Sección VI. Sobre como hallar los movimientos en órbitas dadas
Sección VI SOBRE COMO HALLAR LOS MOVIMIENTOS EN ORBITAS DADAS
PROPOSICIÓN XXX. PROBLEMA XXII
Hallar el lugar, en un momento dado, de un cuerpo que se mueve en una trayectoria parabólica dada.
Sea S el foco y A el vértice principal de la parábola, y 4AS x M sea igual al área de la sección parabólica APS que ha sido descrita por el radio SP, bien sea después del paso del cuerpo por el vértice, bien se haya de describir hasta su llegada al dicho vértice. Se conoce la magnitud del área de dicha sección por su proporcionalidad al tiempo. Elévese la perpendicular GH tal que corte en dos partes iguales a AS en G y sea igual a 3M, y el círculo trazado con centro en H y radio HS cortará a la parábola en el lugar buscado P. Pues, trazada PO perpendicular al eje y trazada PH, ocurre que AG2 + GH2[= HP2 = (AO - AG)2 + (PO - GH)2]=A02 + P02 - 2GAO - 2GH x PO + AG2 + GH2. De donde 2GH x PO[= AO2 + PO2 - 2GAO] = AO2 + ¾P02. En lugar de AO2 póngase AO x PO2 / 4AS, dividiendo todos los términos por 3PO y multiplicándolos por 2AS resultará 4⁄3GH x AS [= ⅙AO x PO + ½AS x PO = AO + 3AS / 6 x PO = 4AO - 350 / 6 x PO = área de (APO - SPO)] = al área de APS.
Pero GH era 3M y por tanto 4⁄3GH x AS es 4AS x M. Luego el área comprendida en la sección APS es igual a la de la sección que corresponde a 4AS x M. Q. E. D.
COROLARIO 1. De aquí que GH es a AS como el tiempo en el que el cuerpo describe el arco AP al tiempo en que el cuerpo describe el arco comprendido entre el vértice A y la perpendicular al eje elevada por el foco S.
COROLARIO 2. Y, en el círculo ASP que pasa perpetuamente por el cuerpo en movimiento P, la velocidad en el punto H es a la velocidad que tenía el cuerpo en el vértice A como 3 a 8; y por tanto la línea GH está en esa misma razón respecto a la recta que podría describir en el tiempo de su movimiento desde A hasta POG, con la velocidad que tenía en el vértice A.
COROLARIO 3. Y viceversa, también puede hallarse, a partir de aquí, el tiempo en que un cuerpo describe un arco cualquiera determinado AP. Únase AP y por su punto medio elévese una perpendicular que toque a la recta GH en H.
LEMA XXVIII[29]
No existe figura oval alguna cuya área, seccionada por rectas cualesquiera, pueda hallarse de modo general mediante ecuaciones finitas en cuanto al número de términos y dimensiones.
Dese dentro del círculo oval un punto cualquiera, en torno al cual como polo gire perpetuamente una línea recta, con movimiento uniforme, y mientras tanto, sobre dicha línea, salga desde el polo un punto móvil que camine siempre con una velocidad que sea como el cuadrado de la recta dentro del óvalo. Con este movimiento dicho punto describirá una espiral de infinitos giros. Ahora bien, si pudiese hallarse mediante una ecuación finita la parte de área oval cortada por la tal recta, también se hallaría mediante esa misma ecuación la distancia desde el polo al punto ya que es proporcional a dicha área, y en consecuencia, podrían hallarse todos los puntos de la espiral mediante una ecuación imita; y por tanto también podría hallarse mediante una ecuación imita la intersección de cualquier recta dada en posición con la espiral. Pero toda recta prolongada infinitamente corta a la espiral en infinitos puntos, y la ecuación por la que se halla la intersección de dos líneas contiene todas las intersecciones entre ellas mediante otras tantas raíces y alcanza por tanto tantas dimensiones como intersecciones haya. Puesto que dos círculos se cortan mutuamente en dos puntos, una intersección no se halla más que mediante una ecuación de dos dimensiones, mediante la cual también puede hallarse la otra. Puesto que las intersecciones de dos secciones cónicas pueden ser cuatro, no podrá hallarse de modo general una de ellas más que mediante una ecuación de cuatro dimensiones, la cual permitirá hallarlas todas a la vez. Pues si se buscan separadamente cada una de dichas intersecciones, dado que la ley y condición de cada una es la misma, el cálculo será el mismo en todos los casos y por ello la conclusión será siempre la misma, la cual deberá además por ello contener a la vez todas las intersecciones y expresarlas indistintamente. De donde también se sigue que las intersecciones de las secciones cónicas con las curvas de tercer grado, dado que pueden ser seis, se resolverán conjuntamente mediante ecuaciones de seis dimensiones, y las intersecciones de dos curvas de tercer grado, puesto que pueden ser nueve, se resolverán a la vez mediante ecuaciones de nueve dimensiones. Si esto no fuese así de modo necesario, sería posible reducir todos los problemas de sólidos a problemas de planos y los de orden superior a los sólidos a problemas de sólidos. Hablo aquí de curvas de grado irreductible. Pues si la ecuación por la que se define la curva se puede reducir a un grado inferior, no sería una sola curva sino compuesta de dos o más cuyas intersecciones pueden hallarse por separado mediante cálculos distintos. Del mismo modo las dos intersecciones de las rectas y las secciones cónicas se resuelven siempre mediante ecuaciones de dos dimensiones; las tres intersecciones de las rectas con las curvas irreductibles de tercer grado mediante ecuaciones de tres dimensiones, las cuatro intersecciones de rectas con curvas irreductibles de cuarto grado mediante ecuaciones de cuatro dimensiones y así hasta el infinito. Por tanto, las infinitas intersecciones entre una recta y una espiral, dado que esta curva es simple y no se puede reducir a otras varias curvas, requieren ecuaciones de infinito número de dimensiones y raíces mediante las cuales puedan resolverse todas las intersecciones a la vez. Ello porque la ley y el cálculo de todas son idénticos. Pues si se traza una perpendicular desde el polo sobre dicha recta secante y se hace girar dicha perpendicular en torno al polo junto con la secante, las intersecciones de la espiral se sucederán mutuamente una a otra y la que estaba la primera o más cercana será la segunda al cabo de una revolución, la tercera después de dos, y así sucesivamente; pero mientras tanto no cambiará la ecuación salvo en la medida en que cambien las magnitudes de las cantidades por cuyo medio se determina la posición de la secante. Por lo cual, dado que dichas cantidades vuelven a ser, después de cada revolución, las mismas que eran al principio, la ecuación también vuelve a ser de la misma forma y por tanto, una y la misma ecuación ofrecerá todas las intersecciones y por ello tendrá el infinito número de raíces por medio de las cuales sería posible ofrecer todas aquellas. En consecuencia, no se puede hallar de modo general la intersección de una recta y una espiral mediante una ecuación finita, y por eso mismo no existe figura oval cuyo área cortada por rectas cualesquiera pueda ser determinada de modo general por medio de ecuación alguna de este tipo.
Mediante el mismo argumento puede probarse que, si el intervalo entre el polo y el punto con el que se describe la espiral se tomase proporcionalmente al perímetro de la figura oval abscindida, tampoco es posible hallar la longitud del perímetro de un modo general mediante una ecuación finita. Pero aquí hablo de óvalos a los que no son tangentes figuras conjugadas que evaden al infinito.
COROLARIO. De aquí que el área de una elipse descrita por el radio trazado desde un foco hasta un cuerpo en movimiento, no puede hallarse a partir del tiempo dado por medio de una ecuación finita; y por eso no se podrá determinar mediante la descripción de curvas racionales geométricamente. Denomino racionales geométricamente a las curvas cuyos puntos todos pueden ser establecidos por medio de longitudes definidas mediante ecuaciones, esto es, por razones complejas de longitudes; a las demás (espirales, cuadráticas, trocoides) las denomino irracionales. Pues las longitudes que son o que no son como número a número (según el libro décimo de los Elementos) son racionales o irracionales aritméticamente. Así pues, de una elipse segrego el área proporcional al tiempo mediante una curva geométricamente irracional del modo siguiente.
PROPOSICIÓN XXXI. PROBLEMA XXIII
Hallar el lugar en un momento dado de un cuerpo que se mueve en una trayectoria elíptica dada.
Sea A el vértice principal, S el foco y O el centro de la elipse APB, y sea P el lugar a hallar del cuerpo. Prolónguese OA hasta G de modo que OG sea a OA como OA a OS. Elévese la perpendicular GH, y con centro en O y distancia OG trácese el círculo GEF, y sobre la regla GH a modo de base hágase avanzar la rueda GEF girando sobre su eje y mientras tanto va describiendo con su punto A la trocoide ALI. Hecho esto, tómese GK en razón al perímetro de la rueda GEFG como el tiempo en que el cuerpo partiendo de A describió el arco AP al tiempo de una revolución en la elipse. Elévese la perpendicular KL que se encuentra con la trocoide en L, y trazada LP paralela a la propia KG, encontrará a la elipse en el lugar buscado, P, del cuerpo.
Pues con centro en O y distancia OA trácese el semicírculo AQB y LP, prolongada si es preciso, toque en Q al arco AQ, y únanse SQ y OQ. Toque OQ al arco EFG en F y sobre la propia OQ trácese la perpendicular SR. El área APS es como el área AQS, esto es, como la diferencia entre el sector PQA y el triángulo OQS o también como la diferencia entre los rectángulos ½OQ x AQ y ½OQ x SR, esto es, por estar dado ½OQ, como la diferencia entre el arco AQ y la recta SR, y por tanto (al ser iguales las razones dadas SR al seno del arco AQ, OS a OA, OA a OG, AQ a GF, y dividiendo, AQ - SR a GF - seno del arco AQ) como GK, diferencia entre el arco GF y el seno del arco AQ. Q. E. D.
ESCOLIO[30]
Por lo demás, como la descripción de esta curva sea dificultosa, es mejor dar una solución aproximada. Hállese entonces un cierto ángulo B que sea al ángulo de 57,29578 grados, que es el que subtiende un arco igual al radio, como la distancia SH entre focos al diámetro AB de la elipse; a continuación hállese una determinada longitud L que esté inversamente en la misma razón al radio. Una vez halladas ambas cosas, puede resolverse el problema mediante el análisis siguiente. Supóngase conocido el lugar P del cuerpo, próximo a su verdadero lugar p, a través de cualquiera construcción, o incluso mediante una conjetura. Trazada sobre el eje de la elipse la ordenada PR, por la proporción de los diámetros de la elipse, tendremos dada la ordenada RQ del círculo circunscrito AQB, la cual es el seno del ángulo AOQ, siendo el radio AO, y corta también a la elipse en P. Hasta hallar dicho ángulo con un cálculo rudimentario en valor aproximado. Supóngase también conocido el ángulo que es proporcional al tiempo, esto es, el que sea a cuatro rectos como el tiempo en el que el cuerpo describe el arco Ap al tiempo de una revolución en la elipse. Sea N este ángulo. Tómense ahora un ángulo D que sea al ángulo B como el seno del ángulo AOQ al radio, y un ángulo E que sea al ángulo N - AOQ + D como la longitud L a la propia longitud L, disminuida o aumentada en el enseno del ángulo AOQ según este ángulo sea menor o mayor que un recto. Después tómense un ángulo F que sea al ángulo B mino el seno del ángulo AOQ + E al radio y un ángulo G que sea al ángulo N - AOQ - E + F como la longitud L es a la propia longitud L disminuida o aumentada en el coseno del ángulo AOQ + E según este ángulo sea menor o mayor que un recto. Por tercera vez tómense un ángulo H que sea al ángulo B como el seno del ángulo AOQ + E + G es al radio y un ángulo I que sea al ángulo N - AOQ - E - G + H como la longitud L es a la propia longitud L disminuida o aumentada en el coseno del ángulo AOQ + E + G según este ángulo sea menor o mayor que un recto. V así es posible seguir hasta el infinito. Tómese por fin el ángulo AOq igual al ángulo AOQ + E + G + I + etc. Y a partir de su coseno Or y de su ordenada pr, que es a su seno qr como es el eje menor de la elipse al eje mayor, se tendrá el lugar correcto p del cuerpo. Cuando el ángulo N - AOQ + D resulta negativo, el signo I de E debe cambiarse siempre en - y el signo - en +. Lo mismo ha de entenderse para los signos de G e I, cuando resultan negativos N - AOQ - E + F y N - AOQ - E - G + H. Pero la serie infinita AOQ + E + G + I, etc., converge tan rápidamente que muy escasamente será necesario pasar del segundo término E. Y el cálculo se basa en el teorema de que el área APS es como la diferencia entre el arco AQ y la recta trazada perpendicularmente desde el foco S al radio OQ.
Con un cálculo similar se resuelve el problema en la hipérbola. Sea O su centro, A su vértice, S el foco y OK la asíntota. Sea conocida la cantidad del área a segregar proporcional al tiempo. Sea ésta A, y hágase la conjetura sobre la posición de la recta SP que segrega muy aproximadamente el área verdadera de APS. Únase OP y trácense desde A y P hasta la asíntota AI, PK paralelas a la otra asíntota, y se tendrá, por la tabla de logaritmos el área AIKP y el área igual a ésta de OPA, la cual restada del área del triángulo OPS da como resto el área segregada APS. Aplicando el doble de la diferencia del área a segregar A y de la segregada APS, 2APS - 2A o 2A - 2APS, a la línea SN, que es perpendicular desde el foco S a la tangente TP, resultará la longitud de la cuerda PQ. Pero esta cuerda PQ ha de inscribirse entre A y P si el área segregada APS es mayor que el área a segregar A, de no ser así ha de inscribirse hacia el otro lado de P: y el punto Q será un lugar más exacto del cuerpo. Y repitiendo el cálculo se hallará siempre con mayor exactitud.
Así pues, con estos cálculos el problema alcanza una solución analítica general. Pero para usos astronómicos es más cómodo el cálculo particular siguiente. Sean AO, OB, OD los semiejes de la elipse, L el «latus rectum» de la misma, D la diferencia entre el semieje menor OD y la mitad del «latus rectum», ½L; hállese entonces el ángulo Y cuyo seno sea al radio como el rectángulo bajo dicha diferencia D y la semisuma de los ejes AO + OD es al cuadrado del eje mayor AB; después hállese el ángulo Z cuyo seno sea al radio como el doble del rectángulo bajo la distancia SH entre los focos y dicha diferencia D al triple del cuadrado del semieje mayor AO. Una vez hallados éstos, el lugar del cuerpo se determinará a continuación del modo siguiente. Tómese el ángulo T proporcional al tiempo en que se ha descrito el arco BP, o igual al movimiento medio (como se dice); y un ángulo V, primera ecuación del movimiento medio, al ángulo Y, primera ecuación máxima, como es el seno del doble del ángulo T al radio; y un ángulo X, segunda ecuación, al ángulo Z, segunda ecuación máxima, como el cubo del seno del ángulo T es al cubo del radio. De los ángulos T, V, X, tómese el ángulo BHP, ecuación del movimiento medio, tal que sea igual o a la suma de T + X + V si el ángulo T es menor que un recto, o a la diferencia de T + X - V si fuese mayor que un recto y menor que dos; y si HP toca a la elipse en P, trazada SP, segregará el área BSP muy aproximadamente proporcional al tiempo. Esta fórmula parece bastante fácil, habida cuenta de que basta hallar las dos o tres primeras figuras de los ángulos muy pequeños V y X establecidos, si se quiere, en minutos segundos. Y además es suficientemente exacta para la teoría de los planetas. Pues en la órbita de Marte, cuya ecuación máxima del centro es de diez grados, el error apenas será mayor que un minuto segundo. Pero una vez hallado el ángulo BHP, ecuación del movimiento medio, ya se tiene inmediatamente por un método bien conocido tanto el ángulo del movimiento real BSP como la distancia SP[31].
Hasta aquí sobre el movimiento de los cuerpos en líneas curvas. Pero puede ocurrir que un móvil ascienda o descienda por una línea recta, y paso a exponer ahora lo que se refiere a estos movimientos.