Sección IV. Del movimiento circular de los cuerpos en medios resistentes
Sección IV DEL MOVIMIENTO CIRCULAR DE LOS CUERPOS EN MEDIOS RESISTENTES
LEMA III
Sea PQR una espiral que corte todos los radios SP, SQ, SR, etc., en ángulos iguales. Trácese la línea recta PT tangente a la espiral en un punto cualquiera P y que corte al radio SQ en T; y, elevadas las perpendiculares PO, QO a la espiral que concurren en O, únase SO. Digo que si los puntos P y Q se aproximan hasta coincidir, el ángulo PSO resulta recto, y la razón última del rectángulo TQ x 2PS a PQ2 será la razón de igualdad.
Puesto que al restar de los ángulos rectos OPQ, OQR, los ángulos iguales SPQ, SQR, quedarán los ángulos iguales OPS, OQS. Luego el círculo que pasa por los puntos O, S, P pasará también por el punto Q. Coincidan los puntos P y Q, y este círculo será tangente a la espiral en el lugar de coincidencia de PQ, y por tanto cortará perpendicularmente a la recta OP. Resultará, pues, OP diámetro de este círculo y el ángulo OSP recto sobre el semicírculo. Q. E. D.
Sobre OP trácense las perpendiculares QD, SE y las últimas razones de las líneas serán como sigue: TQ a PD como TS o PS a PE, o sea, 2PO a 2PS; y también PD a PQ como PQ a 2PO; y permutando, TQ a PQ como PQ a 2PS. De donde resulta que PQ2 es igual a TQ x 2PS. Q. E. D.
PROPOSICIÓN XV. TEOREMA XII
Si la densidad de un medio en cada punto es inversamente como la distancia del punto a un centro inmóvil, y la fuerza centrípeta es como el cuadrado de la densidad: digo que un cuerpo puede girar en una espiral que corte en un ángulo dado a todos los radios trazados desde dicho centro.
Dense los supuestos del Lema anterior, y prolónguese SQ hasta V, de modo que SV sea igual a SP. En un tiempo cualquiera y en medio resistente, describa el cuerpo el arco mínimo PQ, y en doble tiempo el arco mínimo PR; y los decrementos de estos arcos procedentes de la resistencia, o las diferencias respecto a los arcos que describirían en los mismos tiempos en un medio no resistente, serán entre sí como los cuadrados de los tiempos en que se generan: por tanto, el decremento del arco PQ es la cuarta parte del decremento del arco PR. De donde también, si se toma el área PSQ igual al área QSr, el decremento del arco PQ será igual a la mitad del segmento Rr; y por tanto, la fuerza de resistencia y la fuerza centrípeta son entre sí como los mismos segmentos ½Rr y TQ que generan a la vez. Puesto que la fuerza centrípeta, con la que el cuerpo es urgido en P, es inversamente como SP2, y (por el Lema X del Libro I) el segmento TQ, generado por dicha fuerza, está en razón compuesta de la razón de dicha fuerza y de la razón del cuadrado del tiempo en que se describe el arco PQ (pues en este caso desprecio la resistencia por ser infinitamente más pequeña que la fuerza centrípeta), TQ x SP2, esto es (por el Lema anterior), ½PQ2 x SP, será como el cuadrado del tiempo, y por tanto el tiempo es como PQ x √SP; y la velocidad del cuerpo con la que describe en dicho tiempo el arco PQ como PQ / PQ x √SP o 1 / √SP, esto es, como el inverso de la raíz cuadrada de SP. Y por la misma razón, la velocidad con la que se describe el arco QR es como el inverso de la raíz cuadrada del propio SQ. Pero dichos arcos PQ y QR son como las velocidades descriptoras entre ellas, es decir, como la raíz cuadrada de SQ a SP, o sea, como SQ a √SP x SQ, y por ser iguales los ángulos SPQ, SQr y las áreas PSQ, QSr también iguales, el arco PQ es al arco Qr como SQ a SP. Tómense las diferencias de consecuentes proporcionales y resultará el arco PQ al arco Rr como SQ a SP - √SP x SQ, es decir, ½VQ. Pues, al coincidir los puntos P y Q, la razón última de SP - √SP x SQ a ½VQ es la de igualdad. Dado que el decremento del arco PQ originado por la resistencia, o el doble del mismo Rr, es como la resistencia y el cuadrado del tiempo conjuntamente, la resistencia será como Rr / PQ2 x SP. Pero PQ era a Rr como SQ a ½VQ, y de aquí que Rr / PQ2 x SP sea como ½VQ / PQ x SP x SQ o como ½OS / OP x SP2.
Pues cuando los puntos P y Q coinciden, coinciden también SP y SQ, y el ángulo PVQ se hace recto; y por ser semejantes los triángulos PVQ, PSO, resulta PQ a ½VQ como OP a ½OS. Luego OS / OP x SP2 es, entonces, como la resistencia, esto es, como la densidad del medio en P y como el cuadrado de la velocidad conjuntamente. Réstese la razón del cuadrado de la velocidad, o sea, 1 / SP y quedará la densidad del medio en P como OS / OP x SP. Dése, pues, una espiral, y por estar dada la razón de OS a OP, la densidad del medio en P será como 1 / SP. Por tanto, en un medio cuya densidad sea inversamente proporcional a la distancia al centro SP, un cuerpo puede girar en dicha espiral. Q. E. D.
COROLARIO 1. En un punto cualquiera P la velocidad será siempre aquella con la que un cuerpo, en un medio no resistente y la misma fuerza centrípeta, giraría en un círculo a la misma distancia SP del centro.
COROLARIO 2. Si la distancia SP está dada, la densidad del medio es como OS / OP, pero si no se da dicha distancia es como OS / OP x SP. Y por ello una espiral puede acomodarse a cualquiera densidad de medio.
COROLARIO 3. La fuerza de resistencia en un punto cualquiera P es a la fuerza centrípeta en el mismo punto como ½OS a OP. Pues tales fuerzas son entre sí como ½Rr y TQ, o como ¼VQ x PQ / SQ y ½PQ2 / SP, es decir, como ½VQ y OP. Dada, pues, una espiral, está dada la proporción de la resistencia respecto a la fuerza centrípeta y, viceversa, dada dicha proporción, está dada la espiral.
COROLARIO 4. Por consiguiente, el cuerpo no puede girar en esta espiral a no ser que la fuerza de resistencia sea menor que la mitad de la fuerza centrípeta. Sea la resistencia igual a la mitad de la fuerza centrípeta, y la espiral coincidirá con la línea recta PS, y el cuerpo descenderá hacia el centro por dicha recta con una velocidad que será a la velocidad con la que, según hemos probado antes para una parábola (Teorema X del Libro I) ocurre el descenso en un medio no resistente, como la raíz cuadrada de la razón de la unidad al número dos. Y los tiempos de descenso serán aquí como el inverso de las velocidades, y por tanto están dados.
COROLARIO 5. Y puesto que a distancias iguales del centro la velocidad es igual en la espiral PQR y en la recta SP, y la longitud de la espiral a la longitud de la recta se halla en una razón dada, a saber, en la razón de OP a OS, el tiempo de descenso por la espiral será al tiempo de descenso por la recta SP en esa misma razón dada y, por tanto, también dado.
COROLARIO 6. Si con centro en S y con dos distancias dadas cualesquiera se trazan dos círculos, y manteniendo estos círculos se hace cambiar en alguna forma el ángulo que forma la espiral con el radio PS, el número de revoluciones que puede completar un cuerpo en el interior de las circunferencias de dichos círculos caminando en espiral de una circunferencia a otra es como PS / OS, o como la tangente del ángulo que forma la espiral con el radio PS, mientras el tiempo de dichas revoluciones será como OP / OS, es decir, como la secante del mismo ángulo, o inversamente proporcional a la densidad del medio.
COROLARIO 7. Si un cuerpo, en un medio con densidad inversamente proporcional a la distancia de cada punto al centro, gira por una curva cualquiera AEB en torno a dicho centro, y corta al primer radio AS en B con el mismo ángulo con que lo hiciese antes en A, y esto con una velocidad que sea a la velocidad anterior en A en razón inversa de la raíz cuadrada de las distancias al centro (esto es, como AS a la media proporcional entre AS y BS) dicho cuerpo describirá innumerables revoluciones semejantes BFC, CGD, etc. y con sus intersecciones dividirá el radio AS en partes continuamente proporcionales AS, BS, CS, DS, etc. Mas, los tiempos de las revoluciones serán directamente como los perímetros de las órbitas AEB, BFG, CGD, etc. e inversamente como las velocidades en A, B, C; esto es, como AS3⁄2, BS3⁄2, CS3⁄2. Y el tiempo total empleado por el cuerpo para llegar al centro será al tiempo de la primera revolución como la suma de todas las continuamente proporcionales hasta el infinito AS3⁄2, BS3⁄2, CS3⁄2 al primer término AS3⁄2; esto es, como dicho primer término AS3⁄2 a la diferencia de los dos primeros AS3⁄2 - BS3⁄2, o como 3⁄2AS a AB, muy aproximadamente. De donde dicho tiempo total puede hallarse sin dificultad.
COROLARIO 8. De lo cual puede obtenerse con relativa facilidad el movimiento de cuerpos en medios de densidad uniforme o que se atenga a cualquiera otra ley determinada. Con centro en S, y distancias continuamente proporcionales SA, SB, SC, etc., trácense círculos cualesquiera, y establézcase que los tiempos de revolución entre los perímetros de dos cualesquiera de estos círculos en el medio del que hablé antes es al tiempo de revolución en el medio propuesto entre los mismos círculos, como la densidad media del medio propuesto entre los dos círculos a la densidad media del medio del que se trató más arriba entre los mismos círculos muy aproximadamente: y asimismo que la secante del ángulo con que la espiral antes determinada corta al radio AS en el medio arriba considerado está en la misma razón respecto a la secante del ángulo con que esta nueva espiral corta al mismo radio en el medio ahora propuesto; y también que los números totales de revoluciones entre dichos dos círculos son muy aproximadamente como las tangentes de sus ángulos. Si esto ocurre continuamente entre cada par de círculos, el movimiento se continuará a través de todos los círculos. Y de este modo no será difícil imaginar cómo y en qué tiempos deberán girar los cuerpos en cualquier medio regular.
COROLARIO 9. Y aunque los movimientos excéntricos ocurran en espirales próximas a la forma oval, no obstante, si imaginamos cada revolución de dichas espirales distante de las siguientes con los mismos intervalos y acercándose al centro en los mismos grados que la espiral anteriormente descrita, comprenderemos también cómo ocurren los movimientos de los cuerpos en semejantes espirales.
PROPOSICIÓN XVI. TEOREMA XIII
Si la densidad de un medio es en cada punto inversamente proporcional a la distancia de esos puntos a un centro inmóvil, y la fuerza centrípeta es inversamente proporcional a una potencia cualquiera de dicha distancia: digo que un cuerpo puede girar en una espiral que corta a todos los radios trazados desde dicho centro con un ángulo dado.
Se demuestra del mismo modo que la Proposición anterior. Pues si la fuerza centrípeta es en P inversamente proporcional a cualquiera potencia SPn + 1 de la distancia SP, cuyo índice es n + 1, se deduce, como más arriba, que el tiempo en el cual el cuerpo describe un arco PQ será como PQ x PS½n y la resistencia en P como Rr / PQ2 x SPn, o también, como (1 - ½n) x VQ / PQ x SPn x SQ y, por tanto, como (1 - ½n) x OS / OP x SPn + 1, esto es, por estar dado (1 - ½n) x OS / OP, inversamente como SPn + 1. Y, por lo mismo, puesto que la velocidad es inversamente como SP½n, la densidad en P será inversamente proporcional a SP.
COROLARIO 1. La resistencia es a la fuerza centrípeta como (1 - ½n) x OS a OP.
COROLARIO 2. Si la fuerza centrípeta fuese como SP3, entonces (1 - ½n) = 0; y, por tanto, la resistencia y la densidad del medio serán nulas, como en la Proposición IX del Libro I.
COROLARIO 3. Si la fuerza centrípeta es inversamente como una potencia cualquiera del radio SP cuyo índice sea mayor que 3, la resistencia positiva se transforma en negativa.
ESCOLIO
Por lo demás, esta Proposición y las anteriores, que se refieren a medios con densidades desiguales, deben entenderse referidas al movimiento de cuerpos tan pequeños que la densidad del medio mayor hacia un lado del cuerpo que hacia el otro, no venga a ser digna de consideración. También supongo que la resistencia, «caeteris paribus», es proporcional a la densidad. Por lo cual, para medios cuya fuerza de resistencia no sea como la densidad, deberá la densidad aumentarse o disminuirse de modo que quede suprimido el exceso de resistencia o suplida su falta.
PROPOSICIÓN XVII. PROBLEMA IV
Hallar tanto la fuerza centrípeta como la resistencia del medio que permitan a un cuerpo, dada la ley de la velocidad, girar en una espiral dada.
Sea dicha espiral PQR. De la velocidad con la cual el cuerpo recorre el arco mínimo PQ se tendrá dado el tiempo, y de la altura TQ, que es como la fuerza centrípeta y el cuadrado del tiempo, se tendrá dada la fuerza. Después, de la diferencia RSr de áreas PSQ, QSR, completadas en partículas iguales de tiempo, se obtendrá la retardación del cuerpo, y a partir de ésta se hallarán la resistencia y la densidad del medio.
PROPOSICIÓN XVIII. PROBLEMA V
Dada la ley de la fuerza centrípeta, hallar la densidad del medio en cada punto, con la cual describa un cuerpo una espiral dada.
Hay que hallar la velocidad en cada punto a partir de la fuerza centrípeta, y después, hay que hallar la densidad del medio a partir de la retardación de la velocidad, como en la Proposición anterior.
Pero ya indiqué el método para tratar estos problemas en la Proposición décima de este Libro y en el Lema segundo; y no deseo entretener más al lector en estas abstrusas disquisiciones. Ahora habrá que añadir algo sobre las fuerzas de los cuerpos que se desplazan y sobre la densidad y resistencia de los medios en los cuales ocurren los movimientos vistos hasta ahora y otros similares a ellos.