Sección VIII. De cómo hallar órbitas en las cuales girasen cuerpos sujetos a fuerzas centrípetas cualesquiera
Sección VIII DE CÓMO HALLAR ÓRBITAS EN LAS CUALES GIRASEN CUERPOS SUJETOS A FUERZAS CENTRÍPETAS CUALESQUIERA
PROPOSICIÓN XL. TEOREMA XIII
Si un cuerpo se mueve de cualquier forma sujeto a la acción de una fuerza centrípeta, y otro cuerpo sube o baja por una línea recta, y en algún momento de alturas iguales fuesen iguales sus velocidades, serán iguales sus velocidades en todas las alturas iguales.
Caiga un cuerpo desde A a través de D, E hacia un centro C, y muévase otro cuerpo desde V según la línea curva VIKk. Con centro en C y distancias cualesquiera trácense los círculos concéntricos DI, EK que tocan a la recta AC en D y E y a la curva VIK en I y K. Únase IC que cortará a KE en N; y sobre IK trácese la perpendicular NT; sea también muy pequeño el intervalo entre circunferencias DE o IN, y sean iguales las velocidades de los cuerpos en D y I. Puesto que las distancias CD, CI son iguales, las fuerzas centrípetas en D y en I serán iguales. Representen a estas fuerzas los segmentos iguales DE, IN; si una de las fuerzas IN (por el Corolario II de las Leyes) se descompone en dos NT y IT, la fuerza NT, actuando según la línea NT, perpendicular a la trayectoria ITK del cuerpo, en nada alterará la velocidad de dicho cuerpo en su curso, sino que solamente lo desviará de su curso rectilíneo y hará que dicho cuerpo, apartándose continuamente de la tangente de la órbita, camine según la trayectoria curva ITKk. Toda dicha fuerza se consumirá en la producción de este efecto: mientras que la otra fuerza IT, actuando según la marcha del cuerpo, toda ella lo acelerará, y en un tiempo mínimo dado generará una aceleración proporcional a ella misma. Por tanto las aceleraciones de los cuerpos en D e I alcanzadas en tiempos iguales (si se consideran las razones primeras de los segmentos nacientes DE, IN, IK, IT, NT) son como las líneas DE, IT: mientras que en tiempos desiguales son como el producto de dichas líneas por los tiempos. Por lo demás, los tiempos en que se describirán DE e IK, por la igualdad de velocidades, son como las trayectorias descritas DE e IK, y por tanto las aceleraciones en el paso de los cuerpos por DE e IK, son como el producto de DE e IT, DE e IK, esto es como DE cuadrado y el rectángulo IT x IK. Pero el rectángulo IT x IK es igual a IN cuadrado, esto es igual a DE cuadrado y por tanto las aceleraciones generadas en el paso de los cuerpos desde Del hasta E y K son iguales. Luego las velocidades de los cuerpos en E y K son iguales: y por el mismo argumento siempre resultarán iguales a distancias subsiguientes iguales. Q. E. D.
Y además por el mismo argumento cuerpos con velocidades iguales y a iguales distancias del centro se desacelerarán igual al ascender a distancias iguales. Q. E. D.
COROLARIO 1. De aquí que, si un cuerpo oscila colgado de un hilo o se ve obligado a girar en círculo mediante un impedimento completamente pulido y lubrificado, y otro cuerpo sube o baja por una recta, y a una altura cualquiera igual son sus velocidades iguales, también serán iguales sus velocidades en cualesquiera otras alturas iguales. Pues con el hilo del cuerpo pendular o con la pared completamente lubrificada del recipiente se consigue exactamente lo mismo que con la fuerza transversal NT. Por ella el cuerpo no se acelera ni se desacelera, sino que solamente es obligado a apartarse de la trayectoria recta.
COROLARIO 2. De aquí también que, si la cantidad P fuese la máxima distancia al centro que puede alcanzar un cuerpo, tanto oscilando como girando en cualquier trayectoria, y la que alcanzaría por tanto lanzado hacia arriba desde un punto cualquiera de la trayectoria con la velocidad que tiene en ese punto; y fuese la cantidad A la distancia del cuerpo al centro en otro punto cualquiera de la órbita, y siendo siempre la fuerza centrípeta como una potencia de A tal como An − 1, cuyo índice n−1 es cualquier número n disminuido en una unidad; a cualquier altura A la velocidad del cuerpo será como √Pn - An, y por tanto estará dada. Pues la velocidad recta de ascenso o descenso (por la Proposición XXXIX) está en esta misma razón.
PROPOSICIÓN XLI. PROBLEMA XXVIII
Dada una fuerza centrípeta de cualquier clase y supuestas las cuadraturas de las figuras curvas, hállense tanto las trayectorias en que se mueven los cuerpos como los tiempos de los movimientos en las trayectorias halladas.
Tienda una fuerza cualquiera hacia el centro C y hállese la trayectoria VIKk. Sea dado el círculo VR con centro en C y trazado con una distancia cualquiera CV, y con el mismo centro trácense otros círculos ID, KE que corten a la trayectoria en I y K y a la recta CV en D y E. Trácese tanto la recta CNIX que corta a los círculos KE, VR en N y X, como la recta CKY que toca al círculo VR en Y. Y sean los puntos I y K muy próximos entre sí y que el cuerpo se mueva desde V por I y K hasta k; sea, así mismo A el punto desde el cual otro cuerpo debe caer para que adquiera en el punto D una velocidad igual a la del cuerpo anterior en I. Y, dado lo dicho en la Proposición XXXIX, el segmento IK, descrito en el menor tiempo dado, será como la velocidad y, por tanto, como la recta cuyo cuadrado sea igual al área ABFD, y sí tendrá dado el triángulo ICK proporcional al tiempo, y por lo mismo KN será inversamente como la altura IC, esto es, si se da una cantidad Q cualquiera y a la altura IC la denominamos A, como Q / A. A esta cantidad Q / A llamémosla Z y supongamos que la magnitud Q es tal que en algún caso √ABFD es a Z como IK a KN, entonces en todos los casos √ABFD será a Z como IK a KN, y ABFD a ZZ como IK2 a KN2 y restando ABFD - ZZ: ZZ = IN2: KN2, por tanto √ABFD - ZZ: Z o Q / A= IN: KN
y por ello A x KN= Q x IN / √ABFD - ZZ= IN: KN
de donde, como YX x XC: A x KN = CX2: AA
será el rectángulo XY x XC= Q x YN x CX2 / AA√ABFD - ZZ
Por tanto, si en la perpendicular DF se toman siempre Db, Dc iguales respectivamente a Q/ 2√ABFD - ZZy a Q x CX2 / 2AA√ABFD - ZZ
y se trazan las curvas ab, ac, a las cuales son siempre tangentes los puntos b, c; y se eleva hasta la línea AC desde el punto V la perpendicular Va que corta las áreas curvilíneas VDba, VDca y se elevan también las ordenadas Ez, Ex: dado que el rectángulo Db x IN o DbzE es igual a la mitad del rectángulo A x KN o al triángulo ICK; y el rectángulo De x IN o DcxE es igual a la mitad del rectángulo YX x XC, o sea, al triángulo XCY; esto es, puesto que las partículas nacientes DbzE, ICK de las áreas VDba, VIC son siempre iguales, y las partículas nacientes DcxE, XCY de las áreas VDca, VCX son siempre iguales, el área generada VDba siempre será igual al área generada VIC y por tanto proporcional al tiempo, y el área generada VDca igual al sector generado VCX. Así pues, dado el tiempo de partida de un cuerpo desde V, se tendrá dada también el área VDba proporcional a él, y de aquí se tendrá también la altura del cuerpo CD o CI, así como el área VDca y su igual el sector VCX a la vez que su ángulo VCI. Una vez dados el ángulo VCI y la altura CI se tiene el punto I en el que al completar ese tiempo se hallará el cuerpo. Q. E. I.
COROLARIO 1. De aquí que las alturas máximas y mínimas de los cuerpos, esto es, los ápsides de las trayectorias se puedan hallar fácilmente. Puesto que los ápsides son los puntos en los que la recta IC trazada por el centro cae perpendicularmente sobre la trayectoria VIK: cosa que ocurre cuando las rectas IK y NK se igualan, y por tanto cuando el área ABFD es igual a ZZ.
COROLARIO 2. Y también, partiendo de la altura dada del cuerpo IC, se halla fácilmente el ángulo KIN con el cual corta la trayectoria en cualquier punto a dicha línea IC; a saber, tomando el seno del ángulo al radio como KN a IK, esto es, como Z al lado cuadrado del área ABFD.
COROLARIO 3. Si con centro en C y vértice principal en V se describe una sección cónica cualquiera VRS, y desde un punto malquiera R dé la misma se traza una tangente que corte al eje principal CV prolongado infinitamente en un punto T; después, uniendo CR, se traza la recta CP igual a la abscisa CT, y el ángulo VCP proporcional al sector VCR; y si además una fuerza centrípeta inversamente proporcional al cubo de las distancias de los lugares al centro tiende hacia el centro C, y un cuerpo sale con una velocidad precisa desde V según una línea perpendicular a la recta CV: dicho cuerpo circulará por la trayectoria VPQ siempre tangente al punto P; y por lo tanto, si la sección cónica VRS fuese una hipérbola, descenderá hacia el centro: pero si fuese una elipse, ascenderá continuamente y marchará hacia el infinito. Y por el contrario, si un cuerpo con velocidad cualquiera parte de V y desde allí empieza bien a descender oblicuamente hacia el centro o bien a ascender oblicuamente desde él, según sea la figura VRS una hipérbola o una elipse, se puede hallar la trayectoria aumentando o disminuyendo el ángulo VCP según una razón dada. Por lo demás, al convertirse la fuerza centrípeta en centrífuga, el cuerpo ascenderá oblicuamente por la trayectoria VPC, la cual se halla tomando el ángulo VCP proporcional al sector elíptico VRC y la longitud CP igual a CT como antes. Todas estas cosas se siguen de la proposición anterior, mediante la cuadratura de determinada curva cuyo hallazgo, por ser fácil, en aras de la brevedad, doy por hecho[32].
PROPOSICIÓN XLII. PROBLEMA XXIX
Dada la ley de la fuerza centrípeta, hallar los movimientos de un cuerpo que parte de un lugar dado, con una velocidad dada y según una recta dada.
Supuesto lo dicho en las tres proposiciones precedentes; parta un cuerpo de I según el segmento IK con la velocidad que otro cuerpo puede adquirir en D cayendo desde P con fuerza centrípeta uniforme: y sea esta fuerza uniforme a la fuerza que actúa en I sobre el cuerpo anterior, como DR a DF. Diríjase pues el cuerpo hacia k; y con centro en C y distancia Ck trácese el círculo ke que corta a la recta PD en e y elévense eg, ev, ew ordenadas a las curvas BFg, abv, acw. A partir del rectángulo dado PDRQ y de la ley dada de la fuerza centrípeta con la que se mueve el primer cuerpo, se tiene dada la curva BFg, por construcción del Problema XXVII y su Corolario 1. De aquí, por estar dado el ángulo CIK, se tiene la proporción de las líneas nacientes IK, KN, y después, por la construcción del Problema XXVIII se tiene la cantidad Q junto con las líneas curvas abv, acw: y por lo tanto, al cumplirse cualquier tiempo Dbve, se tiene, tanto la altura del cuerpo Ce o Ck, como el área Dcwe y el sector igual a ella XZy, así como el ángulo ICK y el punto k en el cual se hallará el cuerpo en ese momento. Q. E. I.
En estas proposiciones estamos suponiendo que la fuerza centrípeta varía al alejarse del centro según una ley cualquiera, que puede imaginarse cada cual, pero que permanece igual a iguales distancias del centro. Además hasta ahora hemos considerado el movimiento de los cuerpos en órbitas inmóviles. Falta añadir algo sobre el movimiento de los cuerpos en órbitas que giren en torno a un centro de fuerzas.