar una curva regular NNXN que corta en X a la recta SMMM. Asúmase por fin AH igual a la abscisa SX; de nuevo determínese desde aquí la longitud AK; y las longitudes, que sean respecto a la asumida longitud AI y a esta última AH como la longitud AK conocida experimentalmente a la longitud AK últimamente hallada, serán las verdaderas longitudes AI y AH que era preciso hallar. Pero una vez dadas éstas, también estará dada la resistencia del medio en el lugar A, toda vez que ésta será a la fuerza de la gravedad como AH a 2AI. Y aumentando la densidad del medio según la Regla 4, si la resistencia así hallada aumenta en la misma proporción, será aún más exacta.

REGLA 8. Halladas las longitudes AH, HX; si ahora se busca la posición de la recta AH, según la cual, un proyectil lanzado con aquella velocidad, incidirá sobre un punto cualquiera K, elévense por los puntos A y K las rectas AC, KF perpendiculares al horizonte, de ellas AC en dirección hacia abajo y que sea igual a AI o a ½HX. Con asíntotas AK, KF trácese una hipérbola cuya conjugada pase por el punto C, y con centro en A y distancia AH trácese un círculo que corte a dicha hipérbola en el punto H; y el proyectil lanzado según la recta AH caerá en el punto K. Q. E. I. Porque el punto H, debido a la longitud dada AH, está ubicado en un punto del círculo descrito. Trácese CH de modo que encuentre a AK y KF en E y F respectivamente; y por ser paralelas CH y MX, y por ser iguales AC y AI, AE será igual a AM, y por tanto también a KN. Pero CE es a AE como FH a KN, y por tanto CE y FH son iguales. Luego el punto H cae sobre la hipérbola descrita con asíntotas AK, KF, cuya conjugada pasa por el punto C, y por lo tanto se halla en la intersección de esta hipérbola y el círculo descrito. Q. E. D. Pero hay que observar que esta operación resulta lo mismo, tanto si la recta AKN es paralela al horizonte, como si está inclinada respecto a él en algún ángulo; y que de las dos intersecciones H, h, surgen dos ángulos NAH, NAh; y que en la práctica mecánica basta con describir un solo círculo y después aplicar una línea indefinida CH sobre el punto C de modo que su sección comprendida entre el círculo y la recta FK sea igual a la parte CE situada entre el punto C y la recta AK.

Lo dicho sobre las hipérbolas se aplica fácilmente a las parábolas. Efectivamente, si XAGK representa una parábola a la cual XV es tangente en el vértice X, y las ordenadas IA, VG fuesen como unas potencias cualesquiera XIn, XVn de las abscisas XI, XV; trácense XT, GT, AH, de las cuales XT sea paralela a VG, y GT, AH sean tangentes de la parábola en G y A: y un cuerpo lanzado desde un lugar cualquiera A, según la línea AH prolongada, y con la velocidad adecuada, describirá esta parábola, siempre que la densidad del medio en cada lugar G sea inversamente como la tangente GT. La velocidad en G será aquella con la cual se desplazaría el proyectil en un espacio no resistente en una parábola cónica de vértice G, diámetro prolongado hacia abajo VG, y «latus rectum» 2GT2 / (nn - n) x VG. Y la resistencia en G será a la fuerza de la gravedad como GT a 2nn - 2n / n - 2 VG. De donde si NAK representa una línea horizontal y se mantienen tanto la densidad del medio en A como la velocidad con la cual se lanza al cuerpo, mientras varía el ángulo NAH, las longitudes AH, AI, HX, permanecerán, y de aquí se tiene dado el vértice X de la parábola, la posición de la recta XI, y, tomando VG a IA como XVn a XIn, se tienen dados los puntos todos G de la parábola por los cuales pasará el proyectil.