Sección VII. Del ascenso y descenso rectilíneo de los cuerpos
Sección VII DEL ASCENSO Y DESCENSO RECTILÍNEO DE LOS CUERPOS
PROPOSICIÓN XXXII. PROBLEMA XXIV
Supuesto que la fuerza centrípeta sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de los lugares al centro, determinar los espacios que, en tiempos dados, recorre un cuerpo cayendo en línea recta.
CASO 1. Si un cuerpo no cae perpendicular mente describirá (por el Corolario 1 de la Proposición XIII) una cierta sección cónica cuyo foco coincidirá con el centro de fuerzas. Sea ARPB dicha sección cónica y S su foco. Primero en el caso de que dicha figura sea una elipse; sobre su eje mayor AB trácese el semicírculo ADB, y pase por el cuerpo que cae la recta DPC perpendicular al eje; y trazadas DS, PS, el área ASD será proporcional al área ASP, así como al tiempo. Manteniendo el eje AB, disminuya la latitud de la elipse continuamente y el área ASD seguirá siendo continuamente proporcional al tiempo. Disminúyase infinitamente aquella latitud y, al coincidir la órbita APB con el eje AB y el foco S con el extremo B del eje, también resultará el área ABD proporcional al tiempo. Y así se tendrá el espacio AC que será el descrito por el cuerpo que cae perpendicularmente desde A en un tiempo dado, siempre que se tome el área ABD proporcional al tiempo y se trace desde el punto D hasta la recta AB la perpendicular DC. Q. E. I.
CASO 2. Si dicha figura RPB es una hipérbola, trácese sobre su diámetro principal AB la hipérbola rectangular BED; y puesto que las áreas CSP, CBƒP, SPƒB son a las áreas CSD, CBED, SDEB, cada una a cada una, como la razón dada de las alturas CP, CD; y como el área SPƒB es proporcional al tiempo en el que el cuerpo se moverá a lo largo del arco PƒB, el área SDEB será también proporcional a ese mismo tiempo. Disminúyase el «latus rectum» de la hipérbola RPB hasta el infinito manteniendo el lado transverso, y el arco PB coincidirá con la recta CB y el foco S con el vértice B y la recta SD con la recta BD. Por tanto, el área BDEB será proporcional al tiempo en el que el cuerpo C en caída recta describe la línea CB. Q. E. I.
CASO 3. Y con similar argumento si la figura RPB es una parábola, y por el mismo vértice principal B se describe otra parábola BED que siempre permanezca dada, mientras la primera parábola, en cuyo perímetro se mueve el cuerpo P, va disminuyendo su «latus rectum» hasta que se anula, llegará a coincidir con la línea CB; hará entonces que el segmento parabólico BDEB sea proporcional al tiempo en que dicho cuerpo P o C cae hasta el centro S o B. Q. E. I.
PROPOSICIÓN XXXIII. TEOREMA IX
Supuesto lo ya descubierto, digo que la velocidad de un cuerpo que cae en un lugar C es a la velocidad de un cuerpo que gira en círculo con centro B y distancia BC, como la raíz cuadrada de la razón de AC, distancia del cuerpo al vértice A ulterior del círculo o de la hipérbola rectangular, respecto a ½AB, semidiámetro principal de la figura.
Hágase en O la bisección de AB, diámetro común de ambas figuras RPB, DEB; y trácese la recta PT, tangente a la figura RPB en P, y que corte también a dicho diámetro común AB (prolongado si es necesario) en T; y sea SY perpendicular a dicha recta, lo mismo que BQ al susodicho diámetro, y supóngase que L sea el «latus rectum» de la figura RPB. Se sabe por el Corolario 9 de la Proposición XVI que la velocidad de un cuerpo que se mueve sobre la línea RPB en torno al centro S en un lugar cualquiera P será a la velocidad de un cuerpo que se mueve en torno al mismo centro describiendo un círculo a la distancia SP, como la raíz cuadrada de la razón del rectángulo ½L x SP a SY al cuadrado. Pues, por las cónicas, ACB es a CP2 como 2AO a L, y por tanto, 2CP2 x AO / ACB es igual a L. Por tanto dichas velocidades son entre sí como la raíz cuadrada de CP2 x AO x SP / AC x CB es a SY2. Además, por las cónicas, CO es a BO como BO es a TO y, componiendo o dividiendo, como CB a BT. De donde, dividiendo o componiendo, será BO ± CO a BO como CT a BT, esto es, AC a AO como CP a BQ; y de aquí que CP2 x AO x SP / ACB sea igual a BQ2 x AC x SP / AO x BC. Disminúyase ahora la anchura CP de la figura RPB hasta el infinito de modo que el punto P coincida con el punto C y el punto S con el punto B y la línea BQ; y ahora la velocidad del cuerpo que cae por la línea recta CB será a la velocidad de un cuerpo que describe un círculo de centro B y distancia BC como la raíz cuadrada de la razón BQ2 x AC x SP / AO x BC a SY2, esto es (despreciando las razones de la igualdad de SP a BC y BQ2 a SY2), como la raiz cuadrada de la razón de AC a AO o de ½AB. Q. E. D.
COROLARIO 1. Al coincidir los puntos B y S, TC será a TS como AC a AO.
COROLARIO 2. Si un cuerpo gira en un círculo de determinada distancia al centro, al desviar su movimiento hacia arriba subirá hasta duplicar su distancia al centro.
PROPOSICIÓN XXXIV. TEOREMA X
Si la figura BED es una parábola, digo que la velocidad de un cuerpo que cae en cualquier punto C es igual a la velocidad con la que un cuerpo puede describir uniformemente un círculo de centro B y con la mitad de su intervalo BC.
Pues la velocidad de un cuerpo que describe una parábola de centro S siendo la parábola RPB será en un punto P cualquiera (por el Corolario 7 de la Proposición XVI) igual a la velocidad de un cuerpo que describe un círculo uniformemente en torno al mismo centro S a la mitad del intervalo SP. Disminúyase infinitamente la anchura CP de la parábola hasta que el arco parabólico PƒB coincida con la recta CB, el centro S con el vértice B y el intervalo SP con el intervalo BC, y la proposición será evidente. Q. E. D.
PROPOSICIÓN XXXV. TEOREMA XI
Con los mismos supuestos, digo que el área de la figura DES, descrita con radio indefinido SD, será igual al área que puede describir en el mismo tiempo un cuerpo girando uniformemente en torno al centro S y con radio igual a la mitad del «latus rectum» de la figura DES.
Pues imagínese que un cuerpo C describe al caer en la mínima partícula de tiempo el segmento Cc, mientras otro cuerpo K, girando uniformemente en el círculo OKk en torno al centro S, describe el arco Kk. Elévense las perpendiculares CD, cd que se encuentran con la figura DES en D y en d. Únanse SD, Sd, SK, Sk y trácese Dd que encuentra al eje AS en T y sobre ella hágase descender la perpendicular SY.
CASO 1. Si ahora la figura DES es un círculo o una hipérbola rectangular trácese en O la bisección de su diámetro transverso AS, y SO será la mitad de su «latus rectum». Y puesto que TC es a TD como Cc a Dd y TD a TS como CD a SY, también será TC a TS como CD x Cc a SY x Dd. Pero (por el Corolario 1 de la Proposición XXXIII) TC es a TS como AC es a AO si al confundirse los puntos D, d se toman las razones últimas de las líneas. Luego AC es a AO o SK como CD x Cc es a SY x Dd. Además la velocidad de un cuerpo que cae en C es a la velocidad de un cuerpo que describe un círculo de intervalo SC y centro S como la raíz cuadrada de la razón de AC a AO o SK (por la Proposición XXXIII). Y esta velocidad es a la velocidad de un cuerpo que describa el círculo OKk como la raíz cuadrada de la razón de SK a SC (por el Corolario 6 de la Proposición IV) y por lanío la velocidad primera es a la última, esto es el segmento Cc al arco Kk, como la raíz cuadrada de la razón de AC a SC, esto es, en razón de AC a CD. Por lo cual CD x Cc es igual a AC x Kk, y por tanto AC es a SK como AC x Kk a SY x Dd, y de aquí que SK x Kk sea igual a SY x Dd, y ½SK x Kk igual a ½SY x Dd, esto es, el área KSk igual al área SDd. Por lo tanto en cada partícula de tiempo se generan partículas de dos áreas KSk y SDd que si disminuyen en magnitud y aumentan en número infinitamente, llegan a ser iguales, y por consiguiente (por el Corolario del Lema IV), todas las áreas generadas a la vez son siempre iguales. Q. E. D.
CASO 2. Pero si la figura DES fuese una parábola, hallaremos como antes que CD x Cc es a SY x Dd como TC a TS, esto es, como 2 a 1, y por tanto ¼CD x Cc es igual a ½SY x Dd. Pero la velocidad de un cuerpo que cae en C es igual a la velocidad con que puede describir un círculo uniformemente con intervalo de ½SC (por la Proposición XXXIV). Y esta velocidad es a la velocidad con la que puede describir un círculo de radio SK, esto es, el segmento Cc al arco Kk (por el Corolario 6 de la Proposición IV) como la raíz cuadrada de la razón de SK a ½SC, esto es, en la razón de SK a ½CD. Por lo cual ½SK x Kk es igual a ¼CD x Cc, y por tanto igual a ½SY x Dd, esto es, el área KSk igual al área SDd, como antes. Q. E. D.
PROPOSICIÓN XXXVI. PROBLEMA XXV
Determinar los tiempos de descenso de un cuerpo que cae desde un punto dado A.
Sobre el diámetro AS, distancia inicial del cuerpo al centro, trácese el semicírculo ADS, y también el semicírculo OKH igual al anterior y con centro en S. Desde C, lugar cualquiera del cuerpo, elévese la ordenada CD. Únase SD, y hágase el sector OSK igual al área ASD. Por la Proposición XXXV es evidente que un cuerpo al caer recorre el espacio AC en el mismo tiempo en que otro cuerpo, girando uniformemente en torno al centro S, puede describir el arco OK. Q. E. F.
PROPOSICIÓN XXXVII. PROBLEMA XXVI
Determinar los tiempos de ascenso o caída de un cuerpo lanzado hacia arriba o hacia abajo desde un punto dado.
Sea G el punto de partida del cuerpo siguiendo la línea GS y con una velocidad cualquiera. Tómese GA a ½AS como el cuadrado de la razón de dicha velocidad a la velocidad uniforme con que un cuerpo puede girar en un círculo de intervalo dado G y centro S. Si dicha razón es de 2 a 1, el punto A dista infinitamente, en cuyo caso ha de trazarse una parábola con vértice S, eje SG, y «latus rectum» cualquiera. Esto es evidente por la Proposición XXXIV. Pero si dicha razón es menor o mayor que 2 a 1, en el primer caso, debe describirse un círculo sobre el diámetro SA y en el segundo una hipérbola rectangular. Es evidente por la Proposición XXXIII. Ahora con centro S e intervalo igual a la mitad del «latus rectum» trácese el círculo HkK, y desde el punto G del cuerpo que asciende o cae y desde otro punto cualquiera C elévense las perpendiculares GI, CD que tocan a la sección cónica o al círculo en I y en D. Después, unidas SI, SD, iguálense los segmentos SEIS, SEDS a los sectores HSK, HSk, y por la Proposición XXXV, el cuerpo G recorrerá el espacio GC en el mismo tiempo en que el cuerpo K puede describir el arco Kk. Q. E. F.
PROPOSICIÓN XXXVIII. TEOREMA XII
Supuesto que la fuerza centrípeta sea proporcional a la altura o distancia de los lugares al centro, digo que los tiempos de caída, las velocidades y los espacios recorridos son respectivamente proporcionales a los arcos, a los senos rectos y a los senos versos de los arcos.
Sea un cuerpo que cae desde un lugar cualquiera A y según la línea AS; y desde el centro de fuerzas S, y con intervalo AS, trácese el cuadrante circular AE, y sea CD el seno recto de un arco cualquiera AD; y el cuerpo A, en el tiempo AD, recorrerá al caer el espacio AC, y en el punto C alcanzará la velocidad CD.
Se demuestra esto partiendo de la Proposición X del mismo modo que partiendo de la Proposición XI se demostró la Proposición XXXII.
COROLARIO 1. De aquí que sean iguales los tiempos en que un cuerpo que cae desde el punto A llega hasta S y otro cuerpo girando recorre el arco cuadrantal ADE.
COROLARIO 2. Por lo tanto, los tiempos todos en que los cuerpos que caen desde un lugar cualquiera hasta el centro son iguales. Pues todos los tiempos periódicos de cuerpos en revolución son iguales (por el Corolario 3 de la Proposición IV).
PROPOSICIÓN XXXIX. PROBLEMA XXVII
Supuesta una fuerza centrípeta de cualquier clase, y concedidas las cuadraturas de las figuras curvilíneas, se pide la velocidad de un cuerpo que asciende o cae según una recta en cada punto de la misma, y también el tiempo en que llegará a cada uno de los puntos; y viceversa.
Sea el cuerpo E que cae desde el punto cualquiera A según la recta ADEC, y desde su lugar E elévese la perpendicular EG, proporcional siempre a la fuerza centrípeta tendente en ese lugar hacia el centro C: sea BFG una línea curva continuamente tangente del punto G. Al comienzo del movimiento coincida EG con la perpendicular AB, y la velocidad del cuerpo en un punto cualquiera E será como la recta que elevada al cuadrado sea igual al área curvilínea ABGE. Q. E. I.
Tómese sobre EG la distancia EM, inversamente proporcional a la recta que elevada al cuadrado sea igual al área ABGE, y sea VLM una línea curva a la que el punto M sea continuamente tangente, y cuya asíntota sea la prolongación de la recta AB; y el tiempo en que un cuerpo al caer recorre el espacio AE será como el área curvilínea ABTVME. Q. E. I.
Pues sobre la recta AE tómese el segmento mínimo DE de una longitud dada, y sea DLF el lugar de la línea EMG, cuando el cuerpo pasaba por D; y si la fuerza centrípeta fuese tal que la recta, cuyo cuadrado es igual al área ABGE, sea como la velocidad del cuerpo que cae, el área misma será como el cuadrado de la velocidad, esto es, si se representan las velocidades en D y E por V y V + I, el área ABFD será como VV, y el área ABGE como VV + 2VI + II y, restando, el área DFGE como 2VI + II, por lo cual DFGE / DE como 2VI + II / DE, esto es, si se toman las razones primeras de estas cantidades en su momento inicial, la longitud DF es como 2VI / DE, y en consecuencia también como la mitad de esta cantidad I x V / DE. Pero el tiempo en el que el cuerpo caer recorre el segmento aquel DE es directamente como dicho segmento e inversamente como la velocidad V, y la fuerza es directamente como el incremento 1 de la velocidad e inversamente como el tiempo, y por tanto, si se toman las razones primeras iniciales, como, I x V / DE, esto es, como la longitud DF. Luego una fuerza proporcional a DF o también a EG hará que el cuerpo caiga con una velocidad tal que sea como la recta cuyo cuadrado sea el área ABGE. Q. E. D.
Por lo demás, como el tiempo en que puede recorrerse un segmento mínimo DE de longitud dada, sea inversamente como la velocidad y por ende inversamente como la línea recta cuyo cuadrado sea el área ABFD; y, por otra parte, sea DL, y también el área naciente DLME, inversamente como dicha línea recta, el tiempo será como el área DLME, y la suma de todos los tiempos como la suma de todas las áreas, esto es (por el Corolario del Lema IV), la totalidad de los tiempos en que se recorre la línea AE como el área total ATVME. Q. E. D.
COROLARIO 1. Si fuese P el lugar desde el que debiese caer un cuerpo urgido por una fuerza centrípeta uniforme conocida (como se supone generalmente la gravedad) de modo que en el punto D adquiera una velocidad igual a la de otro cuerpo en ese punto D que la ha adquirido al caer merced a otra fuerza cualquiera, y sobre la perpendicular DF se tomara DR tal que sea a DF como dicha fuerza uniforme es a la otra fuerza en D, y se completase el rectángulo PDRQ, y se segregase el área ABFD igual al mismo; entonces A será el lugar desde el cual cayó el otro cuerpo. Pues, completando el rectángulo DRSE, como el área ABFD sea al área DFGE como VV a 2VI, y por lo mismo como ½V a I, esto es, como la mitad de la velocidad total al incremento de la velocidad del cuerpo que cae empujado por la fuerza no uniforme; y similarmente el área PQRD es al área DRSE como la mitad de toda la velocidad al incremento de la velocidad del cuerpo que cae con fuerza uniforme, y como dichos incrementos (por la igualdad de los tiempos nacientes) son como las fuerzas generatrices, esto es, como las ordenadas DF, DR, y por tanto, como las áreas nacientes DFGE, DRSE; en consecuencia, las áreas totales ABFD, PQED serán entre sí como las mitades de las velocidades totales, y por lo tanto, serán iguales por ser las velocidades iguales.
COROLARIO 2. De aquí que si un cuerpo es lanzado desde cualquier punto D hacia arriba o hacia abajo con una velocidad dada, y se supone la ley de la fuerza centrípeta, su velocidad en otro punto e se hallará elevando la ordenada eg, y tomando dicha velocidad a la velocidad en el punto D como la recta, cuyo cuadrado equivalga al rectángulo PQRD aumentado en el área curvilínea DFge si el punto e está por debajo del punto D y disminuido si está por arriba, es a la recta cuyo cuadrado equivalga sólo al rectángulo PQRD.
COROLARIO 3. También se halla el tiempo elevando la ordenada em inversamente proporcional al lado cuadrado de PQRD ± DFge, y tomando el tiempo en que el cuerpo hubiese descrito la línea De al tiempo en que otro cuerpo cayendo con fuerza uniforme desde P llega hasta D, como el área curvilínea DLme al rectángulo 2PD x DL. Puesto que el tiempo, en el que cayendo con fuerza uniforme un cuerpo describe la línea PD es al tiempo en el que el mismo cuerpo describe la línea PE, como la raíz cuadrada de la razón de PD a PE, esto es (considerando el segmento DE en el instante de su nacimiento), como la razón de PD a PD + ½DE o como 2PD + DE, y por partes, al tiempo en que dicho cuerpo recorrió el segmento DE como 2PD a DE, y por tanto como el rectángulo 2PD x DL al área DLME; y el tiempo en que un cuerpo describió el segmento DE es al tiempo en que el otro describió con movimiento variable la línea De como el área DLME al área DLme, y por consiguiente el primer tiempo es al último como el rectángulo 2PD x DL al área DLme.