Sobre el movimiento de los nodos de la luna

«SOBRE EL MOVIMIENTO DE LOS NODOS DE LA LUNA

»PROPOSICIÓN I

»El movimiento medio del Sol desde el nodo se define por una media geométrica proporcional entre el movimiento medio del mismo Sol y aquel movimiento medio con el cual el Sol se separa velozmente del nodo en las cuadraturas.

»Sea T el lugar de la Tierra, Nn la línea de los nodos de la Luna para un tiempo dado cualquiera, KTM una perpendicular a ella, TA una recta que gira alrededor del centro con la misma velocidad angular con que el Sol y el nodo se alejan uno de otro, de modo que el ángulo comprendido entre la recta en reposo Nn y la recta en giro TA, siempre resulte igual a la distancia entre los lugares del Sol y del nodo. Ahora, si se divide una recta cualquiera TK en partes TS y SK que sean como el movimiento horario medio del Sol al movimiento horario medio del nodo en las cuadraturas, y se toma a la línea TH como media proporcional entre la parte TS y la línea entera TK, esta recta será, entre las demás, proporcional al movimiento medio del Sol desde el nodo.

»Pues, descríbase el círculo NKnM con centro en T y radio TK, y con el mismo centro y con las ejes TH y TN trácese la elipse NHnL, y en el tiempo en que el Sol se separa del nodo por el arco Na, si se traza la recta Nba, el área del sector NTa representará la suma de los movimientos del nodo y del Sol en ese mismo tiempo. Sea, pues, el arco mínimo Aa un arco que describe la recta Tba girando uniformemente según la antedicha ley en una partícula dada de tiempo, y el sector mínimo TAa será como la suma de las velocidades con que el Sol y el nodo se desplazan en ese tiempo. Pero la velocidad del Sol es casi uniforme, por cuanto su pequeña desigualdad apenas produce variación en el movimiento medio de los nodos. La otra parte de esta suma, o sea, la velocidad del nodo en su valor medio, aumenta al apartarse de las sicigias como el cuadrado del seno de su distancia al Sol; por el Corolario de la Proposición XXXI del Libro III de los PRINCIPIA, y cuando es máxima en las cuadraturas con el Sol en K, alcanza la misma razón respecto a la velocidad del Sol que SK a TS, esto es, como (diferencia de los cuadrados de TK y TH o) el rectángulo KHM a TH al cuadrado. Pero la elipse NBH divide al sector ATa, representación de la suma de estas dos velocidades, en dos partes ABba y BTb proporcionales a las propias velocidades. Prolónguese, pues, BT hasta el círculo β y desde el punto B hágase descender sobre el eje mayor la perpendicular BG, que prolongada a ambos lados toque al círculo en los puntos F y ƒ y puesto que el espacio ABba es al sector TBb como el rectángulo ABβ a BT cuadrado (pues dicho rectángulo es igual a la diferencia de cuadrados de TA y TB por estar la recta Aβ cortada igualmente en T y desigualmente en B). Por tanto esta razón, cuando el espacio ABba es máximo en K, será la misma razón que la del rectángulo KHM a HT al cuadrado, pero la velocidad media máxima del nodo estaba a la velocidad del Sol en esta misma razón. Por consiguiente, en las cuadraturas, el sector ATa se divide en partes proporcionales a la velocidad. Y, puesto que el rectángulo KHM es a HT cuadrado como FBƒ a BG cuadrado, y el rectángulo ABβ es igual al rectángulo FBƒ, el área pequeña ABba, cuando es máxima, será al resto del sector TB b como el rectángulo ABb a BG cuadrado. Pero la razón de estas pequeñas áreas era siempre como el rectángulo ABβ a BT cuadrado; y por lo tanto la pequeña área ABba en el lugar A es menor que el área semejante en las cuadraturas, en razón cuadrada de BG a BT, esto es, en razón cuadrada del seno de la distancia del Sol al nodo. Y por tanto, la suma de todas las áreas pequeñas ABba, o sea, el espacio ABN será como el movimiento del nodo en el tiempo en que el Sol se separa del nodo por el arco NA. Y el espacio restante, o sea, el sector elíptico NTB será como el movimiento medio del Sol en ese tiempo. Y por lo mismo, como el movimiento medio anual del nodo es aquel que ocurre en el tiempo en el que el sol completa su período, el movimiento medio del nodo desde el Sol será al movimiento medio del propio Sol como el área del círculo al área de la elipse, es decir, como la recta TK a la recta TH que es la media proporcional entre TK y TS; o lo que da lo mismo, como la media proporcional TH a la recta TS.

»PROPOSICIÓN II

»Dado el movimiento medio de los nodos de la Luna, hallar el movimiento verdadero.

»Sea el ángulo A la distancia del Sol al lugar medio del nodo, o el movimiento medio del Sol desde el nodo. Si se toma entonces un ángulo B cuya tangente sea a la tangente del ángulo A como TH a TK, esto es, como la raíz cuadrada de la razón del movimiento horario medio del Sol al movimiento medio horario del Sol desde el nodo cuando éste se halla en las cuadraturas, este ángulo B será la distancia del Sol al verdadero lugar del nodo. Pues únase FT y, por la demostración de la Proposición anterior, el ángulo FTN será la distancia del Sol del lugar medio del nodo, mientras que el ángulo ATN será la distancia del lugar verdadero, y las tangentes de estos dos ángulos son entre ellas como TK a TH.

»COROLARIO. De aquí que el ángulo FTA es la ecuación de los nodos de la Luna, y el seno de este ángulo cuando es máximo en los octantes, es al radio como KH a TK + TH. En cambio el seno de esta ecuación en otro lugar cualquiera A es al seno máximo como el seno de la suma de los ángulos FTN + ATN al radio: esto es, casi como el seno del doble de la distancia del Sol al lugar medio del nodo (o sea 2FTN) al radio.

»ESCOLIO

»Si el movimiento horario medio de los nodos en las cuadraturas es de 16″ 16‴ 37″″ 42‴″, es decir, en el año sidéreo completo 39.º 38′ 7″ 50‴, TH será a TK como la raíz cuadrada de la razón del número 9,0827646 al número 10,0827646, esto es, como 18,6524761 a 19,6524761. Y por lo tanto, TH a HK como 18, 6524761 a 1, es decir, como el movimiento del Sol en el año sidéreo al movimiento medio del nodo de 19.º 18′ 1″ 232⁄3‴.

»Pero si el movimiento medio de los nodos de la Luna en 20 años Julianos es de 386.º 50′ 15″ como se deduce de las observaciones aportadas por la teoría de la Luna, el movimiento medio de los nodos en el año sidéreo será de 19.º 20′ 31″ 58‴. Y TH será a HK como 360.º es a 19.º 20′ 31″ 58‴, esto es, como 18,61214 a 1, de donde el movimiento horario medio de los nodos en las cuadraturas resulta de 16″ 18‴ 48″″. Y la ecuación máxima de los nodos en los octantes, de 1.º 29′ 57″».

PROPOSICIÓN XXXIV. PROBLEMA XV

Hallar la variación horaria de la inclinación de la órbita lunar hacia el plano de la eclíptica.

Representen A y a las sicigias; Q y q las cuadraturas; N y n los nodos; P el lugar de la Luna en su órbita; p la proyección de dicho lugar sobre el plano de la eclíptica, y mTl el movimiento momentáneo de los nodos como más arriba. Y si sobre la línea Tm se hace descender la perpendicular PG, únase pG, y prolónguese hasta que corte a Tl en g y únanse también Pg; el ángulo PGp será la inclinación de la órbita lunar hacia el plano de la eclíptica cuando la Luna se halle en P; y el ángulo Pgp será su inclinación al completar un momento de tiempo; y por lo tanto, el ángulo GPg será la variación momentánea de la inclinación. Pero este ángulo GPg es al ángulo GTg como TG a PG y PG y Pp a PG conjuntamente. Y por consiguiente, si por un momento de tiempo se toma una hora, puesto que el ángulo GTg (por la Proposición XXX) es al ángulo de 33″ 10‴ 33″″ como IT x AZ a AT al cubo, el ángulo GPg (o la variación horaria de la inclinación) será al ángulo de 33″ 10‴ 33″″ como

IT x AZ x TG x

Pp / PG

a AT3. Q. E. I.

Esto es así bajo la hipótesis de que la Luna girase en una órbita circular uniformemente. Pero si dicha órbita fuese elíptica, el movimiento medio de los nodos disminuye en la razón del eje menor al eje mayor; como se ha expuesto más arriba. Y en esa misma razón disminuye también la variación de la inclinación.

COROLARIO 1. Si sobre Nn se eleva la perpendicular TF, y pM es el movimiento horario de la Luna en el plano de la eclíptica; y las perpendiculares pK, Mk trazadas sobre QT y prolongadas ambas encuentran a TF en H y h: será IT a AT como Kk a Mp, y TG a Hp como TZ a AT y por lo mismo IT x TG será igual a Kk x Hp x TZ / Mp, esto es, igual al área HpMh multiplicada por la razón TZ / Mp: y en consecuencia, la variación horaria de la inclinación es a 33″ 10‴ 33″″ como HpMh multiplicada por AZ x TZ / Mp x Pp / PG es a AT3.

COROLARIO 2. Y por tanto, si la Tierra y los nodos en cada hora completada se retirasen de sus nuevos lugares y regresaren en un instante siempre a sus lugares iniciales, de modo que su posición durante un mes periódico entero permaneciese dada; toda la variación de la inclinación durante dicho mes sería a 33″ 10‴ 33″″ como la reunión de todas las áreas HpMh generadas con la revolución del punto P unidas por los signos correspondientes + y -, multiplicada dicha reunión por AZ x TZ x Pp / PG a Mp x AT3, es decir, como el círculo entero QAqa multiplicado por AZ x TZ x Pp / PG a Mp x AT3, o sea, como la circunferencia DAqa multiplicada por AZ x TZ x Pp / PG a 2Mp x AT2.

COROLARIO 3. Por consiguiente, en una posición dada de los nodos, la variación horaria media que, continuada uniformemente durante un mes, podría generar aquella variación mensual, es a 33″ 10‴ 33″″ como AZ x TZ x Pp / PG a 2AT2, o como Pp x AZ x TZ / ½AT a PG x 4AT, es decir (puesto que Pp es a PG como el seno de la inclinación susodicha al radio, y AZ x TZ / ½ATAT sea a 4AT como el seno del doble del ángulo ATn al cuádruplo del radio) como el seno de la misma inclinación multiplicado por el seno de la doble distancia entre los nodos y el Sol al cuádruplo del cuadrado del radio.

COROLARIO 4. Puesto que la variación horaria de la inclinación, cuando los nodos se hallan en las cuadraturas, es (por esta Proposición) al ángulo de 33″ 10‴ 33″″ como IT x AZ x TGPp / PG a AT3, es decir, como IT x TG / ½AT x Pp / PG a 2AT; esto es, como el seno de la doble distancia de la Luna a las cuadraturas multiplicado por Pp / PG al doble del radio: la suma de todas las variaciones horarias en el tiempo en que la Luna en esta situación de los nodos, pasa de la cuadratura a la sicigia (esto es, en el espacio de 1776⅙ horas) será a la suma de otros tantos ángulos de 33″ 10‴ 33″″ o sea, 5878″, como la suma de todos los senos de la doble distancia de la Luna a las cuadraturas multiplicada por Pp / PG a la suma de otros tantos diámetros; esto es, como el diámetro multiplicado por Pp / PG a la circunferencia; es decir, si la inclinación fuese de 5.º 1′, como 7 x 874⁄10000 a 22, o 278 a 10 000. Y por lo mismo, la variación total procedente de la suma de todas las variaciones horarias es de 163″, o de 2′ 43″.

PROPOSICIÓN XXXV. PROBLEMA XVI

Hallar la inclinación de la órbita de la Luna hacia el plano de la eclíptica en un tiempo dado.

Sea AD el seno de la inclinación máxima, y sea AB el seno de la inclinación mínima. Bisecando a BD en C, y por centro en C y distancia BC trácese el círculo BGD. Sobre AC tómese CE en la misma razón respecto a EB en que está EB respecto a 2BA: y si para el tiempo dado se forma el ángulo AEG igual al doble de la distancia de los nodos a las cuadraturas, y sobre AD se hace descender la perpendicular GH: será AH el seno de la inclinación buscada.

Pues, GE2 es igual a GH2 + HE2 = BHD + HE2 = HBD + HE2 - BH2 = HBD + BE2 - 2BH x BE = BE2 + 2EC xBH = 2EC x AB + 2EC x BH = 2EC x AH. Por consiguiente, al estar dado 2EC, GE2 es como AH. Represente ahora AEg al doble de la distancia de los nodos a las cuadraturas después de completado un momento de tiempo dado, y el arco Gg, por estar dado el ángulo GEg, será como la distancia GE. Pero Hh es a Gg como GH a GC, y por tanto Hh es como el producto GH x Gg, o GH x GE; es decir, como

GH / GE

x GE2 o

GH / GE

x AH,

es decir, como AH y el seno del ángulo AEG conjuntamente. Por consiguiente, si AH en algún caso fuese el seno de la inclinación, ésta aumentará con incrementos iguales a los del seno de la inclinación, por el Corolario 3 de la Proposición anterior, y por lo mismo siempre permanecerá igual a dicho seno. Pero AH, cuando el punto G cae en uno de los puntos B o D, es igual a dicho seno, y por consiguiente siempre permanece igual a él. Q. E. D.

En esta demostración he supuesto que el ángulo BEG, que es el doble de la distancia de los nodos a las cuadraturas, aumenta uniformemente. Pues no hay tiempo de examinar todas las minucias de las desigualdades. Imaginemos ahora que el ángulo BEG es recto, y en este caso Gg sería el aumento horario de la doble distancia entre los nodos y el Sol; y la variación horaria de la inclinación en dicho caso (por el Corolario 3 de la anterior proposición) será a 33″ 10‴ 33″″ como el producto del seno de la inclinación AH por el seno del ángulo recto BEG, que es el doble de la distancia de los nodos al Sol, al cuádruplo del cuadrado del radio; es decir, como el seno de la inclinación media AH al cuádruplo del radio; esto es (puesto que dicha inclinación media viene a ser de casi 5.º y 8½′) como su seno 896 al radio cuadruplicado 40 000, o como 224 a 10 000. Es por tanto la variación entera, correspondiente a la diferencia BD de los senos respecto a la susodicha variación horaria como el diámetro BD al arco Gg; es decir, conjuntamente como el diámetro BD a la semicircunferencia BGD y el tiempo de 20797⁄10 horas en que el nodo pasa de las cuadraturas a las sicigias a una hora; o también, como 7 a 11 y 20797⁄10 a 1. Por lo cual, si se combinan todas estas razones, la variación total BD resultará ser respecto a 33″ 10‴ 33″″ como 224 x 7 x 20797⁄10 a 110 000, es decir, como 29 645 a 1000, y de aquí que la susodicha variación BD resultará de 16′ 23½″.

Esta es la variación máxima de la inclinación en tanto no se considera el lugar de la Luna en su órbita. Pues la inclinación, si los nodos se hallan en las sicigias, no cambia en nada por los cambios de lugar de la Luna. Pero si los nodos se encuentran en las cuadraturas, la inclinación es menor cuando la Luna se halla en las sicigias que cuando se halla en las cuadraturas, con diferencia de 2′ 43″, como ya he indicado en el Corolario cuarto de la Proposición anterior. Y restando 1′ 21½, mitad de esta diferencia, de la variación media total Bd en las cuadraturas lunares se tiene 15′ 2″, y sumada en las sicigias se tiene 17′ 45″. Así pues, si la Luna se hallase en las sicigias, la variación entera en el paso de los nodos desde las cuadraturas a las sicigias será de 17′ 45″: y por lo tanto, si la inclinación, cuando los nodos se hallan en las sicigias, fuese de 5.º 17′ 20″, la misma, cuando los nodos están en las cuadraturas y la Luna en las sicigias, será de 4.º 59′ 35″. Y que esto es así, se confirma por las observaciones.

Pero si ahora se deseare la inclinación de la órbita, cuando la Luna se halla en las sicigias y los nodos en un lugar cualquiera, sea AB a AD como el seno del ángulo de 4.º 59′ 35″ al seno del ángulo de 5.º 17′ 20″, y tómese el ángulo AEG igual al doble de la distancia de los nodos a las cuadraturas; y AH será el seno de la inclinación buscada. A la inclinación de esta órbita viene a ser igual su inclinación cuando la Luna dista 90.º de los nodos. Para otros lugares de la Luna, la desigualdad mensual que admite la variación de la inclinación se compensa en el cálculo de la latitud de la Luna, y hasta en cierto modo se anula, por la desigualdad mensual del movimiento de los nodos (como dije más arriba) y por tanto puede despreciarse al calcular dicha latitud.

ESCOLIO[12]

Con estos cálculos de los movimientos lunares he querido mostrar que dichos movimientos pueden calcularse mediante la teoría de la gravedad a partir de sus causas. Mediante la misma teoría he hallado, además, que la ecuación anual del movimiento medio de la Luna se debía a la diferente dilatación de la órbita lunar por la fuerza del Sol, según el Corolario 6 de la Proposición LXVI del Libro I. Esta fuerza en el perigeo del Sol es mayor y dilata la órbita de la Luna; en su apogeo es menor y permite a dicha órbita contraerse. La Luna gira más lentamente en la órbita dilatada, y más rápidamente en la contraída; y la ecuación anual, por la que se compensa esta desigualdad, es nula en el apogeo y perigeo solares, mientras que en la distancia media de la Tierra y el Sol asciende casi a 11′ 50″, y en otros lugares es proporcional a la ecuación del centro del Sol; y se suma al movimiento medio de la Luna cuando la Tierra pasa de su afelio a su perihelio, mientras se resta en la parte opuesta de la órbita. Suponiendo el radio del Orbe Magno de 1000 y la excentricidad de la tierra 16⅞, esta ecuación, cuando es máxima, resulta de 11′ 49″ por la teoría de la gravedad. Pero la excentricidad de la Tierra parece ser algo mayor, y al aumentar la excentricidad esta ecuación debe aumentarse en la misma proporción. Sea la excentricidad de 1611⁄12, y la ecuación máxima será de 11′ 51″.

También descubrí que en el perihelio de la Tierra, debido a la mayor fuerza del Sol, el apogeo y los nodos de la Luna se mueven más rápidamente que en su afelio, y ello en razón inversa del cubo de la distancia de la Tierra al Sol. Y de aquí surgen las ecuaciones anuales de estos movimientos proporcionales a la ecuación del centro solar. Pero el movimiento del Sol es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la Tierra al Sol, y la máxima ecuación del centro generada por esta desigualdad es de 1.º 56′ 20″, que se corresponde con la excentricidad del Sol de 1611⁄12 mencionada más arriba. Pero si el movimiento del Sol se hallase en razón inversa del cubo de la distancia, esta desigualdad generaría una ecuación máxima de 2.º 54′ 30″. Y por lo tanto, las ecuaciones máximas generadas por las desigualdades del apogeo y de los nodos de la Luna, son a 2.º 54′ 30″ como el movimiento medio diario del apogeo y el movimiento medio diario de los nodos de la Luna son al movimiento diario medio del Sol. De donde resulta la ecuación máxima del movimiento medio del apogeo de 19′ 43″ y la ecuación máxima del movimiento medio de los nodos de 9′ 24″. La primera ecuación se suma y la última se resta cuando la Tierra pasa del perihelio al afelio; y al contrario ocurre en la parte opuesta de la órbita.

También se ha establecido mediante la teoría de la gravedad que la acción del Sol sobre la Luna es algo mayor cuando el diámetro transversal de la órbita lunar pasa por el Sol que cuando se halla en ángulo recto con la línea que une a la Tierra y el Sol: y por ello la órbita lunar es algo mayor en el primer caso que en el segundo. Y de aquí surge otra ecuación del movimiento medio lunar, que depende del lugar del apogeo de la Luna respecto al Sol, la cual resulta máxima cuando coincide en el octante con el Sol; y es nula cuando el apogeo llega a las cuadraturas o a las sicigias: y se añade al movimiento medio al pasar el apogeo de la Luna desde la cuadratura del Sol a las sicigias mientras que se resta cuando el apogeo pasa de la sicigia a las cuadraturas. Esta ecuación, que llamaré semestral, en los octantes del apogeo, cuando es máxima, asciende a casi 3′ 45″, en la medida en que pude inferirlo de los fenómenos. Este es su valor a la distancia media del Sol a la Tierra. Pero aumenta o disminuye en razón inversa del cubo de la distancia del Sol, y por ende a la máxima distancia del Sol es de 3′ 34″ y a la mínima de 3′ 56″ aproximadamente: pero cuando el apogeo de la Luna se halla situado fuera de los octantes, resulta menor; y es a la ecuación máxima como el seno de la doble distancia del apogeo de la Luna hasta las inmediatas sicigias o la cuadratura al radio.

Por la misma teoría de la gravedad la acción del Sol sobre la Luna es algo mayor cuando la línea recta que pasa por los nodos de la Luna pasa también por el Sol que cuando dicha línea forma ángulo recto con la línea que une a la Tierra y el Sol. Y de aquí surge otra ecuación del movimiento medio lunar, que llamaré segunda semestral, y que es máxima cuando los nodos se encuentran en los octantes del Sol y que se desvanece cuando se hallan en las sicigias o en las cuadraturas, mientras en las demás posiciones de los nodos es proporcional al seno de la doble distancia de uno cualquiera de los nodos a la sicigia o cuadratura próxima; y se añade al movimiento medio de la Luna si el Sol está antes del nodo inmediato a la Luna y se resta si está delante, y en los octantes, cuando es máxima, asciende a 47″ a la distancia media del Sol y la Tierra, como infiero de la teoría de la gravedad. A otras distancias del Sol esta ecuación máxima en los octantes es inversamente proporcional al cubo de la distancia del Sol a la Tierra, y por ende en el perigeo del Sol asciende casi a 49″ y en su apogeo a casi 45″.

Por la misma teoría de la gravedad el apogeo de la Luna progresa máximamente cuando, o bien se halla en conjunción con el Sol, o bien en oposición a él, y retrocede cuando forma cuadratura con el Sol. Y la excentricidad se torna máxima en el primer caso y mínima en el segundo, por los Corolarios 7, 8 y 9 de la Proposición LXVI del Libro I. Y estas desigualdades, por los mismos Corolarios, son muy grandes y generan la ecuación principal del apogeo, a la que llamaré semestral. Y la ecuación máxima del semestre es de 12.º 18′ aproximadamente, en la medida en que pude inferirlo de las observaciones. Nuestro Horrox fue el primero en establecer que la Luna gira en una elipse en torno a la Tierra que está situada en su foco inferior. Halley situó el centro de la elipse en un epiciclo cuyo centro gira uniformemente en torno a la Tierra. Y del movimiento en el epiciclo surgen las desigualdades ya mencionadas en el progreso y regreso del apogeo y en el valor de la excentricidad. Imaginemos que la distancia media de la Luna a la Tierra se divide en 100 000 partes, y T represente a la Tierra, TC la excentricidad media de la Luna de 5505 partes. Prolónguese Te hasta B, de modo que CB sea el seno de la ecuación máxima semestral de 12.º 18′ para el radio TC, y el círculo BDA trazado con centro en C y radio CB será el susodicho epiciclo en el que se halla situado el centro de la órbita lunar y gira según el orden de las letras BDA. Tómese el ángulo BCD igual al doble del argumento anual, o a la doble distancia del verdadero lugar del Sol al apogeo de la Luna igualado una vez, y CTD será la ecuación semestral del apogeo lunar y TD la excentricidad de la órbita de la Luna que se dirige hacia el apogeo igualado por segunda vez. Pues bien, una vez conocidos el movimiento medio de la Luna y el apogeo y la excentricidad, así como el eje mayor de la órbita de la Luna de 200 000 partes; a partir de esto se obtiene el verdadero lugar de la Luna en la órbita y su distancia a la Tierra, y esto por métodos muy conocidos.

En el perihelio de la Tierra, debido a la mayor fuerza del Sol, el centro de la órbita lunar se mueve más velozmente en torno al centro C que en el afelio, y esto en razón inversa del cubo de la distancia del Sol a la Tierra. Por estar la ecuación del centro del Sol comprendida en el argumento anual, el centro de la órbita de la Luna se mueve más velozmente en el epiciclo BDA en razón inversa del cuadrado de la distancia de la Tierra al Sol. Para que pueda moverse aún más deprisa en razón simple inversa de la distancia, trácese desde el centro D de la órbita hacia el apogeo de la Luna la recta DE, paralela a TC, y tómese el ángulo EDF igual al exceso del argumento anual antedicho sobre la distancia hacia adelante del apogeo de la Luna hasta el perigeo del Sol; o lo que es lo mismo, tómese el ángulo CDF igual al complemento de la verdadera anomalía del Sol respecto a 360 grados. Y sea DF a DC como el doble de la excentricidad del Orbe Magno respecto a la distancia media del Sol a la Tierra y el movimiento diario medio del Sol desde el apogeo de la Luna al movimiento diario medio del Sol desde su propio apogeo conjuntamente, es decir, como 33⅞ a 1000 y 52′ 27″ 16‴ a 59′ 8″ 10‴ conjuntamente, o como 3 a 100. E imaginemos que el centro de la órbita de la Luna se sitúa en el punto F y, mientras gira en el epiciclo de centro D y radio DF, el punto D progresa por la circunferencia del círculo DABD. Pues con esta proporción, la velocidad con la que el centro de la órbita lunar se moverá por una cierta línea curva descrita en torno al centro C, será inversamente como el cubo de la distancia del Sol a la Tierra muy aproximadamente, como es preciso.

Es difícil el cálculo de este movimiento, pero se torna más fácil mediante la aproximación siguiente. Si la distancia media de la Luna a la Tierra es de 100 000 partes y la excentricidad es de 5505 partes, como antes, la recta CB o CD resultará de 1172¾ partes y DF de 35⅕ partes. Y esta recta, a la distancia TC, subtiende a la Tierra el ángulo generado por la traslación del centro de la órbita desde el punto D al punto F debido al movimiento de dicho centro: y el doble de esa línea en posición paralela y a la distancia del foco superior de la órbita de la Luna a la Tierra subtiende el mismo ángulo también generado en el movimiento del foco por dicha traslación y que por ello puede ser llamado segunda ecuación del centro. Y esta ecuación, a la distancia media de la Luna a la Tierra, es como el seno del ángulo comprendido entre la susodicha recta DF y la trazada desde el punto F hasta la Luna muy aproximadamente, y cuando es máxima resulta de 2′ 25″. Pues el ángulo comprendido entre la recta DF y la recta trazada desde F hasta la Luna se obtiene tanto restando el ángulo EDF de la anomalía media de la Luna, como añadiendo la distancia de la Luna al Sol a la distancia del apogeo de la Luna hasta el apogeo del Sol. Y como el radio es el seno del ángulo así hallado, así son también 2′ 25″ a la segunda ecuación, que ha de sumarse si aquella suma fuese menor que el semicírculo y restarse si fuese mayor. Así se obtendrá su longitud en las sicigias mismas de los astros.

Puesto que la atmósfera de la Tierra hasta una altura de 35 o de 40 millas refracta la luz del Sol, y al refractarla la dispersa por la sombra de la Tierra, y al dispersarla en los límites de la sombra dilata a la sombra, al diámetro de la sombra resultante de la paralaje, añado un minuto en los eclipses de la Luna, o acaso un minuto y un tercio.

Pero la teoría de la Luna debe examinarse y establecerse mediante los fenómenos, primero en las sicigias, después en las cuadraturas y por último en los octantes. Y quien aborde esta tarea no sufrirá inconvenientes al utilizar los movimientos medios del Sol y de la Luna para el tiempo del Real Observatorio de Greenwich el último día de diciembre del año 1700, calendario antiguo, a saber: el movimiento medio del Sol ♑ 20.º 43′ 40″ y su apogeo ♋ 7.º 44′ 30″ y el movimiento medio de la Luna ♒ 15.º 21′ 00″, y su apogeo ♓ 8.º 20′ 00″, y del nodo ascendente ☊ 27.º 24′ 20″, y la diferencia de meridianos entre este observatorio y el Real de París es de 0h. 9m. 20sg., pero el movimiento medio de la Luna y de su apogeo no se tienen todavía con suficiente exactitud.

PROPOSICIÓN XXXVI. PROBLEMA XVII

Hallar la fuerza del Sol para mover el mar

La fuerza ML del Sol, o PT, en las cuadraturas lunares, a la hora de perturbar los movimientos lunares, era respecto a la Fuerza de la gravedad entre nosotros (por la Proposición XXV de este Libro) como 1 a 638092,6. Y la fuerza TM - LM, o 2PK en las sicigias lunares era el doble mayor. Pero estas fuerzas, si descendiéramos a la superficie de la Tierra, disminuirán en razón de las distancias al centro de la Tierra, es decir, en razón de 60½ a 1; y por consiguiente, la fuerza anterior en la superficie de la Tierra es a la fuerza de la gravedad como 1 a 38 604 600. Con esta fuerza el mar se deprime en los lugares que distan 90 grados del Sol. Con la otra fuerza, que es el doble mayor, se eleva el mar tanto bajo el Sol como en la parte opuesta. La suma de las fuerzas es a la fuerza de la gravedad como 1 a 12 868 200. Y puesto que la misma fuerza induce el mismo movimiento, tanto si con ella deprime al agua en las regiones que distan 90 grados del Sol, como si la eleva en las regiones bajo el Sol u opuestas a él, esta suma será la fuerza total del Sol para agitar el mar; y tendrá el mismo efecto que si toda ella elevase el mar en las regiones bajo el Sol y opuestas al Sol, y en cambio no actuase en absoluto en las regiones que distan 90 grados del Sol.

Esta es la fuerza del Sol para mover el mar en un lugar dado cualquiera, cuando el Sol se halla, tanto en el vértice del lugar, como a su distancia media de la Tierra. En otras posiciones del Sol su fuerza para mover el mar es como el seno verso del doble de la altura del Sol sobre el horizonte del lugar, directamente, e inversamente como el cubo de la distancia del Sol a la Tierra.

COROLARIO. Puesto que la fuerza centrífuga de las partes de la Tierra originada por el movimiento terrestre diario, que es a la fuerza de la gravedad como 1 a 289, haga que la altura del agua en el ecuador supere la altitud de la misma sobre los polos en 85 472 pies parisinos, como se vio más arriba en la Proposición XIX, la fuerza solar de que hemos tratado, al ser a la fuerza de la gravedad como 1 a 12 868 200 y por tanto a la susodicha fuerza centrífuga como 289 a 12 868 200, o sea, como 1 a 44 527, hará que la altura del agua en las regiones bajo el Sol y sus opuestas supere a la altura de la misma en los lugares que distan 90 grados del Sol en solamente un pie parisino y once pulgadas con de pulgada. Pues ésta es la cantidad que, respecto a 85 472 pies, es como 1 a 44 527.

PROPOSICIÓN XXXVII. PROBLEMA XVIII[13]

Hallar la fuerza de la Luna para mover el mar.

La fuerza de la Luna para mover el mar hay que inferirla de su proporción respecto a la fuerza del Sol, y esta proporción hay que inferirla de la proporción de los movimientos del mar generados por estas fuerzas. Antes de la desembocadura del río AVON, en la tercera milla más abajo de Bristol, en primavera y otoño el ascenso total del agua en la conjunción y en la oposición de los astros, según la observación de Samuel Sturmy, es de unos 45 pies, mientras que en las cuadraturas están sólo de 25. La altura primera es debida a la suma de las fuerzas, y la segunda a su diferencia. Por consiguiente, sean S y L las fuerzas del Sol y de la Luna situados sobre el ecuador y a distancias medias de la Tierra, y L + S será a L - S como 45 a 25, o como 9 a 5.

La subida del mar en el puerto ce Plymouth según observación de Samuel Colepress alcanza unos dieciséis pies de altura media, y en primavera y otoño la altura de la marea en las sicigias puede superar a su altura en las cuadraturas en siete u ocho pies más. Si la diferencia máxima de estas alturas fuese de nueve pies, L + S será a L - S como 20½ a 11½, o como 41 a 23. Proporción que coincide bastante bien con la anterior. Por la magnitud de las mareas en el puerto de Bristol, parecen más fiables las observaciones de Sturmy, y por ello nos atendremos a la proporción de 9 a 5 hasta que haya constancia de algo más seguro.

Por lo demás, debido a los movimientos de reciprocación de las aguas, las máximas mareas no coinciden con las sicigias de los astros sino que son las terceras post-sicigias, como se ha dicho, o son inmediatas al tercer paso de la Luna por el meridiano del lugar después de las sicigias, o mejor (como observa Sturmy), son las terceras después del día de novilunio o plenilunio, o también más o menos doce horas después del novilunio o plenilunio, y por ello vienen a incidir más o menos en la hora cuarenta y tres desde el novilunio o plenilunio. En el puerto susodicho vienen a ocurrir unas siete horas después del paso de la Luna por el meridiano del lugar; y por tanto siguen inmediatamente al paso de la Luna por el meridiano, cuando la Luna dista del Sol, o de la oposición del Sol, más o menos dieciocho o diecinueve grados hacia adelante. Verano e invierno son de gran importancia, no en los mismos solsticios, sino cuando el Sol dista de los solsticios una décima parte del curso entero, es decir, unos 36 ó 37 grados. E igualmente, la máxima subida del mar se origina por el paso de la Luna por el meridiano del lugar, cuando la Luna dista del Sol casi una décima parte del movimiento total de marea a marea. Sea esa distancia más o menos de 18½ grados. Y la fuerza del Sol a esta distancia de la Luna de las sicigias y de las cuadraturas será menor para aumentar o disminuir el movimiento del mar debido a la fuerza lunar que en las propias sicigias y cuadraturas en la razón del radio al seno del complemento del doble de esa distancia o sea del ángulo de 37 grados, es decir, en razón de 10 000 000 a 7 986 355. Y por lo mismo, en la proporción de más arriba hay que escribir 0,7986355S en lugar de S.

Pero también hay que disminuir la fuerza de la Luna en las cuadraturas, debido a la declinación lunar del ecuador. Pues en las cuadraturas, o más bien en el grado 18½ después de las cuadraturas, tiene una declinación aproximada de 23.º 13′. Y la fuerza para mover el mar del astro en declinación ecuatorial disminuye en razón cuadrada del seno del complemento de la declinación muy aproximadamente. Y por tanto, la fuerza de la Lima en estas cuadraturas es tan solo de 0,8570327L. Por lo tanto, L + 0,7986355S es a 0,8570327L - 0,7986355S como 9 a 5.

Además los diámetros de la órbita en que debería moverse la Luna sin excentricidad son entre sí como 69 a 70; y por ello la distancia de la Luna a la Tierra en las sicigias es a su distancia en las cuadraturas como 69 a 70, en iguales restantes condiciones. Y sus distancias en el grado 18½ desde las sicigias cuando se genera la marea máxima, y en el grado 18½ desde las cuadraturas, cuando se genera la marea mínima, son a su distancia media como 69,098747 y 69,897345 a 69½. Pero las fuerzas de la Luna para mover el mar están en razón inversa del cubo de las distancias, y por ello las susodichas fuerzas en la máxima y mínima de estas distancias son a la fuerza en la distancia media como 0,9830427 y 1,017522 a 1. De donde resulta que 1,017522L + 0,7986355S es a 0,9830427 x 0,8570327L - 0,7986355S como 9 a 5. Y S a L como 1 a 4,4815. De suerte que siendo la fuerza del Sol a la de la gravedad como 1 a 12 868 200, la fuerza de la Luna será a dicha fuerza de la gravedad como 1 a 2 871 400.

COROLARIO 1. Dado que el agua bajo la acción de la fuerza del Sol sube a una altura de un pie, once pulgadas y 1⁄30 de pulgada, la Luna con la propia fuerza hará que ascienda hasta una altura de ocho pies y 75⁄22 pulgadas, y con ambas fuerzas juntas hasta una altura de 10½ pies, y cuando la Luna está en el perigeo hasta 12½ pies y más, sobre todo cuando el viento colabora con su empuje. Semejante fuerza es bastante para provocar todos los movimientos del mar, y responde adecuadamente a la cantidad de movimiento. Pues en los mares que se extienden ampliamente de oriente a occidente, como en el Pacífico y en las zonas extratropicales de los mares Atlántico y Etiópico, el agua suele alcanzar alturas de seis, nueve, doce o quince pies. Pero en el mar Pacífico, más profundo y más extenso, se asegura que las mareas son mayores que en el Atlántico y en el Etiópico. Y es que para que la marea sea más alta, la anchura del mar de este a oeste no debe ser menor de noventa grados. En el mar Etiópico la subida del agua entre los trópicos es menor que en las zonas templadas debido a la estrechez del mar entre África y la América austral. En el medio del mar el agua no puede ascender, salvo que descienda a la vez en las dos orillas oriental y occidental, pese a que en nuestros estrechos mares haya de descender por veces alternas en dichas costas. Por esta razón el flujo y reflujo, en las islas muy distantes de las costas, suele ser muy pequeño. En los puertos en los que el agua se ve obligada a llenar y vaciar alternativamente las cuencas pasando con gran ímpetu por estrechos y poco profundos canales, los flujos y reflujos han de ser por fuerza mayores, como en Plymouth y en el puente de Chepstow, en Inglaterra; en el Mont S. Michele o en la ciudad de Avranches en Normandía, en Cambaya y Pegu en la India oriental. En dichos lugares el mar, entrando y saliendo con gran velocidad, tanto inunda los litorales como deja millas enteras de arenales. Y el ímpetu de las entradas y de las salidas de agua no cesa hasta que el agua sube o desciende 30, 40, y hasta 50 pies, o más. Y lo mismo ocurre con los estrechos largos y poco profundos, como el de Magallanes o los que rodean Inglaterra. Las mareas, en semejantes puertos y estrechos por la fuerza de los accesos y recesos aumentan en gran medida. Mientras que en las costas con descenso rápido hacia un mar profundo y abierto, en las cuales el agua sin fuerza en la llegada y en el retroceso puede subir y bajar libremente, la magnitud de la marea responde a las fuerzas del Sol y de la Luna.

COROLARIO 2. Dado que la fuerza de la Luna para mover el mar es a la fuerza de la gravedad como 1 a 2 871 400, es evidente que dicha fuerza es mucho menor que la que es perceptible mediante experimentos con péndulos o cualesquiera otros estáticos o hidrostáticos. Únicamente dicha fuerza muestra un efecto sensible en las mareas.

COROLARIO 3. Toda vez que la fuerza de la Luna para mover el mar es a la correspondiente fuerza del Sol como 4,4815 a 1, y dichas fuerzas (por el Corolario 14 de la Proposición LXVI del Libro I) son como las densidades de los cuerpos de la Luna y del Sol y el cubo de los diámetros aparentes conjuntamente; la densidad de la Luna será a la densidad del Sol directamente como 4,4815 ale inversamente como el cubo del diámetro de la Luna al cubo del diámetro del Sol: esto es (siendo los diámetros medios aparentes de la Luna y del Sol de 31′, 16½ y de 32′, 12″), como 4891 a 1000. Pero la densidad del Sol era a la densidad de la Tierra como 1000 a 4000; y por tanto, la densidad de la Luna es a la densidad de la Tierra como 4891 a 4000, o como 11 a 9. Luego el cuerpo de la Luna es más denso y terroso que nuestra Tierra.

COROLARIO 4. Y puesto que el verdadero diámetro de la Luna obtenido de las observaciones astronómicas es al verdadero diámetro de la Tierra como 100 a 365, la masa de la Luna será a la masa de la Tierra como 1 a 39,788.

COROLARIO 5. Y la gravedad aceleratriz en la superficie de la Luna será casi un triplo menor que la gravedad aceleratriz en la superficie de la Tierra.

COROLARIO 6. Y la distancia del centro de la Luna al centro de la Tierra será a la distancia del centro de la Luna al centro común de gravedad de la Tierra y la Luna como 40,788 a 39,788.

COROLARIO 7. Y la distancia media del centro de la Luna al centro de la Tierra en los octantes de la Luna será aproximadamente de 60⅖ semidiámetros máximos de la Tierra. Porque el semidiámetro máximo de la Tierra era de 19 658 600 pies parisinos, y la distancia media entre centros de Luna y Tierra consta de 60⅖ de estos mismos semidiámetros y es igual a 1 187 379 440 pies. Esta distancia (por el Corolario anterior) es a la distancia del centro de la Luna al centro común de gravedad de la Tierra y la Luna como 40,788 a 39,788: por lo tanto, la distancia última es de 1 158 268 534 pies. Y, puesto que la Luna gira respecto a las fijas en 27 días, 7 horas y 434⁄9 minutos, el seno verso del ángulo descrito por la Luna en un minuto es de 12 752 341 para un radio de 1 000 000 000 000 000. Y el radio es a este seno verso como 1 158 268 534 pies son a 14,7706353 pies. Por consiguiente, la Luna, cayendo hacia la Tierra con la fuerza con la que es retenida en órbita describirá en el tiempo de un minuto 14,7706353 pies. Y aumentando dicha fuerza en una razón como 17829⁄40 a 17727⁄40 se tendrá la fuerza total de gravedad en la órbita de la Luna, por el Corolario de la Proposición III. Y cayendo la Luna con esta fuerza describirá en el tiempo de un minuto 14,8538067 pies. Y a 1⁄60 de esa distancia de la Luna al centro de la Tierra, esto es, a la distancia de 197 896 573 pies del centro de la Tierra, un grave cayendo en el tiempo de un segundo describe también 14,8538067 pies. Por lo cual a la distancia de 19 615 800 pies, que son el semidiámetro medio de la Tierra, un grave cayendo describirá 15,11175 pies, o sea, 15 pies, 1 pulgada y 41⁄11 líneas. Este será el descenso de los cuerpos a la latitud de 45 grados. Y según la tabla precedente expuesta en la Proposición XX, el descenso será algo mayor en la latitud de París, con un exceso de casi 2⁄3 de línea. Pues según este cálculo los graves en la latitud de París cayendo en el vacío describirán en un segundo casi 15 pies parisinos, 1 pulgada y 44⁄25 líneas. Y si la gravedad disminuyese, suprimiendo la fuerza centrífuga debida en esa latitud a la rotación diaria de la Tierra, los graves cayendo allí en el tiempo de un segundo describirán 15 pies, 1 pulgada y 1½ líneas. Y ya más arriba, en las Proposiciones IV y XIX, se ha mostrado que en la latitud de París los graves caen con esta velocidad.

COROLARIO 8. La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna en las sicigias de la Luna es de 60 semidiámetros máximos terrestres, restada una treintava parte del semidiámetro aproximadamente. Pero en las cuadraturas de la Luna las distancias medias entre los dichos centros es de 60⅚ semidiámetros terrestres. Pues estas dos distancias son a las distancias medias de la Luna en los octantes como 69 y 70 a 69½, por la Proposición XXVIII.

COROLARIO 9. La distancia media del centro de la Tierra al de la Luna en las sicigias de la Luna es de 60,1 semidiámetros medios terrestres. Y en las cuadraturas de la Luna la distancia media entre esos mismos centros es de 61 semidiámetros terrestres menos un treintavo de semidiámetro.

COROLARIO 10. En las sicigias de la Luna su paralaje horizontal media a latitudes de 0, 30, 38, 45, 52, 60, 90 grados es de 57′ 20″; 57′ 16″; 57′ 14″; 57′ 12″; 57′ 10″; 57′ 8″; 57′ 4″, respectivamente.

No he tenido en cuenta en estos cálculos la atracción magnética de la Tierra, cuya cantidad es ciertamente muy pequeña y se desconoce. Pero si alguna vez se llegase a conocer esta atracción, y las medidas en grados sobre los meridianos, las longitudes de los péndulos isócronos en los distintos paralelos, las leyes del movimiento del mar, la paralaje lunar junto con los diámetros aparentes del Sol y de la Luna pudieran ser determinados con mayor exactitud sobre la base de los fenómenos, se podrían repetir estos cálculos con mayor precisión.

PROPOSICIÓN XXXVIII. PROBLEMA XIX

Hallar la figura del cuerpo lunar.

Si el cuerpo lunar fuese fluido como lo es nuestro mar, la fuerza de la Tierra para elevar dicho fluido tanto en las partes más cercanas como en las más lejanas sería a la fuerza de la Luna, por la cual nuestro mar es elevado en las partes que están bajo ella y en las opuestas, como la gravedad aceleratriz de la Luna hacia la Tierra es a la gravedad aceleratriz de la Tierra hacia la Luna, y el diámetro de la Luna al diámetro de la Tierra conjuntamente; es decir, como 39,788 a 1 y 100 a 365 conjuntamente, o como 1081 a 100. Por lo cual, dado que la fuerza lunar eleva nuestro mar hasta 83⁄2 pies, la fuerza terrestre elevaría el fluido lunar hasta 93 pies. En consecuencia, la figura lunar sería un esferoide, cuyo diámetro mayor prolongado pasaría por el centro de la Tierra, y superaría a los diámetros perpendiculares con un exceso de 186 pies. Por tanto, esa es la figura que posee la Luna, y debió adoptarla desde el principio. Q. E. I.

COROLARIO. Y esto hace que la misma cara de la Luna esté siempre vuelta hacia la Tierra. Y el cuerpo lunar no podría permanecer en otra posición, sino que oscilando retornaría siempre a esta posición. Sin embargo, las oscilaciones, debido a la pequeñez de las fuerzas que las provocan, serían muy lentas, hasta el punto de que la cara de la Luna que debería mirar siempre hacia la Tierra podría mirar hacia el otro foco de la órbita lunar (por lo dicho en la Proposición XVII), sin que se apartase al instante de dicha posición y se volviese hacia la Tierra.

LEMA I[14]

Si APEp representa a la Tierra uniformemente densa, trazada con centro en C y polos P, p, y ecuador AE, y si con centro en C se imagina que trazamos una esfera Pape de radio CP; y sea QR un plano sobre el cual incide normalmente una recta trazada desde el centro del Sol al centro de la Tierra, mientras que cada partícula de toda la Tierra exterior PapAPepE que sobresale de la esfera descrita del modo dicho trata de alejarse hacia un lado y otro del plano QR, y los impulsos de cada una de las partículas es como su distancia al plano, digo, primero que la fuerza y eficacia totales de todas las partículas situadas en el círculo AE del ecuador y uniformemente dispuestas en anillo alrededor del globo en orden a hacer rotar a la Tierra en torno a su centro es a toda la fuerza y eficacia de otras tantas partículas situadas en el punto A sobre el ecuador, punto máximamente distante del plano QR, y en orden a producir un movimiento circular de la Tierra similar y en torno a su centro, como uno a dos. Y el susodicho movimiento circular tendrá lugar en torno a un eje situado en la sección común del ecuador y el plano QR.

Pues, con centro en K y semidiámetro IL trácese el semicírculo INLK. Imagínese que la semicircunferencia INL se divide en innumerables partes iguales, y desciendan sobre el diámetro IL desde cada parte N los senos NM. En tal caso la suma de los cuadrados de todos los senos NM será igual a la suma de los cuadrados de los senos KM, y una y otra suma juntas será igual a la suma de los cuadrados de otros tantos semidiámetros KN; y por consiguiente, la suma de todos los cuadrados NM será la mitad de la suma de los cuadrados de otros tantos semidiámetros KN.

Ahora divídase el perímetro del círculo AE en otras tantas partículas iguales y desde cada una de ellas F se hace descender sobre el plano QR la perpendicular FG, y lo mismo desde el punto A la perpendicular AH. Y la fuerza con que la partícula F se aleja del plano QR será como la susodicha perpendicular FG, por hipótesis, y dicha fuerza multiplicada por la distancia CG será la eficacia de la partícula F en orden a hacer girar a la Tierra en torno a su eje. Y por lo mismo, la eficacia de la partícula en el punto F será a la eficacia de la partícula en el punto A como FG x GC a AH x HC, es decir, como FC2 a AC2; y por tanto, la eficacia entera de todas las partículas en sus lugares F será a la eficacia de otras tantas partículas en el lugar A como la suma de todos los FC2 a la suma de otros tantos AC2, es decir (por lo ya demostrado) como uno a dos. Q. E. D.

Y toda vez que las partículas actúan apartándose perpendicularmente del plano QR, y esto igualmente a uno y otro lado del plano, harán girar a la circunferencia del círculo ecuatorial y a la Tierra anexa a él en torno a un eje situado tanto sobre dicho plano QR como sobre el plano del ecuador.

LEMA II

Con los mismos supuestos, digo, en segundo lugar, que la fuerza y eficacia totales de todas las partículas situadas por todas partes fuera de la esfera, en orden a hacer girar a la Tierra en torno al mismo eje es a la fuerza total de las mismas partículas, uniformemente dispuestas alrededor del círculo ecuatorial en forma de anillo y en orden a mover a la Tierra con un movimiento circular semejante, como dos a cinco.

Pues sea IK un círculo menor cualquiera paralelo al ecuador AE, y sean L, l dos partículas cualesquiera iguales situadas en dicho círculo fuera del globo Pape. Y si sobre el plano QR, que es perpendicular a un radio trazado al Sol, se trazan las perpendiculares LM, lm, las fuerzas totales con que tales partículas huyen del plano QR serán proporcionales a dichas perpendiculares LM, lm. Trácese entonces la línea Ll paralela al plano Pape y biséquese en X, y por el punto X trácese Nn paralela al plano QR y que encuentre a las perpendiculares LM, lm en N y n, y sobre el plano QR hágase caer la perpendicular XY. Y las fuerzas opuestas de las partículas L y l en orden a hacer girar a la Tierra en direcciones opuestas son como LM x MC y lm x mC, es decir, como LN x MC + NM x MC y In x mC - nm x mC, o sea, LN x MC + NM x MC y LN x mC - NM x mC, y la diferencia entre ambas, LN x Mm - NM x (MC + mC), es la fuerza de ambas partículas juntas para mover la Tierra en giro. La parte positiva de esta diferencia LN x Mm, o sea, 2LN x NX es a la fuerza de dos partículas de igual magnitud, 2AH x HC, situadas en A, como LX2 a AC2. Y la parte negativa, NM x (MC + mC), o sea, 2XY x CY es a la fuerza de las mismas partículas situadas en A, 2AH x HC, como CX2 a AC2. Y por ello, la diferencia de las partes, es decir, la fuerza de las dos partículas L y l tomadas conjuntamente para hacer girar a la Tierra es a la fuerza de dos partículas iguales a ellas y situadas en el punto A en orden a hacer girar igualmente a la Tierra como LX2 - CX2 a AC2. Pero si la circunferencia IK del círculo IK se divide en innumerables partículas iguales L, todos los LX2 serán a otros tantos IX2 como 1 a 2 (por el Lema I) y a otras tantas AC2 como IX2 a 2AC2; y todas las CX2 a otras tantas AC2 como 2CX2 a 2AC2. Por lo tanto, las fuerzas reunidas de todas las partículas alrededor del círculo IK son a las fuerzas reunidas de otras tantas partículas en el punto A como IX2 - 2CX2 a 2AC2, y por lo mismo (por el Lema I) son respecto a las fuerzas reunidas de otras tantas partículas en torno al círculo AE como IX2 - 2CX2 a AC2.

Pero si ahora se divide el diámetro Pp de la esfera en innumerables partes iguales sobre las que se sitúan otros tantos círculos IK, la materia en el perímetro de un círculo cualquiera IK será como IX2: y por lo mismo, la fuerza de dicha materia para mover la Tierra en giro será como IX2 por IX2 - CX2. Y la fuerza de esa misma materia si se hallase en el perímetro del círculo AE sería como IX2 x AC2. Y por tanto, la fuerza de todas las partículas de toda la materia, situada fuera del globo en los perímetros de todos los círculos, es a la fuerza de otras tantas partículas situadas en el perímetro del círculo máximo AE, como todos los IX2 x (IX2 - 2CX2) a otros tantos IX2 x AC2, es decir, como todas las AC2 - CX2 por AC2 - 3CX2 a otras tantas AC2, es decir, como todas las AC2 - CX2 por AC2 - 3CX2 a otras tantas AC2 - CX2 por AC2, esto es, como todas las AC4 - 4AC2 x CX2 + 3CX4 a otras tantas AC4 - AC2 x CX2, es decir, como toda la cantidad fluyente cuya fluxión es AC4 - 4AC2 x CX2 + 3CX4, a toda la cantidad fluyente cuya fluxión es AC4 - AC2 x CX2; y en consecuencia, por el método de las fluxiones, como AC4 x CX - 4⁄3C2 x CX3 + ⅗X5 es a AC4 x CX - ⅓AC2 x CX3, o sea, si en lugar de CX se escribe todo Cp o AC, como 4⁄15AC5 a 2⁄3AC5, lo que es como dos a cinco. Q. E. D.

LEMA III

Con los mismos supuestos, digo, en tercer lugar, que el movimiento de toda la Tierra en torno al eje antedicho, resultante de los movimientos de todas las partículas, será al movimiento del anillo susodicho en torno al mismo eje en una razón compuesta de la razón de la materia en la Tierra a la materia en el anillo y de la razón de tres cuadrados del cuadrante de cualquier círculo a dos cuadrados de su diámetro; es decir, en razón de la materia a la materia y del número 925 275 al número 1 000 000.

Pues el movimiento de un cilindro que gira en torno a su eje inmóvil es al movimiento de la esfera inscrita que gira a la vez, como cuatro cuadrados iguales cualesquiera son a tres de los círculos inscritos en ellos: y el movimiento del cilindro es al movimiento de un anillo muy delgado que rodease el lugar común de contacto, como el doble de la materia en el cilindro al triple de la materia en el anillo; y este movimiento del anillo, continuado uniformemente en torno al eje del cilindro, es al movimiento uniforme de éste en torno a su propio diámetro, realizado en el mismo tiempo periódico, como la circunferencia del círculo al doble del diámetro.

HIPÓTESIS II

Si, suprimiendo todo el resto de la Tierra, el anillo predicho, sólo en derredor de la Tierra, girase en torno al Sol con movimiento anual, mientras que en torno a su propio eje, inclinado éste sobre el plano de la eclíptica con un ángulo de 23½ grados, girase también con movimiento diario: el movimiento de los puntos equinocciales sería el mismo, tanto si el susodicho anillo fuera fluido, como si estuviese constituido de materia firme y rígida.

PROPOSICIÓN XXXIX. PROBLEMA XX[15]

Hallar la precesión de los equinoccios

El movimiento medio horario de los nodos de la Luna en una órbita circular, cuando los nodos están en cuadraturas, era de 16″ 35‴ 16″″ 36‴″, y su mitad 8″ 17″ 38″″ 18‴″, es (por las razones dadas antes) el movimiento medio horario de los nodos en dicha órbita. Y el año sidéreo entero sea de 20.º 11′ 46″. Puesto que en semejante órbita los nodos de la Luna completarían cada año los 20.º 11′ 46″ hacia adelante, y si hubiese varias lunas, los movimientos de los nodos de cada una (por el Corolario 16 de la Proposición LXVI del Libro I) serían como los tiempos periódicos, si la Luna en el tiempo de un día sidéreo girase junto a la superficie de la Tierra, el movimiento anual de los nodos sería a 20.º 11′ 46″ como el día sidéreo de 23h. 56′ al tiempo periódico de la Luna de 27d. 7h. 43′; es decir, como 1436 a 39 343. E igual es la razón de los nodos de un anillo de lunas rodeando a la Tierra, tanto si dichas lunas no se tocan, como si fueran líquidas y formasen un anillo continuo, o si ese anillo fuese rígido y se hiciese inflexible.

Supongamos, pues, que dicho anillo es igual, en cantidad de materia, a toda la Tierra PapAPepE que sobresale de la esfera Pape, (vde. fig. del Lema II); y puesto que dicha esfera es a la dicha Tierra que sobresale como aC2 a AC2 - aC2, esto es (al ser PC semidiámetro menor de la Tierra o también aC al semidiámetro mayor AC como 229 a 230) como 52 441 a 459; si este anillo ciñese a la Tierra por el ecuador y ambos girasen a la vez en torno al diámetro del anillo, el movimiento del anillo sería al movimiento de la esfera interior (por el Lema III de éste) como 459 a 52 441 y 1 000 000 a 925 275 conjuntamente, es decir, como 4590 a 485 223; y por tanto el movimiento del anillo sería a la suma del movimiento del anillo y del movimiento del globo como 4590 a 489 813. De donde, si el anillo se adhiriese al globo y comunicase a éste el movimiento con el cual regresan sus nodos o puntos equinocciales, el movimiento restante en el anillo será a su movimiento anterior como 4590 a 489 813; y por lo mismo, el movimiento de los puntos equinocciales disminuirá en la misma razón. Por consiguiente, el movimiento anual de los puntos equinocciales del cuerpo compuesto del anillo y del globo será al movimiento de 20.º 11′ 46″ como 1436 a 39 343 y 4590 a 489 813 conjuntamente, es decir, como 100 a 292 369. Pero las fuerzas por las cuales retroceden los nodos de las lunas (como expuse antes) y por tanto también retroceden los puntos equinocciales (esto es, las fuerzas 3IT, en la figura de la Proposición XXX) son en cada partícula como las distancias de cada una de esas partículas al plano QR, y con esas fuerzas huyen las partículas del plano; y por ello (por el Lema II), si la materia del anillo se distribuyera por toda la superficie del globo al modo de la figura PapAPepE para dar lugar a la parte sobresaliente de la Tierra, toda la fuerza y eficacia de todas las partículas para hacer girar a la Tierra en torno de un diámetro ecuatorial, y por tanto para mover los puntos equinocciales, resultará menor que antes, y ello en razón de 2 a 5. Y por eso el regreso anual de los equinoccios sería ahora respecto a 20.º 11′ 46″, como 10 a 73 092; y por tanto resultaría de 9″ 56‴ 50‴.

Además, este movimiento, debido a la inclinación del plano ecuatorial hacia el plano de la eclíptica, debe ser disminuido, y esto en la razón del seno de 91 706 (que es el seno del complemento de 23½ grados) al radio 100 000. Con lo cual el movimiento resultará ahora de 9″ 7‴ 20″″. Esta es la precesión anual de los equinoccios debida a la fuerza del Sol.

Pero la fuerza de la Luna para mover el mar era a la del Sol como 4,4815 a 1 aproximadamente. Y la fuerza de la Luna para mover los equinoccios es a la del Sol en la misma proporción. Y de aquí resulta que la precesión anual de los equinoccios debida a la fuerza de la Luna sea de 40″ 52‴ 52″″, y la precesión de los equinoccios total anual debida a ambas fuerzas es de 50″ 00‴ 12″″. Este movimiento concuerda con los fenómenos. Pues la precesión de los equinoccios según las observaciones astronómicas es de cincuenta segundos al año más o menos.

Si la altura de la Tierra en el ecuador superase a la altura en los polos en más de 17⅙ millas, la materia terrestre sería más rara en la circunferencia que en el centro, y la precesión de los equinoccios debería aumentar debido a dicha altura, mientras debería disminuir debido a la rareza.

Ya hemos descrito el sistema del Sol, la Tierra, la Luna y los planetas; resta sólo añadir algunas cosas sobre los cometas.

LEMA IV

Los cometas están más arriba de la Luna y circulan por las regiones planetarias.

Al igual que la falta de paralaje diurna alejó a los cometas fuera y más allá de las regiones sublunares, de igual modo por la paralaje anual se llega a la convicción de su descenso a las regiones planetarias. Pues los cometas, que avanzan según el orden de los signos zodiacales, son todos al final de su aparición o muy lentos o retrógrados cuando la Tierra se halla entre ellos y el Sol; y mucho más veloces si la Tierra se halla en oposición. Y por el contrario, los que caminan contra el orden de los signos son más veloces al final de su aparición si la Tierra se halla entre ellos y El Sol; pero son mucho más lentos y hasta retrógrados si la Tierra se halla en las partes opuestas. Esto sucede sobre todo por el diferente movimiento de la Tierra según su sitio, como ocurre con los planetas, que según el movimiento de la Tierra vaya en la misma o contraria dirección, ahora parecen retrógrados, después muy lentos y otras veces muy rápidos. Si la Tierra marcha en la misma dirección del cometa y es transportado por un movimiento angular en torno al Sol tan veloz que hace que una recta que pase por la Tierra y por el cometa siempre converja en las regiones ulteriores al cometa, éste, visto desde la Tierra, aparecerá siempre retrógrado por su movimiento más lento; pero si la Tierra es transportada con movimiento más lento el movimiento del cometa (descontado el movimiento de la Tierra) resulta por lo menos más lento. Pero cuando la Tierra camina en dirección contraria, el cometa parece por ello más veloz. La distancia del cometa, en cambio, se obtiene a partir de la aceleración, de la retardación o del movimiento retrógrado del modo siguiente.

Sean ♈ QA, ♈ QB, ♈ QC, tres longitudes del cometa observadas al principio del movimiento y sea ♈ QF la última longitud observada, cuando el cometa deja de verse. Trácese la recta ABC, cuyas partes AB, BC están situadas entre las rectas QA y QB, QB y QC, y son además entre sí como los tiempos comprendidos entre las tres primeras observaciones. Prolónguese AC hasta G, de modo que AG sea a AB como el tiempo comprendido entre la primera y la última observación e$ al tiempo entre la primera y la segunda, y únanse QG. Y si el cometa se moviese en línea recta y la Tierra o estuviese en reposo o avanzase con movimiento uniforme también en línea recta, el ángulo ♈ QC sería la longitud del cometa en el momento de la última observación. Pues el ángulo FQG, que es la diferencia de longitudes, se debe a la desigualdad de los movimientos del cometa y de la Tierra. Pero este ángulo, si la Tierra y el cometa se mueven en sentidos contrarios, se suma al ángulo ♈ QG, y de este modo convierte al movimiento aparente del cometa en más rápido; pero si el cometa marcha hacia la misma dirección que la Tierra, se resta de dicho ángulo y convierte con ello al movimiento del cometa o en más lento o, incluso, en retrógrado, como ya he explicado. Surge, pues, este ángulo principalmente del movimiento de la Tierra, y por ello ha de considerarse con toda razón como la paralaje del cometa, dejando de lado tal vez algún incremento o decremento del mismo que pueda deberse a algún movimiento desigual del cometa en su propia órbita. Mas la distancia del cometa se infiere de dicha paralaje como sigue. Represente S al Sol, acT a la eclíptica, a el lugar de la Tierra en la primera observación, c el lugar de la Tierra en la observación tercera, T el lugar de la Tierra en la observación última, y T♈ una línea recta trazada al principio de Aries. Tómese al ángulo ♈ TV igual al ángulo ♈ QF, es decir, igual a la longitud del cometa cuando la Tierra se halla en T. Únanse ac y prolónguese hasta g de modo que ag sea a ac como AG a AC, y g será el lugar que ocuparía la Tierra en el momento de la última observación con un movimiento uniformemente continuo por la recta ac. Por ello, si se traza g♈ paralela a T♈ y se toma al ángulo ♈gV igual al ángulo ♈ QG, dicho ángulo ♈ gV será igual a la longitud del cometa visto desde el punto g; y el ángulo TVg será la paralaje debida a la traslación de la Tierra desde el punto g hasta el punto T: y por consiguiente, V será el lugar del cometa en el plano de la eclíptica. Pero este punto V suele hallarse más bajo que la órbita de Júpiter.

Y lo mismo se infiere de la curvatura de la trayectoria de los cometas. Estos cuerpos se desplazan por círculos máximos prácticamente, cuando su movimiento es más rápido; pero al final de su curso, cuando la parte de movimiento aparente debida a la paralaje está en mayor proporción al movimiento aparente, se separan de dichos círculos, y siempre que la Tierra se mueve hacia una dirección, ellos se desvían hacia otra. Semejante deflexión se debe sobre todo a la paralaje, en cuanto que responde al movimiento de la Tierra; y su notable magnitud, según mis cálculos, sitúa a los cometas en el momento de desaparecer bastante por debajo de Júpiter. De donde se sigue que en los perigeos y perihelios, cuando están más cerca, descienden muchas veces más abajo de la órbita de Marte y de los planetas inferiores.

También se confirma la proximidad de los cometas por la luz de sus cabezas. Pues el brillo de un cuerpo celeste iluminado por el Sol y que se va alejando hacia lo remoto del cielo disminuye en razón de la cuarta potencia de la distancia: a saber, en razón cuadrada por el aumento de la distancia del cuerpo al Sol y en otra razón cuadrada por la disminución del diámetro aparente. De donde, si se da la cantidad de la luz y el diámetro aparente de un cometa se tendrá dada también la distancia, diciendo que su distancia será a la distancia de un planeta, directamente como la razón de un diámetro a otro e inversamente como la razón de la raíz cuadrada de la luz de uno a la raíz cuadrada de la luz del otro. Así, el diámetro mínimo de la cabellera del cometa de 1682, observado por Flamsteed con un telescopio de 16 pies y medido con micrómetro era de 2′ 0″; pero el núcleo o estrella central de la cabeza apenas ocupaba una décima parte de esa latitud, de suerte que su diámetro sólo era de 11″ ó 12″. Pero en luz y claridad de su cabeza superaba a la cabeza del cometa de 1680, y competía con las estrellas de primera y segunda magnitud. Supongamos que Saturno, con su anillo, fuese cuatro veces más brillante: y puesto que la luz del anillo casi iguala a la luz del globo interior y el diámetro aparente del globo viene a ser de 21″ aproximadamente, la luz, por tanto, del globo y del anillo juntas igualarán a la luz de un globo que fuese de 30″ de diámetro: la distancia del cometa será a la distancia de Saturno como 1 a √4 inversamente y como 12″ a 30″ directamente, es decir, como 24 a 30 o como 4 a 5. Además, el cometa del año 1665, como lo atestigua Hewelcke, superaba en brillo a casi todas las estrellas fijas, incluso al mismo Saturno, quizás porque su color era mucho más vivo. Resultaba este cometa mucho más luminoso que el aparecido a finales del año anterior y que era comparado con las estrellas de primera magnitud. La anchura de la cabeza era casi de 6′, pero el núcleo, comparado con los planetas mediante el telescopio era claramente menor que Júpiter y ora se juzgaba menor que el cuerpo interior de Saturno, ora igual a dicho cuerpo. Por consiguiente, al ser el diámetro de la cabeza de los cometas muy raramente superior a 8′ ó 12′ y el diámetro del núcleo o estrella central ser sólo una décima o decimoquinta parte del diámetro de la cabeza, es evidente que estas estrellas son a lo sumo de la misma magnitud aparente que los planetas. Por lo cual, dado que su luz se pueda comparar a veces con la de Saturno, y hasta alguna vez superarla, está claro que todos los cometas en los perihelios se han de situar más abajo de Saturno o no muy por encima. Y se equivocan por completo quienes los alejan hasta las regiones de las fijas: pues con semejante solución no deberían ser iluminados por nuestro Sol más de lo que nuestros planetas lo son por las estrellas fijas.

Hemos tratado de estas cosas sin tener en cuenta el oscurecimiento de los cometas debido a ese humo abundante y espeso que rodea a la cabeza, apareciendo ésta siempre como velada por una nube. Pues cuanto más oscuro se torna el cuerpo debido a dicha nube, tanto más necesario es que esté más cerca del Sol para que la cantidad de luz que refleja emule a los planetas. Por ello es muy verosímil que los cometas desciendan bastante por debajo de la órbita de Saturno, como hemos observado por la paralaje. Y esto mismo se confirma magníficamente por las colas. Estas, o se originan por la reflexión producida por el humo esparcido por el éter, o se originan de la luz de la cabeza. En el primer caso hay que disminuir la distancia de los cometas, para que el humo que sale continuamente de la cabeza no se halle propagado por espacios demasiado amplios y con una velocidad increíble. En el segundo caso hay que atribuir toda la luz, tanto de la cola como de la cabellera, al núcleo de la cabeza. Ahora bien, si imaginamos toda esa luz reunida y encerrada dentro del disco del núcleo con certeza, siempre que emita una cola máxima y luminosa, superará con mucho al brillo de Júpiter. Pues, con un diámetro aparente menor emite más luz, y por ende será mucho más iluminado por el Sol, con lo que estará también mucho más cerca del mismo Sol. E incluso, por este argumento, deben situarse bajo la órbita de Venus las cabezas que se ocultan bajo el Sol y que, a veces, emiten colas enormes y muy brillantes a modo de tizones encendidos. Pues toda esa luz, si se supone reunida en la estrella, superaría a la propia Venus, por no decir a muchas Venus.

Y lo mismo, finalmente, se sigue de la luz de las cabezas que crece al alejarse los cometas desde la Tierra hacia el Sol y decrece al apartarse del Sol hacia la Tierra. De modo que el último cometa del año 1665 (según las observaciones de Hewelcke) desde el momento de su aparición perdía continuamente movimiento aparente y por ello ya había pasado de su perigeo; pero el brillo de su cabeza crecía no menos de día en día, hasta que el cometa dejó de verse cubierto por los rayos solares. El cometa de 1683 (observado por el mismo Hewelcke) a fines del mes de julio, al aparecer por primera vez, se movía muy lentamente, recorriendo en su órbita unos 40 ó 45 minutos al día. Desde esas fechas su movimiento diario aumentó continuamente hasta el 4 de septiembre, en que alcanzó casi 5 grados. Luego durante todo este tiempo el cometa se acercaba a la Tierra. Cosa que también se infiere del diámetro de la cabeza medido con micrómetro: toda vez que Hewelcke lo fijó el 6 de agosto en tan sólo 6′ 5″, incluida la cabellera, mientras que en 2 de septiembre era de 9′ 7″. Por consiguiente, la cabeza al principio aparecía mucho menor que al final del movimiento, mientras que sin embargo al principio, en las proximidades del Sol, era mucho más luminosa que hacia el final, como dice el mismo Hewelcke. Por lo tanto, durante todo este tiempo, debido a su alejamiento del Sol, iba decreciendo en luminosidad, pese a su acercamiento hacia la Tierra. El cometa de 1618, hacia el mes de diciembre, y éste de 1680, hacia finales del mismo mes, se movían muy rápidamente, y por lo mismo estaban entonces en los perigeos. Pero el máximo resplandor de sus cabezas aconteció casi dos semanas antes, cuando acababan de salir de los rayos solares; mientras que el máximo resplandor de las colas un poco antes, en la mayor proximidad al Sol. La cabeza del cometa primero, según las observaciones de Cysat de 1 de diciembre (ahora ya en el perigeo) con poca menos magnitud, había decrecido mucho en brillo o nitidez luminosa. El 7 de enero, Kepler, inseguro ya de la cabeza del cometa, puso fin a la observación. El 12 de diciembre vio y observó Flamsteed la cabeza del segundo cometa a una distancia de nueve grados del Sol; cosa apenas concebible para una estrella de tercera magnitud. El 15 y 17 se presentó como una estrella de tercera magnitud, aunque disminuido su brillo por las nubes que brillaban junto al Sol poniente. El 26 de diciembre, moviéndose muy rápidamente, y casi hallándose en el perigeo, brillaba menos que la estrella de la boca de Pegaso, de tercera magnitud. El 3 de enero parecía una estrella de cuarta magnitud, el 9 de enero, de quinta magnitud, el 13 de enero desapareció por el resplandor de la Luna creciente. El 25 de enero apenas igualaba a las estrellas de séptima magnitud. Si a un lado y otro del perigeo se toman tiempos iguales, las cabezas, que en dichos tiempos se hallan en regiones distantes, deberían brillar igual por sus distancias iguales de la Tierra, y brillaban sin embargo máximamente hacia el lado del Sol mientras que hacia la otra parte del perigeo se desvanecían. Por tanto, por la gran diferencia de luz en uno y otro lugar, se infiere la gran proximidad del Sol y del cometa en el primer lugar. Pues la luz de los cometas suele ser regular, y parece máxima cuando las cabezas se mueven muy velozmente y se hallan, por tanto, en los perigeos; salvo en la medida en que es mayor en las cercanías del Sol.

COROLARIO 1. Por consiguiente, los cometas brillan con la luz que reflejan del Sol.

COROLARIO 2. También de lo dicho se sigue el motivo por el que los cometas son tan frecuentes en la región del Sol. Si se viesen en las regiones de más allá de Saturno, deberían aparecer frecuentemente en las regiones opuestas al Sol. Pues los que anduviesen por estos lugares serían más próximas a la Tierra y, en cambio, el Sol ocultaría a los demás interponiéndose ante ellos. Pero al repasar la historia de los cometas encuentro que se han visto cuatro o cinco veces más hacia el lado del hemisferio solar que hacia el opuesto, además de otros, sin duda no pocos, obscurecidos por la luz del Sol. Pero además, al descender hacia nuestras regiones ni emiten colas, ni son iluminados por el Sol lo bastante para que puedan ser observados a simple vista antes de que se hallen más cerca que el mismo Júpiter. Pero la mayor parte del espacio descrito con tan corto radio en torno al Sol cae del lado de la Tierra que mira hacia el Sol, y los cometas, en dicha mayor parte y como mucho más próximos al Sol, suelen ser iluminados en mayor grado.

COROLARIO 3. Con ello también es evidente que los cielos se hallan desprovistos de resistencia. Pues los cometas, que siguen trayectorias oblicuas y a veces contrarias al curso de los planetas, se mueven libremente en todas direcciones, y conservan sus movimientos por tiempo muy largo, incluso contra el curso de los planetas. Si no me engaño, son una especie de planetas y retornan en órbita con un movimiento perpetuo. Pues la afirmación de algunos autores de que se trata de meteoros, basando su argumento en los cambios continuos de las cabezas, parece carecer de fundamento. Las cabezas de los cometas están rodeadas de enormes atmósferas, y las atmósferas más bajas deben ser más densas. De donde, las nubes no son los mismos cuerpos de los cometas en los que se observan dichos cambios. Así también la Tierra, vista desde los planetas, brillará sin duda con la luz de sus nubes, mientras que el cuerpo sólido apenas será visible bajo las nubes. También los cinturones de Júpiter se forman en las nubes de aquel planeta y cambian entre sí de lugar, dejando apenas verse el cuerpo sólido de Júpiter a través de ellas. Mucho más los cuerpos de los cometas habrán de esconderse bajo sus atmósferas más grandes y más densas.

PROPOSICIÓN XL. TEOREMA XX[16]

Los cometas se mueven en secciones cónicas que tienen los focos en el centro del Sol, y con radios trazados al Sol describen áreas proporcionales a los tiempos.

Es evidente por el Corolario 1 de la Proposición XIII del Libro I comparado con las Proposiciones VIII, XII y XIII del Libro III.

COROLARIO 1. De aquí que, si los cometas giran en órbita, las órbitas serán elipses, y los tiempos periódicos serán a los tiempos periódicos de los planetas en razón de la potencia 3⁄2 de los ejes principales. Y por ello los cometas que hacen la mayor parte de su recorrido en regiones ultraplanetarias y describen por ello órbitas con ejes mayores giran con mayor lentitud. De suerte que si el eje de la órbita de un cometa es cuatro veces mayor que el eje de la órbita de Saturno, el tiempo de revolución del cometa será al tiempo de revolución de Saturno, es decir, a 30 años, como 4 √4 (o sea, 8) a 1, y por tanto será de 240 años.

COROLARIO 2. Pero las órbitas serán tan próximas a parábolas que en su lugar pueden utilizarse parábolas sin errores sensibles.

COROLARIO 3. Y, por lo mismo (por el Corolario 7 de la Proposición XVI del Libro I), la velocidad de todo cometa será a la velocidad de un planeta cualquiera que gire en círculo en torno al Sol como la raíz cuadrada de la doble distancia del planeta al centro del Sol a la distancia del cometa al centro del Sol muy aproximadamente. Supongamos que el radio del Orbe Máximo, o sea, que el semidiámetro máximo de la elipse en que gira la Tierra tiene 100 000 000 partes: la Tierra con su movimiento diario medio describirá 1 720 212 de estas partes, y con su movimiento horario 71 675½ partes. Por tanto, un cometa a la misma distancia que la Tierra del Sol, con una velocidad que fuese a la velocidad de la Tierra como √2 a 1, describirá con su movimiento diario 2 432 747 partes, y con su movimiento horario 101 364¼ partes. Pero a distancias mayores o menores, tanto el movimiento diario como el horario será respecto a este movimiento diario y horario inversamente como la raíz cuadrada de las distancias, y por tanto está dado.

COROLARIO 4. Por consiguiente, si el «latus rectum» de la parábola es cuatro veces mayor que el radio del Orbe Máximo, y el cuadrado de dicho radio se supone que es de 100 000 000 partes, el área que el cometa describe cada día con un radio trazado al Sol será de 1 216 373½ partes, y en cada hora dicha área será de 5068½ partes. Pero si el «latus rectum» fuera mayor o menor en una razón cualquiera, el área diaria y horaria será mayor o menor en razón de la raíz cuadrada de esa razón.

LEMA V

Hallar una línea curva de especie parabólica que pase por cuantos puntos dados se quiera.

Sean tales puntos A, B, C, D, E, F, etc., y desde ellos hasta una recta cualquiera de posición dada HN háganse descender otras tantas perpendiculares, AH, BI, CK, DL, EM, FN.

CASO 1. Si los intervalos HI, IK, KL, etc., entre los puntos H, I, K, L, M, N, son iguales, tomemos las primeras diferencias de las perpendiculares AH, BI, CK, etc., como b, 2ƒe, 3b, 4b, 5b, etc., las segundas como c, 2c, 3c, 4c, etc., las terceras como d, 2d, 3d, etc., esto es, de modo que AH - BI = b, BI - CK = 2b, CK - DL = 3b, DL + EM = 4b, -EM + FN = 5b, etc., entonces, b - 2b = c, etc., hasta llegar así a la última diferencia que aquí es ƒ. Elevando después una perpendicular cualquiera RS que sería una ordenada aplicada a la curva que se busca: con el fin de hallar su longitud supongamos que los intervalos HI, IK, KL, LM, etc., son unidades, y escribe AH = a, - HS = p, ½p x - IS = q, ⅓q x +SK = r, ¼r x +SL = s, ⅕s x + SM = t, siguiendo así hasta la penúltima perpendicular que es ME y anteponiendo los signos negativos a los términos HS, IS, etc., situados hacia el lado A del punto S, y los signos positivos a los términos SK, SL, etc., que están situados hacia el otro lado del punto S. Y si los signos están bien respetados, será RS = a + bp + cq + dr + es + ƒt, etcétera.

CASO 2. Pero si los intervalos HI, IK, etc., entre los puntos H, I, K, L, etc., fuesen desiguales, toma a b, 2b, 3b, 4b, 5b, como primeras diferencias de las perpendiculares AH, BI, CK, etc., separadas por los intervalos entre perpendiculares; y a c, 2c, 3c, 4c, etc., como segundas diferencias separadas por cada dos intervalos, y a d, 2d, 3d, etc., como terceras diferencias separadas por intervalos de tres en tres, a e, 2e, etc., como cuartas diferencias divididas por los intervalos de cuatro en cuatro, y así sucesivamente; es decir, de modo que b= AH - BI / HI, 2b= BI - CK / IK 3b= CK - DL / KL, etc., después c= b - 2b / HK, 2c= 2b - 3b / IL 3c = c= 3b - 4b / KM, etc., y luego d= c - 2c / HL, 2d= 2c - 3c / IMetc. Halladas las diferencias, escribe AH = a, -HS - p, p x -IS - q, q x +SK = r, r x +SL = s, s x +SM = t; siguiendo así hasta la penúltima perpendicular ME, la ordenada RS será igual a la suma a + bp + cq + dr + es + ƒt, etc.

COROLARIO. De aquí que las áreas de todas las curvas puedan calcularse muy aproximadamente. Pues si se hallan unos puntos de la curva a cuadrar, y se imagina que por esos puntos pasa una parábola, el área de esa parábola será la misma que la de la curva a cuadrar muy aproximadamente. Y una parábola se puede cuadrar siempre geométricamente por métodos bien conocidos.

LEMA VI

A partir de algunos lugares observados de un cometa, hallar su lugar en un momento cualquiera intermedio dado.

Sean HI, IK, KL, LM los tiempos entre observaciones (en la figura anterior), sean HA, IB, KC, LD, ME cinco longitudes observadas del cometa, HS el tiempo dado entre la observación primera y la longitud buscada. Y si por los puntos A, B, C, D, E, se supone trazada la curva regular ABCDE, y por el Lema anterior se halla su ordenada RS, será RS la longitud buscada.

Con el mismo método sobre la base de cinco latitudes, observadas se halla la latitud en un momento dado.

Si las diferencias de longitudes observadas son pequeñas, tales como 4 ó 5 grados solamente, bastarán tres o cuatro observaciones para hallar las nuevas longitudes o latitudes. Pero si las diferencias son mayores, por ejemplo de 10 ó 20 grados, habrá que disponer de cinco observaciones.

LEMA VII

Por un punto dado P trazar una recta BC cuyas partes PB, PC, cortadas por dos rectas AB, AC de posición dada, se hallen entre sí en una razón dada.

Desde dicho punto P hasta AB una cualquiera de las dos rectas trácese otra recta cualquiera PD, y prolónguese ésta hacia la otra recta AC hasta E, de modo que PE sea a PD en la dicha razón dada. Sea EC paralela a la recta AD; y si se traza CPB, entonces PC será a PB como PE a PD. Q. E. F.

LEMA VIII[17]

Sea ABC una parábola con foco en S. Con la cuerda AC bisecada en I sepárese el segmento ABCI, cuyo diámetro es Iμ y cuyo vértice es μ. Sobre la prolongación de Iμ tómese μO igual a la mitad de la propia Iμ. Únase OS y prolónguese ésta hasta ξ de modo que Sξ sea igual a 2SO. Y si el cometa B se mueve por el arco CBA, y se traza ξB secante de AC en E: digo que el punto E separará de la cuerda AC el segmento AE muy aproximadamente proporcional al tiempo.

Pues únase EO cortando al arco parabólico ABC en Y, y trácese μX tangente a dicho arco en el vértice μ y que se encuentre con la línea EO en X; y el área curvilínea AEXμA será al área curvilínea ACYμA como AE a AC. Por lo tanto, dado que el triángulo ASE es al triángulo ASC en esa misma razón, el área total ASEXμA será al área total ASCYμA como AE a AC. Pero como ξO es a SO como 3 a 1, y EO a XO en la misma razón, SX será paralela a EB, y por tanto, si se une BX, el triángulo SEB será igual al triángulo XEB. Por lo cual, si al área ASEXμA se le añade el triángulo EXB, y de la suma se resta el triángulo SEB, el área ASBXμA permanecerá igual al área ASEXμA, y por lo mismo seguirá siendo al área ASCYμA como AE a AC. Pero el área ASBYμA es muy aproximadamente igual al área ASBXμA, y el área ASBYμA es al área ASCYμA como el tiempo del arco descrito AB al tiempo del arco total descrito AC. Y por tanto, AE es a AC en la razón de los tiempos muy aproximadamente. Q. E. D.

COROLARIO. Cuando el punto B cae en el vértice p de la parábola, AE está a AC exactamente en la razón de los tiempos.

ESCOLIO

Si unimos μξ cortando a AC en δ, y sobre ella se toma ξn de tal modo que sea a μB como 27MI a 16Mμ, trazando Bn, ésta cortará a la cuerda AC en razón de los tiempos más exactamente que antes. Pero el punto n debe estar más allá del punto ξ, si el punto B dista más del vértice principal de la parábola que el punto μ; y debe estar más acá si dista menos de dicho vértice.

LEMA IX

Las rectas Iμ y μM y la longitud AIC / 4Sμ son iguales entre sí.

Pues 4Sμ es el «latus rectum» de la parábola correspondiente al vértice μ.

LEMA X

Si Sμ se prolonga hasta N y P de modo que μN sea la tercera parte de μI, y SP sea a SN como SN a Sμ, un cometa, en el tiempo en que describe el arco AμC y desplazándose con una velocidad que sea siempre igual a la que posee a la altura SP, describirá una longitud igual a la cuerda AC.

Pues si un cometa, en el mencionado tiempo y con la velocidad que tiene en μ, avanza uniformemente sobre una recta tangente a la parábola en μ, el área que describiría con un radio trazado al punto S sería igual al área parabólica ASCμ. Por consiguiente, el contenido bajo la longitud descrita en la tangente y bajo la longitud Sμ sería al contenido bajo las longitudes AC y SM, como el área ASCμ al triángulo ASC, es decir, como SN a SM. Por lo cual, AC es a la longitud descrita en la tangente como Sμ a SN. Pero al ser la velocidad del cometa a la altura SP (por el Corolario 6 de la Proposición XVI del Libro I) respecto a su velocidad a la altura Sμ inversamente como la raíz cuadrada de SP a Sμ, esto es, como la razón de Sμ a SN, la longitud descrita con esa velocidad y en los mismos tiempos será a la longitud descrita en la tangente como Sμ a SN. Por consiguiente, dado que AC y la longitud descrita con esta nueva velocidad se hallan en la misma razón respecto a la longitud descrita en la tangente, son iguales entre sí. Q. E. D.

COROLARIO. Luego un cometa con la velocidad que tiene a la altura Sμ + 2⁄3Iμ recorrerá en el mismo tiempo la cuerda AC, muy aproximadamente.

LEMA XI

Si un cometa privado de todo movimiento se dejare caer hacia el Sol desde la altura SN, o Sμ + ⅓Iμ, y fuese urgido hacia el Sol siempre uniformemente por la misma fuerza que le urgía al principio; el tal cometa, en la mitad de tiempo en el que describía en su órbita el arco AC, describirá ahora en su descenso un espacio igual a la longitud Iμ.

Pues el cometa, en el tiempo en que describa el arco parabólico AC, en ese mismo tiempo y con la misma velocidad que tiene a la altura SP (por el Lema anterior) describirá la cuerda AC, y por tanto (por el Corolario 7 de la Proposición XVI del Libro I) en el mismo tiempo, girando con la fuerza de su gravedad en un círculo, cuyo diámetro fuese SP, describiría un arco cuya longitud sería a la cuerda AC del arco parabólico, como la raíz cuadrada de uno a la de dos. Y por consiguiente, con el peso que tiene hacia el Sol a la altura SO y cayendo hacia el Sol desde esa altura, describirá en la mitad de dicho tiempo (por el Corolario 9 de la Proposición IV del Libro I) un espacio igual al cuadrado de la semicuerda dividido por el cuádruplo de la altura SP, es decir, el espacio AI2 / 4SP. Ahora bien, como el peso del cometa hacia el Sol a la altura SN es al peso del mismo hacia el Sol a la altura SP como SP a Sμ, el cometa con el peso que tiene a la altura SN, en el mismo tiempo, cayendo hacia el Sol, describirá el espacio AI2 / 4Sμ, es decir, un espacio igual a la longitud Iμ o Mμ. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XLI. PROBLEMA XXI

Determinar la trayectoria de un cometa que se mueve en una parábola a partir de tres observaciones dadas.

He abordado este problema verdaderamente difícil de muchas formas y propuse en el Libro Primero algunos problemas relativos a su resolución. Más tarde se me ocurrió la siguiente solución un poco más sencilla.

Elíjanse tres observaciones separadas entre sí por espacios de tiempo aproximadamente iguales. Pero de modo que el intervalo de tiempo en que el cometa se mueve más lentamente sea algo mayor que el otro, quizá de modo que la diferencia entre los tiempos sea a la suma de los mismos como la suma de los dichos tiempos a seiscientos días más o menos; o también como si el punto E (en la Figura del Lema VIII) cayese sobre el punto M, y desde allí se desplazase hacia I más bien que hacia A. Si tales observaciones no están disponibles, hay que hallar un nuevo lugar del cometa por medio del Lema VI.

Representen S al Sol, T, t, τ tres lugares de la Tierra sobre el orbe máximo, TA, tB, τC, tres longitudes observadas del cometa, V el tiempo entre la primera y la segunda observación, W el tiempo entre la segunda y la tercera observación, X la longitud que el cometa puede alcanzar a describir en todo el tiempo dicho con la velocidad que tiene a la distancia media de la Tierra al Sol, y que tendrá que hallarse (por el Corolario 3 de la Proposición XL del Libro III), y tV una perpendicular sobre la cuerda Tτ. Sobre la longitud media observada tB tómese un lugar cualquiera B como lugar del cometa en el plano de la eclíptica y desde él trácese hasta el Sol S la línea BE que sea a la sagita tV como el producto de SB por St2 es al cubo de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados son SB y la tangente de la latitud del cometa en la segunda observación a un radio tB. Trácese por el punto E (por el Lema VII) la recta AEC, cuyas partes AE y EC terminan en las rectas TA y τC y deben ser entre sí como los tiempos V y W: y entonces A y C serán los lugares del cometa en la primera y tercera observación sobre el plano de la eclíptica muy aproximadamente, siempre que B sea su lugar de la segunda observación asumido correctamente.

Sobre AC, bisecada en I, elévese la perpendicular Ii. Trácese por el punto B la línea invisible Bz paralela a la propia AC. Únase la línea invisible Sz secante de AC en λ y complétese el paralelogramo iIλμ. Tómese Iσ igual a 3Iλ, y por el Sol S trácese la línea también oculta σξ igual a 3Sσ + 3iλ Y ahora, borrando las letras A, E, C, I, tracemos desde el punto B hacia el punto ξ una nueva línea invisible BE, que sea a la primera BE en razón cuadrada de la distancia BS a la cantidad Sμ + ⅓iλ. De nuevo trácese por el punto E la recta AEC en la misma proporción que antes, o sea, de modo que sus partes AE y EC estén entre sí como los tiempos V y W entre observaciones. Y A y C serán los lugares del cometa más exactamente.

Sobre AC, bisecada en I, elévense las perpendiculares AM, CN, IO; de las cuales AM y CN sean tangentes de las latitudes en las observaciones primera y tercera con radios TA y τC. Únase MN cortando a IO en O. Constrúyase el rectángulo iIλμ, como antes. Sobre la prolongación de IA tómese ID igual a Sμ + 2⁄3 iλ. Después, sobre MN hacia N tómese MP, que sea respecto a la longitud X hallada antes, como la raíz cuadrada de la distancia media de la Tierra al Sol (o semidiámetro del Orbe Magno) a la distancia OD. Si el punto P cae en el punto N, serán A, B, C, los tres lugares del cometa por los que debe circular su órbita en el plano de la eclíptica. Pero si el punto P no cae en el punto N, sobre la recta AC tómese CG igual a NP de modo que los puntos G y P caigan hacia el mismo lado de la recta NC.

Con el mismo método con el que se hallaron los puntos E, A, C, G, partiendo de un punto B supuesto, hállense, partiendo de otros puntos supuestos cualesquiera b y β, unos nuevos puntos e, a, c, g y ε, α, χ, γ. Después, si por G, g, γ, se traza la circunferencia del círculo Cgγ, secante de la recta τC en Z, será Z el lugar del cometa en el plano de la eclíptica. Y si sobre AC, ac, αχ se toman AF, aƒ, αϕ, respectivamente iguales a CG, cg, χγ y por los puntos F, ƒ, ϕ, se traza la circunferencia del círculo Fƒϕ secante en X de la recta AT, será el punto X otro lugar del cometa en el plano de la eclíptica. En los puntos X y Z elévense tangentes de las latitudes del cometa con radios TX y τZ; y se tendrán dos lugares del cometa en su propia órbita. Finalmente (por la Proposición XIX del Libro I), con foco en S trácese por dichos dos lugares una parábola y ésta será la trayectoria del cometa. Q. E. I.

La demostración de esta construcción se sigue de los Lemas: toda vez que la recta AC es cortada en E en razón de los tiempos, por el Lema VII, como se exige por el Lema VIII: y BE, por el Lema XI, sea la parte de la recta BS o Bξ que yace en el plano de la eclíptica entre el arco ABC y la cuerda AEC; y MP (por el Corolario del Lema X) es la longitud de la cuerda del arco que debe describir el cometa en su órbita propia entre la primera y la tercera observación, y que debería ser igual a MN, siempre que B fuere el verdadero lugar del cometa en el plano de la eclíptica.

Por lo demás, no conviene elegir para B, b, β, unos puntos cualesquiera, sino más bien unos puntos cercanos al verdadero. Si el ángulo AQt, en el cual corta a la recta tB la proyección de la órbita sobre el plano de la eclíptica, se conociese aproximadamente, en dicho ángulo hay que trazar la recta invisible AC, la cual ha de ser a 4⁄3Tτ como la raíz cuadrada de SQ a la de ST. Y trazando la recta SEB, cuya parte EB sea igual a la longitud Vt, se hallará el punto B que habríamos de manejar la primera vez. Después, borrando la recta AC y trazándola de nuevo según la precedente construcción y además hallada la longitud MP, tómese sobre tB el punto b, de modo tal que, si TA y τC son secantes entre sí en Y, la distancia Yb sea a la distancia YB en una razón compuesta de la razón de MP a MN y de la razón de la raíz cuadrada de SB a la de Sb. Y con el mismo método habrá de hallarse el tercer punto β, y, si es preciso, repetir por tercera vez la operación. Pero con este método, bastarán dos operaciones como mucho. Pues si la distancia Bb resultase muy pequeña, una vez hallados los puntos F, ƒ, y G, g, trazando las rectas Fƒ y Gg cortarán a TA y τC en los puntos buscados X y Z.

EJEMPLO[18]

Propóngase el cometa del año 1680. Su movimiento, observado por Flamsteed y calculado a partir de las observaciones y corregido por Halley a partir de las mismas observaciones, ofrece la siguiente tabla.

Tiempo Longitud del Sol El cometa Aparente Verdadero Longitud Latitud norte h m h m s º ′ ″ º ′ ″ º ′ ″ 1680, dic. 12 4,46 4,46,00 ♑ 1,51,23 ♑ 6,32,30 8,28,00 21 6,32½ 6,36,59 11,06,44 ♒ 5,08,12 21,42,13 24 6,12 6,17,52 14,09,26 18,49,23 25,23, 5 26 5,14 5,20,44 16,09,22 28,24,13 27,00,52 29 7,55 8,03,02 19,19,43 ♓ 13,10,41 28,09,58 30 8,02 8,10,26 20,21,09 17,38,20 28,11,53 1681, ene. 5 5,51 6,01,38 26,22,18 ♈ 8,48,53 26,15, 7 9 6,49 7,00,53 ♒ 0,29,02 18,44,04 24,11,56 10 5,54 6,06,10 1,27,43 20,40,50 23,43,52 13 6,56 7,08,55 4,33,20 25,59,48 22,17,28 25 7,44 7,58,42 16,45,36 ♉ 9,35,00 17,56,30 30 8,07 8,21,53 21,49,58 13,19,51 16,42,18 feb. 2 6,20 6,34,51 24,46,59 15,13,53 16,04, 1 5 6,50 7,04,41 27,49,51 16,59,51 15,27, 3

A estas observaciones añádanse algunas nuestras.

Tiempo aparente El cometa Longitud Latitud norte h m º ′ ″ º ′ ″ 1681, feb. 25 8,30 ♉ 26,18,35 12,46,46 27 8,15 27,04,30 12,36,12 mar. 1 11,0 27,52,42 12,23,40 2 8,0 28,12,48 12,19,38 5 11,30 29,18, 0 12,03,16 7 9,30 ♊ 0,04, 11,57, 0 9 8,30 0,43, 4 11,45,52

Estas observaciones fueron hechas con un telescopio de siete pies y con micrómetro e hilos colocados en el foco del telescopio; mediante dichos instrumentos determinamos tanto las posiciones de las fijas entre ellas como las posiciones del cometa respecto a las fijas. Represente A la estrella de cuarta magnitud del talón izquierdo de Perseo (Bayer, o), B la estrella de tercera magnitud siguiente en el pie izquierdo (Bayer, ζ), y C la estrella de sexta magnitud (Bayer, η) en el talón del mismo pie, E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, Z, α, β, γ, δ, las otras estrellas menores del mismo pie. Y sean p, P, Q, R, S, T, V, X, los lugares del cometa en las observaciones descritas más arriba; y siendo la distancia AB de 807⁄12 partes, AC era de 52¼, BC de 58⅚, AD de 575⁄12, BD de 826⁄11, CD de 232⁄3 AE de 294⁄7, CE de 57½ DE de 4911⁄12, AI de 277⁄12, BI de 52⅙, CI de 367⁄12, DI de 535⁄11, AK de 382⁄3 BK de 43, CK de 315⁄9 FK de 29, FB de 23, FC de 36¼, AH de 186⁄7, DH de 50⅞, BN de 465⁄12, CN de 31⅓, BL de 455⁄12, NL de 315⁄7. HO era a HI como 7 a 6 y prolongada pasaba por entre las estrellas D y E, de suerte que la distancia de la estrella D desde esa recta resultará de ⅙CD. LM era a LN como 2 a 9 y, prolongada, pasaba por la estrella H. Con éstas se determinaban las posiciones de las fijas entre ellas.

Más tarde Pound, de entre los nuestros, ha observado de nuevo las posiciones de estas fijas entre ellas y consignó en la siguiente tabla sus longitudes y latitudes.

Estrellas fijas Longitudes Latitud norte º ′ ″ º ′ ″ A 26,41,50 12, 8,36 B 28,40,23 12,17,54 C 27,58,30 12,40,25 E 26,27,17 12,52, 7 F 28,28,37 11,52,22 G 26,56,08 12, 4,58 H 27,11,45 12, 2, 1 I 27,25, 2 11,53,26 K 27,42, 7 11,53,26 L 29,33,34 12, 7,48 M 29,18,54 12, 7,20 N 28,48,29 12,31, 9 Z 29,44,48 11,57,13 α 29,52, 3 11,55,48 β 0, 8,23 11,48,56 γ 0,40,10 11,55,18 δ 1, 3,20 11,30,42

Pues bien, las posiciones que observé del cometa respecto a estas fijas eran como sigue.

El viernes 25 de febrero, calendario antiguo, a las 8½ p. m., el cometa hallándose en p distaba de la estrella E menos de 3⁄13AE y más de ⅕AE, por lo cual, aproximadamente distaba 3⁄14AE; y el ángulo ApE era un poco obtuso, pero casi recto. Pues si se abatía una perpendicular sobre pE desde A, la distancia del cometa de dicha perpendicular era de ⅕pE.

Esa misma noche, a las 9½ h. la distancia del cometa situado en P a la estrella E era mayor que 1 / 4½AE, y menor que 1 / 5¼AE y por tanto igual a 1 / 4⅞AE, ó 8 / 39AE aproximadamente. Pues la distancia del cometa desde la perpendicular trazada desde la estrella A sobre la recta PE era de ⅘PE.

El domingo 27 de febrero a las 8¼ p. m. estando el cometa en Q distaba de la estrella O una distancia igual a la de las estrellas O y H, y la recta QO, prolongada, pasaba entre las estrellas K y B. No pude, debido a las nubes, determinar más exactamente la posición de dicha recta.

El martes 1 de marzo a las 11 p. m., con el cometa en R, se hallaba situado exactamente entre las estrellas K y C, y la parte CR de la recta CRK era algo mayor que ⅓CK, y un poco menor que ⅓CK + 1⁄16CR, y por tanto igual a ⅓CK + 1⁄16CR, o también 16⁄45CK.

El miércoles 2 de marzo, a las 8 p. m., con el cometa en S la distancia a la estrella C era de 4⁄9FC aproximadamente. La distancia de la estrella F a la prolongación de la recta CS era de ½4FC; y la distancia de la estrella B de dicha recta era cinco veces mayor que la distancia de la estrella F. Asimismo, la prolongación de la recta NS pasaba entre las estrellas H y I, pasando cinco o seis veces más cerca de H que de I.

El sábado 5 de marzo, a las 11½ p. m., con el cometa en T, la recta MT era igual a ½ML, y la prolongación de la recta LT pasaba entre B y F, cuatro o cinco veces más cerca de F que de B, separando de BF una quinta o sexta parte de la misma hacia F. Y la prolongación de MT pasaba por fuera del espacio BF hacia el lado de la estrella B, cuatro veces más cerca de B que de F. M era una estrella muy pequeña que apenas se divisaba por el telescopio, y L era una estrella mayor, como de octava magnitud.

El lunes 7 de marzo, a las 9½ p. m., con el cometa en V, la prolongación de la recta Vα pasaba entre B y F, segregando hacia F½ de BF, y era respecto a la recta Vβ como 5 a 4. Y la distancia del cometa de la recta αβ era ½Vβ.

El miércoles 9 de marzo, a las 8½ p. m., con el cometa en X, la recta γX era igual a ¼γδ, y la perpendicular trazada desde la estrella δ a la recta γX era ⅖γδ.

Esa misma noche, a las 12, con el cometa en Y, la recta γY era igual a ⅓γδ, o un poco menor, quizá 5⁄16γδ, y la perpendicular trazada desde la estrella δ hasta la recta γY era igual a ⅙γδ ó 1⁄7γδ muy aproximadamente. Pero por la cercanía al horizonte apenas se podía ver el cometa, ni tampoco su lugar se podía determinar con tanta precisión como en las observaciones anteriores.

Con base en estas observaciones mediante la construcción de figuras y mediante cálculos obtuve las longitudes y latitudes del cometa, y nuestro Pound corrigió los lugares del cometa a partir de las correcciones de los lugares de las fijas, y más arriba hemos dado los lugares corregidos. Me serví de un micrómetro construido con no mucha delicadeza, pero los errores de longitud y latitud (en la medida en que se deban a nuestras observaciones) escasamente superan un minuto. Por otra parte, el cometa (según nuestras observaciones) al final de su movimiento empezó a desviarse notablemente hacia el norte desde el paralelo en que había estado desde finales del mes de febrero.

Pero ahora vayamos a la determinación de la órbita del cometa; de las observaciones descritas hasta aquí seleccioné tres, realizadas por Flamsteed en diciembre 21, enero 5, y enero 25. A partir de ellas hallé que Sí era 9842,1 partes y Vt 455 partes de 10 000 en que estuviera dividido el semidiámetro del Orbe Magno. Entonces, suponiendo para la primera operación a tB de 5657 partes, hallé para SB 9747, para BE la primera vez 412, para Sμ 9503, para iλ 413: para BE la segunda vez 421, para OD 10 186, para X 8528,4, MP 8450, MN 8475, NP 25. De donde, obtuve para la segunda operación tb 5640. Y mediante esta operación hallé por fin las distancias TX 4775 y τZ 11 322. Definiendo la órbita con estos datos, hallé sus nodos, el descendiente en ♋ y el ascendente en ♑ 1.º 53′; la inclinación de su plano respecto al de la eclíptica de 61.º 20⅓; su vértice (o perihelio del cometa) distaba del nodo 8.º 38′, y se hallaba en ♐ 27.º 43′ latitud sur; mientras su «latus rectum» era de 236,8 y el área descrita cada día con un radio trazado al Sol era de 93 585, suponiendo el cuadrado del semidiámetro del Orbe Magno de 100 000 000; y el cometa caminó por esta órbita siguiendo el orden de los signos y se halló en el vértice de la órbita o perihelio el 8 de diciembre a las Oh. 4′ p. m. Todo esto lo determiné mediante escala de partes iguales y cuerdas de ángulos obtenidas de la tabla de senos naturales gráficamente, construyendo un dibujo lo bastante grande como para que el semidiámetro del Orbe máximo (de 10 000 partes) fuese casi igual a 16⅓ pulgadas de pie inglés.

Finalmente, para cerciorarme de si el cometa se movía por una órbita así hallada, deduje mediante operaciones, en parte aritméticas y en parte gráficas, los lugares del cometa en dicha órbita en los momentos de algunas observaciones, como se pueden ver en la tabla siguiente.

El cometa Dist. al Sol Long. calc. Latit. calc. Long. observ. Latit. observ. Difer. de long. Difer. de latit. Dic. 12 2792 6.º 32′ 8.º 18½ 6.º 31½ 8.º 26 +1 -7½ 29 8403 13,132⁄3 28,00 13,11¾ 28,101⁄12 +2 -101⁄12 Feb. 5 16 669 17,00 15,292⁄3 16,59⅞ 15,27⅖ +0 +2¼ Mar. 5 21 737 29,19¾ 12,4 29,206⁄7 12,03½ -1 +½

Pero, más tarde, nuestro Halley determinó mediante cálculo aritmético la órbita con mayor exactitud que la permitida por las descripciones de líneas; y en verdad vino a mantener el lugar de los nodos en ♋ y ♑ 1.º 53′, la inclinación del plano de la órbita respecto a la eclíptica de 61.º 20⅓ y el momento del perihelio del cometa en diciembre, 8d. 0h. 4′: por otra parte, la distancia del perihelio al nodo ascendente al medirla halló que era de 9.º 20′, y el «latus rectum» de la parábola de 2430 partes, siendo la distancia media de la Tierra al Sol de 100 000 partes. A partir de estos datos, haciendo un cálculo aritmético muy exacto, calculó los lugares del cometa en los momentos de la observación como sigue.

Tiempo verdadero El cometa Distancia al Sol Longitud calculada Latitud calculada Errores de Longitud · Latitud d, h, m º ′ ″ º ′ ″ º ′ ″ ′ ″ Dic. 12,04,46 28 028 ♑ 6,29,25 8,26,00 -3,05 -2,00 21,06,37 61 076 ♒ 5,06,30 21,43,20 -1,42 +1,07 24,06,18 70 008 18,48,20 25,22,40 -1,03 -0,25 26,05,20 75 576 28,22,45 27,01,36 -1,28 +0,44 29,08,03 84 021 ♓ 13,12,40 28,10,10 +1,59 +0,12 30,08,10 86 661 17,40,05 28,11,20 +1,45 -0,33 Ene. 5,06,1½ 101 440 ♈ 8,49,49 26,15,15 +0,56 +0,08 9,07,00 110 959 18,44,36 24,12,54 +0,32 +0,58 20,06,06 113 162 20,41,00 23,44,10 +0,10 +0,18 13,07,09 120 000 26,00,21 22,17,30 +0,33 +0,02 25,07,59 145 370 ♉ 9,33,40 17,57,55 -1,20 +1,25 30,08,22 155 303 13,17,41 16,42,07 -2,10 -0,11 Feb. 2,06,35 160 951 15,11,11 16,04,15 -2,42 +0,14 5,07,4½ 166 686 16,58,55 15,29,13 -0,41 +2,00 25,08,41 202 570 26,15,46 12,48,00 -2,49 +1,10 Mar. 5,11,39 216 205 29,18,35 12,05,40 +0,35 +2,14

También apareció este cometa en el mes de noviembre precedente y fue observado en Coburgo de Sajonia por Gottfried Kirch los días cuatro, seis, y once de dicho mes, calendario antiguo; y de las posiciones del mismo respecto a las estrellas fijas cercanas, posiciones observadas con bastante exactitud gracias a un telescopio a veces de dos pies y a veces de diez, junto con la diferencia de diez grados entre Coburgo y Londres y los lugares de las fijas observados por nuestro Pound, determinó nuestro Halley los lugares del cometa como sigue.

Nov. 3d. 17h. 2′, en el tiempo aparente de Londres, el cometa estaba en ☊ 29.º 5T con latitud boreal 1.º 17′ 45″.

Nov. 5d. 15h. 58′, el cometa estaba en ♍ 3.º 23′ con lat. boreal 1.º 6′.

Nov. 10d. 16h. 3T, el cometa distaba igual de las estrellas de Leo σ y τ de Bayer, pero aún no alcanzaba la línea que une a ambas estrellas, aunque distaba poco de ella. En el catálogo de estrellas de Flamsteed σ estaba entonces ♍ 14.º 15′, con latitud boreal de 1.º 41′, casi, mientras τ estaba ♍ 17.º 3½, con una latitud austral de 0.º 34′. El punto medio entre estas estrellas ♍ 15.º 39¼ con latitud boreal de 0.º 33½. Sea la distancia del cometa a la susodicha línea de 10′ ó 12′ aproximadamente, y la diferencia de las longitudes del cometa y de dicho punto medio será de 7′, y las diferencias de latitudes de casi 71′⁄2. Y por ende el cometa estaba en ♍ 15.º 32′, con una latitud boreal de casi 26′.

La observación primera de la situación del cometa hasta algunas fijas menores fue más que suficientemente exacta. También la segunda fue suficientemente exacta. En la tercera, que fue menos exacta, pudo ser el error de menos de seis o siete minutos, y escasamente mayor. La longitud, en la primera observación, que fue la más exacta de todas, estaba calculada en la susodicha órbita parabólica en ♌ 29.º 30′ 22″, y latitud boreal de 1.º 25′ 7″, y su distancia al Sol de 115 546.

Mas he aquí que Halley, dándose cuenta de que un gran cometa había aparecido cuatro veces con intervalo de 575 años, a saber, el mes de septiembre posterior a la muerte de Julio César, el año de Jesucristo, 531, siendo Cónsules Lampadio y Oreste, el año de Cristo 1106 en el mes de febrero y a fines del año 1680, y ello con una cola larga y brillante (salvo el de la muerte de César en el que por la mala posición de la Tierra la cola brilló menos), se propuso hallar una órbita elíptica cuyo eje mayor fuera de 1 382 957 partes, siendo la distancia media de la Tierra al Sol de 10 000 partes, órbita en la cual hubiera podido girar de hecho el cometa en 575 años. Y situando el nodo ascendente en ♋ 2.º 2′, la inclinación del plano de la órbita respecto al de la eclíptica en 61.º 6′ 48″, el perihelio del cometa en dicho plano en ♐ 22.º 44′ 25″, el momento exacto del perihelio en diciembre 7d. 23h. 9′, la distancia del perihelio al nodo ascendente en el plano de la eclíptica en 9.º 17′ 35″, y el eje conjugado en 1848,2, calculó el movimiento del cometa en esta órbita elíptica. Sus lugares, tanto los derivados de las observaciones como los resultantes de los cálculos aparecen en la tabla siguiente.

Las observaciones de este cometa desde el principio al final concuerdan con el movimiento del cometa en la órbita recién descrita no menos que suelen concordar los movimientos de los planetas con sus respectivas teorías, y al concordar vienen a probar que se trata de uno y el mismo cometa que apareció en todo ese tiempo y cuya órbita fue correctamente establecida aquí.

En la tabla precedente omitimos las observaciones de los días 16, 18, 20 y 23 de noviembre por ser menos precisas. Pero también en esos días el cometa fue observado. Efectivamente, Ponthio y sus compañeros, el 17 de nov. (calendario antiguo) en Roma a las 6h. de la mañana, es decir, a las 5h. 10′ de Londres, con hilos tirados a las estrellas fijas, observaron el cometa en ♎ 8.º 30′ con latitud sur de 0.º 40′. Aparecen sus observaciones en un tratado que publicó Ponthio sobre este cometa. Celtio, que estaba presente y comunicó a Cassini por carta sus observaciones, vio el cometa a esa hora en ♎ 8.º 30′ con latitud austral de 0.º 30′. A la misma hora Gallet en Avignon (es decir, a las 5h. 42′ de la mañana de Londres) vio el cometa en ♎ 8 grados sin latitud. Aunque el cometa, por la teoría, estaba ahora en ♎ 8.º 16′ 45″ con latitud austral de 0.º 53′ 7″.

El 18 de noviembre a las 6h. 30′ de la mañana en Roma (es decir, a las 5h. 40′ de Londres) Ponthio vio el cometa en ♎ 13.º 30′ con latitud austral de 1.º 20′. Cellio en ♎ 13.º 30′, con latitud austral de 1.º 00′. Gallet, por su parte, en Avignon a las 5,30′ vio al cometa en ♎ 13.º 00′ con latitud austral de 1.º 00′. Y el R. P. Ango, en el Colegio de La Fleche, en Francia, a las 5 de la mañana (es decir, a las 5,9′ en Londres) vio el cometa en medio de dos pequeñas estrellas, una de las cuales es la central de tres en línea recta de la mano austral de Virgo, Bayer ♆, y la otra es la última del ala, Bayer θ. Por lo cual el cometa estaba entonces en ♎ 12.º 46′ con latitud austral de 50′. El mismo día, en Boston en Nueva Inglaterra, a 42½ grados de latitud a las cinco de la mañana (es decir, a las 9h. 44′ de la mañana de Londres) fue visto el cometa cerca de ♎ 14 grados con latitud austral de 1.º 30′, como me ha hecho saber el Ilustre Halley.

El 19 de nov., a las 4½ de la mañana en Cambridge, el cometa (observado por cierto joven) distaba de Spica ♍ casi 2 grados hacia el noroeste. Pero Spica se encontraba en ♎ 19.º 23′ 47″ con latitud austral de 2.º 1′ 59″. El mismo día en Boston, Nueva Inglaterra, a las 5h. a. m. el cometa distaba de Spica ♍ 1 grado, siendo la diferencia de latitudes 40′. El mismo día en Jamaica, el cometa distaba de Spica casi 1 grado. El mismo día el señor Arthur Storer en el río Patuxent, junto a Hunting-Creek, en Maryland en los confines de Virginia, a 38½ grados de latitud y a las cinco de la mañana (esto es, a las lOh. de Londres) vio el cometa sobre Spica ♏ y casi junto con ella, siendo la distancia entre ellos de casi ¾ de grado. Y comparando estas observaciones entre sí infiero que a las 9h. 44′ de Londres el cometa estaba en ♎ 18.º 50′ con latitud austral de casi 1.º 25′. Y el cometa según la teoría estaba ahora en ♎ 18.º 52′ 15″, con latitud austral de 1.º 26′ 54″.

El 20 de nov., Montenari, profesor de astronomía en Padua, a las seis de la mañana en Venecia (es decir, a las 5h. 10′ en Londres) vio al cometa en ♎ 23 grados con latitud austral de 1.º 30′. El mismo día en Boston, el cometa distaba de Spica ♍ 4 grados de longitud a oriente y por tanto estaba en ♎ 23.º 24′ aproximadamente.

El 21 de nov., Ponthio y sus colegas a las 7¼ de la mañana observaron el cometa en ♎ 27.º 50′ con latitud austral 1.º 16′. Cellio en ♎ 28 grados. Ango a las cinco de la mañana en ♎ 27.º 45′. Montenari en ♎ 27.º 51′. El mismo día en la isla de Jamaica se vio cerca del principio de Escorpio, y tuvo casi la misma latitud que Spica de Virgo, es decir, 2.º 2′. El mismo día a las cinco de la mañana en Ballasore en la India Oriental (es decir, a las 11h. 20′ de la noche precedente en Londres) se tomó una distancia del cometa de Spica ♍ de 7.º 33′ hacia oriente. Se hallaba en línea recta entre Spica y Libra, y por ende se hallaba en ♎ 26.º 58′, con latitud austral de casi 1.º 11′; y después de las 5h. 40′ (hacia las cinco de la mañana de Londres) estaba en ♎ 28.º 12′ con latitud sur de 1.º 16′. Según la teoría el cometa se hallaba en ese momento en ♎ 28.º 10′ 36″, con latitud austral de 1.º 53′ 35″.

El 22 de noviembre el cometa fue visto por Montenari en ♍ 2.º 33′. En Boston, en Nueva Inglaterra, apareció en ♏ 3 grados casi y con la misma latitud prácticamente que antes, esto es, 1.º 30′. El mismo día a las cinco de la mañana en Ballasore se observaba el cometa en ♏ 1.º 50′; y por tanto, a las cinco de la mañana en Londres el cometa estaba en ♏ 3.º 5′ aproximadamente. El mismo día en Londres, a las 6½ de la mañana, nuestro Hooke vio el cometa en ♏ 3.º 30′ aproximadamente, y esto en una línea recta que pasa por Spica de Virgo y Corazón de Leo, si bien no exactamente, sino separándose un poquito hacia el norte. Montenari también observó que la línea trazada desde el cometa a Spica ese día y los siguientes pasaba por el lado sur de Corazón de Leo, mediando un muy pequeño espacio entre Corazón de Leo y esa línea. La línea recta que pasa por Corazón de Leo y Spica de Virgo cortó a la eclíptica en ♏ 3.º 46′, con un ángulo de 2.º 51′. Y si el cometa hubiese estado en esa línea en ♏ 3 grados, su latitud hubiera sido de 2.º 26′. Pero como el cometa, de acuerdo con Hooke y Montenari, distaba un poco de esa línea hacia el norte, su latitud fue un poco menor. El día 20, por la observación de Montenari, su latitud era sensiblemente igual a la de Spica ♍ y era de casi 1.º 30′, y de acuerdo con Hooke, Montenari y Ango, aumentaba continuamente, y por tanto ahora era sensiblemente mayor que 1.º 30′. Entre los límites establecidos de 2.º 26′ y 1.º 30′, la latitud con un valor medio estaría aproximadamente en 1.º 58′. La cola del cometa, de acuerdo con Hooke y Montenari se dirigía hacia Spica ♍, declinando un tanto de dicha estrella, según Hooke hacia el sur, según Montenari hacia el norte; por ello la declinación apenas fue sensible, y siendo la cola casi paralela al ecuador, se apartaba un tanto de la oposición del Sol hacia el norte.

El 23 de nov., calendario antiguo, a las cinco de la mañana en Nuremberg (es decir, a las 4½ en Londres) el señor Zimmerman vio el cometa en ♏ 8.º 8′, con latitud austral 2.º 31′, tomando sus distancias de las estrellas fijas.

El 24 de nov., antes de la salida del Sol Montenari vio el cometa en ♏ 12.º 52′ al lado norte de la recta que pasa por Corazón de Leo y Spica de Virgo, y por tanto, la latitud era algo menor que 2.º 38′. Como hemos dicho esta latitud, de acuerdo con las observaciones de Montenari, Ango y Hooke, aumentaba continuamente; por tanto ahora era algo mayor que 1.º 58′; y por tanto puede establecerse sin mayor error en un valor medio de 2.º 18′. Ponthio y Gallet, pretenden que a estas alturas ya había decrecido la latitud, mientras Cellio y el observador de Nueva Inglaterra retienen casi el mismo valor, a saber un grado o un grado y medio. Más inexactas son las observaciones de Ponthio y Gallet, sobre todo las que realizaban tomando acimuts y alturas, como las de Gallet; mejores resultan las realizadas por las posiciones del cometa respecto a las fijas por Montenari, Hooke, Ango y el observador de Nueva Inglaterra y a veces por Ponthio y Cellio. El mismo día a las cinco de la mañana en Ballasore el cometa se veía en ♏ 11.º 45′; y por tanto a las cinco de la mañana en Londres estaba casi en ♏ 13 grados. Pero por la teoría el cometa estaba ahora en ♏ 13.º 22′ 42″.

El 25 de nov., antes de la salida del Sol, Montenari vio al cometa casi en ♏ 17¾º. Y Cellio observó en ese momento que el cometa estaba en línea recta entre la estrella brillante del fémur derecho de Virgo y el plato austral de Libra, y esta recta corta la trayectoria del cometa en ♏ 18.º 36′. En cambio, por la teoría el cometa ahora estaba en casi ♏ 183⅓.º.

Por consiguiente, estas observaciones concuerdan con la teoría, en la medida en que concuerdan entre ellas, y, al concordar, prueban que fue uno y el mismo el cometa que se vio durante todo el tiempo desde el día cuatro de noviembre hasta el día nueve de marzo. La trayectoria de este cometa cortó dos veces el plano de la eclíptica, y por lo tanto no fue rectilínea. Cortó a la eclíptica no en partes opuestas del cielo, sino al final de Virgo y al principio de Capricornio, con un intervalo de casi 98 grados; y por lo mismo el curso del cometa se desviaba mucho del Círculo Máximo. Pues en el mes de noviembre su curso declinaba de la eclíptica al menos tres grados al sur y, después, en el mes de diciembre se apartaba de la eclíptica hacia el norte en 29 grados, declinando, como observó Montenari, las dos partes de la órbita con las cuales el cometa tendía hacia el Sol y se apartaba del mismo, con un ángulo aparente de más de treinta grados. Este cometa caminaba a lo largo de nueve signos, a saber, desde el último grado de Leo al Principio de Géminis, a partir del signo de Leo por el que pasaba antes de empezar a ser visto; y no existe ninguna otra teoría por la cual un cometa recorra tan gran porción del cielo con un movimiento regular. Su movimiento fue muy desigual. Pues en torno al día 20 de noviembre recorrió casi 5 grados cada día; después, con un movimiento retardado, entre el 26 de nov. y el 12 de diciembre, en un tiempo de 15½, sólo recorrió 40 grados: después con movimiento de nuevo acelerado, recorrió casi 15 grados cada día, antes de que el movimiento empezase de nuevo a retardarse. Y la teoría que mejor responde a un movimiento tan desigual a través de la mayor parte del cielo y que obedece las mismas leyes que la teoría de los planetas y concuerda exactamente con las observaciones astronómicas más exactas, no puede no ser verdadera.

Por lo demás, me ha parecido oportuno representar en el dibujo anexo, dibujadas sobre el plano de la trayectoria, tanto la trayectoria descrita por el cometa como la cola verdadera que proyectó en cada uno de los lugares: en él, ABC representa la trayectoria del cometa, D el Sol, DE el eje de la trayectoria, DF la línea de los nodos, GH la intersección de la trayectoria y de la esfera del Orbe Máximo, I el lugar del cometa el 4 de nov. de 1680, K su lugar el 11 de nov., L el lugar del 19 de nov., M el lugar del 12 de dic., N el lugar del 21 de dic., O el lugar del 29 de dic., P el lugar del 5 de enero siguiente, Q el lugar del 25 de enero. R el lugar del 5 de febrero, S el lugar del 25 de febrero, T el lugar del 5 de marzo, y V el lugar del 9 de marzo. Para definir la cola hice las observaciones siguientes.

El 4 y 6 de nov. la cola aún no apareció. El 11 de nov. empezándose a ver ya la cola, no parecía mayor de medio grado de larga con un telescopio de diez pies. El 17 de nov. Ponthio observó una cola de más de 15 grados de largo. El 18 de nov. se veía en Nueva Inglaterra una cola de más de 30 grados de largo, directamente opuesta al Sol y se alargaba hasta la estrella ♂, que se hallaba entonces en ♍ 9.º 54′. El 19 de nov. en Maryland se vio una cola de 15 ó 20 grados de largo. El 10 de diciembre (observador, Flamsteed) la cola pasaba por medio de la distancia entre la cola de la serpiente de Ofíuco y la estrella δ del ala sur de Águila, y terminaba cerca de las estrellas A, ω, b, de las tablas de Bayer. Por consiguiente, el final estaba ♑ 19½º con una latitud boreal de casi 34¼º. El 11 de diciembre la cola subía hasta casi la cabeza de Sagitario (Bayer α, β) acabando en ♑ 26.º 43′, con una latitud boreal de 38.º 34′. El 12 de diciembre la cola pasaba por medio de Sagitario, no sobrepasando mucho, acabando en ♒ 4 grados con una latitud boreal de casi 42½º. Entiéndase esto de la longitud de la cola más brillante. Pues con luz más oscura, quizá en un cielo más transparente, la cola fue observada en Roma el 12 de diciembre a las 5h. 40′ (observador Ponthio) extendiéndose hasta 10 grados por encima de la cola del Cisne; y partiendo desde esta estrella hacia el Noroeste su borde sobresalía 45′. En estos días, por tanto, la cola era de ancha 3 grados, en el lado de arriba, y por consiguiente, su centro distaba de dicha estrella 2.º 15′ hacia el sur, y el extremo superior se hallaba en ♓ 22 grados con una latitud boreal de 61 grados. Y de aquí que la cola era de casi 70 grados de largo, el 21 de diciembre. Subía casi hasta la silla de Casiopea, distando igualmente de β y de Schedir, manteniendo una distancia igual de una y otra a la distancia mutua entre ellas, acabando, por tanto, en ♈ 24 grados con una latitud de 47½º. El 29 de diciembre la cola tocaba a Scheat situada a la izquierda, y el intervalo de las dos estrellas del pie boreal de Andrómeda lo cubría exactamente, y era de 54 grados de larga; por lo tanto acababa en ♉ 19 grados, con una latitud de 35 grados. El 5 de enero, la cola tocó la estrella π del pecho de Andrómeda en el lado derecho, y a la estrella μ del cinturón en el lado izquierdo; y (según mis observaciones) era de 40 grados de larga; estaba curvada y su lado convexo miraba al sur. Formaba con un círculo que pasase por el Sol y la cabeza del cometa un ángulo de 4 grados junto a la cabeza del cometa; pero hacia el otro extremo se inclinaba hacia dicho círculo en un ángulo de 10 u 11 grados y la cuerda de la cola con dicho círculo contenían un ángulo de 8 grados. El 13 de enero, la cola, con una luz bastante perceptible, terminaba entre Alamech y Algol y con luz muy débil se acababa en la zona de la estrella ҡ del costado de Perseo. La distancia del final de la cola hasta el círculo que pasaba por el Sol y el cometa era de 3.º 50′, y la inclinación de la cuerda de la cola hacia dicho círculo era de 8½º. En 25 y 26 de enero, la cola con luz muy tenue se alargaba hasta una longitud de 6 ó 7 grados; y las dos noches siguientes con un cielo muy sereno, con luz muy tenue y apenas perceptible alcanzaba una longitud de 12 grados y poco más. Su eje se dirigía a la estrella brillante del hombro oriental del Auriga, con toda exactitud, y por ello declinaba de la oposición al Sol hacia el norte en un ángulo de 10 grados. Finalmente, el 10 de febrero, con instrumentos oculares observé una cola de 2 grados de longitud. Pues la antedicha luz tenue con gafas no se veía. Pero Ponthio, el 7 de febrero, escribe que vio la cola de 12 grados de longitud. El 25 de febrero y siguientes el cometa se vio sin cola.

A quien considere la órbita recién descrita y medite en los fenómenos restantes de este cometa no le costará mucho concluir que los cuerpos de los cometas son sólidos, compactos, fijos y duraderos, al modo de los cuerpos de los planetas. Pues si nada más fuesen que vapores o exhalaciones de la Tierra, del Sol o los planetas, este cometa, a su paso por las inmediaciones del Sol, debió disiparse al instante. Pues el calor del Sol es como la densidad de los rayos, es decir, como el inverso del cuadrado de la distancia del lugar hasta el Sol. Y por lo mismo, como la distancia del cometa hasta el centro del Sol el día 8 de diciembre, cuando se encontraba en el perihelio, era a la distancia de la Tierra al centro del Sol casi como 6 a 1000, el calor del Sol junto al cometa en ese momento era al calor del Sol estival entre nosotros como 1 000 000 a 36, o como 28 000 a 1. Pero el calor del agua en ebullición es casi tres veces mayor que el calor que alcanza la tierra seca al calor del verano, como he comprobado: y el calor del hierro candente (si no es mala mi conjetura) es tres veces mayor o cuatro que el del agua en ebullición; y por eso el calor que la arena seca en la superficie del cometa al pasar éste por el perihelio recibió de los rayos solares sería unas 2000 veces mayor que el calor del hierro candente. Con semejante calor los vapores y las exhalaciones, así como toda materia volátil, deberían consumirse y disiparse al instante.

Por consiguiente, el cometa en su perihelio recibió del Sol un enorme calor, y puede conservar dicho calor por mucho tiempo. Pues un globo de hierro candente de una pulgada de diámetro apenas pierde todo su calor en el espacio de una hora expuesto al aire. Pero un globo mayor conservará el calor más tiempo en razón del diámetro, toda vez que la superficie (en cuya proporción se refrigera por contacto con el aire ambiente) es menor en dicha razón respecto a la cantidad de materia caliente contenida. Por lo cual, un globo de hierro candente igual a esta Tierra, es decir, de 40 000 000 de pies de ancho, más o menos, tardaría en enfriarse otros tantos días, o unos 50 000 años. Pero sospecho que la duración del calor, por causas desconocidas, aumenta en razón menor que la del diámetro: y quisiera que se investigase la verdadera razón mediante experimentos.

Por lo demás, hay que notar que el cometa en el mes de diciembre, cuando se había calentado al Sol hasta ese punto, emitía una cola mucho mayor y más brillante que antes, en noviembre, cuando aún no había alcanzado el perihelio. Y generalmente todas las colas máximas y resplandecientes salen de los cometas inmediatamente después de su paso por la región solar. El calentamiento del cometa comporta, por tanto, el crecimiento de la cola. Y de ello me parece inferir que la cola no es otra cosa que un vapor sumamente tenue que emite la cabeza o núcleo del cometa debido a su calor.

Por otra parte, sobre las colas de los cometas tres son las opiniones; o bien que son resplandor del Sol que se propaga a través de la cabeza transparente de los cometas, o bien que se originan de la refracción de la luz en su camino desde la cabeza del cometa hasta la Tierra, o bien, finalmente, que son una nube o vapor que surge constantemente de la cabeza del cometa y se aleja hacia las partes opuestas al Sol. La primera opinión es propia de quienes aún no se han adentrado en la ciencia de la óptica. Pues el resplandor del Sol en una habitación oscura no se ve más que en la medida en que la luz es reflejada por partículas de polvo y de humo suspendidas siempre en el aire: y por lo mismo es más brillante en un aire más lleno de humos gruesos, y hiere con más fuerza a la vista; en un aire más enrarecido es mucho más tenue y se percibe con mayor dificultad: de suerte que en los cielos sin materia reflectante ninguna reflexión es posible. La luz no se ve en tanto en que está en el resplandor, sino en tanto en que de allí es reflejada hacia nuestros ojos. Pues la visión no ocurre más que por los rayos que inciden sobre los ojos. Por lo tanto se requiere alguna materia en la región de la cola, a no ser que el cielo entero brille uniformemente iluminado por la luz del Sol. La segunda opinión se ve acosada por múltiples dificultades. Las colas jamás tienen varios colores: cosa que suele acompañar inseparablemente a las refracciones. La luz de las fijas y de los planetas transmitida hasta nosotros con perfecta distinción demuestra que el medio celeste no goza de ningún poder de refracción. Pues, que los Egipcios vieran algunas veces, como se dice, estrellas fijas con cola, esto, además de ser muy raro, debe achacarse a una refracción fortuita de las nubes. Pues la radiación y los destellos de las fijas deben achacarse a refracciones bien de los ojos, bien del aire en movimiento, toda vez que desaparecen tan pronto como se arriman los ojos al telescopio. El temblor del aire y de los vapores que ascienden hace que los rayos se descoloquen de vez en cuando del estrecho espacio de la pupila, mientras no ocurre en el espacio más ancho del objetivo del telescopio. De aquí, que el centelleo tenga lugar en el primer caso y no en el segundo, y que cese en este segundo caso muestra la regular trasmisión de la luz por los cielos sin ninguna refracción sensible. Si alguien sostiene que las colas de los cometas no suelen verse cuando su luz no es suficientemente fuerte porque entonces los rayos secundarios no tienen fuerzas bastantes para herir a los ojos, y por esa razón no se ven las colas de las fijas, se ha de tener presente que la luz de las fijas puede aumentarse con los telescopios más de cien veces, y ni entonces se ven colas. Y la luz de los planetas es más abundante, pero colas ninguna; mientras los cometas frecuentemente tienen larguísimas colas, cuando las cabezas tienen luz muy tenue y velada. Y así, el cometa de 1680, en diciembre, cuando la luz de su cabeza apenas igualaba a la de las estrellas de segunda magnitud, emitía una cola de notable resplandor y una longitud de 40, 50, 60 ó 70 y más grados. Más tarde, en enero 27 y 28, la cabeza parecía una estrella de séptima magnitud, mientras la cola, con una luz bastante tenue, aunque suficientemente sensible, alcanzaba una longitud de 6 ó 7 grados, y con una luz muy difusa que apenas sí se podía ver, alcanzaba hasta 12 grados o más: como se ha dicho antes. Pero el 9 y 10 de febrero, cuando la cabeza había dejado de verse a simple vista, he visto la cola de dos grados de largo con el telescopio. Además, si la cola se originase de la refracción de materia celeste y se inclinase de la oposición al Sol de acuerdo con la figura de los cielos, tal inclinación, en las mismas regiones del cielo, debería ocurrir siempre hacia la misma dirección. Pero el cometa de 1680, el 28 de diciembre a las 8½ p. m. en Londres, se hallaba en ♓ 8.º 41′ con una latitud boreal de 28.º 6′, estando el Sol en ♑ 18.º 26′. Y el cometa de 1577 el 29 de diciembre se hallaba en ♓ 8.º 41′ con una latitud boreal de 28.º 40′, estando también el Sol en ♑ 18.º 26′ aproximadamente. En ambos casos la Tierra se hallaba en el mismo lugar y el cometa aparecía en el mismo sitio del cielo, pero en el primer caso la cola del cometa (según observaciones mías y de otros) declinaba de la oposición del Sol con un ángulo de 4½ grados hacia el norte; en el segundo caso, en cambio (según las observaciones de Tychó) la declinación era de 21 grados hacia el sur. Descartada, por tanto, la refracción de los cielos, sólo queda derivar los fenómenos de las colas de alguna materia que refleja la luz.

Que las colas se originan de las cabezas y ascienden hacia las regiones opuestas al Sol se confirma por las leyes que observan. Como, p. e., que situadas en los planos de las órbitas de los cometas que pasan por el Sol, se desvían de la oposición del Sol siempre hacia aquellas partes que, al avanzar, van dejando atrás las cabezas en dichas órbitas. Que para un espectador situado en esos planos aparecen en las partes directamente opuestas al Sol; pero al separarse de esos planos el espectador nota enseguida la desviación, y poco a poco aparece mayor. Que la desviación, con las demás condiciones iguales, es menor cuando la cola es más oblicua respecto a la órbita del cometa, lo mismo que cuando la cabeza del cometa se acerca más al Sol; sobre todo si el ángulo de la desviación se toma junto a la cabeza del cometa. Además de que las colas que no se desvían aparecen rectas, mientras que las que se desvían aparecen curvadas. Que la curvatura es mayor cuando la desviación es mayor, y más sensible, en igualdad de circunstancias, cuando la cola es más larga: pues, en las muy cortas, la curvatura difícilmente se distingue. Que el ángulo de desvío es menor junto a la cabeza del cometa, y mayor junto al extremo opuesto de la cola, y por tanto que la cola con su lado convexo mira a las partes de las que se desvía, las cuales están en la recta infinita, trazada desde la cabeza del cometa al Sol. Y que las colas que son más largas y extensas y brillan con luz más viva, son algo más resplandecientes por el lado convexo y perfiladas algo menos imprecisamente que por el lado cóncavo. Por consiguiente, los fenómenos de las eolias dependen del movimiento de la cabeza y no de la región del cielo en que se ve la cabeza; y por lo mismo, no ocurren por la refracción de los cielos, sino que se originan de la cabeza que proporciona materia. Pues, al igual que en nuestro aire el humo de un cuerpo cualquiera ardiendo se dirige hacia arriba, y esto perpendicularmente si el cuerpo está en reposo o bien oblicuamente si el cuerpo se mueve hacia un lado: del mismo modo en los cielos, donde los cuerpos gravitan hacia el Sol, los humos y vapores deben ascender desde el Sol (como ya se ha dicho) y dirigirse hacia arriba o en dirección recta si los cuerpos humeantes están en reposo; o bien oblicuamente, si el cuerpo avanzando continuamente va dejando siempre atrás los lugares hacia los cuales habían ascendido las partes superiores del vapor. Y la oblicuidad esa siempre será menor cuando más veloz sea el ascenso del vapor: o sea, en las proximidades del Sol y junto al cuerpo fumante. Pero por la diversidad de oblicuidad se curvará la columna de vapor: y debido a que en el lado anterior de la columna el vapor es algo más reciente, por eso mismo es allí también algo más denso y por ello refleja una luz más abundante a la vez que se perfila con un límite menos impreciso. Sobre los movimientos súbitos e inciertos de las colas o sobre sus figuras irregulares, descritos a veces por algunos, nada añado aquí, por cuanto que pudieran deberse a movimientos y cambios de nuestro aire o a movimientos de las nubes que oscurecen en parte las colas, o quizá a partes de la vía láctea que pudieran confundirse con las colas en tránsito por ella y contemplarse como partes de las mismas.

A partir de la rareza de nuestro aire se comprende que de las atmósferas de los cometas puedan surgir vapores suficientes para llenar tan enormes espacios. Pues el aire junto a la superficie de la Tierra ocupa un espacio casi 850 veces mayor que el mismo peso de agua, y por tanto, una columna cilíndrica de aire de 850 pies de alto pesa igual que una columna de agua de un pie y de la misma anchura. Y una columna de aire que llegue hasta la cima de la atmósfera iguala con su peso a una columna de agua que tenga 33 pies de alto aproximadamente; y por ello, si se quitase de toda la columna aérea la parte inferior de 850 pies de alto, la parte restante superior igualaría con su peso a una columna de agua de 32 pies de alto. Y a partir de ello (por una regla confirmada mediante muchos experimentos, de que la compresión del aire es como el peso del aire sobrepuesto, y de que la gravedad es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro de la Tierra), calculando de acuerdo con el Corolario de la Proposición XXII del Libro II, he hallado que el aire, si se sube hasta una altura desde la superficie terrestre de un semidiámetro de la Tierra, tendrá una rareza mayor con mucho que entre nosotros, en una razón mayor que la que existe entre todo el espacio bajo la órbita de Saturno y un globo descrito con un diámetro de una pulgada. Y por lo mismo, un globo de nuestro aire de una pulgada de ancho, con la rareza que tendría a la altura de un semidiámetro terrestre, llenaría todas las regiones de los planetas hasta la esfera de Saturno y más allá. Por consiguiente, puesto que el aire a más altura todavía se enrarece mucho más, y la cabellera o atmósfera de un cometa surgiendo desde su centro, sea casi diez veces más alta que la superficie del núcleo, y después la cola todavía ascienda mucho más arriba, la cola deberá ser sumamente enrarecida. Y aunque, por ser mucho más gruesa la atmósfera de los cometas y por la enorme gravitación de los cuerpos hacia el Sol y de las partículas de aire y vapor entre ellas, pudiera ocurrir que el aire en los espacios celestes y en las colas de los cometas no se enrarezca tanto, no obstante, una muy pequeña cantidad de aire y de vapor basta y sobra para todos estos fenómenos de las colas, como se ve por los dichos cálculos. Pues, hasta por los astros que se traslucen a través de ellas se puede colegir la gran rarefacción de las colas. La atmósfera terrestre, con un grosor de unas pocas millas, iluminada por la luz del Sol oscurece a todos los astros y hasta casi extingue a la propia Luna; mientras tanto, a través del inmenso grosor de las colas iluminadas igualmente por la luz del Sol se perciben hasta los menores astros sin detrimento de la claridad. Y no suele ser mayor el brillo de muchas colas que el de nuestro aire reflejando la luz del Sol en un rayo, de una o dos pulgadas de ancho dentro de un cuarto oscuro.

En cuánto tiempo asciende el vapor desde la cabeza hasta el extremo de la cola casi puede conocerse trazando una recta desde el extremo de la cola hasta el Sol y anotando el punto en que dicha recta corta a la trayectoria. Pues el vapor al final de la cola, si sube en línea recta desde el Sol, comenzó a ascender en el momento en que la cabeza se hallaba en el punto de la intersección. Pero el vapor no asciende en línea recta desde el Sol, sino que, reteniendo el movimiento que tenía el cometa antes de su ascenso, y componiéndolo con el movimiento de su propio ascenso, asciende oblicuamente. Por lo cual sería mejor solución del problema que dicha recta secante de la trayectoria fuera paralela a la longitud de la cola, o mejor (por el movimiento curvilíneo del cometa) que sea divergente de la línea de la cola. De este modo hallé que el vapor que se hallaba en el extremo de la cola el 25 de enero había comenzado a ascender de la cabeza el día 11 de diciembre anterior, y por lo mismo había consumido en su ascenso completo más de 45 días. Pero la cola entera que apareció el día 10 de diciembre, había ascendido en los dos días que habían sido consumidos por el perihelio del cometa. Por lo tanto, en las proximidades del Sol, el vapor al principio ascendía muy rápidamente, y después con un movimiento continuamente retardado por su gravedad continuaba ascendiendo, y al ascender aumentaba la longitud de la cola, mientras la cola, cuando apareció, constaba casi de todo el vapor que había ascendido durante el perihelio; y el primer vapor que ascendió y dio lugar al extremo de la cola no se disipó hasta que, por su exagerada distancia tanto del Sol iluminante como de nuestros ojos, dejó de verse. Por eso también, las colas de otros cometas, que son más cortas, no ascienden con un movimiento rápido y continuo desde las cabezas y desaparecen enseguida, sino que son columnas permanentes de vapores y exhalaciones propagadas desde la cabeza con un movimiento muy lento de muchos días, las cuales, al participar de aquellos movimientos de la cabeza que recibieron en el inicio continúan moviéndose por los cielos a la vez que las cabezas. Y esto de nuevo permite inferir que los espacios están desprovistos de fuerza de resistencia, por cuanto que en ellos no sólo los cuerpos sólidos de los planetas y de los cometas, sino también los vapores sumamente enrarecidos de las colas llevan a cabo con toda libertad sus rapidísimos movimientos y los conservan durante largo tiempo.

Atribuye Kepler el ascenso de las colas desde las atmósferas de las cabezas así como su dirección hacia las partes opuestas al Sol a la acción de los rayos de luz que arrastran con ellos a la materia de las colas. Y no parece lejos de la razón el que un aura tan sumamente tenue y en unos espacios completamente libres cediera a la acción de los rayos, pese a que en nuestras regiones sumamente entorpecidas las materias gruesas no puedan ser desplazadas por los rayos del Sol. Piensa otro que pueden darse partículas tanto leves como graves, y que la materia de las colas levita y por su levitación asciende desde el Sol. Pero, puesto que la gravedad de los cuerpos terrestres es como la cantidad de materia en ellos, y por tanto, manteniendo la cantidad de materia, no pueda aumentar ni disminuir, sospecho que el ascenso sea debido más bien a la rarefacción de la materia de las colas. El humo asciende por la chimenea gracias al impulso del aire en el que flota. Dicho aire, enrarecido por el calor asciende al disminuir su gravedad específica y arrastra consigo al humo contenido en él. ¿Por qué no podrían ascender de igual modo desde el Sol las colas de los cometas? Pues los rayos del Sol no agitan los medios que atraviesan a no ser en la reflexión y la refracción. Las partículas reflectantes calentadas por esa acción calientan el aura etérea en que se hallan inmersas. Esta se enrarece por el calor que le ha sido comunicado, y por la disminución, debida al enrarecimiento, de su gravedad específica con la cual tendía primero hacia el Sol, ascenderá y arrastrará consigo a las partículas reflectantes de las que se compone la cola; también conduce al ascenso de los vapores el hecho de que éstos giran en torno al Sol y con esta acción tratan de apartarse del Sol, mientras la atmósfera del Sol o reposa, al igual que la materia celeste, de modo total o bien gira más lentamente con el solo movimiento que hubiese recibido de la rotación solar. Estas son las causas del ascenso de las colas en las proximidades del Sol, cuando las órbitas son más curvas y los cometas se hallan dentro de la atmósfera más densa, y por ello más grave, del Sol, y cuando emiten colas de mayor longitud. Pues las colas que nacen entonces, conservando su movimiento y gravitando entre tanto hacia el Sol, se moverán en elipses en torno al Sol al igual que las cabezas, y con ese movimiento siempre acompañarán a las cabezas adhiriéndose a ellas con toda libertad. Pues la gravedad de los vapores hacia el Sol no tendrá mayor eficacia para que las colas se aparten después de las cabezas hacia el Sol, que la gravedad de las cabezas para hacer que éstas se separen de las colas. Con la gravedad común o bien caen a la vez hacia el Sol, o bien son retardadas a la vez en su ascenso; por lo cual dicha gravedad no impide que colas y cabezas alcancen una posición mutua cualquiera, debida a las causas expuestas o a otras cualesquiera y, después, la conserven con toda libertad.

Pero las colas que nacen en los perihelios de los cometas se alejarán a muy distantes regiones junto con sus cabezas, y allí o regresan tras una larga serie de años hasta nosotros junto con ellas o, más bien, enrarecidas se desvanecen allí poco a poco. Pues, luego, cuando las cabezas descienden de nuevo al Sol, unas colas nuevas y minúsculas habrán de propagarse desde las cabezas, y más tarde, en los perihelios de dichos cometas, que llegan a descender hasta la atmósfera del Sol, aumentan enormemente. Pues el vapor, en aquellos espacios completamente libres, se enrarece y dilata continuamente. Por esa razón la cola entera en el extremo superior es mucho más ancha que junto a la cabeza del cometa. Y es razonable pensar que el vapor continuamente dilatado por esa rarificación, acaba por difundirse y dispersarse por todos los cielos, para desde allí poco a poco ser atraído por su gravedad hacia los planetas y mezclarse con las atmósferas de ellos. Pues de igual modo que necesariamente se requieren los mares para la constitución de esta Tierra, y esto de suerte que de ellos pueda excitar el calor del Sol abundantes y suficientes vapores que, o acumulados en nubes caigan como lluvia y rieguen y nutran a toda la tierra para la germinación de los vegetales, o bien condensados en las frías cumbres de los montes (como algunos razonablemente sostienen) discurran en fuentes y ríos: así también, para la conservación de los mares y de los humores en los planetas parecen requerirse los cometas, merced a cuyas exhalaciones y a cuyos vapores pueda suplirse y restaurarse cuanto licor se consume por la vegetación y la putrefacción y se convierte en tierra árida. Pues, todo lo vegetal crece absolutamente de licores, y después, en su mayor parte, se convierte por putrefacción en tierra árida, y el limo resulta siempre de los licores putrefactos. De aquí que la materia árida terrosa aumente cada día, mientras que los licores, salvo que aumenten por aportes exteriores, deberán decrecer continuamente, hasta que por fin desaparezcan. Por lo demás, sospecho que esa parte de nuestro aire, mínima pero sutilísima y óptima además de necesaria para la vida de todas las cosas, proviene principalmente de los cometas.

Las atmósfera de los cometas, en el descenso de éstos hacia el Sol, desparramándose hacia las colas disminuyen, y (ciertamente hacia el lado que mira al Sol) se hacen más estrechas; y viceversa, en su regreso desde el Sol, cuando ya se desparraman menos hacia las colas, se ensanchan; si es que Hewelcke hizo bien la anotación de sus apariencias. Pues aparecen mínimas cuando las cabezas calentadas por el Sol en tal modo han dado lugar a colas máximas y muy brillantes, y los núcleos están rodeados de humo quizá más denso y negro en las partes inferiores de las atmósferas. Pues todo humo suscitado por un calor muy grande suele ser más grueso y negro. Así la cabeza del cometa al que nos hemos referido, a iguales distancias del Sol y de la Tierra aparecía más oscuro después del perihelio que antes. Pues en el mes de diciembre, solía compararse con estrellas de tercera magnitud, mientras en noviembre lo era con estrellas de primera y segunda. Y quienes vieron ambos, describen como más grande al primero. Pues para un cierto joven de Cambridge, el 19 de noviembre, este cometa con su luz un tanto plomiza y opaca igualaba a Spica de Virgo, y brillaba más claramente que después. Y el 20 de noviembre del calendario antiguo, el cometa parecía a Montenari mayor que las estrellas de primera magnitud, siendo la cola de dos grados de longitud. Y el señor Storer, en carta que se halla en mis manos, escribe que la cabeza del cometa en el mes de diciembre cuando emitía la cola máxima y más brillante, era pequeño y en su magnitud visible mucho menor que el cometa que había aparecido en el mes de noviembre antes de la salida del Sol. Conjeturaba que la razón de ello era que la materia de la cabeza al principio era más abundante y que poco a poco se habría consumido.

De igual modo parece que hay que contemplar el hecho de que las cabezas de otros cometas que emitieron colas muy grandes y luminosas, aparecieran muy oscuras y pequeñas. Pues el año 1668, el 5 de marzo, calendario nuevo, a las siete de la tarde el R. P. Valentín Estancel, estando en Brasil, vio un cometa próximo al horizonte hacia el suroeste, con una cabeza mínima y apenas distinguible, pero con una cola sumamente brillante, hasta el punto de que los que se hallaban en el litoral veían con toda facilidad su imagen reflejada en el mar. Ya que era la imagen de una estela brillante de 23 grados de longitud, inclinada desde occidente hacia el sur y casi paralela al horizonte. Pero semejante resplandor solamente duró tres días, decreciendo después notablemente; y mientras decrecía el resplandor aumentó la magnitud de la cola. Y en Portugal también se dice que llegó a ocupar casi la cuarta parte del cielo (es decir, 45 grados) extendiéndose de occidente a oriente con un gran resplandor; y ni siquiera apareció entera, al hallarse siempre la cabeza circulando bajo el horizonte de estas regiones. Es evidente por el incremento de la cola y la merma del resplandor que la cabeza regresaba desde el Sol, y que estuvo próxima a él al principio, al igual que el cometa de 1680. Y en la Crónica Sajona se lee también sobre un cometa semejante del año 1106 «cuya estrella era pequeña y oscura» (como el del año 1680) «pero el resplandor que salió de ella era muy luminoso y como una estela ardiente que se dirigía hacia oriente y norte», como refiere también Hewelcke citando al monje Simeón de Durham. Apareció a principios del mes de febrero, al atardecer hacia el suroeste. De aquí y de la posición de la cola se infiere que la cabeza estaba próxima al Sol. Dice Mateo de París que «distaba del Sol casi un codo, emitiendo de sí un gran rayo desde la hora tercia» (más exacto sería la sexta) «hasta la hora nona». Así era también aquel ardiente cometa descrito por Aristóteles en Meteoros, Libro I, 6, «cuya cabeza no se vio el primer día debido a que se hallaba ante el Sol o al menos bajo los rayos solares, pero al día siguiente se vio cuanto fue posible. Pues se apartó una mínima distancia del Sol, y enseguida se ocultó. Por causa del excesivo brillo» (de la cola) «todavía no aparecía el fuego difuso de la cabeza, pero pasado un tiempo» (dice Aristóteles), «como (la cola) brillase ya menos, se le restituyó su cara (a la cabeza del) al cometa. Extendió su resplandor hasta la tercera parte del cielo (esto es, a 60 grados). Y apareció en invierno (el año 4 de la Olimpíada 101) y ascendiendo hasta el cinturón de Orión allí desapareció». El cometa del año 1618, que emergió de entre los rayos solares con una enorme cola, parecía igualar y hasta superar a las estrellas de primera magnitud, pero han aparecido no pocos cometas mayores que tenían colas más breves. De ellos algunos dicen que igualaron a Júpiter, otros a Venus o incluso a la Luna.

Hemos dicho que los cometas son una clase de planetas que giran en órbitas muy excéntricas en torno al Sol. Y, al igual que de los planetas sin cola suelen ser menores los que giran en órbitas menores y más cercanas al Sol, así también los cometas, que en sus perihelios se acercan más al Sol, parece razonable que sean mucho menores, para que no lleguen a perturbar demasiado con su atracción al Sol. Omito, pues, la determinación de los diámetros transversales de las órbitas y los tiempos periódicos a partir de la comparación de los cometas que regresan por las mismas órbitas tras largos intervalos de tiempo. Pero mientras tanto, la siguiente proposición puede dar alguna luz en este asunto.

PROPOSICIÓN XLII. PROBLEMA XXII[19]

Corregir la trayectoria hallada de un cometa.

OPERACIÓN 1. Tómese la posición del plano de la trayectoria tal como fue hallada por medio de la Proposición anterior; y selecciónense tres lugares del cometa determinados por observaciones cuanto más exactas sea posible, y lo más distantes entre sí; y sea A el tiempo entre la primera y la segunda observación, y B el tiempo entre la segunda y la tercera. Pero conviene que el cometa se halle en alguno de ellos en el perigeo, o por lo menos que no ande muy lejos del perigeo. Hállese mediante operaciones trigonométricas, a partir de esos lugares aparentes, los tres lugares verdaderos del cometa en el plano aquel de la trayectoria que se ha tomado. Después, por los lugares hallados, en torno al Sol o foco, mediante operaciones aritméticas realizadas con ayuda de la Proposición XXI del Libro I, trácese una sección cónica, y sean D y E sus áreas, delimitadas por los radios trazados al Sol desde los lugares hallados; a saber D el área entre la observación primera y segunda, y E el área entre la segunda y la tercera. Y sea T el tiempo total en el que el área entera D + E debe ser descrita con la velocidad del cometa hallada por la Proposición XVI del Libro I.

OPERACIÓN 2. Auméntese la longitud de los nodos del plano de la trayectoria, añadiendo a aquella longitud 20′ ó 30′, que llamaremos P, pero conservando la anterior inclinación hacia el plano de la eclíptica. Después, a partir de los tres antedichos lugares observados del cometa, encuéntrense en este nuevo plano tres lugares verdaderos, como antes: después, trácese también una órbita que pase por esos tres lugares, y las áreas de la misma descritas entre observaciones, que sean ahora d y e, al igual que el tiempo entero t, en el que debiera describirse el área entera d + e.

OPERACIÓN 3. Manténgase la longitud de los nodos de la primera operación y auméntese la inclinación del plano de la trayectoria hacia el plano de la eclíptica, añadiendo a su inclinación inicial 20′ ó 30′, que denominaremos Q. Después, a partir de los antedichos tres lugares aparentes observados del cometa, encuéntrense tres lugares verdaderos en este plano, y trácense la órbita que pase por esos lugares y las dos áreas comprendidas entre las observaciones y que sean éstas δ y ε, y el tiempo total τ en el cual debiera describirse el área entera δ + ε.

Ahora sea, C a 1 como A a B, y G a 1 como D a E, y g a 1 como d a e, y γ a 1 como δ a ε; y sea S el tiempo verdadero entre la primera y tercera observación; y observando con cuidado las reglas de los signos + y - hállense los números m y n, de modo que ocurra 2G - 2C = mG - mg + nG - nγ, y 2T - 2S = mT - mt + nT - nτ. Y si en la primera operación I representa la inclinación del plano de la trayectoria hacia el plano de la eclíptica, y K representa la longitud de uno cualquiera de los nodos, I + nQ será la verdadera inclinación del plano de la trayectoria hacia el plano de la eclíptica, mientras K + mP será la verdadera longitud del nodo. Y finalmente, si en la primera operación, en la segunda y en la tercera, las cantidades R, r, y p, representan los «latera recta» de la trayectoria, mientras las cantidades 1 / L, 1 / l, 1 / λ, representan sus lados transversales, respectivamente: el verdadero «latus rectum» será R + mr - mR + np - nR, mientras que el verdadero lado transverso de la trayectoria que describe el cometa será 1 / L + ml - mL + nλ - nL. Pero una vez dado el lado transverso también está dado el tiempo periódico del cometa. Q. E. F.

Por lo demás, los tiempos periódicos de los cometas que giran y los lados transversos de las órbitas no se podrán determinar con bastante exactitud, a no ser por la mutua comparación de los cometas que aparecen en tiempos distintos. Si muchos cometas, después de iguales intervalos de tiempo, se encuentra que han descrito la misma órbita habrá que concluir que todos éstos eran uno y el mismo cometa girando en la misma órbita. Y entonces, por los tiempos de las revoluciones se tendrán dados los lados transversales de las órbitas y a partir de estos lados se determinarán las órbitas elípticas.

A este fin habrá, pues, que calcular las trayectorias de muchos cometas, bajo la hipótesis de que son parabólicas. Pues esta clase de trayectorias concuerdan muy aproximadamente siempre con los fenómenos. Esto se ve claramente, no sólo por la trayectoria parabólica del cometa del año 1680, que antes he comparado con las observaciones, sino también por la de aquel célebre cometa que apareció los años 1664 y 1665 y fue observado por Hewelcke. Este calculó, aunque con poca exactitud, sus longitudes y latitudes sobre la base de sus observaciones. Con esas mismas observaciones, nuestro Halley calculó de nuevo los lugares de ese cometa, y así al fin, por los lugares hallados de ese modo, determinó la trayectoria del cometa. Y halló que su nodo ascendente estuvo en ♊ 21.º 13′ 55″, la inclinación de la órbita hacia el plano de la eclíptica de 21.º 18′ 40″, la distancia del perihelio al nodo en la órbita 49.º 27′ 30″. El perihelio en ♌ 8.º 40′ 30″, con latitud heliocéntrica austral de 16.º 1′ 45″ en tiempo igualado de Londres o a las 13h. 8′ p. m. de Dantzig, calendario antiguo, y el «latus rectum» de la parábola fue de 410 286, para una distancia media de la Tierra al Sol de 100 000. La medida en que los lugares del cometa calculados en esta órbita concuerdan con las observaciones se verá claramente por la siguiente tabla calculada por Halley.

En el mes de febrero de principios del año 1665, la primera estrella de Aries, a la que llamaré en lo sucesivo γ se hallaba en ♈ 28.º 30′ 15″, con una latitud boreal de 7.º 8′ 58″. La segunda de Aries estaba en ♈ 29.º 17′ 18″, con una latitud boreal de 8.º 28′ 16″. Y una estrella de séptima magnitud, que llamaré A, estaba en ♈ 28.º 24′ 45″, con latitud boreal de 8.º 28′ 33″. Y el cometa, el 7 de febrero a las 0h. 7′ 30″ de París (es decir, el día 7 de febrero a las 0h. 8′ 37″ de Dantzig) calendario antiguo, formaba con dichas estrellas γ y A un triángulo rectángulo en γ. Y la distancia del cometa a la estrella γ era igual a la distancia entre las estrellas γ y A, esto es, de 1.º 20′ 26″ en el paralelo de la latitud de la estrella γ. Por lo cual, si de la longitud de la estrella γ se resta 1.º 20′ 26″, quedará la longitud del cometa ♈ 27.º 9′ 49″. Auzout, basándose en esta observación suya, situó al cometa en ♈ 27.º 0′ aproximadamente. Y según el dibujo, con el que Hooke representó su movimiento, el cometa estaba ahora en ♈ 26.º 59′ 24″. Considerando la media entre ambos lo he puesto en ♈ 27.º 4′ 46″. Auzout por la misma observación situó la latitud del cometa en 7.º y 4′ ó 5′ norte. Más exacto hubiera sido en 7.º 3′ 29″, puesto que la diferencia de latitudes del cometa y de la estrella γ era igual a la diferencia de longitudes de las estrellas γ y A.

(Tabla de Halley)

El 22 de febrero a las 7h. 30′ de Londres, es decir, el 22 de febrero a las 8h. 46′ en Dantzig, la distancia del cometa a la estrella A, según las observaciones de Hooke representadas por él mismo en un dibujo, y también según observaciones de Auzout representadas por Petit en otro dibujo, era una quinta parte de la distancia entre la estrella A y la primera de Aries, es decir, 15′ 57″. Y la distancia del cometa hasta la línea que unía la estrella A con la primera de Aries era una cuarta parte de esa quinta parte, es decir, 4′. Por tanto, el cometa se hallaba en ♈ 28.º 29′ 46″, con latitud norte de 8.º 12′ 36″.

En marzo 1d. 7h. 0′, de Londres, esto es, marzo Id. 8h. 16′ de Dantzig, el cometa fue observado cerca de la segunda estrella de Aries, a una distancia entre ellos que era a la distancia entre la primera y la segunda de Aries, esto es, a 1.º 33′ como 4 a 45 según Hooke, y como 2 a 23 según Gottignies. Por lo que la distancia del cometa a la segunda de Aries era de 8′ 16″ según Hooke, o de 8′ 5″ según Gottignies, o la media de 8′ 10″. Pero el cometa, según Gottignies, ya había rebasado la segunda de Aries en un espacio de casi la cuarta o quinta parte del recorrido de un día, es decir, 1′ 35″ aproximadamente (con lo que concuerda bien Auzout) o algo menos según Hooke, quizá 1′. Por lo cual si a la longitud de la primera de Aries se añade 1′ y a su latitud 8′ 10″, se tendrá la longitud del cometa en ♈ 29.º 18′ y la latitud en 8.º 36′ 26″ norte.

En marzo 7d. 7h. 30′ de París (es decir, marzo, 7d. 8h. 37′ de Dantzig) según las observaciones de Auzout la distancia del cometa de la segunda de Aries era igual a la distancia de la segunda de Aries a la estrella A, esto es, 52′ 29″. Y la diferencia de longitudes del cometa y de la segunda de Aries era de 45′ ó 46′ o quizá la media de 45′ 30″. Por lo cual el cometa se hallaba en ♉ 0.º 2′ 48″. Del dibujo de las observaciones de Azout, construido por Petit, Hewelcke dedujo la latitud del cometa en 8.º 54′. Pero el dibujante curvó irregularmente el camino del cometa hacia el final de su movimiento, y en el dibujo de las observaciones de Azout construido por Hewelcke, éste corrigió la curvatura irregular, y así hizo que la latitud del cometa fuera de 8.º 55′ 30″. Y corrigiendo la irregularidad un poco más, la latitud vendría a: resultar de 8.º 56′ o quizá 8.º 57.

Este cometa fue visto también el 9 de marzo, y entonces debió situarse en ♉ 0.º 18′, con latitud boreal de 9.º 3½ aproximadamente.

Este cometa fue visible durante tres meses y recorrió casi seis signos, y en un día se desplazó casi veinte grados. Su curso se desvió del Círculo Máximo, curvándose notablemente hacia el norte; y su movimiento al final, de retrógrado pasó a directo. Y no obstante un curso tan insólito, la teoría de principio a fin no vino a concordar menos con las observaciones de lo que suelen concordar las teorías de los planetas con las observaciones, como verá quien examine la tabla. Sin embargo hay que restar casi dos minutos primeros, cuando el cometa fue más veloz; cosa que se puede hacer restando doce minutos segundos del ángulo entre el nodo ascendente y el perihelio, o estableciendo dicho ángulo en 49.º 27′ 18″. La paralaje anual de uno y otro cometa (éste y el anteriormente mencionado) fue grande, y por ello se demuestra el movimiento anual de la Tierra en el Orbe Magno.

Se confirma también la teoría por el movimiento del cometa que apareció el año 1683. Este fue retrógrado, en una órbita cuyo plano casi formaba ángulo recto con el plano de la eclíptica. Su nodo ascendente (por cálculos de Halley) estaba en ♍ 23.º 23′; la inclinación de la órbita hacia la eclíptica era de 83.º 11′; el perihelio en ♊ 25.º 29′ 30″; la distancia del perihelio al Sol de 56 020, para un radio del Orbe Magno de 100 000, y el momento del perihelio el día 2 de julio a las 3h. 50′. Los lugares del cometa en esta órbita calculados por Halley y comparados con los observados por Flamsteed, se muestran en la tabla siguiente.

También se confirma la teoría por el movimiento del cometa retrógrado que apareció el año 1682. Su nodo ascendente (calculado por Halley) se hallaba en ♉ 21.º 16′ 30″. La inclinación de la órbita hacia el plano de la eclíptica era de 17.º 56′ 0″. El perihelio en ♒ 2.º 52′ 50″. La distancia del perihelio al Sol de 58 328 para un radio del Orbe Magno de 100 000. Y el tiempo igualado del perihelio el 4 de septiembre a las 7h. 39′. Pero los lugares calculados, a partir de las observaciones de Flamsteed, comparados con los calculados mediante la teoría se muestran en la tabla siguiente. (Vid. página 776).

Y también se confirma la teoría por el movimiento retrógrado del cometa que apareció el año 1723. Su nodo ascendente (calculado por Bradley, profesor Saviliano de astronomía en Oxford) estaba en ♈ 14.º 16′. La inclinación de la órbita hacia el plano de la eclíptica de 49.º 59′. El perihelio en ♉ 12.º 15′ 20″. La distancia del perihelio al Sol de 998 651, para un radio del Orbe Magno de 1 000 000, y el tiempo igualado del perihelio el 16 de septiembre a las 16h. 10′. Y los lugares del cometa en esta órbita calculados por Bradley, comparados con los observados por él mismo, por su tío Pound y por Halley se muestran en la tabla siguiente. (Vid. página 777).

Con estos ejemplos queda harto claro que los movimientos de los cometas se ponen de manifiesto mediante la teoría recién expuesta con no menor exactitud que la conseguida por las teorías de los movimientos de los planetas. Y por lo tanto, las órbitas de los cometas pueden ser calculadas mediante esta teoría, igual que conocer, por fin, el tiempo periódico de un cometa que gira en una órbita cualquiera, y se conocerán entonces los lados transversales de las órbitas elípticas al igual que las alturas de los afelios.

El cometa retrógrado que apareció el año 1607 describió una órbita cuyo nodo ascendente (calculado por Halley) estaba en ♉ 20.º 21′; la inclinación del plano de la órbita hacia el plano de la eclíptica era de 17.º 2′; el perihelio en ♒ 2.º 16′; y la distancia del perihelio al Sol era de 58 680 para un radio del Orbe Magno de 100 000. Y el cometa estaba en el perihelio el 16 de octubre a las 3h. 50′. Concuerda muy aproximadamente esta órbita con la órbita del cometa que apareció en 1682. Si estos dos cometas fueran uno y el mismo, este cometa giraría en un período de 75 años, y el eje mayor de dicha órbita será al eje mayor del Orbe Magno como la raíz cúbica de 75 x 75 a 1, o como 1778 a 100 aproximadamente. Y la distancia del afelio de este cometa al Sol será a la distancia media de la Tierra al Sol como 35 a 1 aproximadamente. Conociendo estas cosas no será muy difícil determinar la órbita elíptica de este cometa. Y esto será así si resulta que después de un espacio de 75 años el cometa regresara de nuevo por la misma órbita. Los demás cometas parece que giran en períodos más largos y ascienden más arriba.

Por lo demás, los cometas, debido a su gran número, y a la gran distancia de los afelios hasta el Sol así como a su gran permanencia en los afelios, deben sufrir perturbaciones no pequeñas entre ellos por causa de las gravedades y aumentar unas veces o disminuir otras, tanto sus excentricidades como sus tiempos periódicos. Por consiguiente, no hay que esperar que el mismo cometa regrese por la misma órbita y en los mismos tiempos periódicos de modo exacto. Basta con que no sobrevengan mutaciones mayores que las que puedan deberse a las causas susodichas.

Y con esto se da cuenta de por qué los cometas no estén comprendidos en el zodíaco como los planetas, sino que salgan de él y con movimientos variados se dirijan hacia todas las regiones del cielo. Y ello con objeto de que en sus afelios, cuando se mueven muy lentamente, disten entre ellos lo más posible y se atraigan entre ellos cuanto menos. Por esta causa, los cometas que más descienden y por lo mismo se mueven en los afelios más lentamente, deberán ascender más.

El cometa que apareció el año 1680 distaba en su perihelio del Sol menos de la sexta parte del diámetro del Sol; y debido a la gran velocidad en esas proximidades y a alguna densidad de la atmósfera solar, debió sufrir alguna resistencia y retardarse un tanto y acercarse más al Sol: y en cada una de las revoluciones acercándose un poco, al fin acabará cayendo en el cuerpo solar. Pero en el afelio, cuando se mueve muy lentamente, puede a veces ser retardado por la atracción de otros cometas y después caer hacia el Sol. También de este modo las estrellas fijas, que poco a poco se extinguen en luz y vapores pueden realimentarse con cometas que caen en ellas, y repuestas con ese nuevo alimento ser tenidas por estrellas nuevas. De esta clase son las estrellas fijas que aparecen de repente y, al principio, brillan enormemente y después poco a poco se desvanecen. Tal fue la estrella de la silla de Casiopea que no vio Cornelio Gemma el 8 de noviembre de 1572 observando esa parte del cielo en una noche diáfana; pero a la noche siguiente (9 de noviembre) la vio más brillante que todas las fijas y apenas de menos luz que Venus. Tycho Brahe la vio el día 11 del mismo mes cuando más brillaba; y a partir de ese momento decreciendo poco a poco la vio desaparecer en el espacio de 16 meses. En el mes de noviembre, recién aparecida, igualaba en brillo a Venus. En diciembre, un tanto disminuida, parecía igualar a Júpiter. El año 1573, en enero era menor que Júpiter y mayor que Sirio, a la cual ya resultaba igual en febrero y primeros de marzo. En los meses de abril y mayo parecía igual a las estrellas de segunda magnitud, en junio, julio y agosto a las estrellas de tercera magnitud, en septiembre, octubre y noviembre a las de cuarta, en diciembre y en enero de 1574 a las de quinta, en febrero a las de sexta, y en marzo desapareció de vista. Al principio su color era claro, blanquecino y brillante y después amarillo, y el año 1573 en marzo rojiza como la de Marte o Aldebarán; en mayo adquirió una palidez blanquecina, como la que vemos en Saturno, color que conservó hasta el fin, pero haciéndose cada vez más oscura. Así fue también la estrella del pie derecho de Serpentario, observada por los discípulos de Kepler el año 1604 el día 30 de septiembre, calendario antiguo, cuando comenzó a aparecer, y observaron que superaba a Júpiter con su luz, siendo así que la noche precedente no se veía. Desde ese momento empezó a decrecer y en el espacio de 15 ó 16 meses desapareció de la vista. Por una estrella nueva semejante y extremadamente brillante se dice que se vio impulsado Hiparco para observar las fijas y confeccionar un catálogo. Pero las fijas que aparecen y desaparecen alternativamente y que crecen poco a poco y apenas superan nunca a las de tercera magnitud, parecen ser de otra clase, y al girar muestran alternativamente sus partes oscuras y sus partes luminosas. Pero los vapores que surgen del Sol, de las estrellas fijas y de las colas de los cometas, pueden caer por su gravedad sobre las atmósferas de los planetas y condensarse allí y convertirse en agua y espíritus húmedos y después por calentamiento lento pasar poco a poco a sales, sulfuros, tinturas, limo, barro, arcilla, arena, piedras, corales y otras sustancias terrestres.