Sección IV. De como hallar órbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas a partir de un foco dado

Sección IV DE COMO HALLAR ÓRBITAS ELÍPTICAS, PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS A PARTIR DE UN FOCO DADO

LEMA XV

Si de los dos focos S, H, de una elipse o de una hipérbola trazamos hasta un tercer punto V las rectas SV, HV, una de las cuales HV es igual al eje principal de la figura, esto es, al eje en que están situados los focos y la otra SV es bisecada en T por la perpendicular TR trazada sobre ella, dicha perpendicular TR tocará a la sección cónica en algún punto; y al contrario, si la toca, HV será igual al eje principal de la figura.

Corte la perpendicular TR a la recta HV, prolongada si es preciso, en R, y únanse S y R. Por ser iguales TS y TV serán también iguales las rectas SR, VR, y los ángulos TRS y TRV. De donde el punto R estará en la sección cónica y la perpendicular TR será tangente a ella; «et contra». Q. E. D.

PROPOSICIÓN XVIII. PROBLEMA X

Dados el foco y los ejes principales trazar trayectorias elípticas e hiperbólicas que pasen por puntos dados y toquen a rectas dadas en posición.

Sea S el foco común de las figuras; sea AB la longitud del eje principal de una trayectoria cualquiera; P el punto por el que debe pasar la trayectoria y sea TR la recta que debe tocar. Con centro en P y radio AB - SP, si la órbita es una elipse, AB + SP si fuere una hipérbola, trácese el círculo HG. Trácese la perpendicular ST sobre la tangente TR y prolónguese aquella hasta V, de modo que TV sea igual a ST y con centro en V y radio AB trácese el círculo FH. De esta manera, ya se den dos puntos P, p, ya dos tangentes, TR, tr, ya un punto P y la tangente TR, hay que trazar dos círculos. Sea H su intersección, y desde los focos S, H, con el eje dado trácese la trayectoria. Digo que está dada. Pues la trayectoria descrita (dado que PH + SP en una elipse y PH - SP en una hipérbola, es igual al eje) pasará por el punto P y (por el Lema anterior) será tangente a la recta TR. Y por el mismo argumento o pasará por los dos puntos P, p, o será tangente a las dos rectas TR, tr. Q. E. F.

PROPOSICIÓN XIX. PROBLEMA XI

Trazar en torno a un foco dado una trayectoria parabólica que pase por unos puntos dados y sea tangente a rectas dadas en posición.

Sea S el foco, P el punto y TR la tangente a la trayectoria que se ha de trazar. Trácese el círculo FG, con centro en P y radio PS.

Trácese desde el foco a la tangente la perpendicular ST y prolónguese hasta V de tal modo que TV sea igual a ST. Del mismo modo habría que trazar el otro círculo ƒg si se diera otro punto p, o también hallar otro punto v si se diera otra tangente tr; después trácese la recta IF, tangente a los dos círculos FG, ƒg si se dan dos puntos P, p, o que pase por los puntos V, v, si se dan dos tangentes TR, tr, o que sea tangente al círculo FG y pase por el punto V si se da el punto P y la tangente TR. Trácese sobre FI la perpendicular SI, bisecándola en K; y con eje SK y vértice principal en K, trácese la parábola. Digo que está resuelto. Pues la parábola, por ser iguales SK, IK entre sí y SP, FP, también, pasará por el punto P; y (por el Lema XIV, Corolario 3) al ser iguales ST y TV y ser recto el ángulo STR, será tangente a la recta TR. Q. E. F.

PROPOSICIÓN XX. PROBLEMA XII

Trazar en torno a un foco dado una trayectoria dada de cualquier género que pase por puntos dados y sea tangente a rectas dadas en posición.

CASO 1. Dado el foco S, trazar la trayectoria ABC por los dos puntos B, C. Puesto que se da la clase de trayectoria también se dará la razón entre el eje principal y la distancia entre focos.

Según esa razón tómense KB a BS y LC a CS. Con centros en B y C, y radios BK y CL, trácense dos círculos y, sobre la recta KL tangente a ellos en K y L, trácese la perpendicular SG y córtese ésta en A y a de tal modo que GA sea a AS y Ga a aS como KB es a BS y con eje Aa y vértices en A, a, trácese la trayectoria. Digo que está resuelto. Pues sea H el otro foco de la figura trazada y al ser GA a AS como Ga a aS, restando también estará Ga - GA (o sea Aa) a aS - AS (o sea SH) en la misma razón y, por tanto, en la misma razón en que está el eje principal de la figura que debe ser trazada con la distancia entre sus focos; y por tanto la figura trazada es del mismo tipo que la que había que trazar. Y, dado que KB respecto a BS y LC respecto a CS están en la misma razón, esta figura pasará por B, C, como se sabe por las cónicas.

CASO 2. Dado el foco S trazar la trayectoria que sea tangente a las rectas TR, tr, en cualquier punto. Trácense desde el foco a las tangentes las perpendiculares ST, st, y prolónguense hasta V, v, de tal modo que TV, tv, sean iguales respectivamente a TS y ts. Bisecando Vv en O trácese desde ésta una perpendicular infinita OH y prolónguese al infinito la recta VS cortándola en los puntos K, k de tal modo que VK sea a KS y Vk a kS como el eje principal de la figura que ha de hallarse es a la distancia entre focos. Sobre el diámetro Kk trácese el círculo que corte a OH en H; y con los focos S, H, y el eje principal igual a VH trácese la trayectoria. Digo que está resuelto. Pues biséquese Kk en x y únanse HX, HS, HV, Hv. Puesto que VK es a KS como Vk a kS; y sumando como VK + Vƒc a KS + kS y restando como Vk - VK a kS - KS, esto es, como 2VX a 2KX y 2KX a 2SX, y por tanto como VX a HX y HX a SX, los triángulos VXH y HXS serán semejantes y, en consecuencia, VH será a SH como VX a XH y, por tanto, como VK a KS. Por consiguiente, el eje principal VH de la trayectoria descrita está en la misma razón respecto a la distancia entre los focos que la del eje principal respecto a la distancia entre sus focos en la trayectoria que había que hallar y, en consecuencia, son de la misma especie. Además al ser VH, uH, iguales al eje principal y estar VS, vS, bisecadas perpendicularmente por las rectas TR, tr, es evidente (por el Lema XV) que dichas rectas son tangentes a la trayectoria descrita. Q. E. F.

CASO 3. Dado el foco S trazar una trayectoria que sea tangente en el punto dado R a la recta TR. Trácese la perpendicular ST a la recta TR y prolónguese aquélla hasta V, de tal modo que TV sea igual a ST. Únase VR, y con la recta VS prolongada infinitamente y cortada en K y k, de tal modo que VK sea a SK y vk sea a Sk como el eje principal de la elipse que hay que describir es a la distancia entre sus focos, y trazado un círculo sobre el diámetro Kk, corte aquél en H a la prolongación de la recta VR, y con los focos S, H, y el eje principal igual a la recta VH trácese la trayectoria. Digo que está resuelto. Pues que VH es a SH como VK es a SK y, por tanto, como el eje principal de la trayectoria que hay que trazar es a la distancia entre sus focos, es evidente por las demostraciones del caso segundo y, por tanto, que la trayectoria descrita es de la misma especie que la que había que describir, mientras que la recta TR, bisectriz del ángulo VRS, es tangente a la trayectoria en el punto R, es evidente por las cónicas. Q. E. F.

CASO 4. Trácese ahora en torno al foco S la trayectoria APB tangente a la recta TR y que pase por un punto cualquiera P dado fuera de la tangente. Y que sea semejante a la figura apb cuyo eje principal es ab y trazada con los focos s, h. Trácese sobre la tangente TR, la perpendicular ST y prolónguese hasta V de modo que sea TV igual a ST. Constrúyanse los ángulos hsq, shq, iguales a VSP, SVP; con centro en q y con radio tal que sea a ab como SP a VS trácese un círculo que corte la figura apb en p. Únase sp y hágase que SH sea a sh como SP a sp y éstas construyan así el ángulo PSH igual al ángulo psh y el ángulo VSH igual al psq. Por fin con los focos S, H, el eje principal AB, igual a la distancia VH, trácese la sección cónica. Digo que está resuelto. Pues si se hace que sv sea a sp como sh es a sq, y que el ángulo vsp sea igual al ángulo hsq y el ángulo vsh igual al ángulo psq, entonces los triángulos svh y spq serán semejantes y, por tanto, vh será a pq como sh es a sq, esto es (por la semejanza de los triángulos VSP, hsq), como VS es a SP o como ab es a pq. Son pues, iguales vh y ab. Pero, por la semejanza de los triángulos VSH, vsh, ocurre que VH es a SH como vh es a sh, esto es, el eje de la sección cónica descrita es a la distancia entre sus focos, como el eje ab a la distancia sh entre sus focos; y por tanto, la figura descrita es semejante a la figura apb. Pasará, pues, dicha figura por el punto P, dado que el triángulo PSH es semejante al triángulo psh; y dado que VH es igual a su eje y que VS es bisecada perpendicularmente por la recta TR, también será tangente a dicha recta TR. Q. E. F.

LEMA XVI

Trazar desde tres puntos dados a otro cuarto punto no dado tres rectas cuyas diferencias o se dan o son nulas.

CASO 1. Sean los puntos dados A, B, C, y el cuarto punto Z, que es necesario hallar; por la diferencia conocida de las líneas AZ, BZ, el punto Z se situará en una hipérbola cuyos focos son A y B, y el eje principal la mencionada diferencia dada. Sea tal eje MN. Tómese PM a MA como MN a AB y trácese PR perpendicular a AB y también tírese ZR perpendicular a PR; por la naturaleza de esta hipérbola ocurrirá que ZR es a AZ como MN es a AB. Por un razonamiento similar el punto Z estará ubicado en otra hipérbola cuyos focos son AC y cuyo eje principal es la diferencia entre AZ y CZ, y puede ahora trazarse QS perpendicular a AC y si después se traza ZS, normal a QS, desde el punto Z de la hipérbola, dicha ZS será a AZ como la diferencia entre AZ y CZ es a AC. Se tienen dadas, pues, las razones entre ZR y ZS con AZ y, por tanto, también las de ZR y ZS entre sí; por lo cual si las rectas RP, SQ, se encuentran en T, y se trazan TZ y TA la figura TRZS estará dada en especie y la recta TZ en la que estará contenido en algún lugar el punto Z estará dada en posición. También estará dada la recta TA lo mismo que el ángulo ATZ; y puesto que están dadas las razones de AZ y TZ a ZS, estarán dadas sus razones entre sí; y de aquí se tendrá dado el triángulo ATZ cuyo vértice es el punto Z. Q. E. I.

CASO 2. Si dos de las tres líneas, por ejemplo, AZ y BZ se igualan, trácese la recta TZ, de tal modo que biseque la recta AB; después hállese el triángulo ATZ «ut supra».

CASO 3. Si las tres son iguales, el punto Z está ubicado en el centro del círculo que pase por los puntos A, B, C. Q. E. I.

Este Lema problemático se resuelve también por el «Liber tactionum» de Apolonio, restituido por Vieta[25].

PROPOSICIÓN XXI. PROBLEMA XIII

Trazar una trayectoria en torno a un foco tal que pase por unos puntos dados y toque a rectas dadas en posición.

Supóngase el foco S, el punto P y la tangente TR y hállese el otro foco H. Trácese sobre la tangente, la perpendicular ST y prolónguese hasta Y, de tal modo que TY sea igual a ST y ocurrirá que YH será igual al eje principal. Únase SP y PH, y SP será la diferencia entre HP y el eje principal. De este modo si se dieran varias tangentes TR, o varios puntos P, se llegará siempre a líneas tales como YH o PH trazadas desde dichos puntos Y o P al foco H, las cuales o son iguales a los ejes o se diferencian de ellos según las longitudes dadas SP y que, por tanto, o son iguales entre sí o tienen entre sí diferencias dadas; en consecuencia, por el Lema anterior, el otro foco H está dado. Hallados los focos y la longitud del eje (el cual o es YH, o, si la trayectoria es una elipse, PH + SP, o, si es una hipérbola, PH - SP) se tendrá la trayectoria. Q. E. I.

ESCOLIO

Cuando la trayectoria es una hipérbola no incluyo bajo la definición de ésta a su hipérbola opuesta. Pues un cuerpo, permaneciendo en su movimiento, no puede pasar a la hipérbola opuesta.

El caso en que se dan tres puntos se resuelve más rápidamente así. Sean los tres puntos B, C, D. Únanse BC, CD, y prolónguense hasta E, F, de modo que EB sea a EC como SC a SD y FC a FD como SC a SD. Trácense sobre EF y su prolongación las rectas normales SG, BH, y sobre la prolongación al infinito de GS tómense GA respecto a AS y Ga respecto a aS como HB es a BS y A será el vértice, mientras Aa será el eje principal de la trayectoria; la cual, según que GA sea mayor, igual o menor que AS, será elipse, parábola o hipérbola; en el primer caso el punto a caerá al mismo lado de la línea GF que el punto A, en el segundo caso se alejará al infinito y en el tercero caerá al lado opuesto que la línea GF. Pues si se trazan sobre GF las perpendiculares CI, DK, entonces IC será a HB como EC a EB, esto es, como SC a SB; y al revés, IC a SC como HB a SB o como GA a Sa. Y por un argumento semejante se probaría que KD está en la misma razón con SD. Están situados, pues, los puntos B, C, D, en la sección cónica descrita en torno al foco S, de tal modo que todas las rectas trazadas desde el foco S a cada punto de la sección estén en la susodicha razón con respecto a las perpendiculares trazadas desde dichos puntos a la recta GF.

El ilustre geómetra de la Hire resuelve este problema por un método no muy distinto en su libro VIII de las cónicas, Proposición XXV.