Sección III. Sobre el movimiento de los cuerpos a los que se resiste parte en razón de las velocidades y parte en razón del cuadrado de dicha razón
Sección III SOBRE EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A LOS QUE SE RESISTE PARTE EN RAZÓN DE LAS VELOCIDADES Y PARTE EN RAZÓN DEL CUADRADO DE DICHA RAZÓN
PROPOSICIÓN XI. TEOREMA VIII
Si se resiste a un cuerpo parte en razón de su velocidad y parte en razón del cuadrado de su velocidad, y se mueve en un medio uniforme con su sola fuerza ínsita, mientras los tiempos se toman en progresión aritmética; las cantidades inversamente proporcionales a las velocidades, aumentadas en una cantidad dada, estarán en progresión geométrica.
Con centro en C y asíntotas rectangulares CADd y CH, trácese la hipérbola BEe, y AB, DE, de, sean paralelas a la asíntota CH. Sobre la asíntota CD sean dados los puntos A, G: y si el tiempo se representa por el área hiperbólica uniformemente creciente ABED, digo que la velocidad se puede representar por la longitud DF, cuya inversa GD junto con la línea dada CG compone la longitud CD que crece en progresión geométrica.
Pues sea DEed el área mínima correspondiente a un incremento mínimo de tiempo, y Dd será inversamente como DE, y tanto directamente como CD. Pero el decremento 1 / GD del mismo, que (por el Lema II de este Libro) es Dd / GD2, sera como CD / GD2 o CG + GD / GD2, esto es, como 1 / GD + CG / GD2. Por tanto, al crecer uniformemente el tiempo ABED por la adición de las partículas dadas EDde, decrece 1 / GD junto con la velocidad en la misma razón. Pues el decremento de la velocidad es como la resistencia, esto es (por hipótesis), como la suma de dos cantidades, una de las cuales es como la velocidad y la otra como el cuadrado de la velocidad; y el decremento del propio 1 / GD es como la suma de las cantidades 1 / GD y CG / GD2, de las cuales la primera es la misma 1 / GD, y la otra, CG / GD, es como 1 / GD2: por tanto, 1 / GD, por tener el mismo decremento, es como la velocidad. Y si la cantidad GD, inversamente proporcional a 1 / GD, es aumentada en una cantidad dada CG; la suma CD, creciendo uniformemente el tiempo ABED, crecerá en progresión geométrica. Q. E. D.
COROLARIO 1. Por lo tanto, si dados los puntos A, G, se representa el tiempo por el área hiperbólica ABED, la velocidad puede representarse por 1 / GD, inverso de GD.
COROLARIO 2. Y tomando GA a GD como el inverso de la velocidad al comienzo al inverso de la velocidad al final de un tiempo cualquiera ABED, se hallará el punto G. Hallado éste, se puede hallar la velocidad para cualquier otro tiempo dado.
PROPOSICIÓN XII. TEOREMA IX
Con los mismos supuestos, digo que si los espacios descritos se toman en progresión aritmética, las velocidades, aumentadas en una cantidad dada cualquiera, estarán en progresión geométrica.
Sobre la asíntota CD sea dado el punto R, y elevada la perpendicular RS que encuentre a la hipérbola en S, represéntese el espacio descrito mediante el área hiperbólica RSED; y la velocidad será entonces como la longitud GD, que con la cantidad dada CG compone la longitud CD decreciente en progresión geométrica, mientras el espacio RSED crece en progresión aritmética.
Puesto que, al estar dado el incremento EDde del espacio, el segmento Dd, que es el decremento de la propia GD, será como el inverso de ED y por tanto directamente como CD, esto es como la suma del mismo GD y de la longitud dada CG. Pero el decremento de la velocidad, en el tiempo inversamente proporcional a ella, en el cual es descrita la partícula dada de espacio DdeE, es una cantidad que es como la resistencia y el tiempo conjuntamente, esto es, directamente como la suma de dos cantidades, de las cuales la una es como la velocidad, la otra como el cuadrado de la velocidad, e inversamente como la velocidad; y por lo tanto, directamente como la suma de dos cantidades, de las cuales la una está dada y la otra es como la velocidad. Por consiguiente, tanto el decremento de la velocidad como el de la línea GD es como una cantidad dada y una cantidad decreciente conjuntamente, y al ser análogos los decrementos, las cantidades decrecientes siempre serán análogas; a saber, la velocidad y la línea GD. Q. E. D.
COROLARIO 1. Si la velocidad se representa por la línea GD, el espacio descrito será como el área hiperbólica DESR.
COROLARIO 2. Y si se supone en cualquier parte el punto R, se hallará el punto G tomando GR a GD como es la velocidad inicial a la velocidad tras recorrer un espacio cualquiera RSED. Hallado el punto G, se obtiene el espacio a partir de una velocidad dada y viceversa.
COROLARIO 3. De donde, puesto que (por la Proposición XI) se obtiene la velocidad a partir de un tiempo dado, y por esta Proposición se obtiene el espacio a partir de una velocidad dada; de un tiempo dado se obtendrá el espacio y viceversa.
PROPOSICIÓN XIII. TEOREMA X
Supuesto que un cuerpo, atraído hacia abajo por una gravedad uniforme, asciende o desciende por una recta, y que sufre una resistencia en parte proporcional a la velocidad y en parte proporcional al cuadrado de la velocidad: digo que, si se trazan rectas paralelas a los diámetros de un círculo y de una hipérbola, las cuales pasen por los extremos de los diámetros conjugados, y las velocidades fuesen como ciertos segmentos de las paralelas trazados desde un punto dado; los tiempos serán como los sectores de las áreas separados por rectas trazados desde el centro hasta los extremos de los segmentos; y viceversa.
CASO 1. Supongamos primero que el cuerpo asciende, y con centro en D y un semidiámetro cualquiera DB, trácese el cuadrante del círculo BETF, y por el extremo B del semidiámetro DB trácese la recta indefinida BAP paralela al semidiámetro DF. Sobre ella sea dado el punto A, y tómese el segmento AP proporcional a la velocidad. Y puesto que una parte de la resistencia es como la velocidad y otra parte como el cuadrado de la velocidad, la resistencia total será como AP2 + 2BAP. Únanse DA, DP cortando al círculo en E y T, y represéntese la gravedad por DA2 de modo que la gravedad sea a la resistencia como DA2 a AP2 + 2BAP: y el tiempo de todo el ascenso será como el sector EDT del círculo.
Pues, trácese DVQ, separando el momento PQ de la velocidad AP y el momento DTV del sector DET correspondiente a un momento dado de tiempo; y este decremento PQ de la velocidad será como la suma de las fuerzas de la gravedad DA2 y de la resistencia AP2 + 2BAP, esto es (por la Proposición XII del Libro II de los Elementos), como DP2. Luego el área DPQ, proporcional a PQ, es como DP2, y el área DTV, que es al área DPQ como DT2 a DP2, es como DT2 ya dada. Por tanto, el área EDT decrece uniformemente, al modo del tiempo futuro, mediante la pérdida de partículas DTV dadas, y por tanto es proporcional al tiempo de ascenso total. Q. E. D.
CASO 2. Si la velocidad en el ascenso del cuerpo se representa por la longitud AP como antes, y se supone la resistencia como AP2 + 2BAP, y la gravedad fuese menor que la representable por DA2, tómese entonces la longitud de BD tal que AB2 - BD2 sea proporcional a la gravedad, y DF sea perpendicular e igual a DB, trazando por el vértice F la hipérbola FTVE, de cuyo semidiámetro sean conjugadas DB y DF, la cual hipérbola corta a DA en E, y a DP, DQ, en T y V; y el tiempo de todo el ascenso será como el sector TDE de la hipérbola.
Pues el decremento PQ de la velocidad, ocurrido en una partícula dada de tiempo, es como la suma de la resistencia AP2 + 2BAP y la gravedad AB2 - BD2, esto es, como BP2 - BD2. Pero el área DTV es al área DPQ como DT2 a DP2; y por tanto, si sobre DF cae una perpendicular GT, como GT2 o GD2 - DF a BD2, y como GD2 a BP2, y por partes, como DF2 a BP2 - BD2. Por lo cual, dado que el área DPQ es como PQ, esto es, como BP2 - BD2, el área DTV será como la ya dada DF2. Por consiguiente, el área EDT decrece uniformemente en cada partícula igual de tiempo por sustracción de otras tantas partículas dadas DTV, y por lo mismo es proporcional al tiempo. Q. E. D.
CASO 3. Sea AP la velocidad de descenso de un cuerpo, y AP2 + 2BAP la resistencia, y BD2 - AB2 la fuerza de la gravedad, siendo recto el ángulo DBA. Y si con centro en D, vértice principal F, se traza la hipérbola rectangular BETV que corte a las prolongaciones de DA, DP y DQ en E, T y V; el sector DET de esta hipérbola será como el tiempo total de descenso.
Pues el incremento PQ de la velocidad, y el área DPQ proporcional a él, es como el exceso de la gravedad sobre la resistencia, esto es, como BD2 - AB2 - 2BAP - AP2, o BD2 - BP2. Y el área DTV es al área DPQ como DT2 a DP2, y por tanto, como GT2 o GD2 - BD2 a BP2 y como GD2 a BD2 y por partes como BD2 a BD2 - BP2. Por lo tanto, dado que el área DPQ es como BD2 - BP2, el área DTV será como el ya dado BD2. Crece, pues, el área EDT uniformemente en cada partícula igual de tiempo según se vaya añadiendo cada partícula dada DTV, y por tanto es proporcional al tiempo de descenso. Q. E. D.
COROLARIO. Si con centro en D y semidiámetro DA se traza por el vértice A el arco At, semejante al arco ET, que subtienda similarmente al ángulo ADT: la velocidad AP será a la velocidad, que podría perder subiendo o adquirir bajando dicho cuerpo en el tiempo EDT en un espacio no resistente, como el área del triángulo DAP al área del sector DAt; y por tanto estará dada para un tiempo dado. Pues la velocidad, en un medio no resistente, es proporcional al tiempo y, por ello, a dicho sector; en un medio resistente es como el triángulo; y en ambos, cuando es muy pequeña, se acerca a la razón de igualdad, como ocurre con el sector y el triángulo.
ESCOLIO
El caso podría demostrarse lo mismo en el ascenso de un cuerpo, cuando la fuerza de la gravedad es menor que la que es representable por DA2 o AB2 + BD2 y mayor que la representable por AB2 - BD2, y debe representarse por AB2. Pero vayamos a otras cosas.
PROPOSICIÓN XIV. TEOREMA XI[5]
Con los mismos supuestos digo que el espacio descrito en el ascenso o descenso es como la diferencia del área con la que se representa el tiempo, y alguna otra área aumentada o disminuida en progresión aritmética, siempre que las fuerzas compuestas de la resistencia y la gravedad se tomen en progresión geométrica.
Tómese AC (en las tres figuras últimas) proporcional a la gravedad, y AK a la resistencia. Pero tómense hacia el mismo lado del punto A si el cuerpo desciende, y de no ser así en lados opuestos. Elévese Ab de modo que sea a DB como DB2 a 4BAC: V una vez trazada la hipérbola bN respecto a las asíntotas rectangulares CK, CH, y elevada KN perpendicular a CK, el área AbNK aumentará o disminuirá en progresión aritmética, siempre que las fuerzas CK se tomen en progresión geométrica. Por tanto digo que la distancia del cuerpo respecto a su máxima altitud es como el exceso del área AbNK sobre el área DET.
Pues, dado que la resistencia es como AK, esto es, como AP2 + 2BAP, supuesta una cantidad dada cualquiera Z, supongamos que AK es igual a AP2 + 2BAP / Z; y (por el Lema II de este Libro), el momento KL de AK será igual a 2APQ + 2BA x PQ / Z o a 2BPQ / Z, y el momento KLON del área AbNK será igual a 2BPQ x LO / Z o a BPQ x BD3 / 2Z x CK x AB.
CASO 1. Ahora si el cuerpo está ascendiendo, sea la gravedad como AB2 + BD2 y siendo BET un círculo (en la primera figura), la línea AC que es proporcional a la gravedad, será AB2 + BD2 / Z, y DP2 o AP2 + 2BAP + AB2 + BD2 será AK x Z + AC x Z o también CK x Z; y por tanto, el área DTV será al área DPQ como DT2 o DB2 a CK x Z.
CASO 2. Pero si el cuerpo asciende y la gravedad es como AB2 - BD2, la línea AC (en la segunda figura) será AB2 - BD2 / Z, y DT2 será a DP2 como DF2 o DB2 a BP2 - BD2 o AP2 + 2BAP + AB2 - BD2, esto es, como a AK x Z + AC x Z, o CK x Z. Y por tanto, el área DTV será al área DPQ como DB2 a CK x Z.
CASO 3. Y, por la misma razón, si el cuerpo desciende, y por tanto la gravedad es como BD2 - AB2, y la línea AC (en la tercera figura) es igual a BD2 - AB2 / Z, el área DTV será al área DPQ como DB2 a CK x Z, como antes.
Ahora bien, al estar estas áreas siempre en dicha razón, si el; área DTV, mediante la cual se representa el momento de tiempo siempre igual a ella, es sustituida por un rectángulo cualquiera determinado, tal como BD x m, el área DPQ, esto es, ½BD x PQ, será a BD x m como CK x Z a BD2. Y de aquí que PQ x BD3 sea igual a 2BD x m x CK x Z, y el momento KLON del área AbNK, hallado antes, sea BP x BD x m / AB. Réstese del área DET el momento DTV, o sea, BD x m, y quedará AP x BD x m / AB. Luego, la diferencia de los momentos, esto es, el momento de la diferencia de áreas, es igual a AP x BD x m / AB, y por tanto, por estar dado BD x m / AB, como la velocidad AP, esto es, como el momento de espacio descrito por el cuerpo en el ascenso o en el descenso. Y, en consecuencia, la diferencia de áreas y dicho espacio, al crecer o decrecer en momentos proporcionales que comienzan y se desvanecen a la vez, son proporcionales. Q. E. D.
COROLARIO. Si se llama M a la longitud que resulta de dividir el área DET por la línea BD, y se toma otra longitud V que esté en razón de la longitud M como la de la línea DA a la línea DE: el espacio descrito por un cuerpo en todo el ascenso o el descenso en un medio resistente será al espacio descrito por un cuerpo en el mismo tiempo cayendo desde un estado de reposo, como la diferencia de las áreas mencionadas a BD x V2 / AB; y por tanto, para un tiempo dado, está dado. Pues, el espacio en un medio no resistente es como el cuadrado del tiempo, o como V2; y, por estar dadas BD y AB, como BD x V2 / AB. Esta área es igual al área DA2 + BD x M2 / DE2 x AB, y el momento de M es n; y por tanto el momento de dicha área es DA2 x BD x 2M x m / DE2 x AB. Pero este momento es al momento de la diferencia de las áreas antedichas DET y AbNK, o sea, a AP + BD x m / AB, como DA2 x BD x M / DE2 a ½BD x AP, o como DA2 / DE2 x DET a DAP, por consiguiente, cuando las áreas DET y DAP son mínimas, están en razón de igualdad. Pues el área BD x V2 / AB y la diferencia de las áreas DET y AbNK, cuando todas estas áreas son mínimas, tienen iguales momentos, y por lo mismo, son iguales. De donde las velocidades, y por tanto también los espacios recorridos en ambos medios en el mismo tiempo tienden a ser iguales al principio del descenso o al final del ascenso, y por tanto son entonces entre sí como el área BD x V2 / AB y la diferencia de las áreas DET y AbNK; y además, puesto que el espacio en un medio no resistente es siempre como BD x V2 / AB mientras el espacio es un medio resistente es siempre como la diferencia de las áreas DET y AbNK: es preciso que los espacios en ambos medios, descritos en tiempos iguales cualesquiera, sean entre sí como dicha área BD x V2 / AB y la diferencia de las áreas DET y AbNK. Q. E. D.
ESCOLIO[6]
En los fluidos la resistencia de los cuerpos esféricos procede en parte de la tenacidad, en parte del rozamiento y en parte de la densidad del medio. Y la parte de la resistencia procedente de la densidad del fluido es como dijimos, como el cuadrado de la velocidad; la parte procedente de la tenacidad del fluido es uniforme, o sea, como el momento del tiempo; por lo mismo se podría pasar a considerar el movimiento de los cuerpos a los cuales se resiste en parte con una fuerza uniforme, o sea, en razón de los momentos de tiempo, y parte en razón cuadrada de la velocidad. Pero basta haber abierto la puerta para esta especulación en las Proposiciones VIII y IX precedentes y sus Corolarios. Efectivamente, en dichas Proposiciones se puede sustituir la resistencia uniforme a un cuerpo ascendente debida a la gravedad por la resistencia uniforme procedente de la tenacidad del medio, cuando el cuerpo se mueve por la sola fuerza ínsita; y cuando el cuerpo asciende por una recta habrá que añadir esta resistencia uniforme a la fuerza de gravedad; mientras que habrá que restarla, cuando el cuerpo desciende por una recta. También se podría pasar al movimiento de cuerpos a los que se resiste en parte uniformemente, parte en razón de la velocidad y parte en tazón cuadrada de la velocidad. He abierto un camino en las Proposiciones precedentes XIII y XIV, en las que también puede sustituirse la resistencia uniforme debida a la tenacidad del medio en lugar de la fuerza de la gravedad, o componerse con ella como antes. Pero paso a otras cosas.