Proposiciones

PROPOSICIONES

PROPOSICIÓN I. TEOREMA I

Las fuerzas por las cuales los planetas circunjoviales son continuamente desviados de movimientos rectilíneos y retenidos en sus órbitas se dirigen hacia el centro de Júpiter y son inversamente como los cuadrados de las distancias de los lugares a dicho centro.

La primera parte de la Proposición es evidente por el fenómeno primero y por la Proposición segunda o tercera del Libro primero; y la otra parte por el fenómeno primero y el Corolario sexto de la Proposición cuarta del mismo libro.

Lo mismo se entiende respecto a los planetas que acompañan a Saturno, por el fenómeno segundo.

PROPOSICIÓN II. TEOREMA II

Las fuerzas por las cuales los planetas primarios son continuamente desviados de movimientos rectilíneos y retenidos en sus órbitas se dirigen hacia el Sol y son inversamente como los cuadrados de las distancias al centro del mismo.

La primera parte de la Proposición es evidente por el fenómeno quinto y la Proposición segunda del Libro primero: la otra parte por el fenómeno cuarto y el Corolario sexto de la Proposición cuarta del mismo Libro. Pero esta parte de la Proposición se demuestra con la mayor precisión por la inmovilidad de los afelios. Pues una mínima aberración de la razón del cuadrado debería hacer (por el Corolario 1 de la Proposición XLV del Libro I) que el movimiento de los ápsides fuese perceptible en cada revolución, y muy grande en muchas revoluciones.

PROPOSICIÓN III. TEOREMA III

La fuerza con la cual la Luna es retenida en su órbita se dirige hacia la Tierra y es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro de la Tierra.

La primera parte de la afirmación es evidente por el fenómeno sexto y la Proposición segunda o tercera del Libro primero: y la segunda parte por la gran lentitud del apogeo lunar. Pues este movimiento, que es en cada revolución de tan sólo tres grados y tres minutos hacia adelante, puede despreciarse. Pues está claro (por el Corolario 1 de la Proposición XLX del Libro I) que si la distancia de la Luna al centro de la Tierra es al semidiámetro de la Tierra como D a 1, la fuerza de la que tal movimiento se originaría será inversamente proporcional a D24⁄243, es decir, inversamente como aquella misma potencia de D cuyo índice es D24⁄243, o sea, en razón inversa de un poco más que el cuadrado de la distancia, pero que es 59¾ más próxima a la razón cuadrada que a la cúbica. Y puesto que se origina de la acción del Sol (como se dirá más tarde) puede, por ello, ser ignorada ahora. La acción del Sol, en tanto que separa a la Luna de la Tierra, es muy aproximadamente como la distancia de la Luna a la Tierra; y por lo mismo (por lo expuesto en el Corolario 2 de la Proposición XLV del Libro I) es a la fuerza centrípeta de la Luna casi como 2 a 357,45, o como 1 a 17829⁄40. Y despreciando esta minúscula fuerza del Sol, la fuerza restante con la cual la Luna es retenida en órbita será inversamente como D2. Cosa que quedará más clara al comparar esta fuerza con la de la gravedad, como se hace en la Proposición siguiente.

COROLARIO. Si la fuerza centrípeta media por la que la Luna es retenida en órbita aumentase primero en la razón de 17729⁄40 a 17829⁄40 y después también en la razón del cuadrado del semidiámetro de la Tierra a la distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna, se tendrá la fuerza centrípeta lunar sobre la superficie de la Tierra, supuesto que dicha fuerza descendiendo hacia la superficie de la Tierra aumente continuamente en razón inversa al cuadrado de la altura.

PROPOSICIÓN IV. TEOREMA IV[3]

La Luna gravita hacia la Tierra y es continuamente desviada del movimiento rectilíneo y retenida en su órbita por la fuerza de la gravedad.

La distancia media de la Luna a la Tierra es en las sicigias según Ptolomeo y los más de los astrónomos de 59 semidiámetros terrestres, según Vendelin y Huygens 60, según Copérnico 60⅓, según Street 60⅖, y según Tycho 56½. Pero Tycho, y cuantos siguen sus tablas de refracciones, al establecer las refracciones del Sol y de la Luna (totalmente contra la naturaleza de la luz) mayores que las de las estrellas fijas, y esto en unos cuatro o cinco minutos, aumentaron en otros tantos la paralaje de la Luna, es decir, casi en la duodécima o decimoquinta parte de la paralaje total. Corríjase este error y resultará una distancia de unos 60½ semidiámetros terrestres, casi la misma asignada por los otros. Supongamos que la distancia media en las sicigias es de 60 semidiámetros; y el período lunar completo respecto a las estrellas fijas es de 27 días, 7 horas, 43 minutos, como establecen los astrónomos, y también que la circunferencia de la Tierra es de 123249600 pies parisinos, como han establecido los medidores franceses: y si se imagina que la Luna es desposeída de todo movimiento y abandonada a sí misma, de modo que, bajo la acción de toda aquella fuerza por la cual (por el Corolario de la Proposición III) es retenida en su órbita, desciende hacia la Tierra, describirá al caer en el tiempo de un minuto un espacio de 151⁄12 pies parisinos. Esto se infiere del cálculo realizado a partir de la Proposición XXXVI del Libro I o (lo que es lo mismo) del Corolario noveno de la Proposición cuarta del mismo libro. Pues el seno verso del arco que la Luna con su movimiento medio a la distancia de sesenta semidiámetros terrestres describiría en el tiempo de un minuto es aproximadamente de 151⁄12 pies parisinos, o más exactamente de 15 pies, 1 pulgada, y 14⁄9 líneas. Por lo cual, toda vez que dicha fuerza aumenta al acercarse a la Tierra en razón inversa del cuadrado de la distancia, y por lo mismo en la superficie terrestre será 60 x 60 veces mayor que en la Luna, dicho cuerpo cayendo con la mencionada fuerza en nuestras inmediaciones deberá describir en el tiempo de un minuto un espacio de 60 x 60 x 151⁄12, y en un tiempo de un segundo 151⁄12 pies, o más exactamente, 15 pies, 1 pulgada 14⁄9 líneas. Y con esa fuerza descienden de hecho los graves en la Tierra. Pues la longitud de un péndulo oscilante al ritmo de una oscilación por segundo en la latitud de París es de tres pies parisinos y 8½ líneas, como observó Huygens. Y la altura que recorre un grave cayendo en el tiempo de un segundo es a la mitad de la longitud del péndulo mencionado como el cuadrado de la razón de la circunferencia del círculo a su diámetro (como también indicó Huygens) y, por tanto, de 15 pies parisinos, 1 pulgada y 17⁄9 líneas. Y, por lo tanto, la fuerza con la cual la Luna es retenida en su órbita, si descendiera hasta la superficie terrestre, resulta igual a la fuerza de la gravedad entre nosotros, y por lo mismo (por las Reglas I y II) es esa misma fuerza, a la cual solemos llamar gravedad. Pues si la gravedad fuera distinta de ella, los cuerpos descenderían en dirección a la Tierra con doble velocidad bajo la acción de ambas fuerzas juntas, y en el tiempo de un segundo recorrerían al caer un espacio de 30⅙ pies parisinos, contra toda la experiencia.

Se basa este cálculo en la hipótesis de que la Tierra está en reposo. Porque si la Tierra y la Luna se mueven en torno al Sol y mientras tanto además giran en torno a su centro común de gravedad, manteniéndose la ley de la gravedad, la distancia entre los centros de la Luna y la Tierra será de aproximadamente 60½ semidiámetros terrestres, como hallará quien haga el cálculo. El cálculo se puede hacer mediante la Proposición LX del Libro I.

ESCOLIO

La demostración de la Proposición puede explicarse más ampliamente como sigue. Si girasen muchas lunas en torno a la Tierra al igual que ocurre con el sistema de Saturno o de Júpiter, sus tiempos periódicos (por un argumento de inducción) observarían la ley de los planetas hallada por Kepler, y por lo mismo sus fuerzas centrípetas serían inversamente como los cuadrados de las distancias al centro de la Tierra, según la Prop. I de este Libro. Y si la más baja de todas esas lunas fuese muy pequeña, y casi llegase a tocar las cimas de los montes más altos, la fuerza centrípeta en cuya virtud se mantiene en su órbita vendría a ser casi igual a la gravedad de los cuerpos en las cimas de dichos montes (por el cálculo precedente) y haría que esa pequeña luna, si perdiera todo el movimiento con el que se desplaza en su órbita, al faltarle la fuerza centrífuga con la que había permanecido en su órbita, caería hacia la Tierra y esto con la velocidad con la que caen los graves en esas crestas montañosas, dada la igualdad de fuerzas con que descienden. Y si la fuerza con la que desciende dicha pequeña luna más baja fuese distinta de la gravedad, y dicha luna fuera grave también hacia la Tierra como los cuerpos en lo alto de los montes, dicha luna con ambas fuerzas juntas descendería doblemente más veloz. Por lo cual, como ambas fuerzas, éstas de los cuerpos graves y aquéllas de las lunas, tiendan al centro de la Tierra y sean semejantes entre ellas e iguales, las tales fuerzas (por las Reglas I y II) tendrán la misma causa. Y por consiguiente, la fuerza por la que la Luna es retenida en su órbita será aquella misma a la cual solemos llamar gravedad: sobre todo porque si no, la pequeña luna en la cima de la montaña o carecería de gravedad o caería dos veces más rápida que lo que suelen hacer los cuerpos graves.

PROPOSICIÓN V. TEOREMA V

Los planetas circunjoviales gravitan hacia Júpiter, los circunsaturnales hacia Saturno, y los circunsolares hacia el Sol, y por la fuerza de su gravedad son continuamente desviados de movimientos rectilíneos y retenidos en órbitas curvilíneas.

Pues las revoluciones de los planetas circunjoviales en torno a Júpiter, de los circunsaturnales en torno a Saturno, y de Mercurio, Venus y el resto de los circunsolares en torno al Sol son fenómenos del mismo género que la revolución de la Luna en torno a la Tierra; y por ello (por la Regla II) dependen de causas del mismo género: sobre todo si se ha demostrado que las fuerzas, de las cuales dependen dichas revoluciones, se dirigen hacia los centros de Júpiter, Saturno y el Sol, y al apartarse de Júpiter, Saturno y el Sol decrecen con la misma ley y proporción con la que la fuerza de la gravedad decrece al alejarse de la Tierra.

COROLARIO 1. Luego la gravedad se da en todos los planetas. Pues nadie duda de que Venus, Mercurio y los demás planetas sean cuerpos del mismo género que Júpiter y Saturno. Y puesto que por la Tercera Ley del movimiento toda atracción es mutua, Júpiter gravitará hacia todos sus satélites, Saturno hacia los suyos, la Tierra hacia la Luna, y el Sol hacia todos los planetas primarios.

COROLARIO 2. La gravedad que se dirige hacia cada planeta es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias de los lugares al centro del planeta.

COROLARIO 3. Todos los planetas gravitan entre sí, por los Corolarios 1 y 2. Y de aquí que Júpiter y Saturno en la proximidad de su conjunción, atrayéndose mutuamente, perturben sus movimientos sensiblemente, el Sol perturbe los movimientos lunares, el Sol y la Luna perturben nuestros mares, como se explicará más adelante.

ESCOLIO

Hemos llamado hasta aquí centrípeta a la fuerza por la que los cuerpos celestes son retenidos en sus órbitas. Ahora ya consta que es la gravedad, y por ello la llamaremos en lo sucesivo gravedad. Pues la causa de aquella fuerza centrípeta por la que la Luna es retenida en órbita debe ser extendida a todos los planetas por las Reglas I, II y IV.

PROPOSICIÓN VI. TEOREMA VI[4]

Todos los cuerpos gravitan hacia cada planeta y sus pesos hacia un mismo planeta, a iguales distancias del centro del planeta, son proporcionales a la cantidad de materia existente en cada uno.

Hace ya tiempo que otros observaron que el descenso de todos los graves hacia la Tierra (al menos si se elimina la retardación desigual que se debe a la mínima resistencia del aire) ocurre en tiempos iguales; y se puede registrar esa igualdad de los tiempos de la manera más exacta mediante los péndulos. He tratado de examinar esto con oro, plata, plomo, vidrio, arena, sal común, madera, agua, trigo. Me servía de dos vasijas de madera, redondas e iguales. Llenaba una de madera y colgaba el mismo peso de oro (tan exacto como podía) en el centro de oscilación del otro. Las vasijas colgando de hilos iguales de once pies constituían péndulos completamente iguales en cuanto al peso, la figura y la resistencia del aire: situados juntos, iban y venían a la vez con oscilaciones iguales durante largo tiempo. Por tanto, la cantidad de materia en el oro era (por los Corolarios 1 y 6 de la Proposición XXIV del Libro II) a la cantidad de materia en la madera como la acción de la fuerza motriz sobre todo el oro a la acción de la fuerza motriz sobre toda la madera; es decir, como un peso a otro peso. Y lo mismo en los demás. En cuerpos del mismo peso la diferencia de materia podía detectarse con estos experimentos aunque fuese de una milésima de la materia total. Y por otra parte no hay duda de que la naturaleza de la gravedad es la misma en los planetas que en la Tierra. Imagínese, pues, que estos cuerpos terrestres se elevasen hasta la órbita de la Luna y se los dejase caer junto con la Luna privada de todo movimiento, de modo que caigan a la vez hacia la Tierra; y, por lo ya expuesto antes, es cierto que en tiempos iguales describirán espacios iguales junto con la Luna y por lo mismo que son respecto a la cantidad de materia en la Luna como sus pesos al peso de la misma. Además, toda vez que los satélites de Júpiter giran en tiempos que son como la potencia 3⁄2 de las distancias al centro de Júpiter, por lo mismo, a iguales distancias de Júpiter sus gravedades aceleratrices resultarán iguales. Por tanto, cayendo de alturas iguales en tiempos iguales describirán espacios iguales; lo mismo que ocurre con los graves en nuestra Tierra. Y por la misma razón los planetas circunsolares, lanzados desde iguales distancias del Sol, en su descenso hacia el Sol describirán espacios iguales en tiempos iguales. En cambio, las fuerzas por las que cuerpos desiguales son acelerados igualmente, son como los cuerpos, es decir, los pesos son como las cantidades de materia en los planetas. Además, que los pesos de Júpiter y de sus satélites hacia el Sol son proporcionales a la cantidad de materia existente en ellos es evidente por el movimiento sumamente regular de los satélites, por el Corolario 3 de la Proposición LXV del Libro I. Pues si alguno de ellos fuera atraído hacia el Sol en grado mayor que el debido a su cantidad de materia de lo que lo son los otros, el movimiento de los satélites (por el Corolario 2 de la Proposición LXV del Libro I) resultaría perturbado por la desigualdad de la atracción. Si, a iguales distancias del Sol, un satélite resultase más grave hacia el Sol en razón de su cantidad de materia que Júpiter en razón de la suya en una razón cualquiera dada, tal como d a e por ejemplo, la distancia entre el centro del Sol y el centro de la órbita del satélite siempre sería mayor que la distancia entre el centro del Sol y el centro de Júpiter aproximadamente como la raíz cuadrada de esa razón como hallé con un cálculo que hice. Y si el satélite fuese menos grave hacia el Sol en la proporción dicha de d a e, la distancia del centro de la órbita del satélite al Sol sería menor que la distancia del centro de Júpiter al Sol en razón de dicha raíz cuadrada. Por tanto, si a iguales distancias del Sol, la gravedad aceleratriz de un satélite cualquiera hacia el Sol fuese mayor o menor que la gravedad aceleratriz de Júpiter hacia el Sol tan sólo en una milésima parte de la gravedad total, la distancia del centro de la órbita del satélite hasta el Sol sería mayor o menor que la distancia de Júpiter hasta el Sol en 1/2000 de la distancia total, es decir, una quinta parte de la distancia del satélite exterior al centro de Júpiter: excentricidad de la órbita que sería bien sensible. Pero las órbitas de los satélites son concéntricas a Júpiter, y por lo mismo las gravedades aceleratrices de Júpiter y de los satélites hacia el Sol son iguales entre ellas. Y por la misma razón los pesos hacia el Sol de Saturno y sus compañeros, a iguales distancias del Sol, son como las cantidades de materia que hay en ellos; y los pesos hacia el Sol de la Luna y la Tierra o bien son nulos o son muy exactamente proporcionales a sus masas. Pero alguno es el peso, por los Corolarios 1 y 3 de la Proposición V.

Y también los pesos de cada una de las partes de un planeta cualquiera hacia otro son entre sí como la materia que hay en cada parte. Porque, si unas partes gravitasen más y otras menos que en razón de su cantidad de materia, el planeta entero, según el género de partes en que abunde más, gravitará más o menos que en razón de su cantidad de materia total. Y no importa si dichas partes son internas o externas. Pues si, por ejemplo, los cuerpos terrestres que están a nuestro alrededor los elevamos imaginariamente hasta la órbita de la Luna y se comparan con el cuerpo de la misma, si sus pesos fuesen a los pesos de las partes externas de la Luna como las cantidades de materia en unos y otra, pero respecto a los pesos de las partes interiores en razón mayor o menor, tales cuerpos estarían respecto al peso total de la Luna en una proporción mayor o menor: contra lo mostrado más arriba.

COROLARIO 1. De aquí que los pesos de los cuerpos no dependan de sus formas y texturas. Pues si pudieran variar con las formas, serían mayores o menores según la variedad de las formas, a igualdad de materia, en contra totalmente de la experiencia.

COROLARIO 2. Todos los cuerpos que están alrededor de la Tierra son graves hacia ella; y los pesos de todos los que distan igual del centro de la Tierra son como las cantidades de materia en cada uno de ellos. Esta es una cualidad de todos aquellos en los que es posible hacer experimentos, y en consecuencia, por la Regla III, ha de afirmarse de todos. Si el éter u otro cuerpo cualquiera estuviese desprovisto por completo de gravedad o gravitase menos que en razón de su cantidad de materia: puesto que éste (en opinión de Aristóteles, Descartes y otros) no se diferencia de los demás cuerpos sino sólo en la forma de la materia, tal cuerpo podría mediante el cambio gradual de forma transformarse en un cuerpo de la misma condición que aquellos que gravitan lo más posible según su cantidad de materia, y viceversa, los cuerpos sumamente graves, adquiriendo gradualmente la forma de aquél, podrían perder su gravedad gradualmente. Y de esta suerte los pesos dependerían de las formas de los cuerpos y podrían variar con las formas, contra lo que se ha probado en el Corolario anterior.

COROLARIO 3. Todos los espacios no están igualmente llenos. Pues si todos los espacios estuviesen igualmente llenos, la gravedad específica del fluido con el cual se llena la región del aire, por la gran densidad de su materia, en nada cedería a la gravedad específica del mercurio, del oro o de otro cuerpo cualquiera muy denso; y por ello ni el oro, ni otro cuerpo cualquiera podría descender en el aire. Pues los cuerpos en los fluidos, salvo que sean específicamente más graves, no descienden en absoluto. Pero si la cantidad de materia en un espacio dado puede disminuir por alguna rarefacción cualquiera ¿por qué no podría disminuir infinitamente?

COROLARIO 4. Si todas las partículas sólidas de todos los cuerpos son de la misma densidad, y sin poros no son susceptibles de rarefacción, se da de hecho el vacío. Digo que son de la misma densidad aquellas cuyas fuerzas inerciales son como las magnitudes.

COROLARIO 5. La fuerza de la gravedad es de distinta naturaleza que la fuerza magnética. Pues la atracción magnética no es como la materia atraída. Unos cuerpos son más atraídos, otros menos, muchos no lo son. Y la fuerza magnética en uno y el mismo cuerpo puede aumentar y disminuir y es bastante mayor a veces respecto a la cantidad de materia que la fuerza de la gravedad, y al alejarse del imán decrece en una razón de la distancia no cuadrada sino casi cúbica, en cuanto he podido comprobar con algunos experimentos un tanto rudimentarios.

PROPOSICIÓN VII. TEOREMA VII[5]

La gravedad ocurre en todos los cuerpos y es proporcional a la cantidad de materia existente en cada uno.

Hemos probado ya que todos los planetas gravitan entre sí, y también que la gravedad hacia cada uno de ellos considerado individualmente es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde cada lugar al centro del planeta. De lo cual se sigue que (por la Proposición LXIX del Libro I y sus Corolarios) la gravedad hacia todos es proporcional a la materia existente en ellos.

Por lo demás, dado que todas las partes de un planeta A gravitan hacia otro planeta B, y la gravedad de una parte cualquiera es a la gravedad del todo como la materia de la parte a la materia del todo, y para toda acción haya igual reacción (por la tercera Ley del movimiento), el planeta B gravitará a la inversa hacia todas las partes del planeta A, y su gravedad hacia cada parte será a su gravedad hacia el todo como la materia de la parte a la materia del todo. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por consiguiente, la gravedad hacia todo el planeta surge y se compone de la gravedad hacia cada parte. De lo cual tenemos ejemplos en las atracciones magnéticas y eléctricas. Pues la atracción entera hacia el todo surge de las atracciones hacia cada parte. Para la gravedad esto se entenderá imaginando que muchos planetas menores se reúnen en un globo y constituyen uno mayor. Pues la fuerza del todo deberá originarse de las fuerzas de las partes componentes. Si alguien objeta que todos los cuerpos que nos rodean deberían gravitar entre sí según esta ley, mientras que no percibimos en absoluto una gravedad de este estilo, debo responder que la gravedad en estos cuerpos al ser respecto a la gravedad de toda la Tierra como son estos cuerpos al cuerpo de la Tierra entera, es bastante menor que la que es observable.

COROLARIO 2. La gravitación hacia cada partícula igual de un cuerpo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de los lugares a las partículas. Es evidente por el Corolario 3 de la Proposición LXXIV del Libro I.

PROPOSICIÓN VIII. TEOREMA VIII[6]

Si la materia de dos globos que gravitan entre sí es homogénea en todos los lugares que equidistan de los centros por todos los lados, el peso de cada uno de ellos hacia el otro será inversamente como el cuadrado de la distancia entre los centros.

Después de que hube hallado que la gravedad hacia el planeta entero surge y se compone de las gravedades hacia las partes, y que es hacia cada parte inversamente proporcional a los cuadrados de las distancias a las partes, dudaba de si la dicha proporción inversa del cuadrado se cumpliría exactamente en la fuerza entera compuesta de muchas fuerzas o si sólo de modo aproximado. Pues podría ocurrir que la proporción, que en las distancias más grandes se cumplía con bastante exactitud, en las inmediaciones de la superficie del planeta, debido a las distancias desiguales de las partículas y a las desemejanzas de los lugares, variase notablemente. Mas al fin, por las Proposiciones LXXV y LXXVI del Libro I y sus Corolarios, comprendí la verdad de la Proposición de que aquí se trata.

COROLARIO 1. De aquí se pueden hallar y comparar entre sí los pesos de los cuerpos en los distintos planetas. Pues los pesos de cuerpos iguales que giran en círculos en torno a los planetas son (por el Corolario 2 de la Proposición IV del Libro I) directamente como los diámetros de los círculos e inversamente como los cuadrados de los tiempos periódicos, y los pesos sobre las superficies de los planetas o a otras distancias cualesquiera del centro son mayores o menores (por esta Proposición) en razón inversa del cuadrado de las distancias. De este modo, a partir de los tiempos periódicos de Venus en torno al Sol de 224 días y 16¾ horas, del satélite exterior de Júpiter alrededor de Júpiter de 16 días y 168⁄15 horas, del satélite de Huygens en torno a Saturno de 15 días y 222⁄3 horas y de la Luna en torno a la Tierra de 27 días 7 horas y 43 minutos, comparados con la distancia media de Venus al Sol y con las elongaciones heliocéntricas máximas del satélite exterior de Júpiter respecto al centro de éste de 8′, 16″, del satélite Huygens del centro de Saturno de 3′, 4″, y de la Luna del centro de la Tierra de 10′, 33″, haciendo un cálculo hallé que los pesos de cuerpos iguales a iguales distancias del centro del Sol, de Júpiter, de Saturno y de la Tierra eran hacia el Sol, hacia Júpiter, hacia Saturno y la Tierra como 1, 1 / 1067, 1 / 3021 y 1 / 169282, respectivamente, y aumentando o disminuyendo las distancias, los pesos aumentaban o disminuían en razón del cuadrado: los pesos de cuerpos iguales hacia el Sol, Júpiter, Saturno y la Tierra a las distancias de 10 000, 997, 791, y 109 de sus centros, y por ende en sus superficies, serán como 10 000, 943,529, y 435 respectivamente. Cuánto pesan los cuerpos en la superficie de la Luna se verá después.

COROLARIO 2. También se sigue la cantidad de materia en cada planeta. Pues las cantidades de materia en los planetas son como sus fuerzas a iguales distancias de sus centros, esto es, en el Sol, Júpiter, Saturno y la Tierra como 1, 1 / 1067, 1 / 3021 y 1 / 169282, respectivamente. Si la paralaje solar se estableciera mayor o menor que 10″ 30‴, la cantidad de materia en la Tierra deberá aumentarse o disminuirse en razón cúbica.

COROLARIO 3. También aparecen así las densidades de los planetas. Pues los pesos de cuerpos iguales y homogéneos hacia esferas homogéneas son en las superficies de éstas como los diámetros de las mismas, por la Proposición LXXII del Libro I, y por lo mismo las densidades de esferas heterogéneas son como aquellos pesos divididos por los diámetros de las esferas. Los diámetros verdaderos del Sol, de Júpiter, de Saturno y de la Tierra eran entre si como 10 000, 997, 791, y 109, y los pesos hacia ellos como 10 000, 943, 529, y 435 respectivamente, y por tanto las densidades son como 100, 94½, 67 y 400. La densidad de la Tierra resultante de este cálculo no depende de la paralaje solar, sino que se obtiene de la paralaje lunar, con lo cual aquí se establece con exactitud. Por consiguiente el Sol es algo más denso que Júpiter y éste que Saturno, mientras la Tierra es cuatro veces más densa que el Sol. Ya que éste, por su enorme calor, se enrarece. La Luna en cambio, es más densa que la Tierra, como se mostrará más tarde.

COROLARIO 4. Son, por tanto, más densos los planetas que son más pequeños, a igualdad de condiciones restantes. De este modo la fuerza de la gravedad se acerca más a la igualdad en sus superficies. Pero, a igualdad de condiciones, son más densos los planetas más próximos al Sol; Júpiter más que Saturno y la Tierra más que Júpiter. Efectivamente, había que situar a distintas distancias del Sol a los planetas para que cada uno según su densidad disfrutase de un mayor o menor grado de calor solar. Nuestra agua, si la Tierra estuviese situada en la órbita de Saturno se solidificaría y en la órbita de Mercurio se evaporaría al instante. Pues la luz del Sol, a la cual es proporcional el calor, es siete veces más densa en la órbita de Mercurio que aquí entre nosotros: y con el termómetro he hallado que con siete veces el calor estival del Sol al agua hierve. Y no hay duda de que la materia de Mercurio está acomodada al calor, y por lo mismo, sea más densa que la nuestra, toda vez que la materia más densa, exija mayor calor para realizar las operaciones naturales.

PROPOSICIÓN IX. TEOREMA IX

La gravedad, a partir de la superficie de los planetas hacia abajo, decrece en razón muy aproximada de la distancia al centro.

Si la materia del planeta es uniforme en cuanto a la densidad, esta Proposición se cumple exactamente, por la Proposición LXXIII del Libro I. Por lo tanto no habrá más error que el que se siga de la desigualdad de la densidad.

PROPOSICIÓN X. TEOREMA X

El movimiento de los planetas en los cielos puede conservarse durante mucho tiempo.

Se ha mostrado en el Escolio de la Proposición XL del Libro II que un globo de agua congelada, moviéndose libremente en nuestra atmósfera y describiendo la longitud de su semidiámetro, perdería por la resistencia del aire 1⁄4586 parte de su movimiento. Pero la misma proporción resulta para cualquier globo muy aproximadamente de cualquier tamaño y a cualquier velocidad. Ahora bien, que el globo de nuestra Tierra es más denso que si fuera de agua lo infiero como sigue. Si este globo fuera todo de agua, las cosas todas que fuesen menos densas que el agua, por su menor gravedad específica, emergerían y flotarían. Por esa razón, un globo terroso cubierto de agua por todas partes, si fuese de mayor rareza que el agua, emergería por un lado, y toda el agua discurriendo desde allí se concentraría en la región opuesta. E igual es el caso de nuestra Tierra rodeada de mares por la mayor parte. Si ella no fuere más densa, emergería de los mares y con una parte de la misma de acuerdo con su grado de levedad sobresaldría del agua, concentrándose todos los mares hacia la región opuesta. Por la misma razón las manchas solares son más leves que la materia luminosa solar a la que se sobreponen. Y al formarse cualquiera de los planetas, cuando la masa era fluida, toda materia más grave tendía desde la masa líquida hacia el centro. Por lo cual, al ser la Tierra común periférica casi dos veces más grave que el agua, y un poco más abajo en las minas tres, cuatro y hasta cinco veces más densa, es probable que toda la materia de la Tierra junta sea cinco o seis veces más pesada que si fuera de agua; sobre todo porque, como se ha mostrado, la Tierra es casi cuatro veces más densa que Júpiter. Por ello si Júpiter fuera algo más denso que el agua, en el tiempo de treinta días en el que recorre la longitud de 459 semidiámetros suyos, perdería en un medio de la densidad de nuestro aire casi una décima parte de su movimiento. Pero como la resistencia de los medios disminuye en razón del peso y de la densidad, como en el caso del agua que al ser 13⅗ más leve que el mercurio es menos resistente en esa proporción; y el aire que es 860 veces más leve que el agua es también menos resistente en esa misma proporción, y si se considera en los cielos donde el peso del medio en el que se mueven los planetas disminuye enormemente, la resistencia casi vendrá a desaparecer. Hemos mostrado, en efecto, en el Escolio de la Proposición XXII del Libro II, que si ascendemos hasta una altura de doscientas millas sobre la Tierra el aire sería allí más raro que sobre la superficie terrestre en una proporción de 30 a 0,000000000000 3998 y también como 75000000000000 a 1 aproximadamente. Por consiguiente, el planeta Júpiter girando en un medio de la densidad de ese aire más alto en el tiempo de 1 000 000 de años no perdería de su movimiento por la resistencia del medio ni una millonésima parte. En los espacios próximos a la Tierra nada hay que produzca resistencia salvo los vapores y exhalaciones del aire. Si éstos son extraídos con todo cuidado de un vaso de cristal cilíndrico cerrado, los graves caen dentro del vaso con toda libertad y sin resistencia sensible alguna; el mismo oro y una pluma muy leve soltados a la vez caen con igual velocidad, y describiendo en su caída una altura de cuatro, seis u ocho pies tocan el suelo a la vez, como se ha visto experimentalmente. Y por tanto, si nos trasladamos a los cielos, vacíos de aire y de exhalaciones, los planetas y los cometas sin resistencia sensible alguna se moverán por esos espacios durante larguísimo tiempo.

HIPÓTESIS I

El centro del sistema del mundo está en reposo.

Esto lo conceden todos, si bien unos sostienen que la Tierra y otros que el Sol reposan en el centro del sistema. Veamos qué se sigue de aquí.

PROPOSICIÓN XI. TEOREMA XI

El centro común de gravedad de la Tierra, el Sol y todos los planetas está en reposo.

Pues (por el Corolario IV de las Leyes) dicho centro o está en reposo o se desplaza uniformemente en línea recta. Pero si tal centro se desplaza continuamente, el centro del mundo también se moverá, contra la Hipótesis.

PROPOSICIÓN XII. TEOREMA XII

El Sol es agitado por un movimiento permanente, pero jamás se aleja mucho del centro común de gravedad de todos los planetas.

Pues toda vez que (por el Corolario 2 de la Proposición VIII) la materia en el Sol es a la materia en Júpiter como 1067 a 1, y la distancia de Júpiter al Sol es al semidiámetro solar en razón ligeramente mayor, el centro común de gravedad de ambos cae en un punto muy poco distante fuera de la superficie del Sol. Por la misma razón, puesto que la materia del Sol es a la de Saturno como 3021 a 1, y la distancia de Saturno al Sol es ligeramente menor respecto al semidiámetro solar, el punto común de gravedad de ambos caerá en un punto ligeramente interior a la superficie solar. Y repitiendo los elementos de este cálculo, si los planetas todos y la Tierra se situaran a un lado del Sol, el centro común de gravedad de todos ellos apenas se alejaría del centro del Sol el valor de un diámetro solar. En los demás casos la distancia entre esos centros siempre sería menor. Por consiguiente, dado que dicho centro de gravedad siempre está en reposo, el Sol a tenor de las diferentes ubicaciones de los planetas, se moverá hacia todas partes, pero jamás se apartará mucho de dicho centro.

COROLARIO. De aquí que el centro común de gravedad de la Tierra, el Sol y el resto de los planetas, haya de ser considerado como el centro del mundo. Puesto que la Tierra, el Sol y todos los demás planetas gravitan mutuamente entre sí y, por tanto, se mueven siempre según las leyes del movimiento en razón de sus fuerzas de gravedad, es evidente que sus centros móviles no se pueden tomar por el centro inmóvil del mundo. Si hubiera que situar en dicho centro al cuerpo hacia el que todos los otros gravitan en grado máximo (cual es la opinión corriente) tal privilegio habría que concedérselo al Sol. Mas como el Sol se mueve, hay que elegir un punto en reposo, respecto al cual el centro del Sol se separa muy poco, y del cual se alejaría aún menos si el Sol fuera más denso y más grande de suerte que se moviera menos.

PROPOSICIÓN XIII. TEOREMA XIII

Los planetas se mueven en elipses que tienen un foco en el centro del Sol, y con radios trazados a dicho centro describen áreas proporcionales a los tiempos.

Ya hemos considerado estos movimientos más arriba partiendo de los fenómenos. Ahora que se conocen los principios del movimiento, de ellos deducimos «a priori» los movimientos celestes. Puesto que los pesos de los planetas hacia el Sol son inversamente como los cuadrados de las distancias al centro del Sol, si el Sol reposase y los demás planetas no actuasen mutuamente entre ellos, sus órbitas serían elípticas, teniendo al Sol en el foco común, y describirían áreas proporcionales a los tiempos (por las Proposiciones I y XI y el Corolario 1 de la Proposición XIII del Libro I), pero las acciones de los planetas entre ellos son mínimas (de suerte que pueden despreciarse) y perturban menos los movimientos en elipses de los planetas en torno al Sol (por la Proposición LXVI del Libro I) que si tales movimientos se realizasen en torno a un Sol en reposo.

No se puede despreciar enteramente la acción de Júpiter sobre Saturno. Pues la gravedad hacia Júpiter es a la gravedad hacia el Sol (a iguales distancias) como 1 a 1067; por ello, en la conjunción de Júpiter y Saturno, al ser la distancia de Saturno a Júpiter respecto a la distancia de Saturno al Sol casi como 4 a 9, la gravedad de Saturno hacia Júpiter será a la gravedad de Saturno hacia el Sol como 81 a 16 x 1067, o como 1 a 211 aproximadamente. Y a esto se debe la perturbación de la órbita de Saturno en cada conjunción de este planeta con Júpiter, lo suficientemente sensible como para extrañar a los astrónomos. Según la diferente situación del planeta en estas conjunciones su excentricidad aumenta o disminuye y su afelio se adelanta o se retrasa notablemente, y el movimiento medio se acelera o se retarda alternativamente. Sin embargo el error total en su movimiento en torno al Sol debido a tamaña fuerza (además del movimiento medio) puede casi evitarse situando el foco inferior de su órbita en el centro común de gravedad de Júpiter y el Sol (por la Proposición LXVII del Libro 1) y por tanto cuando resulta mayor no sobrepasa los dos minutos. Y el error máximo en el movimiento medio apenas supera los dos minutos por año. Por otra parte, en la conjunción de Júpiter y Saturno las gravedades aceleratrices del Sol hacia Saturno, de Júpiter hacia Saturno y de Júpiter hacia el Sol vienen a ser casi como 16, 81, y (16 x 81 x 3021 / 25), o sea, 156 609, por lo cual la diferencia de las fuerzas de gravedad del Sol hacia Saturno y de Júpiter hacia Saturno es a la fuerza de gravedad de Júpiter hacia el Sol como 65 a 156 609 y también como 1 a 2409. Pero el poder máximo de Saturno para perturbar el movimiento de Júpiter es proporcional a esta diferencia, de suerte que la perturbación de la órbita de Júpiter es mucho menor que la de Saturno. Las perturbaciones de las demás órbitas son aún más pequeñas, salvo la de la Tierra sensiblemente perturbada por la Luna. El centro común de gravedad de la Tierra y la Luna discurre por una elipse en torno al Sol situado en el foco de la misma y, con un radio trazado al Sol, describe en ella áreas proporcionales a los tiempos, pero la Tierra gira con un movimiento mensual en torno a dicho centro común.

PROPOSICIÓN XIV. TEOREMA XIV

Los afelios y nodos de las órbitas están en reposo.

Los afelios están en reposo, por la Proposición XI del Libro I, al igual que los planos de las órbitas, por la Proposición I del mismo Libro, y al reposar los planos también reposan los nodos. No obstante, debido a las acciones mutuas de los planetas y cometas en revolución se originan algunas desigualdades, pero tan insignificantes que aquí pueden despreciarse.

COROLARIO 1. También están en reposo las estrellas fijas, toda vez que conservan las posiciones dadas respecto a los afelios y a los nodos.

COROLARIO 2. Y por tanto, al no percibirse paralaje alguna de las mismas como consecuencia del movimiento anual de la Tierra, sus fuerzas no producen efecto alguno sensible en nuestro sistema por la enorme distancia a que se hallan. Además de que las estrellas fijas, esparcidas igualmente por todas las partes del cielo, destruyen sus fuerzas mutuas con atracciones opuestas, por la Proposición LXX del Libro I.

ESCOLIO[7]

Puesto que los planetas más próximos al Sol (es decir, Mercurio, Venus, Tierra y Marte) debido a la pequeñez de sus cuerpos influyen muy poco unos sobre otros, sus afelios y nodos están en reposo, salvo en la medida en que sean perturbados por las fuerzas de Júpiter, Saturno y los cuerpos superiores. Y de aquí se sigue, por la teoría de la gravedad, que sus afelios se mueven un poco hacia adelante respecto a las fijas y esto en una proporción de la potencia 3⁄2 de sus distancias al Sol. De suerte que si el afelio de Marte en cien años se adelanta respecto a las fijas 33′ 20″, los afelios de la Tierra, de Venus y de Mercurio en cien años se adelantarán 17′ 40″; 10′ 53″ y 4′ 16″ respectivamente. Estos movimientos, por su insignificancia, se deprecian en esta Proposición.

PROPOSICIÓN XV. PROBLEMA I

Hallar los diámetros principales de las órbitas.

Han de tomarse en razón de la potencia 2⁄3 de los tiempos periódicos, por la Proposición XV del Libro I, y después hay que aumentar cada uno en razón de la suma de las masas del Sol y cada planeta a la primera de las dos medias proporcionales entre dicha suma y el Sol, por la Proposición LX del Libro I.

PROPOSICIÓN XVI. PROBLEMA II

Hallar las excentricidades y los afelios de las órbitas.

El problema se resuelve por la Proposición XVIII del Libro I.

PROPOSICIÓN XVII. TEOREMA XV

Los movimientos diarios de los planetas son uniformes y la libración lunar se debe a su movimiento diario.

Es evidente por la Ley I del movimiento y por el Corolario 22 de la Proposición LXVI del Libro I. Ciertamente Júpiter gira respecto a las estrellas fijas en 9 h. 56′, Marte en 24 h. 39′, Venus en casi 23 h., la Tierra en 23 h. 56′, el Sol en 25½ días y la Luna en 27 d. 7 h. 43′. Está claro por los fenómenos que esto es así. Las manchas en el cuerpo solar vuelven al mismo sitio en el disco tras 27½ días aproximadamente respecto a la Tierra; y por tanto, respecto a las fijas el Sol gira aproximadamente en 25½ días. Y dado que el día lunar girando uniformemente sobre su eje es de un mes, la misma cara de ella mirará siempre hacia el otro foco de su órbita muy aproximadamente, y por consiguiente se desviará hacia acá o hacia allá de la Tierra según se halle el sitio de dicho foco. Esta es la libración longitudinal de la Luna; pues la latitudinal se debe a la latitud de la Luna y a la inclinación de su eje hacia el plano de la eclíptica. Esta teoría de la libración lunar fue expuesta por N. Mercator en su astronomía editada al principio de 1676 con detalle y gracias a las cartas que le envié. Con un movimiento semejante parece que gira alrededor de su eje el satélite exterior de Saturno, mirando siempre hacia éste con la misma cara. Pues al girar en torno a Saturno, cada vez que llega a la parte oriental de su órbita se ve escasamente y muchas veces deja de verse, cosa que puede deberse, como ha hecho notar Cassini, a algunas manchas en esa parte del cuerpo que entonces se orienta hacia la Tierra. Y también el satélite exterior de Júpiter parece girar en torno a su eje con un movimiento semejante, toda vez que en la parte del cuerpo opuesta a Júpiter tiene una mancha que aparece como si estuviera en Júpiter cada vez que pasa entre Júpiter y nuestros ojos.

PROPOSICIÓN XVIII. TEOREMA XVI

Los ejes de los planetas son menores que los diámetros trazados perpendicularmente a dichos ejes.

Los planetas, si se suprime todo movimiento circular diario, deberían adoptar figura esférica debido a la igual gravedad de las partes por todos lados. Gracias a ese movimiento circular ocurre que las partes que se apartan del eje intentan ascender junto al ecuador. Por lo cual, si la materia fuese fluida aumentaría con su ascenso los diámetros ecuatoriales, mientras haría disminuir el eje con su descenso hacia los polos. Y así el diámetro de Júpiter (coincidiendo las observaciones de los astrónomos) se ve más corto entre los polos que de oriente a occidente. Y por la misma razón, a no ser que nuestra Tierra fuera algo más alta en el ecuador que en los polos, los mares se hundirían hacia los polos, y elevándose junto al ecuador lo inundarían allí todo.

PROPOSICIÓN XIX. PROBLEMA III[8]

Hallar la proporción del eje de un planeta respecto a los diámetros perpendiculares al mismo.

Nuestro Norwood, midiendo hacia 1635 la distancia de 905 751 pies londinenses entre Londres y York, y observando una diferencia de latitud de 2.º 28′ dedujo que el valor de un grado era de 367 196 pies londinenses, es decir, de 57 300 toesas parisinas.

Picard, midiendo un arco de un grado y 22′ 55″ sobre el meridiano entre Amiens y Malvoisine, halló que el grado de arco equivalía a 57 060 toesas parisinas. Cassini, padre, midió la distancia sobre el meridiano desde Collioure, en el Rosellón, hasta el observatorio de París, y su hijo añadió la distancia desde el observatorio hasta la torre de la ciudad de Dunquerque. La distancia entera resultó ser de 486 156½ toesas, y la diferencia de latitudes entre Collioure y Dunquerque de 8 grados, 31′ 11⅚″. Por consiguiente, el arco de un grado resulta ser de 57 061 toesas parisinas. De esas medidas se sigue que el perímetro de la Tierra viene a ser de 123 249 600 pies parisinos y su semidiámetro de 19 615 800 pies parisinos, en la hipótesis de que la Tierra sea esférica.

En la latitud de París un grave en el tiempo de un segundo recorre al caer 15 pies, 1 pulgada y 17⁄9 líneas, como se dijo antes, es decir, 21737⁄9 líneas. El peso del cuerpo disminuye por el peso del aire ambiente. Y supongamos que esta disminución es del orden de 0,0011 del peso total, de suerte que dicho grave, cayendo en el vacío, recorrerá 2174 líneas en el tiempo de un segundo.

En cada día sideral de 23 h. 56′ 4″, un cuerpo que gire uniformemente en un círculo a la distancia de 19 615 800 pies del centro describirá en el tiempo de un segundo un arco de 1433, 46 pies, cuyo seno verso es de 0,0523656 pies, o de 7,54064 líneas. Por lo tanto, la fuerza con que los cuerpos descienden en la latitud de París es a la fuerza centrífuga de los cuerpos en el ecuador debida al movimiento diurno de la Tierra como 2174 a 7,54064.

La fuerza centrífuga de los cuerpos en el ecuador es a la fuerza centrífuga con que los cuerpos tienden a despegarse de la Tierra en la latitud de París de 48 grados, 50′, 10″, como el cuadrado del radio al seno del complemento de la susodicha latitud, esto es, como 7,54064 a 3, 267. Añádase esta fuerza a la fuerza con la que caen los graves a dicha latitud de París y el cuerpo en esa latitud cayendo con toda la fuerza de la gravedad en el tiempo de un segundo recorrerá 2177,267 líneas, o 15 pies parisinos, 1 pulgada y 5,267 líneas. Y toda la fuerza de la gravedad en dicha latitud será a la fuerza centrífuga de los cuerpos en el ecuador de la Tierra como 2177,267 a 7,54064 o como 289 a 1.

Por ello, si se representa la figura de la Tierra por APBQ, ahora ya no esférica, sino engendrada por la rotación de una elipse en torno al eje menor PQ, y ACQqca es un canal lleno de agua que va desde el polo Qq al centro Cc y después hasta el ecuador Aa, el peso del agua en el brazo del canal ACca tendrá que ser al peso del agua en el otro brazo del canal QCcq como 289 a 288, debido a que la fuerza centrífuga generada por el movimiento circular soportará una parte de las 289 del peso y la suprime mientras que el peso de las 288 partes del otro brazo sostiene a las restantes. Además, haciendo un cálculo (a partir del Corolario 2 de la Proposición XCI del Libro I) hallo que si la Tierra constase de materia uniforme y quedase desprovista de todo movimiento, y su eje PQ fuese al diámetro AB como 100 a 101, la gravedad en el punto Q de la Tierra sería a la gravedad en el mismo punto Q de una esfera descrita con centro en C y radio PC o QC como 126 a 125. Y por la misma razón, la gravedad en el punto A hacia un esferoide descrito en torno al eje AB por rotación de la elipse APBQ es la gravedad en el mismo punto A de una esfera descrita con centro en C y radio AC, como 125 a 126. Pues la gravedad hacia la Tierra en el punto A es la media proporcional entre las gravedades hacia la esfera y hacia el susodicho esferoide; por cuanto que la esfera, disminuyendo el diámetro PQ en la razón de 101 a 100, tiende a la figura de la Tierra, al igual que esta figura, al disminuir en la misma razón un tercer diámetro que fuese perpendicular a los dos anteriores AB y PQ, se convierte en el susodicho esferoide; y la gravedad en el punto A, en uno y otro caso, disminuye en la misma proporción muy aproximadamente. Por consiguiente, la gravedad en el punto A hacia una esfera descrita con centro en C y radio AC es a la gravedad en el punto A hacia la Tierra como 126 a 125½, y la gravedad en el punto Q hacia una esfera descrita con centro en C y radio QC es a la gravedad en el punto A hacia la esfera descrita con centro en C y radio AC, en razón de los diámetros (por la Proposición LXXII del Libro I), es decir, como 100 a 101. Únanse ahora estas tres razones, 126 a 125, 126 a 125½, y 100 a 101; resultará que la gravedad en Q hacia la Tierra es a la gravedad en A hacia la Tierra como 126 x 126 x 100 a 125 x 125½ x 101, o como 501 a 500.

Ahora, dado que (por el Corolario 3 de la Proposición XCI del Libro I) la gravedad en cada brazo de uno y otro canal ACca y QCcq es como la distancia de cada lugar al centro de la Tierra, si dichos brazos se separan mediante superficies transversales y equidistantes en partes proporcionales a los todos, los pesos de cada parte en el brazo ACca serán a los pesos de cada otra parte en el otro brazo como las magnitudes y las gravedades aceleratrices conjuntamente; es decir, como 101 a 100 y 500 a 501, o sea, como 505 a 501. Y por consiguiente, si la fuerza centrífuga de una parte cualquiera en el brazo ACca generada por el movimiento diurno fuese a su propio peso como 4 a 505, de suerte que restase cuatro partes del peso total de cada una dividida en 505, los pesos en uno y otro brazo permanecerían iguales y por tanto el fluido permanecería en equilibrio. Sin embargo la fuerza centrífuga de cada una de las partes es a su peso como 1 a 289, es decir, la fuerza centrífuga que debería ser 4 / 505 partes del peso es solamente 1 / 289 parte del mismo. Y por lo mismo digo, por la regla áurea, que si la fuerza centrífuga 4 / 505 hace que la altura del agua en el brazo ACca supere a la altura del agua en el brazo QCcq en 1 / 100 parte de la altura total, la fuerza centrífuga 1 / 289 hará que el exceso de altura en el brazo ACca sea solamente 1 / 289 parte de la altura del otro brazo QCcq. Por lo tanto, el diámetro de la Tierra en el ecuador es al diámetro de la misma en los polos como 230 a 229. De suerte que, siendo el semidiámetro medio terrestre, según la medición de Picard, de 19 615 800 pies parisinos, o de 3923,16 millas (suponiendo para la milla 5000 pies), la Tierra será más alta en el ecuador que en los polos en un exceso de 85 472 pies, o de 171⁄10 millas. Y su altura en el ecuador será casi de 19 658 600 pies, mientras en los polos será de 19 573 000 pies.

Si un planeta fuera mayor o menor que la Tierra, manteniendo su misma densidad y su mismo tiempo periódico de revolución diaria, se mantendrá la proporción de la fuerza centrífuga a la gravedad y, por ello, se mantendrá también la proporción del diámetro entre polos respecto al diámetro en el ecuador. Pero si el movimiento diario se acelerase o retardase en una proporción cualquiera, la fuerza centrífuga aumentará o disminuirá en razón cuadrada de aquella proporción y, por lo mismo, la diferencia entre diámetros aumentará o disminuirá muy aproximadamente en razón del cuadrado de la susodicha proporción. Y si la densidad del planeta aumentase o disminuyese en una razón cualquiera, también la gravedad tendente hacia el mismo aumentará o disminuirá en la misma razón, y la diferencia entre diámetros, a la inversa, disminuirá en la razón del aumento de la gravedad o aumentará en la razón de la disminución de la gravedad. De donde, al girar la Tierra respecto a las fijas en 23 h. 56′, mientras Júpiter lo hace en 9 h. 56′ y ser los cuadrados de los tiempos como 29 a 5, mientras las densidades de los cuerpos en giro son como 400 a 94½, la diferencia de diámetros de Júpiter será a su diámetro menor como 29 / 5 x 400 / 94½ x 1 / 229 a 1, o sea, como 1 a 9⅓, aproximadamente. De donde, al ser su diámetro mayor de 37″, su diámetro menor entre polos será de 33″ 25‴. Auméntese casi 3″ por la luz difusa, y los diámetros aparentes de este planeta resultan ser 40″ y 36″ 25‴; que resultan ser entre sí como 11⅙ a 10⅙, aproximadamente. Esto resulta así en la hipótesis de que el cuerpo de Júpiter sea uniformemente denso. Pero si su cuerpo fuese más denso hacia el plano ecuatorial que hacia los polos, sus diámetros podrían hallarse entre ellos en la relación de 12 a 11, o de 13 a 12, o quizá de 14 a 13. Cassini el año 1691 observó que el diámetro de Júpiter de este a oeste superaba en casi una decimoquinta parte de su longitud al otro diámetro. Y nuestro Pound, con un telescopio de 123 pies de largo y un buen micrómetro, midió los diámetros de Júpiter en 1719 con los resultados siguientes:

Tiempo Diámetro máximo Diámetro mínimo Relación mutua Día Hora Partes Partes Enero 28 6 13,40 12,28 Como 12 a 11 Febrero 6 7 13,12 12,20 Como 13¾ a 12¾ Marzo 9 7 13,12 12,08 Como 122⁄3 a 112⁄3 Abril 9 9 12,32 11,48 Como 14½ a 13½

La teoría cuadra bastante bien con los fenómenos. Pues los planetas se calientan algo más por la luz del Sol hacia el ecuador, por lo que allí se endurecen algo más que hacia los polos.

Por otra parte, que la gravedad disminuye en el ecuador debido a la rotación diaria de nuestra Tierra, y por tanto que la Tierra asciende allí más que en los polos (siempre que sea uniformemente densa) se verá por los experimentos con péndulos de los que se da cuenta en la Proposición siguiente.

PROPOSICIÓN XX. PROBLEMA IV[9]

Hallar y comparar entre ellos los pesos de los cuerpos en las distintas regiones de esta Tierra.

Puesto que los pesos de los brazos desiguales del canal de agua ACQqca son iguales, y los pesos de las partes, proporcionales a los brazos enteros y colocadas semejantemente en ellos, son entre sí como los pesos de los todos, y por lo mismo son iguales entre sí, los pesos de las partes iguales y situadas semejantemente en los brazos serán inversamente como los brazos, es decir, inversamente como 230 a 229. E igual es la razón entre cuerpos homogéneos e iguales cualesquiera situados semejantemente en los brazos del canal. Sus pesos son inversamente como los brazos, es decir, inversamente como la distancia de los cuerpos al centro de la Tierra. Por lo tanto, si los cuerpos se hallan en las partes superiores del canal, esto es, en la superficie de la Tierra, sus pesos serán entre sí como los inversos de sus distancias al centro de la Tierra. Y por la misma razón los pesos en otras regiones cualesquiera por toda la superficie de la Tierra son entre sí como los inversos de las distancias de esos lugares al centro, y por tanto, bajo la hipótesis de que la Tierra es un esferoide, están dados en proporción.

De donde se viene a concluir en el Teorema de que el incremento del peso, caminando desde el ecuador hacia los polos, es aproximadamente como el seno verso del doble de la latitud, o, lo que es lo mismo, como el cuadrado del seno recto de la latitud. Y casi en esa misma razón se halla el incremento del arco de los grados de latitud sobre el meridiano. Y por lo mismo, puesto que la latitud de París es de 48.º 50′, la de los lugares del ecuador de 00.º 00′ y la de los polos de 90.º y los duplos de los senos versos son 11 134, 00 000, y 20 000, siendo el radio 10 000, y la gravedad en los polos es a la gravedad en el ecuador como 230 a 229, mientras el exceso de la gravedad en el polo es a la gravedad en el ecuador como 1 a 229, el exceso de la gravedad en la latitud de París será a la gravedad en el ecuador como 1 x (11 334/20 000) a 229, o también como 667 a 2 290 000. Por consiguiente, las fuerzas totales de la gravedad en esos lugares serán entre ellas como 2 295 667 a 2 290 000. Por lo tanto, dado que la longitud de los péndulos que oscilan en tiempos iguales es como las gravedades, y en la latitud de París la longitud de un péndulo que oscile cada segundo es de 3 pies parisinos y 8½ líneas, o mejor, debido al peso del aire, de 85⁄9 líneas, la longitud del péndulo en el ecuador se verá superada por la longitud del péndulo sincrónico de París con un exceso de 1,087 líneas. Y con cálculos similares se construye la tabla siguiente.

Latitud del lugar Longitud del péndulo Medida de un grado en el meridiano Latitud del lugar Longitud del péndulo Medida de un grado en el meridiano grados pies líneas toesas grados pies líneas toesas 0 3 · 7,468 56637 46 3 · 8,461 57022 5 3 · 7,482 56642 7 3 · 8,494 57035 10 3 · 7,526 56659 8 3 · 8,528 57048 15 3 · 7,596 56687 9 3 · 8,561 57061 20 3 · 7,692 56724 50 3 · 8,594 57074 25 3 · 7,812 56769 55 3 · 8,756 57137 30 3 · 7,948 56823 60 3 · 8,907 57196 35 3 · 8,099 56882 65 3 · ?,044 57250 40 3 · 8,261 56945 70 3 · 9,162 57295 1 3 · 8,294 56958 75 3 · 9,258 57332 2 3 · 8,327 56971 80 3 · 9,329 57360 3 3 · 8,361 56984 85 3 · 9,372 57377 4 3 · 8,394 56997 90 3 · 9,387 57382 45 3 · 8,428 57010

Por esta tabla se ve con claridad que la desigualdad de los grados es tan pequeña que en asuntos geográficos la figura de la Tierra puede considerarse esférica: sobre todo si la Tierra es algo más densa hacia el plano ecuatorial que hacia los polos.

Ahora bien, algunos astrónomos enviados a lejanas tierras para hacer observaciones astronómicas, han observado que los relojes de péndulo oscilaban más lentamente cerca del ecuador que en nuestras regiones. El primero fue el señor Richer que lo observó el año de 1672 en la isla de Cayena. Pues, mientras observaba el paso de las fijas por el meridiano en el mes de agosto, se dio cuenta de que su reloj se movía más lentamente que el movimiento medio del Sol con una diferencia de 2′ 28″ por día. Después preparó un péndulo simple que oscilaba al segundo, medido mediante un buen reloj y anotó la longitud del péndulo simple una vez por semana durante diez meses. Después, vuelto a Francia, comparó esa longitud del péndulo con la longitud del péndulo en París (que era de 3 pies parisinos y 8⅗ líneas) y halló que resultaba más corta en 1¼ líneas.

Más tarde nuestro Halley hacia 1677, navegando hacia la isla de Sta. Elena, observó que su reloj de péndulo se movía allí más lentamente que en Londres, pero no anotó la diferencia. Pero acortó la longitud del péndulo en más de una octava parte de pulgada, o sea, en una línea y media. Para hacer esto, como no alcanzaba el tornillo de la parte inferior del péndulo, interpuso un anillo de madera entre la tuerca del tornillo y el peso del péndulo.

Después, en el año 1682 los señores Varin y Des Hayes hallaron que la longitud del péndulo oscilante al segundo en el Real Observatorio de París era de 3 pies y 85⁄9 líneas. Con el mismo método hallaron que en la isla de Gore la longitud del péndulo isócrono era de 3 pies y 65⁄9 líneas, con una diferencia de 2 líneas respecto al anterior. Y ese mismo año navegando a las islas de Guadalupe y Martinica hallaron que la longitud del péndulo isócrono en esas islas era de 3 pies y 6½ líneas.

Posteriormente el señor Couplet, hijo, en junio de 1697, ajustó su reloj de péndulo al movimiento medio del Sol en el Real Observatorio de París de manera que concordase durante un tiempo largo con el movimiento del Sol. Después, navegando hasta Lisboa halló que en el mes de noviembre siguiente el reloj marchaba más lentamente que antes siendo la diferencia de 2′ 13″ cada 24 horas. Y al siguiente mes de marzo navegando hasta Paraiba observó que allí su reloj marchaba más despacio que en París siendo la diferencia de 4′ 12″ cada 24 horas. Afirma que el péndulo oscilando al segundo era en Lisboa 2½ líneas más corto y en Paraiba 32⁄3 más corto que en París. Más correctas hubieran sido las diferencias si las hubiera establecido en 1⅓ y 25⁄9. Ya que estas diferencias corresponden a las diferencias de tiempos de 2′ 13″ y 4′ 12″. No hay que fiarse de sus toscas observaciones.

En los años siguientes (1699 y 1700) Des Hayes viaja de nuevo a América y determinó que en las islas de Cayena y Granada la longitud del péndulo oscilando al segundo era algo menor de 3 pies y 6½ líneas, y que en la isla de San Cristóbal dicha longitud era de 3 pies y 6¾ líneas mientras que en la isla de Sto. Domingo era de 3 pies y 7 líneas.

Y en el año 1704, Fueille determinó en Porto Bello en América que la longitud del péndulo oscilante al segundo era de tres pies parisinos y sólo 57⁄12 líneas, es decir, casi tres líneas más corta que en París, pero la observación es errónea. Pues, pasando de allí a la isla Martinica, halla que la longitud del péndulo isócrono era solamente de tres pies parisinos y 510/12 líneas.

Ahora bien, la latitud de Paraiba es de 6.º 38′ sur, la de Porto Bello, 9.º 33″ norte y las latitudes de las islas de Cayena, Gore, Guadalupe, Martinica, Granada, San Cristóbal y Santo Domingo, son respectivamente, 4.º 55′, 14.º 40′, 14.º 00′, 14.º 44′, 12.º 6′, 17.º 19′ y 19.º 48′. Y el exceso de la longitud del péndulo en París sobre las longitudes de los péndulos isócronos observadas en esas latitudes es un poco mayor que el correspondiente a tenor de la tabla de longitudes del péndulo calculada poco más arriba. Y por tanto la Tierra es algo más alta en el ecuador que lo previsto en el cálculo anterior y algo más densa hacia el centro que en los pozos próximos a la superficie, salvo que los calores de la zona tórrida aumentasen un tanto la longitud del péndulo.

Picard ha observado, efectivamente, que una varilla de hierro que en invierno medía un pie de larga con el frío de los hielos, calentada al fuego resultaba de un pie y un cuarto de línea. Después, De la Hire observó que una varilla de hierro que en tiempo igualmente invernal era de seis pies de longitud, cuando se exponía al Sol del verano resultaba de seis pies y dos tercios de línea. En el primer caso el calor era mayor que en el segundo pero en éste el calor fue mayor que el de las partes externas del cuerpo humano, pues lo metales con el calor del sol estival se calientan en gran medida. Pero la varilla del péndulo en el reloj oscilatorio nunca se expone al calor del sol estival, nunca recibe un calor igual al calor de la superficie externa del cuerpo humano. Por lo mismo la varilla del péndulo del reloj de tres pies de larga, será un poco más larga en verano que en invierno, pero el exceso escasamente superará ¼ de línea. Por consiguiente, la diferencia total de longitud de péndulos que sean isócronos en las diferentes latitudes, no puede atribuirse a las diferencias de calor. Tampoco a los errores de los astrónomos enviados por Francia. Pues, aunque sus observaciones no concuerdan exactamente entre ellas, sin embargo los errores son tan pequeños que se pueden despreciar. Y todos convienen en algo, en que los péndulos isócronos son más cortos en el ecuador que en el Real Observatorio de París, siendo la diferencia no menor de una línea y cuarto y no mayor de 22⁄3 líneas. Por las observaciones de Richer en Cayena la diferencia resultaba de una línea y cuarto. Por las observaciones de Des Hayes dicha diferencia corregida resultaba de una línea y media o de una línea y tres cuartos de línea. Por las observaciones menos exactas de otros dicha diferencia resultaba de casi dos líneas. Esta diferencia pudo deberse en parte a errores de observación, en parte a la desemejanza de las partes interiores de la Tierra y de la altura de los montes y en parte a los distintos calores del aire.

En mi opinión, una varilla de hierro de tres pies de larga es en Inglaterra en invierno un sexto de línea más corta que en verano. Por los calores ecuatoriales, réstese esta cantidad de la diferencia de una línea y cuarto observada por Richer y quedará 11⁄12 líneas; cosa que concuerda bastante bien con 187 / 1000 líneas establecidas antes por la teoría. Richer repitió cada semana durante diez meses las observaciones hechas en Cayena y comparó las longitudes de la varilla de hierro del péndulo anotadas allí con las anotadas de igual modo en Francia. Diligencia y cautela que parecen faltar en otros observadores. Si sus observaciones son de fiar, la Tierra será más alta en el ecuador que en los polos con un exceso de casi 17 millas, como la teoría había determinado más arriba.

PROPOSICIÓN XXI. TEOREMA XVII

Los puntos equinocciales retroceden y el eje de la Tierra en cada revolución anual se balancea inclinándose dos veces hacia la eclíptica y retornando dos veces a la posición inicial.

Se sigue del Corolario 20 de la Proposición LXXI del Libro I. Pero este movimiento de nutación debe ser muy pequeño, y apenas o, ni apenas, sensible.

PROPOSICIÓN XXII. TEOREMA XVIII[10]

Todos los movimientos lunares, y todas las desigualdades de los movimientos se siguen de los principios expuestos.

De la Proposición LXV del Libro I se sigue que los planetas mayores, mientras giran en torno al Sol, pueden arrastrar a otros planetas menores girando en torno a ellos mismos, y estos menores deben girar en elipses que tienen sus focos en los centros de los mayores. Pero por la acción del Sol sus movimientos resultarán perturbados de diversas formas, y sufrirán de las desigualdades que se observan en nuestra Luna. Esta, en efecto (por los Corolarios 2, 3, 4 y 5 de la Proposición LXVI del Libro I) se mueve rápidamente y con un radio trazado a la Tierra describe un área mayor que la correspondiente al tiempo y tiene una órbita menos curva y por ello se acerca más a la Tierra en las sicigias que en las cuadraturas, salvo en la medida en que la excentricidad lo impide. Ahora bien, la excentricidad es máxima (por el Corolario 9 de la Proposición LXVI) cuando el apogeo de la Luna ocurre en las sicigias, mientras que es mínima cuando acontece en las cuadraturas; y de aquí que la Luna es más veloz y más próxima a nosotros en el perigeo y más lenta y remota en el apogeo, en las sicigias que en las cuadraturas. Además, el apogeo avanza mientras que los nodos retroceden, pero con movimiento desigual. Pues el apogeo (por los Corolarios 7 y 8 de la Proposición LXVI) avanza más velozmente en las sicigias y regresa más lentamente en las cuadraturas, y el exceso del progreso sobre el regreso tiene una resultante anual hacia adelante. Los nodos, en cambio (por el Corolario 2 de la Proposición LXVI) reposan en las sicigias y retroceden muy rápidamente en las cuadraturas. Pero la latitud máxima de la Luna es mayor en sus cuadraturas (por el Corolario 10 de la Proposición LXVI) que en las sicigias, y el movimiento medio es más lento en el perihelio terrestre que en su afelio. Y éstas son las desigualdades más notables registradas por los astrónomos.

Pero hay también otras desigualdades no observadas por los anteriores astrónomos por medio de las cuales los movimientos lunares sufren perturbaciones tales que hasta la fecha no han podido ser reducidas a regla cierta alguna. Las velocidades o los movimientos horarios de los apogeos y nodos lunares y sus ecuaciones así como las excentricidades máximas en las sicigias y mínimas en las cuadraturas, o la desigualdad llamada variación, aumentan y disminuyen anualmente (por el Corolario 14 de la Proposición LXVI) en razón del cubo del diámetro aparente del Sol. Y la variación, además, aumenta o disminuye en razón del cuadrado del tiempo entre cuadraturas muy aproximadamente (por los Corolarios 1 y 2 del Lema X y el Corolario 16 de la Proposición LXVI del Libro I), pero esta desigualdad, en los cálculos astronómicos, suele incluirse en la prostaféresis lunar y confundirse con ella.

PROPOSICIÓN XXIII. PROBLEMA V

Derivar los movimientos desiguales de los satélites de Júpiter y de Saturno a partir de los movimientos lunares.

Partiendo de los movimientos de nuestra Luna se derivan los movimientos análogos de las lunas o satélites de Júpiter del modo siguiente. El movimiento medio de los nodos del satélite exterior de Júpiter es al movimiento medio de los nodos de nuestra Luna en una razón compuesta de la razón cuadrada entre el tiempo periódico de la Tierra en torno al Sol y el tiempo periódico de Júpiter en torno al Sol, y de la razón simple entre el tiempo periódico del satélite en torno a Júpiter y el tiempo periódico de la Luna en torno a la Tierra (por el Corolario 16 de la Proposición LXVI del Libro I) y por tanto en cien años dicho nodo avanza 8.º 24′ hacia adelante. Los movimientos medios de los nodos de los satélites interiores son al movimiento del anterior como sus tiempos periódicos al tiempo periódico del exterior (por el mismo Corolario) y por tanto están dados. En cambio el movimiento del ápside de un satélite cualquiera hacia adelante es al movimiento regresivo de sus nodos como el movimiento del apogeo de nuestra Luna a su movimiento de los nodos (por el mismo corolario) y por tanto están dados. Pero este movimiento de los ápsides así hallado debe disminuirse en razón de 5 a 9 o de 1 a 2 aproximadamente, por razones que no hay espacio aquí de exponer. Las ecuaciones máximas de los nodos y del ápside de un satélite cualquiera casi son a las ecuaciones máximas de los nodos y el ápside de la Luna respectivamente como el movimiento de los nodos y del ápside de los satélites en el tiempo de una revolución de las ecuaciones primeras al tiempo de los nodos y del apogeo de la Luna en el tiempo de una revolución de las ecuaciones segundas. La variación de un satélite visto desde Júpiter es a la variación de la Luna como son entre sí todos los movimientos de los nodos en los tiempos en los que el satélite y la Luna regresan hacia el Sol, por el mismo Corolario; y por tanto, para el satélite exterior, no pasa de 5″ 12‴.

PROPOSICIÓN XXIV. TEOREMA XIX

El flujo y reflujo del mar proceden de las acciones del Sol y de la Luna.

Cada día, tanto lunar como solar, debe crecer y decrecer el mar dos veces como se desprende de los Corolarios 19 y 20 de la Proposición LXVI del Libro I, lo mismo que se desprende que la máxima altura del agua en los mares profundos y abiertos sigue en un espacio menor de seis horas al paso de los astros por el meridiano del lugar, como ocurre en todo el recorrido del mar Atlántico y Etiópico desde Francia al Cabo de Buena Esperanza al igual que en el mar Pacífico en la costa chilena y peruana; en todos los cuales litorales la marea ocurre a las dos, tres o cuatro horas, salvo cuando el movimiento se propaga desde el océano profundo a través de fondos de poco calado y se retarda hasta la hora quinta, sexta, séptima o más. Cuento las horas desde la llegada de ambos astros al meridiano del lugar, tanto bajo como sobre el horizonte, y entiendo por horas del día lunar las vigesimocuartas partes del tiempo en el cual la Luna con el movimiento aparente diurno regresa al meridiano del lugar. La fuerza del Sol o de la Luna para elevar el mar es máxima en el mismo paso del astro por el meridiano del lugar. Pero la fuerza impresa en el mar en ese momento permanece durante algún tiempo y aumenta por causa de la nueva fuerza impresa después, hasta que el mar alcanza la altura máxima, cosa que ocurre al cabo de una o dos horas aunque más frecuentemente sea al cabo de tres cuando alcance las costas, o incluso más, si el mar es poco profundo. Pero los dos movimientos que los dos astros provocan, no se ven separadamente, sino que constituyen un cierto movimiento mixto. En la conjunción de los astros o en la oposición también se juntan sus efectos, y se componen el flujo o reflujo máximos. En las cuadraturas el Sol aporta agua cuando la Luna la retrae, y la retrae cuando la Luna la aporta; y de la diferencia de los efectos surgirá la marea más pequeña de todas. Y puesto que, bajo el testimonio de la experiencia, es mayor el efecto de la Luna que el del Sol la altura máxima del agua ocurre aproximadamente en la tercera hora lunar. Fuera de las sicigias y de las cuadraturas, la marea máxima que por la sola fuerza lunar debería siempre ocurrir en la tercera hora lunar y con la sola fuerza solar en la tercera hora solar, con la composición de ambas fuerzas ocurre en un tiempo intermedio más próximo a la tercera hora lunar; por ello al pasar la Luna de las sicigias hacia las cuadraturas, cuando la tercera hora solar precede a la tercera lunar, la altitud máxima de las aguas precede también a la tercera hora lunar, y esto con intervalo máximo poco después de los octantes lunares; y con intervalos parecidos la marea máxima seguirá a la tercera hora lunar al pasar la Luna de las cuadraturas hacia las sicigias. Esto es así en mar abierto. Pues en las desembocaduras de los ríos las mareas máximas, en iguales circunstancias, alcanzan más tarde su «ἁκμíα» (acmé).

Pero los efectos de los astros dependen de sus distancias a la Tierra. Pues a menores distancias son mayores sus efectos, y menores a mayores distancias, y esto en razón del cubo de sus diámetros aparentes. Por tanto, el Sol, en invierno, hallándose en el perigeo, produce efectos mayores, y hace que las mareas en las sicigias sean algo mayores y en las cuadraturas algo menores (en circunstancias iguales) que en verano; y la Luna en el perigeo de cada mes genera mareas más grandes que quince días antes o después, cuando se halla en el apogeo. De donde se sigue que dos mareas absolutamente máximas no se sigan una a otra en sicigias inmediatamente sucesivas.

También dependen los efectos de ambos astros de su declinación o distancia al ecuador. Pues si el astro se situase en el polo, atraería hacia allí a cada parte de agua de modo constante, sin aumento y disminución de la acción, con lo que no provocaría ninguna reciprocación de movimientos. Por consiguiente, los astros al apartarse del ecuador hacia los polos, pierden gradualmente sus efectos, y por ello generarán menores mareas en las sicigias solsticiales que en las equinocciales. En cambio, en las cuadraturas solsticiales provocarán mayores mareas que en las cuadraturas equinocciales, debido a que la Luna situada ahora en el ecuador supera en su efecto al del Sol más que nunca. Por tanto ocurren las mareas máximas en las sicigias y las mínimas en las cuadraturas de los astros, en torno a las fechas de uno y otro equinoccio. Y a una marea máxima en las sicigias acompaña siempre, como muestra la experiencia, una marea mínima en las cuadraturas. Mas, por la menor distancia del Sol a la Tierra en invierno que en verano, ocurre que las mareas máximas y mínimas precedan más frecuentemente que sigan al equinoccio de primavera y más frecuentemente le sigan que le precedan en el otoño.

También dependen los efectos de los astros de la latitud de los lugares. Represente ApEP a la Tierra cubierta de agua profunda por todas partes; C su centro; P, p los polos; AE el ecuador; F un punto cualquiera fuera del ecuador; Fƒ el paralelo del punto; Dd el paralelo correspondiente al anterior al otro lado del ecuador; L el lugar ocupado por la Luna tres horas antes; H el lugar de la Tierra perpendicularmente debajo; h el lugar opuesto al anterior; K, k los lugares distantes de los anteriores 90.º, CH, Ch las alturas máximas del mar medidas desde el centro de la Tierra; y CK, Ck las alturas mínimas: y si con los ejes Hh, Kk, se describe una elipse y con la revolución de dicha elipse se obtiene el esferoide HPKhpk, esta figura representará muy aproximadamente a la del mar, y CF, Cƒ, CD, Cd, serán las alturas del mar en los lugares F, ƒ, D, d. Además, en la susodicha revolución de la elipse un punto cualquiera N, describirá un círculo NM secante de los paralelos Fƒ, Dd en unos lugares cualesquiera R, T, y del ecuador AE en S; CN será entonces la altura del mar en todos los lugares R, S, T, situados en este círculo. De aquí que, en la revolución diaria de cualquier punto F, el aflujo será máximo en F, en la tercera hora después del paso de la Luna por el meridiano sobre el horizonte; después, el reflujo máximo en Q tres horas después del ocaso de la Luna; después el aflujo máximo en ƒ a la tercera hora siguiente al paso de la Luna por el meridiano bajo el horizonte; por fin el reflujo máximo en Q en la tercera hora después del orto lunar; y el aflujo posterior en ƒ será menor que el aflujo anterior en F. Pues el mar entero se divide en dos flujos completamente hemisféricos, uno en el hemisferio KHk vertido hacia el lado boreal y el otro en el hemisferio Khk, a los cuales se puede llamar flujo boreal y flujo austral. Estos flujos oponiéndose entre ellos y alternativamente acuden siempre a los meridianos de cada lugar, mediando entre ellos un tiempo de doce horas lunares. Y puesto que las regiones boreales participan en mayor grado del flujo boreal y las australes del austral, de ello se sigue que surjan mareas alternativamente mayores y menores en cada uno de los lugares, fuera del ecuador, por los que nacen o se ponen los astros. Pero la marea mayor, cuando la Luna declina hacia el vértice del lugar, ocurre casi en la hora tercera del paso de la Luna por el meridiano sobre el horizonte, y al cambiar la declinación de la Luna empieza a disminuir. Y la máxima diferencia de flujos ocurre en la época de los solsticios; sobre todo si el nodo ascendente de la Luna viene a ocurrir al principio de Aries. Así atestigua la experiencia que las mareas matutinas en invierno superan a las vespertinas y las vespertinas superan en verano a las matutinas, diferencia que en Plymouth alcanza un pie de altura, mientras que en Bristol llega a quince pulgadas, según las observaciones de Colepress y de Sturmy.

Pero los movimientos descritos hasta aquí cambian un tanto debido a aquella fuerza de reciprocación de las aguas, por la que la marea del mar, incluso habiendo cesado las acciones de los astros, podría continuar durante algún tiempo. Esta conservación del movimiento impreso disminuye la diferencia de mareas alternas; y hace mayores las mareas inmediatamente posteriores a las sicigias, mientras hace disminuir a las inmediatamente posteriores a las cuadraturas. De lo que resulta que las mareas alternas en Plymouth y Bristol no difieren entre sí más de un pie o quince pulgadas de altura; y que las mareas mayores de todas en esos mismos puertos no sean las primeras desde las sicigias, sino las terceras. También se retrasan todos los movimientos por su tránsito por los vados, hasta el punto de que las mareas mayores de todas en determinados estrechos y desembocaduras de ríos, sean las cuartas o incluso las quintas después de las sicigias.

Además puede ocurrir que la marea se propague desde el océano hacia un mismo puerto por estrechos diferentes, y llegue primero por un estrecho que por otro; en cuyo caso la misma marea, dividida en dos arribadas o más, podría componer movimientos nuevos de distintas clases. Imaginemos que dos mareas iguales llegan al mismo puerto desde lugares distintos, de las cuales la primera precede a la segunda en seis horas, y acontezca en la tercera hora después del paso de la Luna por el meridiano del puerto. Si la Luna en este paso por el meridiano se hallare en el ecuador, vendrán cada seis horas aflujos iguales, los cuales incidiendo sobre los reflujos mutuos los igualarán a los aflujos, haciendo de este modo que en el espacio de ese día el agua repose tranquila. Si en ese momento la Luna declinase del ecuador, las mareas ocurrirán en el océano alternativamente mayores y menores, como se ha dicho; y de aquí se propagarán hacia el dicho puerto dos aflujos mayores y dos menores, en veces alternas. Pero los dos aflujos mayores compondrán una muy grande elevación de agua en el medio entre ambos, el aflujo mayor y menor harán que el agua ascienda a una altura media en el medio entre ambos, y entre los dos aflujos menores el agua ascenderá a la altura mínima. De este modo, en el espacio de veinticuatro horas, el agua alcanzará la máxima altura no dos veces como suele ocurrir, sino solamente una vez y una sola vez la mínima; y la altura máxima, si la Luna declina hacia el polo sobre el horizonte del lugar, ocurrirá en la hora sexta o en la treinta después del paso de la Luna por el meridiano, y al cambiar la declinación de la Luna se tornará en reflujo. Un ejemplo de todo lo cual ha ofrecido Halley a partir de las observaciones de los navegantes en el puerto de Batshae en el reino de Tonquin con una latitud boreal de 20.º 50′. Allí el agua al día siguiente del paso de la Luna por el ecuador se estanca, después, al declinar la Luna hacia el Norte empieza a fluir y refluir, no dos veces como en otros puertos, sino una sola vez cada día; y la marea ocurre al ocaso de la Luna mientras la bajamar máxima ocurre al orto lunar. Con la declinación de la Luna aumenta esta marea hasta el día séptimo u octavo, y después durante otros siete días decrece gradualmente como antes había crecido; y cesa con el cambio de declinación de la Luna, y al fin se torna en reflujo. A partir de ese momento el reflujo coincide con el ocaso de la Luna y el aflujo con el nacimiento, hasta que de nuevo cambie la declinación. Doble es la entrada a este puerto y a los estrechos próximos, una desde el océano chino entre el continente y la isla de Leucoma y la otra desde el mar Indico entre el continente y la isla de Borneo. Dejo para observaciones de las costas vecinas el determinar si la marea procedente del mar Indico en doce horas y la procedente del mar de China en seis a través de dichos estrechos, incidiendo así en las horas lunares tercera y novena, llegan a componer movimientos de este género, o si más bien es otra la condición de aquellos mares.

Hasta ahora he expuesto las causas de los movimientos de la Luna y de los mares. Ahora será conveniente añadir algo sobre la cantidad de los movimientos.

PROPOSICIÓN XXV. PROBLEMA VI

Hallar las fuerzas del Sol para perturbar los movimientos de la luna.

Represente S el Sol, T la Tierra, P la Luna, CABD la órbita de la Luna. Sobre SP tómese SK igual a ST; y sea SL a SK en razón cuadrada de SK a SP, y trácese LM paralela a PT; y si la gravedad aceleratriz de la Tierra hacia el Sol se representa por la distancia ST o SK, será SL la gravedad aceleratriz de la Luna hacia el Sol. Esta fuerza se compone de las partes SM y LM, de las cuales LM y la parte TM de SM perturban el movimiento de la Luna, como se expuso en la Proposición LXVI y sus Corolarios del Libro I. En tanto que la Tierra y la Luna giran en torno a un centro común de gravedad, también será perturbado el movimiento de la Tierra en torno a dicho centro por fuerzas similares; pero las sumas, tanto de las fuerzas como de los movimientos son susceptibles de ser referidos a la Luna, y representar las sumas de las fuerzas por medio de las líneas TM y ML análogas a ellas. La fuerza ML en su valor medio es a la fuerza centrípeta, con la que la Luna puede girar en torno a la Tierra en reposo a la distancia PT, como la razón cuadrada de los tiempos de la Luna en torno a Ja Tierra y de la Tierra en torno al Sol (por el Corolario 17 de la Proposición LXVI del Libro I), es decir, como la razón cuadrada de 27d. 7h. 43′ a 365 d. 6h. 9′, o sea, como 1000 a 178 725 o también como 1 a 17829⁄40. Pero hemos hallado en la Proposición Cuarta que si la Tierra y la Luna giran; en torno a su centro común de gravedad, su distancia mutua media será de 60½ semidiámetros medios terrestres muy aproximadamente. Y la fuerza con la que la Luna puede girar en torno a la Tierra en reposo a la distancia PT de 60½ semidiámetros terrestres es a la fuerza con la que puede girar, en el mismo tiempo a la distancia de 60 semidiámetros, como 60½ a 60; y esta fuerza es a la fuerza de la gravedad entre nosotros como 1 a 60 x 60, muy aproximadamente. Por consiguiente, la fuerza media ML es a la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra como 1 x 60½ a 60 x 60 x 60 x 17829⁄40, o también como 1 a 638092,6. De suerte que por la proporción de las líneas TM, ML está dada también la fuerza TM; y éstas son las fuerzas del Sol por las que resultan perturbados los movimientos de la Luna. Q. E. I.

PROPOSICIÓN XXVI. PROBLEMA VII

Hallar el incremento horario del área que, con un radio trazado a la Tierra, describe la Luna en una órbita circular.

Hemos dicho que el área que describe la Luna con un radio trazado a la Tierra es proporcional al tiempo, salvo en la medida en que el movimiento lunar es perturbado por la acción del Sol. Nos proponemos investigar aquí la desigualdad del momento, o del incremento horario. Para que el cálculo resulte más sencillo, supongamos que la órbita de la Luna es circular, despreciemos todas las desigualdades, con la sola excepción de la que tratamos aquí. Pero por la enorme distancia del Sol, supongamos también que las líneas SP, ST son paralelas entre sí. De este modo la fuerza LM se reduce siempre a su valor medio TP, al igual que la fuerza TM se reduce a su valor medio 3PK. Estas fuerzas (por el Corolario II de las Leyes) componen la fuerza TL; y esta fuerza, si se hace descender la perpendicular LE sobre el radio TP, se descompone en las fuerzas TE, EL, de las cuales TE, actuando siempre según el radio TP ni acelera ni retrasa la descripción del área TPC realizada por el susodicho radio TP; mientras que EL actuando según la perpendicular, la acelera o retarda, en la medida en que acelera o retarda a la Luna. Esta aceleración de la Luna, a su paso de la cuadratura C a la conjunción A, realizada en cada momento de tiempo, es como la misma fuerza aceleratriz, es decir, como 3PK x TK / TP. Represéntese el tiempo por el movimiento medio lunar o (lo que casi es lo mismo) por el ángulo CTP, o también por el arco CP. Sobre CT elévese la normal CG igual a la propia CT. Y dividiendo el arco cuadrantal AC en innumerables partículas iguales Pp, etc., por las que se representasen otras tantas partículas iguales de tiempo, y trazada pk perpendicular a CT, únanse TG con las prolongaciones de KP, kp cortándose en F y ƒ; y FK será igual a TK, y Kk será a PK como Pp a Tp, es decir, en una razón dada, y por consiguiente FK x Kk o el área FKkƒ sera como 3PK x TK / TP, esto es, como EL; y, componiendo, el área total de GCKF como la suma de todas las fuerzas EL impresas en la Luna en el tiempo total CP, y por tanto también como la velocidad generada con esa suma, o sea, como la aceleración de la descripción del área CTP, o incremento del momento. La fuerza con la que la Luna podría girar en torno a la Tierra en reposo a la distancia TP, en su tiempo periódico CADB de 27d. 7h. 43′, haría que un cuerpo, cayendo en el tiempo CT, describiese la longitud ½CT, y adquiriría mientras tanto una velocidad igual a aquella con la que la Luna se mueve en su órbita. Esto es evidente por el Corolario 9 de la Proposición IV del Libro I. Pero, puesto que la perpendicular Kd abatida sobre TP es la tercera parte de la propia EL, y la mitad de TP o de ML en los octantes, la fuerza EL en los octantes, cuando mayor resulta, superará a la fuerza ML en razón de 3 a 2, y por lo mismo, será a la fuerza con la cual la Luna puede girar en torno a la Tierra en reposo en su tiempo periódico, como 100 a 2⁄3 x 17 872½, o sea, 11 915, y en el tiempo CT deberá generar una velocidad que fuese la 100⁄11915 parte de la velocidad lunar, mientras que en el tiempo CPA generaría una velocidad mayor en la proporción de CA a CT o TP. Represéntese la fuerza máxima en los octantes EL por medio del área FK x Kk, igual al rectángulo ½TP x Pp. Y la velocidad que la fuerza máxima puede generar en un tiempo cualquiera CP, será a la velocidad que toda fuerza menor EL genera en el mismo tiempo, como el rectángulo ½TP x CP al área KCGF: en cambio, en el tiempo entero CPA, las velocidades generadas serán entre sí como el rectángulo ½TP x CA y el triángulo TCG, o como el arco cuadrantal CA y el radio TP. Por lo tanto (por la Proposición IX del Libro V de los Elementos) la última velocidad, generada en todo el tiempo será 100⁄11915 partes de la velocidad de la Luna. A esta velocidad de la Luna, que es análoga al momento medio del área, añádase o réstese la mitad de la otra velocidad; y si se representa el momento medio por el número 11 915, la suma 11 915 + 50, o sea, 11 965 representará el momento máximo del área en la sicigia A, mientras que la diferencia 11 915 - 50, o sea, 11 865 el momento mínimo de la misma en las cuadraturas. Por consiguiente, las áreas descritas en tiempos iguales en las sicigias y en las cuadraturas son entre sí como 11 965 a 11 865. Añádase al momento mínimo 11 865 un momento que sea a la diferencia 100 de los momentos como el trapecio FKCG al triángulo TCG (o lo que es lo mismo, como el seno cuadrado de PK al cuadrado del radio TP, esto es, como Pd a TP) y la suma representará el momento del área cuando la Luna se halla en un lugar P intermedio.

Todo esto es así, en la hipótesis de que el Sol y la Tierra están en reposo, y la Luna gira en el tiempo sinódico de 27d. 7h. 43′. Pero como el período sinódico lunar sea en realidad de 29d. 12h. 44′, deben aumentarse los incrementos de los momentos en razón del tiempo, esto es, en razón de 1 080 853 a 1 000 000. De este modo el incremento total, que era 100⁄11915 partes del momento medio será ahora de 100⁄11023 partes del mismo. Por ello el momento del área en la cuadratura de la Luna será a su momento en la sicigia como 11 023 - 50 a 11 023 + 50, o sea, como 10 973 a 11 073; y a su momento, cuando la Luna se halla en otro lugar intermedio cualquiera P, como 10 973 a 10 973 + Pd, siendo TP igual a 100.

Por lo tanto, el área que describe la Luna con un radio trazado a la Tierra en cada una de las partículas iguales de tiempo, es muy aproximadamente como la suma del número 219,46 y el seno verso del doble de la distancia de la Luna a la cuadratura próxima, en un círculo cuyo radio es la unidad. Todo esto es así cuando la variación en los octantes es de valor medio. Pero si la variación es allí mayor o menor, dicho seno verso debe aumentarse o disminuirse en la misma razón.

PROPOSICIÓN XXVII. PROBLEMA VIII

Hallar la distancia de la Luna a la Tierra a partir del movimiento horario de la Luna.

El área que la Luna, con un radio trazado a la Tierra, describe en cada uno de los momentos de tiempo, es como el movimiento horario de la Luna y el cuadrado de la distancia de la Luna a la Tierra conjuntamente; y por tanto, la distancia de la Luna a la Tierra está en razón compuesta de la raíz cuadrada del área directamente y de la raíz cuadrada del movimiento horario inversamente. Q. E. I.

COROLARIO 1. De aquí que venga dado el diámetro aparente de la Luna, toda vez que es inversamente como su distancia a la Tierra. Intenten los astrónomos comprobar la medida en que esta regla concuerda con los fenómenos.

COROLARIO 2. De aquí también que la órbita lunar pueda definirse a partir de los fenómenos más exactamente que antes.

PROPOSICIÓN XXVIII. PROBLEMA IX

Hallar los diámetros de la órbita en que debe moverse la Luna sin excentricidad.

La curvatura de la trayectoria que describe un móvil, si es atraído según la perpendicular a dicha trayectoria, es directamente como la atracción e inversamente como el cuadrado de la velocidad. Supongo que las curvaturas de las líneas son entre sí como las razones últimas de los senos o de las tangentes de los ángulos de contacto pertenecientes a radios iguales, cuando tales radios disminuyen infinitamente. Pero la atracción de la Luna hacia la Tierra en las sicigias es el exceso de su gravedad hacia la Tierra sobre la fuerza del Sol 2PK (véase figura, Proposición XXV) por la que la gravedad aceleratriz de la Luna hacia el Sol supera a la gravedad aceleratriz de la Tierra hacia el Sol o es superada por ella. Pero en las cuadraturas dicha atracción es la suma de la gravedad de la Luna hacia la Tierra y de la fuerza solar KT, con la que la Luna es atraída hacia la Tierra. Si llamamos N a AT + CT / 2 estas atracciones son como

178725 / AT2

-

2000 / CT x N

y

178725 / CT2

+

1000 / AT x N

muy aproximadamente; o también como 178 725N x CT2 - 2000AT2 x CT y 178 725N x AT2 + 1000CT2 x AT. Pues, si la gravedad aceleratriz de la Luna hacia la Tierra se representa por el número 178 725, la fuerza media ML, que en las cuadraturas es PT o TK y atrae a la Luna hacia la Tierra, será 1000, mientras que la fuerza media TM en las sicigias será 3000; de la cual, si se resta la fuerza media ML, quedará 2000, fuerza con la que en las sicigias es atraída la Luna por la Tierra, y a la cual ya he denominado antes 2PK. Pero la velocidad de la Luna en las sicigias A y B es a su velocidad en las cuadraturas C y D, como CT a AT y el momento del área que describe la Luna con un radio trazado a la Tierra en las sicigias al momento de la misma área en las cuadraturas conjuntamente, esto es, como 11 073CT a 10 973AT.

Tómese inversamente el cuadrado de esta razón y directamente la primera razón y resultará la curvatura de la órbita lunar en las sicigias a la curvatura de la misma en las cuadraturas como 120 406 729 x 178 725AT2 x CT2 x N - 120 406 729 x 2000AT4 x CT a 122 611 329 x 178 725AT2 x CT2 x N + 122 611 329 x 1000CT4 x AT, esto es, como 2 151 969AT x CT x N - 24 081AT3 a 2 191 371AT x CT x N + 12 261CT3.

Puesto que la figura de la órbita lunar se desconoce, supongamos en su lugar la elipse DBCA, en cuyo centro T se halle la Tierra, y cuyo eje mayor DC yace entre las cuadraturas, mientras el menor AB yace entre las sicigias. Pero puesto que el plano de esta elipse se mueve con un movimiento angular en torno a la Tierra, y la trayectoria cuya curvatura consideramos debe ser descrita en un plano carente por completo de movimiento angular, debemos considerar la figura que describe la Luna al girar en elipse sobre este plano, esto es, la figura Cpa, cada uno de cuyos puntos p se halla tomando un punto cualquiera P en la elipse que represente el lugar de la Luna, y trazando Tp igual a TP con la condición de que el ángulo PTp sea igual al movimiento aparente del Sol efectuado desde el momento de la cuadratura C; o (lo que viene a ser lo mismo) de modo que el ángulo CTp sea al ángulo CTP como el tiempo de la revolución sinódica al tiempo de la revolución periódica, o sea, como 29d. 12h. 44′ a 27d. 7h. 43′. Tómese, pues, el ángulo CTa en la misma razón al ángulo CTA, y sea la longitud Ta igual a la longitud TA, y a será el ápside inferior y C el superior de esta órbita Cpa. Estableciendo proporciones encuentro que la diferencia entre la curvatura de la órbita Cpa en el vértice a y la curvatura del círculo con centro en T y radio TA es a la diferencia entre la curvatura de la elipse en el vértice A y la curvatura de ese mismo círculo como la razón cuadrada del ángulo CTP al ángulo CTp; y también que la curvatura de la elipse en A es a la curvatura del antedicho círculo como la razón cuadrada de TA a TC; y también que la curvatura del círculo antedicho es a la curvatura del círculo trazado con centro en T y radio TC como TC a TA; mientras que la curvatura de este último es a la curvatura de la elipse en C como la razón cuadrada de TA a TC; y también que la diferencia entre la curvatura de la elipse en el vértice C y la curvatura del segundo círculo mencionado es a la diferencia entre la curvatura de la figura Tpa en el vértice C y la curvatura del mismo recién mencionado círculo como la razón cuadrada del ángulo CTp al ángulo CTP. Razones que, por lo demás, son fáciles de obtener a partir de los senos de los ángulos de contacto y de las diferencias de ángulos. Y comparándolas entre sí, resulta que la curvatura de la figura Cpa en a es a su misma curvatura en C como AT3 + 16 824/100 000 CT2 x AT a CT3 + 16 824/100 000 AT2 x CT. Donde el número 16 824/100 000 representa la diferencia de los cuadrados de los ángulos CTP y CTp dividida por el cuadrado del ángulo menor CTP, o (lo que es lo mismo), la diferencia de los cuadrados de los tiempos 27d. 7h. 43′ y 29d. 12h. 44′ dividida por el cuadrado del tiempo 27d. 7h. 43′.

Por consiguiente, dado que a representa la sicigia de la Luna y C su cuadratura, la proporción hallada debe ser la misma que la proporción de la curvatura de la órbita de la Luna en las sicigias a su curvatura en las cuadraturas, proporción hallada más arriba. Por tanto, para hallar la proporción de CT a AT, multiplico entre sí medios y extremos. Y los términos resultantes divididos por AT x CT producen 2062,79CT4 - 2 151 969N x CT3 + 368 676N x AT x CT2 + 36 342AT2 x CT2 - 362 047N x AT2 x CT + 2 191 371N x AT3 + 4051,4AT4 = 0. Aquí, por la semisuma N de los términos AT y CT escribo 1, y por su semidiferencia escribo x, resulta CT = 1 + x, y AT = 1 - x; trasladando éstos a la ecuación y resolviendo la ecuación resultante se obtiene x igual a 0,00719, y por tanto el semidiámetro CT resulta 1,00719, y el semidiámetro AT 0,99281, números que son como 701⁄14 y 691⁄14 muy aproximadamente. Luego la distancia de la Luna a la Tierra en las sicigias es a su distancia en las cuadraturas (dejando de lado la consideración de la excentricidad) como 691⁄14 a 701⁄14, o en números redondos como 69 a 70.

PROPOSICIÓN XXIX. PROBLEMA X

Hallar la variación de la Luna.

Procede esta desigualdad en parte de la forma elíptica de la órbita lunar, y en parte de la desigualdad de los momentos del área que describe la Luna con un radio trazado a la Tierra. Si la Luna P se moviera en la elipse DBCA en torno a la Tierra en reposo en el centro de la elipse, y con el radio TP trazado a la Tierra describiera el área CTP proporcional al tiempo, y el semidiámetro mayor CT fuese al semidiámetro menor TA como 70 a 69, la tangente del ángulo CTP sería a la tangente del ángulo del movimiento medio calculado desde la cuadratura C como el semidiámetro TA de la elipse a su semidiámetro TC, o como 69 a 70. Pues la descripción del área CTP, al pasar la Luna de la cuadratura a la sicigia, debe acelerarse en una razón tal que el momento en la sicigia de la Luna sea a su momento en la cuadratura como 11 073 a 10 973, y de modo que el exceso del momento en un lugar intermedio cualquiera P sobre el momento cu la cuadratura sea como el cuadrado del seno del ángulo CTP. Cosa que ocurre con bastante exactitud si la tangente del ángulo CTP disminuye como la raíz cuadrada de la razón del número 10 973 al número 11 073, es decir, en la razón del número 68,6877 al número 69. De este modo, la tangente del ángulo CTP será ahora a la tangente del movimiento medio como 68,6877 a 70 y el ángulo CTP en los octantes, donde el movimiento medio es de 45.º, resultará de 44.º 27′ 28″, que restado del ángulo del movimiento medio de 45.º deja un resto de variación máxima de 32′ 32″. Esto sería así si la Luna, al pasar de la cuadratura a la sicigia, recorriera un ángulo de sólo 90.º. Pero por el movimiento de la Tierra, por el cual el Sol aparentemente se adelanta, la Luna, hasta que alcanza al Sol, describe un ángulo CTa mayor que un ángulo recto en la proporción del tiempo de la revolución sinódica lunar al tiempo de la revolución periódica, es decir, en la razón de 29d. 12h. 44′ a 27d. 7h. 43′. Y de esta manera todos los ángulos en torno al centro de T se dilatan en esa proporción, con lo que la variación máxima, que en otro caso sería de 32′ 32″, aumentada ahora en esa razón, se torna de 35′ 10″.

Este es su valor a la distancia media del Sol a la Tierra, ignorando las diferencias que puedan surgir de la curvatura del Orbe Máximo o de la mayor acción del Sol sobre la Luna menguante y nueva que creciente y llena. A otras distancias del Sol a la Tierra, la variación máxima está en razón compuesta de la razón cuadrada del tiempo de revolución sinódica lunar directamente (dado el tiempo del año) e inversamente de la razón cúbica de la distancia del Sol a la Tierra. Por consiguiente, en el apogeo del Sol, la variación máxima es de 33′ 14″, mientras que en su perigeo es de 37′ 11″, siempre que la excentricidad del Sol sea al semidiámetro transversal del Orbe Máximo como 1615⁄16 a 1000.

Hemos investigado hasta ahora la variación en una órbita no excéntrica, en la cual, por cierto, la Luna está siempre en sus octantes a la distancia media de la Tierra. Si la Luna, debido a su excentricidad, dista más o menos de la Tierra que si se hallase situada en dicha órbita, la variación puede ser entonces algo mayor o menor que lo establecido con la regla aquí dada; pero dejo para los astrónomos la tarea de determinar mediante los fenómenos el exceso o el defecto.

PROPOSICIÓN XXX. PROBLEMA XI

Hallar el movimiento horario de los nodos de la Luna en una órbita circular.

Representen S al Sol, T a la Tierra, P a la Luna, NPn la órbita de la Luna, Npn la proyección de la órbita sobre el plano de la eclíptica; Nn, los nodos, nTNm la línea de los nodos prolongada infinitamente; PI, PK, perpendiculares trazadas sobre el plano de la eclíptica; A, B, las sicigias de la Luna en el plano de la eclíptica; AZ, una perpendicular sobre la línea de los nodos Nn; Qq, las cuadraturas de la Luna en el plano de la eclíptica, y pK una perpendicular sobre la línea Qq situada entre las curvaturas. La fuerza del Sol para perturbar el movimiento de la Luna (por la Prop. XXV) es doble, una proporcional a la línea LM del esquema de dicha Proposición, y la otra proporcional a la línea MT. Y la Luna es atraída hacia la Tierra con la primera de las fuerzas y hacia el Sol con la segunda según una línea recta paralela a la recta ST trazada de la Tierra al Sol. La primera fuerza LM actúa según el plano de la órbita lunar, y por ello en nada cambia la situación del plano. Por tanto, ésta debe ignorarse. La segunda fuerza MT, con la que se perturba el plano de la órbita lunar, es la misma que 3PK o que 3IT. Y esta fuerza (por la Propos. XXV) es a la fuerza con la cual la Luna podría girar uniformemente en su tiempo periódico y en un círculo en torno a la Tierra en reposo como 3IT al radio del círculo multiplicado por 178,725, o como IT al radio multiplicado por 59,575. Por lo demás, en este cálculo y en todo lo que sigue, considero a todas las líneas trazadas desde la Luna al Sol como paralelas a la línea que une la Tierra y el Sol, debido a que la inclinación disminuye los efectos en unos casos casi lo mismo que los aumenta en otros; y tratamos de hallar los movimientos medios de los nodos, ignorando estas menudencias, que harían al cálculo demasiado pesado.

Represente ahora PM al arco descrito por la Luna en un tiempo dado mínimo y ML un pequeño segmento cuya mitad podría recorrer la Luna en ese tiempo bajo la acción de la fuerza 3IT. Únanse PL, MP, y prolónguense hasta m y Z, donde cortan ál plano de la eclíptica; y sobre Tm hágase descender la perpendicular PH. Y puesto que la recta ML es paralela al plano de la eclíptica, y por tanto no puede encontrarse con la recta ml que se halla en dicho plano, y sin embargo ambas rectas están en el plano común LMPml, estas rectas serán paralelas, y por lo mismo los triángulos LMP y lmP serán semejantes. Pero como MPm está en el plano de la órbita por la cual se movía la Luna cuando estaba en P, el punto m caerá sobre la línea Nn trazada por los nodos Nn, de dicha órbita. Y puesto que la fuerza por la que se genera la mitad del pequeño segmento LM, si se imprimiese toda y a la vez en el punto P, generaría toda la dicha línea, y haría que la Luna se moviese en un arco cuya cuerda fuese LP, y, por tanto, trasladaría a la Luna del plano MPmT al plano LPlT, el movimiento angular de los nodos generado por dicha fuerza será igual al ángulo mTl. Pero mi es a mP como ML a MP, y, por tanto, como MP está dada por estar dado el tiempo, ml es como el rectángulo ML x mP, es decir, como el rectángulo IT x mP. Y el ángulo mTl, siempre que el ángulo Tml sea recto, es como ml / Tm y, por tanto, como IT x Pm / Tm, es decir (por ser proporcionales tm y mP, TP y PH) como IT x PH / TP, y por tanto, por estar dado TP, como IT x HP. Pero si el ángulo Tml, o STN, fuera oblicuo el ángulo mTl será aún menor, en razón del seno del ángulo STN al radio, o también en razón de AZ a AT. Por consiguiente, la velocidad de los nodos es como IT x PH x AZ o también como el producto de los senos de los tres ángulos TPI, PTN, y STN.

Si estos ángulos fuesen rectos, estando los nodos en las cuadraturas y la Luna en las sicigias, la pequeña línea mi se irá al infinito, y el ángulo mTl resultará igual al ángulo mPl. En este caso, el ángulo mPl es al ángulo PTM, el cual describe la Luna en lomo a la Tierra en el mismo tiempo con su movimiento aparente, como 1 a 59,575. Pues el ángulo mPl es igual al ángulo LPM, es decir, al ángulo de deflexión de la Luna de la trayectoria recta, ángulo que la antedicha fuerza solar de 3IT podría generar en dicho tiempo dado, si entonces cesase la gravedad de la Luna; y el ángulo PTM es igual al ángulo de deflexión de la Luna de la trayectoria recta, ángulo que podría generar en el mismo tiempo la fuerza, con la que la Luna es retenida en su órbita, si cesare entonces la fuerza solar 3IT. Y estas fuerzas son entre ellas, como hemos dicho antes, como 1 a 59,575. Luego, como el movimiento medio horario de la Luna respecto a las fijas sea de 32′ 56″ 27‴ 12½″″, el movimiento horario de los nodos en este caso será 33″ 10‴ 33″″ 12‴″. Pero en otros casos este movimiento horario será a 33″ 10‴ 33″″ 12‴″ como el producto de los senos de los tres ángulos TPI, PTN y STN (o de las distancias de la Luna a la cuadratura, al nodo y al Sol) al cubo del radio. Y cuantas veces el signo de un ángulo cualquiera pase de positivo a negativo, y de negativo a positivo, deberá pasar el movimiento regresivo a progresivo y el progresivo a regresivo. De donde se seguirá que los nodos progresarán siempre que la Luna se halle entre una de las cuadraturas y el nodo próximo a la cuadratura. En los demás casos regresan, y por el exceso del regreso sobre el progreso en cada mes van resultando retrógrados.

COROLARIO 1. De aquí que, si desde los extremos P y M de un arco muy pequeño dado y sobre la línea Qq que une las cuadraturas se hacen descender sendas perpendiculares PK, Mk y se las prolonga hasta que corten la línea de los nodos Nn en D y d, el movimiento horario de los nodos será como el área MPDd y el cuadrado de la línea AZ conjuntamente. Pues sean PK, PH y AZ los tres senos antedichos. A saber, PK el seno de la distancia de la Luna a la cuadratura, PH el seno de la distancia de la Luna al nodo, y AZ el seno de la distancia del nodo al Sol; y la velocidad del nodo será como el producto PK x PH x AZ. Pues PT es a PK como PM a Kk, y por tanto, por estar dadas PT y PM, Kk es proporcional a PK. Y AT es a PD como AZ a PH, y por tanto PH, proporcional al rectángulo PD x AZ, y multiplicando las razones, PK x PH es como el producto Kk x PD x AZ, y PK x PH x AZ como Kk x PD x AZ2, esto es, como el área PDdM y AZ2 conjuntamente. Q. E. D.

COROLARIO 2. En una posición dada cualquiera de los nodos, el movimiento horario medio es la mitad del movimiento horario en las sicigias de la Luna, y por tanto es a 16″ 35‴ 16″″ 36‴″ como el cuadrado del seno de la distancia de los nodos a las sicigias al cuadrado del radio, o también como AZ2 a AT2. Pues si la Luna, con movimiento uniforme, circulase por el semicírculo QAq, la suma de todas las áreas PDdM, en el tiempo en que la Luna pasa de Q a M, será el área QMdE, que termina en QE tangente del círculo; y en el tiempo en que la Luna alcanza el punto n, dicha suma será el área completa EQAn que describe la línea PD, después al pasar la Luna de n a q, la línea PD caerá fuera del círculo y describirá el área nqe limitada por qe tangente al círculo; la cual, puesto que antes los nodos regresaban, mientras ahora progresan, debe restarse del área primera, y puesto que es igual al área QEN dejará el semicírculo NQAn. Por tanto, la suma de todas las áreas PDdM, en el tiempo en que la Luna describe un semicírculo, es el área del semicírculo; y la suma de todas en el tiempo en que la Luna describe el círculo es el área de todo el círculo. Pero el área PDdM, cuando la Luna anda por las sicigias, es el rectángulo comprendido bajo el arco PM y el radio PT; y la suma de todas las áreas iguales a ésta, en el tiempo en que la Luna describe el círculo, es el rectángulo comprendido bajo toda la circunferencia y el radio del círculo; y este rectángulo, al ser igual a dos círculos, es el doble mayor que el rectángulo anterior. Por tanto, los nodos, con la misma velocidad continua que tienen en las sicigias lunares, describirían un espacio doblemente mayor del que de hecho describen; y por tanto, el movimiento medio, con el cual podrían describir, si se continuase uniformemente, un espacio desigual de por sí del realmente descrito, es la mitad del movimiento que tienen en las sicigias de la Luna. De donde, puesto que el movimiento horario máximo, si los nodos se hallan en las cuadraturas, es de 33″ 10‴ 33″″ 12‴″, el movimiento horario medio, en este caso, será 16″, 35‴, 16″″, 36‴″. Y, puesto que el movimiento horario de los nodos es siempre como AZ2 y el área PDdM conjuntamente, y por lo mismo, el movimiento horario de los nodos en las sicigias de la Luna es como AZ2 y el área PDdM conjuntamente, es decir (por estar dada PDdM descrita en las sicigias) como AZ2, el movimiento medio será también como AZ2, y por consiguiente este movimiento, cuando los nodos se encuentran fuera de las cuadraturas, será a 16″, 35‴, 16″″, 36‴″ como AZ2 a AT2. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XXXI. PROBLEMA XII

Hallar el movimiento horario de los nodos de la Luna en una órbita elíptica.

Represente Qpmaq una elipse trazada con el eje mayor Qq y el menor ab, QAqB un círculo circunscrito, T la Tierra en el centro común de ambos, S el Sol, p la Luna moviéndose en la elipse, y pm el arco que describe en una mínima partícula de tiempo dada, N y n los nodos unidos por la línea Nn, pK y mk perpendiculares trazadas sobre el eje Qq y desde él prolongadas a ambos lados hasta que corten el círculo en P y M, y a la línea de los nodos en D y d. Y si la Luna, con radio trazado a la Tierra, describe un área proporcional al tiempo, el movimiento horario de un nodo en la elipse será como el área pDdm y AZ2 conjuntamente.

Pues, si PF es tangente al círculo en P, y prolongada corta a TN en F, y pƒ es tangente a la elipse en p y prolongada corta a la misma TN en ƒ, y si ambas tangentes concurren sobre el eje TQ en Y; y si ML representa el espado que la Luna, girando en el círculo y en el tiempo en que describe el arco PM, puede describir con movimiento transversal bajo la acción de la antedicha fuerza 3IT o 3PK, y mi representa el espacio que la Luna, girando en el mismo tiempo en la elipse, bajo la acción de la misma fuerza 3IT o 3PK, pudiera también describir y se prolongan LP y lp hasta que encuentren al plano de la eclíptica en G y g, y se unen FG y ƒg, de las cuales la prolongación de FG corta a pƒ, pg y TQ en c, e y R, respectivamente, y la prolongación de ƒg corta a TQ en r. Entonces, puesto que la fuerza 3IT o 3PK en el círculo es a la fuerza 3IT o 3PK en la elipse como PK a pK, o como AT a aT, el espacio ML generado por la primera fuerza será al espacio ml generado por la segunda como PK a pK, es decir, por la semejanza de figuras PYKp y FYRc, como FR a cR. Pero ML es a FG (por la semejanza de los triángulos PLM, PGF) como PL a PG, es decir (por ser paralelas Lk, PK, GR) como pl a pe, es decir (por la semejanza de los triángulos plm, cpe) como lm a ce; e inversamente, como LM es a lm, o FR a cR, así es FG a ce. Y por lo mismo, si ƒg fuese a ce como ƒY a cY, es decir, como ƒr a cR (esto es, como ƒr a FR y FR a cR conjuntamente, es decir, como ƒT a FT y FG a ce conjuntamente) como al suprimir la razón de FG a ce en uno y otro quedan las razones de ƒg a FG y ƒT a FT, será ƒg a FG como ƒT a FT; y por consiguiente, los ángulos que subtenderían FG y ƒg a la Tierra T serían iguales entre ellos. Pero esos ángulos (por lo expuesto en la proporción anterior) son los movimientos de los nodos en el tiempo en que la Luna recorre en el círculo el arco PM y en la elipse el arco pm: y por tanto los movimientos de los nodos en el círculo y en la elipse serán iguales entre ellos. Todo esto será así siempre que ƒg sea a ce como ƒY a cY, esto es, si ƒg fuese igual a ce x ƒY / cY. Pero por la semejanza de los triángulos ƒgp, cep, ƒg es a ce como ƒp es cp; y por tanto, ƒg es igual ce x ƒp / cp; y por lo tanto, el ángulo que en realidad subtiende ƒg es al ángulo anterior que subtiende FG, esto es, el movimiento de los nodos en la elipse al movimiento de los nodos en el círculo como este ƒg, o ce x ƒp / cp al anterior ƒg o ce x ƒY / cY, esto es, como ƒp x cY a ƒY x cp, o ƒp a ƒY y cY a cp, es decir, si ph paralela a TN corta a FP en h, como Fh a FY y FY a FP; esto es, como Fh a FP o Dp a DP, y por tanto, como el área Dpmd al área DPMD. Y por consiguiente, puesto que (por el Corolario 1 de la Proposición XXX) el área segunda y AZ2 conjuntamente son proporcionales al movimiento horario de los nodos en el círculo, el área primera y AZ2 conjuntamente serán proporcionales al movimiento horario de los nodos en la elipse. Q. E. D.

COROLARIO. Por lo cual, como para una posición dada de los nodos, la suma de todas las áreas pDdm, en el tiempo en que la Luna va desde una cuadratura hasta un lugar cualquiera m, viene a ser mpQEd, que está delimitada por la tangente a la elipse QE; y la suma de todas esas áreas en la revolución completa, venga a ser el área de la elipse entera, el movimiento medio de los nodos en la elipse será al movimiento medio de los nodos en el círculo, como la elipse al círculo; esto es, como Ta a TA, o como 69 a 70. Y por tanto, puesto que (por el Corolario 2 de la Proposición XXX) el movimiento horario medio de los nodos en el círculo es a 16″, 35‴, 16″″, 36‴″ como AZ2 a AT2, si se toma un ángulo de 16″, 21‴, 3″″, 30‴″ al ángulo de 16″, 35‴, 16″″, 36‴″ como 69 a 70, el movimiento horario medio de los nodos en la elipse será a 16″, 21‴, 3″″, 30‴″ como AZ2 a AT2; esto es, como el cuadrado del seno de la distancia del nodo al Sol al cuadrado del radio.

Pero por otra parte, la Luna con un radio trazado a la Tierra describe el área con mayor velocidad en las sicigias que en las cuadraturas, y por eso el tiempo en las sicigias se acorta mientras en las cuadraturas se alarga, y junto con el tiempo el movimiento de los nodos aumenta y disminuye. Pero el momento del área en las cuadraturas de la Luna era al momento del área en las sicigias como 10 973 a 11 073, y por ello, el momento medio en los octantes es al exceso en las sicigias y al defecto en las cuadraturas como la semisuma de ambas cantidades 11 023 a su semidiferencia 50. De donde, puesto que el tiempo de la Luna en cada una de las partículas iguales de la órbita es inversamente como su velocidad, el tiempo medio en los octantes será al exceso de tiempo en las cuadraturas y al defecto de tiempo en las sicigias, debidos a estas causas, como 11 023 a 50 muy aproximadamente. Pero marchando desde las cuadraturas hacia las sicigias, encuentro que el exceso de los momentos del área en cada lugar por encima del momento mínimo en las cuadraturas es como el cuadrado del seno de la distancia de la Luna hasta las cuadraturas muy aproximadamente; y por ello, la diferencia entre el momento en un lugar cualquiera y el momento medio en los octantes es como la diferencia entre el cuadrado del seno de la distancia de la Luna hasta las cuadraturas y el cuadrado del seno de 45 grados, o la mitad del cuadrado del radio; y el incremento del tiempo en cada lugar entre los octantes y las cuadraturas y su decremento entre los octantes y las sicigias se halla en la misma razón. Pero el movimiento de los nodos, en el tiempo en que la Luna recorre cada una de las partículas iguales de su órbita, se acelera o retarda en razón del cuadrado del tiempo. Pues este movimiento, mientras («caeteris paribus») la Luna recorre PM, es como ML, y ML está en razón del cuadrado del tiempo. Por lo cual, el movimiento de los nodos en las sicigias, realizado en el tiempo en que la Luna recorre partículas dadas de la órbita, disminuye como el cuadrado de la razón de 11 073 a 11 023; y el decremento es al resto del movimiento como 100 a 10 973, mientras que respecto al movimiento entero es como 100 a 11 073 muy aproximadamente. Pero el decremento en los lugares entre los octantes y las sicigias, y el incremento entre los lugares de los octantes y las cuadraturas es aproximadamente a este decremento como el movimiento total en dichos lugares al movimiento total en las sicigias y la diferencia entre el cuadrado del seno de la distancia de la Luna hasta la cuadratura y la mitad del cuadrado del radio, a la mitad del cuadrado del radio conjuntamente. De donde, si los nodos se hallan en las cuadraturas y se toman dos lugares equidistantes a un lado y otro del octante, y otros dos a esa misma distancia uno de la sicigia y otro de la cuadratura, y de los decrementos de movimientos en los dos lugares entre la sicigia y el octante se restan los incrementos de movimientos en los otros dos lugares situados entre el octante y la cuadratura, el decremento restante será igual al decremento en la sicigia, como verá fácilmente quien haga el cálculo. Por consiguiente, el decremento medio, que debe restarse del movimiento medio de los nodos, es la cuarta parte del decremento en la sicigia. El movimiento horario total de los nodos en las sicigias, cuando la Luna con un radio trazado a la Tierra se suponía que describía un área proporcional al tiempo, era de 32″ 42‴ 7″″. Y el decremento del movimiento de los nodos, en el tiempo en que la Luna, más veloz ahora, describe el mismo espacio, hemos dicho que era a este movimiento como 100 a 11 073; y por consiguiente, dicho decremento es de 17″ 43″″ 11‴″, cuya cuarta parte 4‴ 25″″ 48‴″ restada al movimiento horario medio hallado más arriba deja un resto de 16″ 16‴ 37″″ 42‴″ como movimiento horario medio corregido.

Si los nodos están fuera de las cuadraturas y se contemplan dos lugares equidistantes de las sicigias, uno a cada lado, la suma de los movimientos de los nodos, cuando la Luna se halla en dichos lugares, será a la suma de los movimientos cuando la Luna se halla en esos lugares y los nodos se hallan en las cuadraturas como AZ2 a AT2. Y los decrementos de los movimientos, debidos a las causas expuestas más arriba, serán entre sí como los movimientos mismos, y por tanto, los movimientos restantes serán entre sí como AZ2 a AT2, y los movimientos medios serán como los movimientos restantes. Por consiguiente, el movimiento horario medio corregido en cualquier situación dada de los nodos es a 16″ 16‴ 37″″ 42‴″ como AZ2 a AT2; es decir, como el cuadrado del seno de la distancia de los nodos a las sicigias al cuadrado del radio.

PROPOSICIÓN XXXII. PROBLEMA XIII

Hallar el movimiento medio de los nodos de la Luna.

El movimiento medio anual es la suma de todos los movimientos horarios medios del año. Imagínese que el nodo se halla en N y en cada una de las horas regresa a su lugar inicial, de suerte que, no obstante su movimiento propio, conserve siempre su lugar respecto a las estrellas fijas. Pero, mientras tanto, el Sol S, por el movimiento de la Tierra, se desplaza desde el nodo y completa uniformemente su curso anual aparente. Y sea Aa arco mínimo dado que la recta TS trazada continuamente al Sol describe con su intersección con el círculo NAn en un tiempo mínimo dado: y el movimiento horario medio (por lo que ya se ha mostrado) será como AZ2, esto es (por ser proporcionales AZ, ZY), como el rectángulo AZ y ZY, es decir, como el área AZYa. Y la suma de todos los movimientos horarios medios desde el principio será como la suma de todas las áreas aYZA, es decir, como el área NAZ. Pero la máxima AZYa es igual al rectángulo bajo el arco Aa y el radio del círculo, y por tanto, la suma de todos los rectángulos en el círculo entero es a la suma de otros tantos rectángulos máximos, como el área de todo el círculo al rectángulo bajo la circunferencia y el radio, es decir, como 1 a 2. Pero el movimiento correspondiente al rectángulo máximo era de 16″ 16‴ 37″″ 42‴″. Y este movimiento, en un año sidéreo completo de 365d. 6h. 9′ resulta de 39.º 38′ 7″ 50‴. Y por consiguiente, su mitad 19.º 49′ 3″ 55‴ es el movimiento medio de los nodos que corresponde al círculo entero. Y el movimiento de los nodos en el tiempo en que el Sol pasa de N hasta A es a 19.º 49′ 3″ 55‴ como el área NAZ al círculo entero.

Esto es así en la hipótesis de que el nodo tras cada hora regresase al lugar inicial y de que el Sol tras el recorrido anual completo regresase al mismo nodo del que había partido. Pero por causa del movimiento del nodo ocurre que el Sol regresa antes al nodo, y ahora hay que calcular la abreviación del tiempo. Puesto que el Sol en el año entero completa 360 grados y el nodo con movimiento máximo completa en ese mismo tiempo 39.º 38′ 7″ 50‴, o 39,6355 grados, y el movimiento medio del nodo en un lugar cualquiera N es a su movimiento medio en sus cuadraturas como AZ2 a AT2; el movimiento del Sol al movimiento del nodo en N será como 360AT2 a 39,6355AZ2; es decir, como 9,0827646AT2 a AZ2. De donde, si la circunferencia NAn del círculo entero se divide en partículas iguales Aa, el tiempo en el que el Sol recorre una partícula Aa si el círculo está en reposo, será al tiempo en que recorre esa misma partícula, si el círculo junto con los nodos gira en torno al centro T, inversamente como 9,0827646AT2 a 9,0827646AT2 + AZ2. Pues el tiempo es inversamente como la velocidad con la que se recorre la partícula, y esta velocidad es la suma de las velocidades del Sol y del nodo. Por tanto, si el tiempo, en el que el Sol sin el movimiento del nodo recorrería el arco NA, se representa por el sector NTA, y la partícula de tiempo en que recorrería el arco mínimo Aa, se representa por la partícula ATa del sector; y (trazada la perpendicular nY sobre Nn) si sobre AZ se toma dZ de una longitud tal que el rectángulo dZ por ZY sea a la partícula ATa del sector como AT2 a 9,0827646AT2 + AZ2, es decir, de modo que dZ sea a ½AZ como AT2 a 9,0827646AT2 + AZ2, el rectángulo dZ por ZY representará el decremento de tiempo debido al movimiento de los nodos, durante todo el tiempo en que se recorre el arco Aa. Y si el punto d es tangente a la curva NdGn, el área curvilínea NdZ será el decremento total en el tiempo en que se recorre el arco entero NA; y por ello el exceso del sector NAT sobre el área NdZ será dicho tiempo total. Y, puesto que el movimiento del nodo en menor tiempo es menor en razón del tiempo, también el área AaYZ deberá disminuir en esa proporción. Cosa que ocurrirá si sobre AZ se toma la longitud eZ tal que sea a la longitud AZ como AZ2 a 9,0827646AT2 + AZ2. Pues de este modo el rectángulo eZ por ZY será al área AZYa como el decremento del tiempo en que se recorre el arco Aa, al tiempo total en que se recorrería si el nodo estuviese en reposo: y por lo tanto, dicho rectángulo corresponderá al decremento del movimiento del nodo. Y si el punto e fuera tangente a la curva NeFn, el área entera NeZ, que es la suma de todos los decrementos, corresponderá al decremento total en el tiempo en que es recorrido el arco AN; y el área restante NAe corresponderá al movimiento restante, que es el verdadero movimiento del nodo, en el tiempo en que el arco entero NA es recorrido por los movimientos conjuntos del Sol y del nodo. Ahora bien, el área del semicírculo es al área de la figura NeFn, hallada por el método de las series infinitas, como 793 a 60 muy aproximadamente. Pero el movimiento que correspondía al círculo entero era de 19.º 49′ 3″ 55‴ y por lo mismo, el movimiento correspondiente al doble de la figura NeFn es 1.º 29′ 58″ 2‴. El cual restado del movimiento anterior deja un resto de 18.º 19′ 5″ 53‴ movimiento total del nodo respecto a las fijas entre sus propias conjunciones con el Sol; y restado este movimiento de los 360 grados del movimiento anual del Sol, deja un resto de 341.º 40′ 54″ 7‴ movimiento del Sol entre esas mismas conjunciones. Pero este movimiento es al movimiento anual de 360 grados como el movimiento del nodo ya hallado de 18.º 19′ 5″ 53‴ a su movimiento anual, que será por tanto de 19.º 18′ 1″ 23‴. Este es el movimiento medio de los nodos en el año sidéreo. El mismo, por las tablas astronómicas es es de 19.º 21′ 21″ 50‴. La diferencia es menor que 1⁄300 del movimiento total, y parece deberse a la excentricidad de la órbita lunar y a la inclinación hacia el plano de la eclíptica. Por causa de la excentricidad de la órbita el movimiento de los nodos se acelera demasiado, mientras que, por contra, debido a su inclinación se retarda un poco, reduciéndose así a su justa velocidad.

PROPOSICIÓN XXXIII. PROBLEMA XIV

Hallar el movimiento verdadero de los nodos de la Luna.

En un tiempo que sea como el área NTA - NdZ (de la figura precedente) este movimiento es como el área NAe, y por tanto está dado. Pero por la excesiva dificultad del cálculo es conveniente presentar la construcción del problema del modo siguiente. Con centro en C y una distancia cualquiera CD trácese el círculo BEFD. Prolónguese DC hasta A de modo que AB sea a AC como el movimiento medio a la mitad del movimiento medio verdadero, cuando los nodos están en las cuadraturas, es decir, como 19.º 18′ 1″ 23‴ a 19″ 49′ 3″ 55‴ y por tanto BC será a AC como la diferencia de movimiento 0.º 31′ 2″ 32‴ es al movimiento posterior 19″ 49′ 3″ 55‴, es decir, como 1 a 383⁄10; trácese después por el punto D la recta infinita Gg, tangente al círculo en D; y si se toma el ángulo BCE o BCF igual al doble de la distancia entre el lugar del Sol y el nodo, hallado por medió del movimiento medio, y se traza AE o AF secante de la perpendicular DG en G, y se toma un ángulo que sea al movimiento total del nodo entré éste y las sicigias (es decir, a 9.º 11′ 3″) como la tangente DG a la circunferencia entera del círculo BED, y este ángulo (en cuyo lugar puede tomarse el ángulo DAG) se añade al movimiento medio de los nodos cuando éstos pasan de las cuadraturas a las sicigias o se sustrae del dicho movimiento medio cuando pasan de las sicigias a las cuadraturas, se tendrá su movimiento medio verdadero. Pues el movimiento verdadero así obtenido concuerda muy aproximadamente con el movimiento verdadero que resulta representando el tiempo por el área NTA - NdZ, y el movimiento del nodo por el área NAe; como comprobará quien se interese y haga los cálculos. Esta es la ecuación semestral del movimiento de los nodos. También hay una ecuación mensual, pero no es necesaria en absoluto para hallar la latitud de la Luna. Pues, dado que la variación de la inclinación de la órbita lunar hacia el plano de la eclíptica está sometida a una doble desigualdad, una semestral y otra mensual, su desigual mensual y la ecuación mensual de los nodos se compensan y corrigen entre ellas de tal modo que ambas pueden ser ignoradas a la hora de determinar la latitud de la Luna.

COROLARIO. De ésta y de la proposición precedente se desprende que los nodos en sus sicigias reposan, mientras en las cuadraturas retroceden con un movimiento horario de 16″ 19‴ 26″″ y que la ecuación del movimiento de los nodos en los octantes es de 1.º 30′. Todo lo cual concuerda adecuadamente con los fenómenos celestes.

ESCOLIO[11]

J. Machín, profesor de Astronomía en Cresham y Henry Pemberton, D. M. cada uno por su parte hallaron otra forma de determinar los movimientos de los nodos. Se ha hecho alguna mención de este método en otra parte. Y las cartas que he visto de ambos contenían dos proposiciones que concordaban entre ellas. Añadiré aquí la carta del Sr. Machín, primera que llegó a mis manos.