Sección VI. Del movimiento y resistencia de cuerpos pendulares

Sección VI DEL MOVIMIENTO Y RESISTENCIA DE CUERPOS PENDULARES

PROPOSICIÓN XXIV. TEOREMA XIX

Las cantidades de materia de cuerpos pendulares cuyos centros de oscilación están a igual distancia del centro de suspensión se hallan en razón compuesta de la razón del peso y de la razón del cuadrado de los tiempos de oscilación en el vacío.

Pues la velocidad que sobre una materia dada puede engendrar una fuerza dada en un tiempo dado, es directamente como la fuerza y el tiempo e inversamente como la materia. Cuanto mayores son la fuerza o el tiempo, o menor la materia, tanto mayor será la velocidad generada. Esto es evidente por la segunda Ley del Movimiento. Ahora bien, si los péndulos son de igual longitud, las fuerzas motrices en puntos equidistantes de la perpendicular son como los pesos: y por ello, si dos cuerpos oscilando describen arcos iguales y dichos arcos se dividen en partes iguales, por ser los tiempos en que los cuerpos describen cada parte de los arcos correspondientes como los tiempos totales de oscilación, las velocidades en cada parte correspondiente de oscilación serán entre sí como las fuerzas motrices y los tiempos totales de oscilación directamente e inversamente como las cantidades de materia: y por tanto, las cantidades de materia serán directamente como las fuerzas y los tiempos de oscilación e inversamente como las velocidades. Pero las velocidades son inversamente como los tiempos y, por consiguiente, los tiempos directamente y las velocidades inversamente son como los cuadrados de los tiempos, por lo cual las cantidades de materia son como las fuerzas motrices y los cuadrados de los tiempos, es decir, como los pesos y el cuadrado de los tiempos. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por tanto, si los tiempos son iguales, las cantidades de materia en cada cuerpo serán como los pesos.

COROLARIO 2. Si los pesos son iguales, las cantidades de materia serán como los cuadrados de los tiempos.

COROLARIO 3. Si las cantidades de materia son iguales, los pesos serán inversamente proporcionales a los cuadrados de los tiempos.

COROLARIO 4. De donde, al ser, «caeteris paribus», los cuadrados de los tiempos como las longitudes de los péndulos, si son iguales los tiempos y las cantidades de materia, los pesos serán como la longitud de los péndulos.

COROLARIO 5. Y en general, la cantidad de materia pendular es directamente proporcional al peso y al cuadrado del tiempo, e inversamente a la longitud del péndulo.

COROLARIO 6. Pero en medio no resistente la cantidad de materia pendular es directamente como el peso relativo y el cuadrado del tiempo e inversamente como la longitud del péndulo. Pues el peso relativo es la fuerza motriz del cuerpo en un medio grave cualquiera, como expliqué más arriba; y por tanto, cumple el mismo papel en un medio no resistente que el peso absoluto en el vacío.

COROLARIO 7. Y de aquí se obtiene la razón tanto para comparar los cuerpos entre sí en cuanto a la cantidad de materia en cada uno, como para comparar los pesos del mismo cuerpo en distintos lugares, para conocer las variaciones de la gravedad. Pero, mediante experimentos realizados con la mayor precisión siempre hallé que la cantidad de materia en cada cuerpo es proporcional a su peso.

PROPOSICIÓN XXV. TEOREMA XX

Los cuerpos pendulares a los cuales, en un medio cualquiera, se resiste en razón de los momentos de tiempo y los cuerpos pendulares que se mueven en un medio no resistente de la misma gravedad especifica, completan en el mismo tiempo las oscilaciones en una cicloide y describen en tiempos iguales partes proporcionales de arcos.

Sea AB el arco de la cicloide que el cuerpo D describe al oscilar en un tiempo cualquiera y en medio no resistente. Sea bisecado en C de modo que C resulte su punto inferior; y la fuerza aceleratriz que empuja al cuerpo en un punto cualquiera D, o d, o E, será como la longitud del arco CD, o Cd, o CE. Represéntese esa fuerza por dicho arco, y al ser la resistencia como el momento de tiempo, y por ello estar dada, represéntese ésta por una parte dada del arco cicloide CO, y tómese el arco Od respecto al arco CD en la misma proporción que tiene el arco OB respecto al arco CB: y la fuerza que empuja al Cuerpo en d en medio resistente, al ser el exceso de la fuerza Cd sobre la resistencia CO, vendrá representada por el arco Od, y por eso será a la fuerza que empuja al cuerpo D en un medio no resistente en el punto D, como el arco Od al arco CD; por tanto, también en el punto B como el arco OB al arco CB. De suerte que si dos cuerpos D, d, parten del punto B empujados por estas fuerzas, al ser las fuerzas al comienzo como los arcos CB y OB, las velocidades iniciales y los arcos inicialmente descritos estarán en la misma razón. Sean dichos arcos BD y Bd y los arcos restantes CD, Od, estarán en la misma proporción. Por consiguiente, las fuerzas proporcionales a los propios CD, Od seguirán siendo proporcionales en la misma razón que al principio y, por tanto, los cuerpos seguirán describiendo arcos simultáneamente en la misma proporción. Por lo cual, las fuerzas, las velocidades y los restantes arcos CD, Od, siempre serán como los arcos totales CB, OB, y por tanto dichos arcos restantes siempre serán descritos simultáneamente. Por lo cual los dos cuerpos D, d, llegarán a la vez a los puntos C y O, uno, en un medio no resistente, al punto C, mientras el otro, en un medio resistente, al punto O. Mas, como las velocidades en C y O son como los arcos CB, OB, los arcos que describen los cuerpos después, al marchar a la vez, serán arcos que estén en la misma razón. Sean estos CE, Oe. La fuerza que retarda al cuerpo D en un medio no resistente en el punto E es como CE, y la fuerza que retarda al cuerpo d en un medio resistente en el punto e es como la suma de la fuerza Ce y de la resistencia CO, es decir, como Oe; por tanto, las fuerzas que retardan a los cuerpos son como los arcos CB, OB, proporcionales a los arcos CE, Oe; y por lo mismo las velocidades, retardadas en esa razón dada, se mantienen en esa misma razón dada. Por consiguiente, las velocidades y los arcos descritos con ellas siempre están entre sí en la susodicha razón de los arcos CB y OB; y por ello, si se toman los arcos totales AB, aB, en la misma razón, los cuerpos D, d, describirán esos arcos simultáneamente, y en los puntos A, a, perderán a la vez todo su movimiento. Y, por consiguiente, las oscilaciones totales son isócronas y cualesquiera partes de arcos, BD, Bd, o BE, Be descritas a la vez son proporcionales a los arcos totales BA, Ba. Q. E. D.

COROLARIO. Por lo cual, el movimiento más rápido en un medio resistente no ocurre en el punto más bajo C, sino que se encuentra en el punto O, en el cual es bisecado el arco total descrito aB. Y el cuerpo al ir desde allí hasta a se va retardando en el mismo grado en que antes se aceleraba al descender desde B hasta O.

PROPOSICIÓN XXVI. TEOREMA XXI

Las oscilaciones en una cicloide de los cuerpos pendulares, a los que se resiste en razón de las velocidades, son isócronas.

Pues si dos cuerpos igualmente distantes de sus centros de suspensión describen oscilando arcos desiguales y las velocidades en las partes correspondientes de arcos son entre sí como los arcos totales, las resistencias, proporcionales a las velocidades, serán también entre sí como los propios arcos. Por lo cual, si estas resistencias se suman o restan a las fuerzas motrices originadas por la gravedad que son como los propios arcos, las sumas o las diferencias serán entre sí en la misma razón de los arcos: y como los incrementos o decrementos de las velocidades son como estas sumas o diferencias, las velocidades serán siempre como los arcos totales: por consiguiente, las velocidades, si en una ocasión son como los arcos totales, permanecerán siempre en esa proporción. Pero al principio del movimiento, cuando los cuerpos comienzan a descender y describir dichos arcos, las fuerzas, al ser proporcionales a los arcos, generarán velocidades proporcionales a los arcos. Luego las velocidades siempre serán como los arcos totales a describir, y por consiguiente, dichos arcos serán descritos en el mismo tiempo. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XXVII. TEOREMA XXII

Si se resiste a los cuerpos pendulares en razón del cuadrado de las velocidades, las diferencias entre los tiempos de oscilación en un medio resistente y los tiempos de oscilación en un medio no resistente de la misma gravedad específica serán aproximadamente proporcionales a los arcos descritos al oscilar.

Pues, si con péndulos iguales se describen en un medio resistente los arcos desiguales A, B; la resistencia del cuerpo en el arco A será a la resistencia del cuerpo en la parte correspondiente del arco B como el cuadrado de las velocidades, esto es, aproximadamente como AA a BB. Si la resistencia en el arco B fuese a la resistencia en el arco A como AB a AA, los tiempos en los arcos A y B serían iguales, por la Proposición anterior. Por consiguiente, la resistencia AA en el arco A, o AB en el arco B, produce el exceso de tiempo en el arco A sobre el tiempo en medio no resistente; y la resistencia BB produce el exceso de tiempo en el arco B sobre el tiempo en medio no resistente. Pero tales excesos son como las fuerzas productoras muy aproximadamente, esto es, como los arcos A y B. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por ello, a partir de los tiempos de oscilaciones realizadas en arcos desiguales y en medios resistentes se puede conocer el tiempo de oscilación en un medio no resistente de la misma gravedad específica. Pues la diferencia de tiempos será al exceso de tiempo en el arco menor sobre el tiempo en medio no resistente como la diferencia de los arcos al arco menor.

COROLARIO 2. Las oscilaciones más cortas son más isócronas, y las muy cortas se realizan aproximadamente en los mismos tiempos que en un medio no resistente. Pero los tiempos de aquellas que se realizan en arcos más grandes son un poco mayores, debido a que la resistencia al descender el cuerpo, por la que el tiempo se alarga, es mayor con relación a la longitud descrita en el descenso que la resistencia en el ascenso subsiguiente gracias a la cual el tiempo se acorta. Pero los tiempos de oscilación, tanto breves como largas, parecen alargarse un poco por el movimiento del medio. Pues a los cuerpos que se retardan los resiste algo menos en razón de su velocidad, mientras que a los que se aceleran los resiste algo más que a aquellos que se producen uniformemente: y esto por cuanto que el medio, desplazándose con el movimiento recibido de los cuerpos hacia el mismo lado, se agita más en el primer caso y menos en el segundo; y por ello colabora más o menos con los cuerpos en movimiento. De suerte que en el descenso resiste más a los péndulos y en el ascenso menos que en razón de su velocidad, con lo que por una y otra causa el tiempo resulta prolongado.

PROPOSICIÓN XXVIII. TEOREMA XXIII

Si a un cuerpo pendular que oscila por una cicloide se le resiste en razón de los momentos de tiempo, su resistencia será a la fuerza de la gravedad como el exceso del arco descrito en el descenso total sobre el arco de ascenso descrito subsiguientemente al doble de la longitud del péndulo.

Sea BC el arco descrito en el descenso, Ca el arco descrito en el ascenso, y Aa la diferencia entre los arcos: y manteniendo las cosas construidas y demostradas en la Proposición XXV, la fuerza que actúa sobre el cuerpo en oscilación en un punto cualquiera D será a la fuerza de resistencia como el arco CD al arco CO, que es la mitad de la dicha diferencia Aa. Y por ello, la fuerza que actúa sobre el cuerpo oscilante al principio de la cicloide o en el punto más alto, esto es, la fuerza de la gravedad será a la resistencia como el arco cicloide comprendido entre el punto más alto y el punto más bajo C al arco CO; es decir (si los arcos se duplican) como el arco de toda la cicloide, o el doble de la longitud del péndulo, al arco Aa. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XXIX. PROBLEMA VI

Supuesto que a un cuerpo oscilante en una cicloide se le resiste en razón del cuadrado de la velocidad, hallar la resistencia en cada punto.

Sea Ba el arco descrito con la oscilación completa, y sea C el punto más bajo de la cicloide y CZ la mitad del arco cicloide total, igual a la longitud del péndulo; y tratemos de hallar la resistencia del cuerpo en un punto cualquiera D. Córtese la recta infinita OQ en los puntos O, S, P, Q, con la condición de que (si se elevan las perpendiculares OK, ST, PI, QE, y con centro en O y asíntotas OK, OQ se traza la hipérbola TIGE que corte a las perpendiculares ST, PI, QE, en T, I, E, y por el punto I se traza KF paralela a la asíntota OQ y que corte a la asíntota OK en K y a las perpendiculares ST y QE en L y F) el área hiperbólica PIEQ sea al área hiperbólica PITS como el arco BC descrito en el descenso del cuerpo al arco Ca descrito en el ascenso, y el área IEF al área ILT como OQ a OS. Después, con la perpendicular MN sepárese el área hiperbólica PINM que sea al área hiperbólica PIEQ como el arco CZ al arco BC descrito en el descenso. Y si con la perpendicular RG se segrega el área hiperbólica PIGR que sea al área PIEQ como un arco cualquiera CD al arco BC descrito en el descenso completo; la resistencia en el punto D será a la fuerza de la gravedad como el área OR / OQIEF - IGH al área PINM.

Y si las fuerzas procedentes de la gravedad que actúan sobre el cuerpo en los puntos Z, B, D, a, son como los arcos CZ, CB, CD, Ca, y dichos arcos son como las áreas PINM, PIEQ, PIGR, PITS; entonces, represéntense tanto los arcos como las fuerzas por estas áreas. Además, sea Dd un espacio muy pequeño recorrido por el cuerpo en descenso y represéntese por el área mínima RGgr, comprendida entre las paralelas RG, rg; y prolónguese rg hasta h de suerte que GHhg y RGgr sean los decrementos simultáneos de las áreas IGH, PIGR. El incremento GHhg - Rr / OQIEF, o Rr x HG - Rr / OQIEF del área OR / OQIEF - IGH será al decremento RGgr, o Rr x RG del área PIGR como HG - IEF / OQ a RG; y por tanto, como OR x HG - OR / OQIEF a OR x GR, o OP x PI, es decir (por ser iguales OR x HG, OR x HR - OR x GR, ORHK - OPIK, PIHR y PIGR + IGH) como PIGR + IGH - OR / OQIEF a OPIK. Luego, si el área OR / OQIEF - IGH se llama Y, y el decremento RGgr del área PIGR se hallase dado, el incremento del área Y sería como PIGR - Y.

Porque si V designase la fuerza procedente de la gravedad proporcional al arco a describir CD y que actúa sobre el cuerpo en D, y se escribe R para representar la resistencia, V - R será la fuerza total que actúa sobre el cuerpo en D. Y así el incremento de la velocidad es como V - R y la partícula de tiempo en que se produce conjuntamente: pero la propia velocidad es directamente como el incremento contemporáneo de espacio recorrido e inversamente como la misma partícula de tiempo. De donde, al ser, por hipótesis, la resistencia como el cuadrado de la velocidad, el incremento de la resistencia (por el Lema II) será como la velocidad y el incremento de la velocidad conjuntamente, es decir, como el momento de espacio y V - R conjuntamente; y por consiguiente, si se da el momento de espacio, como V - R; de suerte que, si por la fuerza V escribimos su representación PIGR, y la resistencia R se representa por otra área cualquiera Z, vendrá a ser como PIGR - Z.

Por tanto, al decrecer continuamente el área PIGR por la sustracción de momentos dados, crecen las áreas, Y, en razón de PIGR - Y, y Z en razón de PIGR - Z. Y por consiguiente, si las áreas Y y Z comienzan a la vez y son iguales al principio, continuarán siendo iguales por la adición de momentos iguales, de igual modo que después desaparecerán a la vez al decrecer por momentos iguales. Y viceversa, si empiezan y se desvanecen a la vez, tendrán momentos iguales y serán siempre iguales: y esto además porque, si la resistencia Z aumenta, la velocidad junto con el arco aquel Ca, que se describe en si ascenso del cuerpo, disminuirán; y al acercarse el punto en que cesan todo movimiento y toda resistencia al punto C, la resistencia se desvanece más rápidamente que el área Y. Lo contrario habrá de ocurrir cuando se disminuye la resistencia.

Ahora bien, el área Z comienza y acaba cuando la resistencia es nula, es decir, al principio del movimiento, cuando el arco CD se iguala al arco CB y la recta RG incide sobre la recta QE, y al final del movimiento, cuando el arco CD se iguala al arco Ca y RG incide sobre la recta ST. Y el área Y, o sea OR / OQEIF - IGH, comienza y acaba también cuando es nula, y por ello cuando OR / OQIEF y IGH son iguales: es decir (por construcción) cuando la recta RG incide sucesivamente sobre las rectas QE y ST. Y por tanto, dichas áreas comienzan y se desvanecen a la vez, por lo que siempre son iguales. En consecuencia el área OR / OQIEF - IGH es igual al área Z, por la cual se representa la resistencia, y por ello es al área PINM por la que se representa la gravedad, como la resistencia a la gravedad. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por tanto, la resistencia en el punto más bajo C es a la fuerza de la gravedad como el área OP / OQIEF al área PINM.

COROLARIO 2. En cambio se hace máxima cuando el área PIHR es al área IEF como OR a OQ. Pues en tal caso su momento (a saber PIGR - Y) resulta nulo.

COROLARIO 3. De aquí se obtiene también la velocidad en cada punto: ya que es como la raíz cuadrada de la resistencia, y al comienzo mismo del movimiento es igual a la velocidad del cuerpo oscilante en la misma cicloide sin resistencia alguna.

Por otra parte, dada la dificultad del cálculo para hallar la resistencia y la velocidad por medio de esta proposición, parece oportuno añadir la siguiente.

PROPOSICIÓN XXX. TEOREMA XXIV

Si la recta aB fuese igual al arco de la cicloide descrito por un cuerpo oscilante, y por cada uno de sus puntos D se elevan las perpendiculares DK, tales que sean a la longitud del péndulo como la resistencia del cuerpo en los puntos correspondientes del arco a la fuerza de la gravedad: digo que la diferencia entre el arco descrito en todo el descenso y el arco descrito en todo el ascenso subsiguiente multiplicada por la semisuma de ambos arcos será igual al área BKa ocupada por todas las perpendiculares DK.

Represéntese, pues, el arco de la cicloide descrito en una oscilación completa mediante la susodicha recta aB, igual a él, y el arco que se hubiere descrito en el vacío mediante la longitud AB. Al bisecar AB en C, el punto C representará el punto inferior de la cicloide, y CD será como la fuerza procedente de la gravedad que actúa sobre el cuerpo en D según la tangente de la cicloide, y tendrá respecto a la longitud del péndulo la misma razón que tiene la fuerza en D respecto a la fuerza de la gravedad. Represéntese, pues, dicha fuerza por la longitud CD y la fuerza de la gravedad mediante la longitud del péndulo, y si sobre DE se toma DK en la misma razón respecto a la longitud del péndulo que la de la resistencia respecto a la gravedad, DK representará a la resistencia. Con centro en C y distancia CA o CB constrúyase el semicírculo BEeA. Y el cuerpo recorra en un tiempo mínimo el espacio Dd, y elevando las perpendiculares DE, de que toquen a la circunferencia en E y e, éstas serán como las velocidades que adquiriría el cuerpo cayendo en el vacío desde el punto B al alcanzar los puntos D y a. Esto es evidente (por la Proposición LII del Libro I). Represéntense, pues, estas velocidades por las susodichas perpendiculares DE, de; y sea DF la velocidad que adquiere en D al caer desde B en un medio resistente. Y si con centro en C y distancia CF se traza el círculo FƒM que corte a las rectas de y AB en ƒ y M, será M el punto hasta el que ascendería sin resto de resistencia, y dƒ la velocidad que alcanzaría en d. De donde también, si Fg representa el momento de velocidad que pierde el cuerpo D al describir el espacio mínimo Dd por causa de la resistencia, y si se toma CN igual a Cg, será N el punto hasta el cual ascienda el cuerpo sin resto de resistencia, y MN será el decremento de ascenso debido a la pérdida antedicha de velocidad. Sobre dƒ trácese la perpendicular Fm, y el decremento Fg de la velocidad DF debido a la resistencia DK será al incremento ƒm de la misma velocidad debido a la fuerza CD como la fuerza generatriz DK a la fuerza generatriz CD. Pero por ser semejantes los triángulos Fmƒ, Fhg, FDC, resulta que ƒm es a Fm o Dd como CD a DF; y por tanto Fg a Dd como DK a DF. Y además, Fh a Fg como DF a CF; y por transposición, Fh o MN a Dd como DK a CF o CM; y por consiguiente, la suma de todos los MN x CM será igual a la suma de todos los Dd x DK. En el punto móvil M supóngase siempre levantada una ordenada rectangular igual a la indeterminada CM, que moviéndose continuamente es multiplicada por toda la longitud Aa; y el trapecio resultante de dicho movimiento, o su igual, el rectángulo Aa x ½aB será igual a la suma de todos los Dd x DK, es decir, al área BKVTa. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí que, de la ley de la resistencia y de la diferencia Aa entre los arcos Ca, CB, se pueda inferir la proporción de la resistencia respecto a la gravedad muy aproximadamente.

Pues si la resistencia DK es uniforme, la figura BKTa será un rectángulo comprendido entre Ba y DK, y DK será igual a ½Aa. Por lo cual, al ser DK la representación de la resistencia, y la longitud del péndulo la de la gravedad, la resistencia será a la gravedad como ½Aa es a la longitud del péndulo; tal y como se demostró en la Proposición XXVIII.

Si la resistencia fuese como la velocidad, la figura BKTa será muy aproximadamente una elipse. Pues si el cuerpo, en un medio no resistente, describiera con una oscilación completa la longitud BA, la velocidad en un punto cualquiera D sería como la ordenada DE aplicada al diámetro AB del círculo descrito. Por consiguiente, dado que Ba en un medio resistente y BA en un medio no resistente son descritas casi en los mismos tiempos, por eso mismo las velocidades en cada punto de Ba son muy aproximadamente a las velocidades en los puntos correspondientes de la longitud BA como Ba a BA; la velocidad en el punto D en un medio resistente será como la ordenada aplicada al diámetro Ba del círculo o elipse descritos con él; y por ello, la figura BKVTa será aproximadamente una elipse. Al suponer la resistencia proporcional a la gravedad, OV será la representación de la resistencia en el punto medio O; y la elipse BRVSa, descrita con centro en O y semiejes OB, OV, será aproximadamente igual a la figura BKVTa, o a su igual rectangular Aa x BO. Por tanto, Aa x BO es a OV x BO como el área de dicha elipse a OV x BA; es decir, Aa es a OV como el área del semicírculo al cuadrado del radio, o también, como 11 a 17 aproximadamente: y por consiguiente 7⁄11Aa es a la longitud del péndulo como la resistencia en O del cuerpo oscilante a su gravedad.

Pero si la resistencia DK fuese como el cuadrado de la velocidad, la figura BKVTa sería casi una parábola de vértice en V y eje OV, y, por tanto, igual al rectángulo comprendido entre 2⁄3Ba y OV muy aproximadamente. Por consiguiente, el rectángulo 2⁄3Ba x Aa es igual al comprendido entre 2⁄3Ba y OV, y por ello, OV es igual a ¼Aa: por lo cual la resistencia en O de un cuerpo oscilante es a su gravedad como ¼Aa a la longitud del péndulo.

Y considero que estas conclusiones son más que suficientemente exactas en la práctica. Porque, al coincidir la elipse o la parábola BRVSa con la figura BKVTa en el punto medio V, si esta figura excede hacia una parte BRV o hacia otra VSa a la otra figura, será más pequeña que ella hacia la otra parte, y de ese modo se igualará muy aproximadamente con ella.

PROPOSICIÓN XXXI. TEOREMA XXV

Si la resistencia de un cuerpo oscilante en cada parte proporcional de los arcos descritos es aumentada o disminuida en una razón dada, la diferencia entre el arco descrito en el descenso y el descrito en el subsiguiente ascenso aumentará o disminuirá en la misma razón.

Pues dicha diferencia procede de la retardación del péndulo debida a la resistencia del medio, y es, por tanto, como la retardación total y como la resistencia retardante, proporcional a aquélla. En la Proposición anterior el rectángulo comprendido bajo la recta ½aB y la diferencia Aa de los dichos arcos CB, Ca era igual al área BKTa. Y dicha área, si se mantiene la longitud aB, aumenta o disminuye en razón de las ordenadas aplicadas DK; es decir, en razón de la resistencia y, por ello, es como la longitud aB y la resistencia conjuntamente. Y por lo mismo, el rectángulo comprendido entre Aa y ½aB es como aB y la resistencia conjuntamente y, por lo tanto, Aa es como la resistencia. Q. E. D.

COROLARIO 1. De donde, si la resistencia es como la velocidad, la diferencia de arcos en el mismo medio será como el arco total descrito, y viceversa.

COROLARIO 2. Si la resistencia fuese como el cuadrado de la velocidad, dicha diferencia sería como el cuadrado del arco total, y viceversa.

COROLARIO 3. Y en general, si la resistencia es como el cubo u otra potencia cualquiera de la velocidad, la diferencia será como esa potencia del arco total, y viceversa.

COROLARIO 4. Y si la resistencia es en parte proporcional a la velocidad y en parte proporcional al cuadrado de la velocidad, la diferencia será en parte como el arco total y en parte como el cuadrado del mismo: y viceversa. La misma será la ley y la razón de la resistencia respecto a la velocidad que la ley y razón de la dicha diferencia con respecto a la longitud del arco.

COROLARIO 5. Y, por consiguiente, si para un péndulo que describe sucesivamente arcos desiguales es posible hallar la razón del incremento o decremento de esta diferencia con respecto a la longitud del arco descrito, se tendrá también la razón del incremento o decremento de la resistencia respecto a una velocidad mayor o menor.

ESCOLIO GENERAL[8]

De estas proposiciones, a través de oscilaciones de péndulos en medios cualesquiera, se puede hallar la resistencia de los medios. Por mi parte he investigado la resistencia del aire con los experimentos siguientes. Suspendí con un hilo delgado de un clavo bien firme a una bola de madera de 577⁄22 onzas Romanas de peso y de un diámetro de 6⅞ pulgadas de Londres y de modo que entre el clavo y el centro de oscilación de la bola la distancia fuese de 10½ pies. Sobre el hilo señalé un punto a diez pies y una pulgada del centro de suspensión, y a la altura de dicho punto situé una regla dividida en pulgadas que permitiesen anotar las longitudes de los arcos descritos por el péndulo. Después conté las oscilaciones en las que la bola perdía la octava parte de su movimiento. Si el péndulo se apartaba de la perpendicular hasta una distancia de dos pulgadas y desde allí se soltaba, de modo que en su descenso total recorriese un arco de dos pulgadas y con toda la primera oscilación un arco de casi cuatro pulgadas, aquél, al cabo de 164 oscilaciones, había perdido la octava parte de su movimiento, de suerte que en el último ascenso recorría un arco de una pulgada y tres cuartos. Si en el primer descenso describió un arco de cuatro pulgadas, perdió la octava parte de su movimiento en 121 oscilaciones, de suerte que en la última ascensión describió un arco de 3½ pulgadas. Si en el primer descenso describió un arco de ocho pulgadas, o dieciséis, o treinta y dos, o sesenta y cuatro, perdió la octava parte de su movimiento con 69 oscilaciones, o 35½, o 18½, o 92⁄3, respectivamente. Por tanto, la diferencia entre los arcos descritos con el primer descenso y el último ascenso era en el caso primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto de ¼, ½, 1, 2, 4, 8, pulgadas, respectivamente. Divídanse estas diferencias por el número de oscilaciones en cada caso y, para una oscilación media en la que se describió un arco de 3¾, 7½, 15, 30, 60 y 120 pulgadas, la diferencia de los arcos descritos en el descenso y el subsiguiente ascenso será de 1⁄656, 1⁄242, 1⁄69, 4⁄71, 8⁄37, 24⁄29 partes de pulgada, respectivamente. Ahora bien, estas diferencias, en las oscilaciones mayores, son aproximadamente como los cuadrados de los arcos descritos, mientras que en las menores, son un poco mayores que en dicha proporción; y por tanto (por el Corolario 2 de la Proposición XXXI de este Libro), la resistencia de la bola, cuando se mueve con mayor celeridad, es aproximadamente como el cuadrado de la velocidad; y cuando se mueve más lentamente es algo mayor que en dicha proporción.

Ahora llamemos V a la velocidad máxima en una oscilación cualquiera, y sean A, B, C unas cantidades dadas, y supongamos que la diferencia de los arcos sea AV + BV3⁄2 + CV2. Puesto que las velocidades máximas son en la cicloide como las mitades de los arcos descritos en la oscilación, mientras en el círculo son como las cuerdas de los dichos semiarcos y, por tanto, a iguales arcos sean mayores en la cicloide que en el círculo y ello en razón de los semiarcos a sus cuerdas; mientras por otra parte, los tiempos en el círculo son mayores que en la cicloide y ello en razón inversa de la velocidad, es evidente que las diferencias de los arcos (que son como la resistencia y el cuadrado del tiempo conjuntamente) han de ser las mismas aproximadamente en una y otra curva: pues deberán las susodichas diferencias aumentar en la cicloide, a la vez que la resistencia, casi como la razón cuadrada del arco a la cuerda, por estar aumentada la velocidad en dicha razón simple; y disminuir, junto con el cuadrado del tiempo, en la misma razón cuadrada. Para trasladar esto a la cicloide, se han de tomar las mismas diferencias de arcos que fueron observadas en el círculo, y las velocidades máximas análogas a los arcos medios o enteros, es decir, análogos a los números ½, 1, 2, 4, 8, 16. Entonces, para los casos segundo, cuarto y sexto, escribamos en lugar de V los números 1, 4 y 16; y la diferencia de arcos resultará ½ / 121 = A + B + C, para el segundo caso; 2 / 35½ = 4A + 8B + 16C, para el cuarto caso; y 8 / 92⁄3 = 16A + 64B + 256C, para el sexto caso. Una vez que estas ecuaciones han sido resueltas por la debida reducción, resultará A = 0,0000916, B = 0,0010847, y C = 0,0029558. Por tanto, la diferencia de los arcos es como 0,0000916V + 0,0010847V3⁄2 + 0,0029558V2; y por consiguiente, dado que (por el Corolario de la Proposición XXX aplicado a este caso) la resistencia del globo en la mitad del arco de oscilación, cuando la velocidad es V, es a su peso como 7⁄11AV + 7⁄10BV3⁄2 + ¾CV2 es a la longitud del péndulo, si se escriben en lugar de A, B, y C los números hallados, la resistencia del globo será a su peso como 0,0000583V + 0,0007593V3⁄2 + 0,0022169V2 a la longitud del péndulo entre el centro de suspensión y la regla, es decir, a 121 pulgadas. Y puesto que V en el segundo caso representa a 1, en el cuarto a 4 y en el sexto a 16, la resistencia será al peso del globo en el segundo caso como 0,0030345 a 121, en el cuarto como 0,041748 a 121 y en el sexto como 0,61705 a 121.

El arco descrito por el punto marcado en el hilo era en el caso sexto de 120 - 8 / 92⁄3, o 1195⁄29 pulgadas. Y puesto que el radio es de 121 pulgadas y la longitud del péndulo entre el punto de suspensión y el centro de la bola era de 126 pulgadas, el arco descrito por el centro del globo era de 1243⁄31 pulgadas. Dado que la velocidad máxima del cuerpo oscilante, por la resistencia del aire, no coincide con el punto inferior del arco descrito, sino que ocurre casi en el punto medio del arco total, ésta será casi la misma que si el globo en todo su descenso en un medio no resistente describiese la mitad de dicho arco, mitad equivalente a 623⁄62 pulgadas, y esto en una cicloide, a la que antes hemos reducido el movimiento del péndulo: y por consiguiente, dicha velocidad será igual a la velocidad que adquiriría el globo cayendo perpendicularmente y describiendo en su caída una altura igual al seno verso de aquel arco. Pero en la cicloide dicho seno verso es a este arco de 623⁄62 como el propio arco a 252, doble de la longitud del péndulo y, por tanto, igual a 15,278 pulgadas. Por lo cual, la velocidad es la misma que la que adquiriría el cuerpo cayendo y describiendo en su caída un espacio de 15,278 pulgadas. Luego a semejante velocidad el cuerpo sufre una resistencia que es a su peso como 0,61705 a 121, o (si se tiene en cuenta solamente aquella parte de resistencia que es como el cuadrado de la velocidad) como 0,56752 a 121.

Por medio de experimentos hidrostáticos hallé que el peso de esta bola de madera era al peso de un globo de agua de la misma magnitud como 55 a 97: y por tanto, al estar 121 respecto a 213,4 en la misma proporción, la resistencia del globo de agua que se desplaza con la velocidad antedicha será a su peso como 0,56752 a 213,4, es decir, como 1 a 3761⁄50. Y por tanto, dado que el peso del globo de agua generaría toda esa velocidad en el globo que cae en el mismo tiempo en el cual dicho globo con velocidad uniformemente continua describiría un espacio de 30,556 pulgadas, es evidente que la fuerza de resistencia uniformemente continua durante ese mismo tiempo podría quitar una velocidad menor en razón de 1 a 3761⁄50, es decir, 1 / 3761⁄50 parte de la velocidad total. Y por consiguiente, en el tiempo en que el globo describiría, con dicha velocidad uniformemente continua, la longitud de su semidiámetro, o sea 37⁄16 pulgadas, en ese tiempo perdería 1⁄3342 parte de su movimiento.

También contaba las oscilaciones en las que el péndulo perdía la cuarta parte de su movimiento. En la tabla siguiente los números superiores significan la longitud del arco descrito en el primer descenso, expresada en pulgadas y partes de pulgada; los números intermedios significan la longitud del arco descrito en el último ascenso; en último lugar aparecen los números de las oscilaciones. He reseñado el experimento por resultar más exacto que el que sólo cuenta la pérdida de la octava parte de movimiento. Trate de calcularlo el que quiera.

Primer descenso ……………………………… 2 4 8 16 32 64 Último ascenso ……………………………… 1½ 3 6 12 24 48 Número de oscilaciones ……………………… 374 272 162½ 83⅓ 412⁄3 222⁄3

Suspendí después del mismo hilo una bola de plomo de dos pulgadas de diámetro y de 26¼ onzas romanas de peso, de suerte que entre el centro del globo y el punto de suspensión hubiese una distancia de 10½ pies, y conté las oscilaciones en que se perdía una parte dada del movimiento. La primera tabla de las siguientes muestra el número de oscilaciones en que se perdió la octava parte del movimiento total; la segunda muestra el número de oscilaciones en que se perdió la cuarta parte del mismo.

Primer descenso ……………………………… 1 2 4 8 16 32 64 Último ascenso ……………………………… ⅞ 7/4 3½ 7 14 28 56 Número de oscilaciones ……………………… 226 228 193 140 90½ 53 30 Primer descenso ……………………………… 1 2 4 8 16 32 64 Último ascenso ……………………………… ¾ 1½ 3 6 12 24 48 Número de oscilaciones ……………………… 510 518 420 318 204 121 70

Seleccionando en la tabla primera las observaciones tercera, quinta y séptima y expresando las velocidades máximas en estas observaciones por los números 1, 4, 16, respectivamente, y en general por V como antes, resultará ½ / 193 = A + B + C para la tercera; 2 / 90½ = 4A + 8B + 16C, para la quinta; y 8 / 30 = 16A + 64B + 256C, para la séptima. Una vez resueltas estas ecuaciones dan, A = 0,001414, B = 0,000297, y C = 0,000879. Y de ello se desprende que la resistencia del globo moviéndose con la velocidad V estará respecto a su peso de 26¼ onzas en la misma razón que la que hay entre 0,0009V + 0,000208V3⁄2 + 0,000659V2 y la longitud de 121 pulgadas del péndulo. Y si consideramos solamente aquella parte de resistencia que es como el cuadrado de la velocidad, ésta será al peso del globo como 0,000659V2 a 121 pulgadas. Pero esta parte de resistencia era en el experimento primero respecto al peso de la bola de madera de 577⁄22 onzas como 0,002217V2 a 121: de aquí que la resistencia del globo de madera a la resistencia del globo de plomo (siendo iguales sus velocidades) sea como 577⁄22 multiplicado por 0,002217 a 26¼ multiplicado por 0,000659, es decir, como 7⅓ a 1. Los diámetros de los dos globos eran de 6⅞ y 2 pulgadas, y los cuadrados de éstos son entre sí como 47¼ y 4, o 1113⁄16 y 1 muy aproximadamente. Luego la resistencia de los globos a igual velocidad estaba en menor proporción que la razón del cuadrado de los diámetros. Pero no hemos considerado aún la resistencia del hilo, que ciertamente era grande, y que debe restarse de la resistencia hallada para los péndulos. No pude definirla con precisión, pero encontré que era, no obstante, mayor que la tercera parte de la resistencia total del péndulo menor; y de ello inferí que las resistencias de los globos, descontada la resistencia del hilo, están aproximadamente como el cuadrado de los diámetros. Pues, la razón 7⅓ - ⅓ a 1 - ⅓, o 10½ a 1 no dista mucho de la razón cuadrada de los diámetros 1113⁄16 a 1.

Puesto que la resistencia del hilo en globos mayores es de menor importancia, traté también de probar con un globo de 18¾ pulgadas de diámetro. La longitud del péndulo entre el punto de suspensión y el centro de oscilación era de 122½ pulgadas, y entre el punto de suspensión y el nudo del hilo de 109½ pulgadas. El arco descrito por el nudo en el primer descenso del péndulo fue de 32 pulgadas. El arco descrito por el mismo nudo en el último ascenso, después de cinco oscilaciones, fue de 28 pulgadas. La suma de arcos, o el arco total descrito en una oscilación media fue de 60 pulgadas. La diferencia de arcos de 4 pulgadas. Su décima parte o la diferencia entre el descenso y el ascenso en una oscilación media fue de ⅖ de pulgada. Y como el radio 109½ es al radio 122½ así también el arco total de 60 pulgadas descrito por el nudo en una oscilación media es al arco total de 67⅛ descrito por el centro del globo en una oscilación media; y así también la diferencia de y es a la nueva diferencia de 0,4475. Si se aumentase la longitud del péndulo, manteniendo la longitud del arco descrito, en la razón de 126 a 122½, el tiempo de oscilación aumentaría y la velocidad del péndulo disminuiría como la raíz cuadrada de aquella razón, pero, en cambio, se conservaría la diferencia de 0,4475 entre los arcos descritos en el descenso y consiguiente ascenso. Pero si el arco descrito aumentase en razón de 1243⁄31 a 67⅛, la diferencia de 0,4475 aumentaría como el cuadrado de dicha razón y vendría a ser de 1,5295. Esto sería así, bajo la hipótesis de que la resistencia del péndulo fuese como el cuadrado de la velocidad. Luego, si el péndulo describiese un arco total de 1243⁄31 pulgadas y su longitud entre el punto de suspensión y el centro de oscilación fuese de 126 pulgadas, la diferencia de arcos descritos en el descenso y consiguiente ascenso sería de 1,5295 pulgadas. Y esta diferencia multiplicada por el peso del globo-péndulo, que era de 208 onzas, da un producto de 318,136. Ahora bien, cuando el péndulo primero, hecho de una bola de madera, describía con su centro de oscilación, que distaba del punto de suspensión 126 pulgadas, un arco total de 1243⁄31 pulgadas, la diferencia de arcos descritos en el descenso y el ascenso fue de 126 / 121 x 8 / 92⁄3 que multiplicada por el peso del globo, que era de 577⁄22 onzas da un producto de 49,396. Multipliqué estas diferencias por los pesos de los globos para hallar sus resistencias. Pues, las diferencias proceden de las resistencias y son directamente como las resistencias e inversamente como los pesos. Las resistencias son, por tanto, como los números 318,136 y 49,396. Pero la parte de resistencia del globo menor, que es como el cuadrado de la velocidad, resultaba ser con respecto a la resistencia total como 0,56752 a 0,61675, es decir, como 45,453 a 49,396; mientras que la parte de resistencia correspondiente del globo mayor venía a ser casi igual a la resistencia total del mismo y, por tanto, dichas partes son como 318,136 y 45,453 muy aproximadamente, es decir, como 7 y 1. Pero los diámetros de los globos son 18¾ y 6⅞; y sus cuadrados 3519⁄16 y 4717⁄64 son como 7,438 y 1, es decir, aproximadamente como las resistencias 7 y 1 de los globos. La diferencia de razones no es mayor que la que pudo provenir de la resistencia del hilo. Por consiguiente, aquellas partes de las resistencias que, a globos iguales, son como los cuadrados de las velocidades, son también, a velocidades iguales, como los cuadrados de los diámetros de los globos.

Por lo demás, el mayor de los globos que utilicé en estos experimentos no era perfectamente esférico y por ello en el cálculo aquí presentado prescindí de minucias en razón de la brevedad, sin poner mayor empeño en la exactitud en un experimento que no era bastante exacto. Y por eso quisiera, al depender de esto la demostración del vacío, que se realizaran estos experimentos con globos más numerosos, más grandes y más exactos. Si se toman los globos en progresión geométrica, cuyos diámetros sean, pongamos de 4, 8, 16, 32, pulgadas, se inferirá de la progresión de los experimentos qué es lo que debería acontecer con globos aún mayores.

Ahora bien, para comparar las resistencias de distintos fluidos entre sí, hice lo siguiente. Preparé una caja de madera de cuatro pies de larga y de un pie de ancha y otro de alta. Desprovista de tapa la llené de agua de la fuente, e hice que unos péndulos sumergidos en ella se moviesen oscilando. Un globo de plomo de 166⅙ onzas de peso y de 3⅝ pulgadas de diámetro se movía como se expone en la tabla siguiente, siendo además la longitud del péndulo desde el punto de suspensión hasta un punto señalado en el hilo de 126 pulgadas, hasta el centro de oscilación de 134⅜ pulgadas.

Arco del primer descenso descrito por el punto señalado en el hilo, en pulgadas 64 32 16 8 4 2 1 ½ ¼ Arco del último ascenso, en pulgadas 48 24 12 6 3 1½ ¾ ⅜ 3⁄16 Diferencia de arcos proporcional al movimiento perdido, en pulgadas 16 8 4 2 1 ½ ¼ ⅛ 1⁄16 Número de oscilaciones en el agua 39⁄60 1⅕ 3 7 111⁄14 122⁄3 13⅓ Número de oscilaciones en el aire 85½ 287 535

En el experimento de la cuarta columna se perdieron iguales movimientos con 535 oscilaciones en el aire y con 1⅕ en el agua. Ciertamente las oscilaciones en el aire eran algo más veloces que en el agua. Pero si las oscilaciones en el agua se acelerasen de modo que los movimientos de los péndulos fuesen igualmente veloces en ambos medios, se mantendría el mismo número de oscilaciones de 1⅕ en el agua, en las cuales se perdería el mismo movimiento que antes, por el hecho de haber aumentado la resistencia y a la vez haber disminuido el cuadrado del tiempo según el cuadrado de esa misma razón. Luego con iguales velocidades de los péndulos se han perdido iguales movimientos con 535 oscilaciones en el aire y con 1⅕ en el agua; por tanto, la resistencia del péndulo en el agua es a su resistencia en el aire como 535 a 1⅕. Esta es la proporción de las resistencias en el caso de la columna cuarta.

Ahora llamemos AV + CV2 a la diferencia de arcos descritos en el descenso y subsiguiente ascenso por el globo moviéndose con la máxima velocidad; y puesto que la velocidad máxima en el caso de la columna cuarta es a la velocidad máxima en el caso de la columna primera como 1 a 8, y la susodicha diferencia de arcos en el caso de la columna cuarta es a la diferencia de arcos en el caso de la columna primera como 2 / 535 a 16 / 85¼, o como 85½ a 4280, escribamos en estos casos 1 y 8 por las velocidades, y 85½ y 4280 por las diferencias de arcos, y resultará A + C = 85½, y 8A + 64C = 4280, o A + 8C = 535; y resolviendo las ecuaciones resultará de aquí que 7C = 449½, y C = 643⁄14, y A = 212⁄7; y por tanto, la resistencia, al ser como 7⁄11AV + ¾V2, será como 136⁄11 + 489⁄56V2. Por lo cual, en el caso de la cuarta columna, donde la velocidad era 1, la resistencia total es a la parte de ella misma que es proporcional al cuadrado de la velocidad como 136⁄11 + 489⁄56, o 6112⁄17 a 489⁄56; y por esto, la resistencia del péndulo en el agua es a la susodicha parte de resistencia en el aire que es proporcional al cuadrado de la velocidad y que solamente entra en consideración en los movimientos más veloces, como 6113⁄17 a 489⁄56 y 535 a 1⅕ conjuntamente, es decir, como 571 a 1. Si se hubiese sumergido el hilo entero del péndulo que oscilaba en el agua, su resistencia aún habría sido mayor; hasta el punto que aquella resistencia del péndulo oscilante en el agua que es proporcional al cuadrado de la velocidad y que solamente merece consideración en los cuerpos más veloces, será a la resistencia del péndulo mismo completo, moviéndose con la misma velocidad en el aire, aproximadamente como 850 a 1, es decir, aproximadamente como la densidad del agua a la densidad del aire.

En este cálculo también se debería considerar aquella parte de resistencia del péndulo en el agua que fuese como el cuadrado de la velocidad, pero (aunque parezca extraño) la resistencia en el agua aumentaba más que en razón del cuadrado de la velocidad. Buscando la causa de ello, vine a dar en que la caja era demasiado pequeña para el tamaño del globo del péndulo e impedía demasiado el movimiento del agua en retroceso por su estrechez. Pues, si se sumergía un globo pendular de una pulgada de diámetro, la resistencia aumentaba aproximadamente como el cuadrado de la velocidad. Ensayaba esto construyendo un péndulo de dos globos, de los cuales el menor y más bajo oscilase en el agua, mientras el mayor y más alto estaba sujeto por el hilo encima de ella, y oscilando en el aire ayudaba al movimiento del péndulo y lo hacía más rápido. Y los experimentos realizados de este modo tuvieron los resultados recogidos en la tabla siguiente.

Arco descrito en el primer descenso ………… 16 8 4 2 1 ½ ¼ Arco descrito en el último ascenso ………………… 12 6 3 1½ ¾ ⅜ 3⁄16 Diferencia de arcos proporcionales al movimiento perdido ……………………… 4 2 1 ½ ¼ ⅛ 1⁄16 Número de oscilaciones ……………………… 3⅜ 6½ 12½ 21⅕ 34 53 62⅕

También hice, comparando entre sí las resistencias de los medios, que péndulos de hierro oscilasen en mercurio. La longitud del hilo de hierro era de casi tres pies y el diámetro del globo pendular de casi un tercio de pulgada. Otro globo de plomo estaba sujeto al hilo inmediatamente encima del mercurio para que el movimiento del péndulo continuase durante más tiempo. Entonces llenaba un recipiente, de casi tres libras de capacidad de mercurio, alternativamente con mercurio y agua común, para hallar así la proporción de resistencias al péndulo oscilante sucesivamente en uno y otro fluido: y la resistencia en el mercurio resultó ser a la del agua aproximadamente como 13 ó 14 a 1, es decir, como la densidad del mercurio a la del agua. Cuando ponía un globo pendular algo mayor, como de un tercio o de dos tercios de pulgada de diámetro, la resistencia del mercurio venía a ser a la del agua casi como la de 12 ó 10 a 1. Pero es más fiable el experimento anterior, ya que en este último el vaso era demasiado pequeño para el tamaño del globo sumergido. Al aumentar el globo se debería ampliar también el vaso. Había pensado en repetir experimentos de este tipo utilizando recipientes mayores y con líquidos de metales fundidos o bien con otros tanto calientes como fríos: pero no hay tiempo de hacer todos los experimentos, y por los ya descritos consta suficientemente que la resistencia de los cuerpos velozmente movidos es proporcional aproximadamente a la densidad de los fluidos en que se mueven. No digo exactamente. Pues, los fluidos más tenaces, a igual densidad, sin duda resisten más que los más líquidos, como el aceite frío más que el caliente, el caliente más que el agua de lluvia, el agua más que el espíritu de vino. Pero en los líquidos que suelen ser bastante fluidos, como en el aire, en agua dulce o salada, en espíritus de vino, trementina, y sales, en aceite caliente y limpio por destilación de residuos, en aceite de vitriolo y en mercurio, en metales fundidos y otros por el estilo que son tan fluidos que permiten, al ser agitados en los vasos, conservar durante largo tiempo el movimiento, y cuando se derraman se producen gotas fácilmente, no me cabe duda de que la regla dada resulte bastante exacta: sobre todo si los experimentos se hicieren con cuerpos pendulares mayores y movidos más velozmente.

Y por fin, dada la opinión de algunos, según la cual existe un cierto medio etéreo y muy sutil que impregna los poros e intersticios de todos los cuerpos y además debe dar origen a alguna resistencia debida al tal medio fluyente por los poros de los cuerpos, con el fin de averiguar si la resistencia que experimentamos en los cuerpos en movimiento se halla toda en la superficie externa de los mismos o también las partes internas en sus propias superficies la experimentan de modo perceptible, diseñé el siguiente experimento. Con un hilo de once pies de largo suspendí de un gancho de acero, con un anillo de acero también, una caja redonda de abeto para construir un péndulo de dicha longitud. El gancho superior estaba muy afilado por su cara cóncava, para que el anillo con su arco superior fijado al filo se moviese con toda libertad. El hilo estaba atado al arco inferior. Una vez hecho el péndulo de esta manera, lo separé de la perpendicular hasta una distancia de casi seis pies, y esto según un plano perpendicular al filo del gancho, para que el anillo, al oscilar el péndulo, no resbalase sobre el filo del gancho hacia un lado o hacia otro. Pues el punto de suspensión en que el anillo toca al gancho, debe permanecer inmóvil. Señalé exactamente el lugar hasta el cual separé al péndulo, y después de soltarlo, señalé los tres puntos hasta los que regresó al final de las oscilaciones primera, segunda y tercera. Repetí esto muchas veces para determinar lo más exactamente posible dichos puntos. Después llené la caja de plomo y de los metales más pesados que tenía a mano. Pero antes pesé la caja vacía, lo mismo que el hilo que la rodeaba y la mitad del resto del hilo que se extendía entre el gancho y la caja suspendida. Pues el hilo tendido actúa siempre con la mitad de su peso sobre el péndulo separado de la perpendicular. A este peso añadí el peso del aire contenido en la caja. El peso total vino a ser aproximadamente como una setenta y ochava parte del peso de la caja llena de metales. Entonces, como la caja llena de metales estiraba el hilo con su peso, aumentando la longitud del péndulo, reduje el hilo para que, al oscilar, tuviese la misma longitud que antes. Después, separando el péndulo hasta el primer punto señalado y dejándolo caer, conté las oscilaciones, unas setenta y siete, hasta que la caja regresó al punto señalado en segundo lugar, y otras tantas hasta que llegó a la tercera señal, y de nuevo otras tantas hasta que llegó a la cuarta. De donde, concluyo que la resistencia total de la caja llena no guarda mayor proporción respecto a la caja vacía que 78 a 77. Pues si las resistencias de ambas fuesen iguales, la caja llena, debido a que su fuerza ínsita es setenta y ocho veces mayor que la fuerza ínsita de la caja vacía, debería conservar su movimiento de oscilación durante tanto más tiempo y, por tanto, retornar hasta los puntos señalados tras 78 oscilaciones completas. Pero regresó a ellos tras 77 oscilaciones completas.

Represente A la resistencia de la caja en su superficie externa y B la resistencia de la caja vacía en sus partes interiores; y si la resistencia de los cuerpos igualmente veloces en sus partes internas es como la materia o el número de partículas que resisten, 78B será la resistencia de la caja llena en sus partes internas y, por tanto, la resistencia total A + B de la caja vacía será a la resistencia total A + 78B de la caja llena como 77 a 78, y parcialmente, A + B a 77B, como 77 a 1, y por ello, A + B a B como 77 x 77 a 1, y parcialmente, A a B como 5928 a 1. Por consiguiente, la resistencia de la caja vacía en sus partes internas es más de cinco mil veces menor que su resistencia en la superficie externa. Argumentamos así bajo la hipótesis de que la mayor resistencia de la caja llena no obedece a otra causa oculta sino sólo a la acción sobre el metal incluido de algún fluido sutil.

He expuesto este experimento de memoria. Pues he perdido los papeles en que lo había anotado. Por ello he tenido que omitir algunas fracciones numéricas que escapan a mi memoria.

Pero ahora no hay tiempo de intentarlo otra vez. La primera vez, por utilizar un gancho no seguro, la caja llena se retardaba más rápidamente. Al buscar la causa, hallé que el gancho, débil, cedía al peso de la caja y cediendo a sus oscilaciones se doblaba hacia todas partes. Preparé entonces un gancho firme, que garantizase la inmovilidad del punto de suspensión, y después todo ocurrió como arriba queda descrito.