Sección IX. Sobre el movimiento circular de los fluídos
Sección IX SOBRE EL MOVIMIENTO CIRCULAR DE LOS FLUIDOS
HIPÓTESIS
La resistencia que procede de la falta de lubricidad de las partes de un fluido, en igualdad de condiciones, es proporcional a la velocidad con que las partes del fluido se separan entre sí.
PROPOSICIÓN LI. TEOREMA XXXIX
Si un cilindro sólido infinitamente largo gira con un movimiento uniforme en torno a su eje de oposición dada en un fluido uniforme e infinito, y por su solo impulsor del fluido es obligado a girar en círculo y cada parte del fluido persevera uniformemente en su movimiento; digo que los tiempos periódicos de las partes del fluido son como sus distancias del eje del cilindro.
Sea AFL un cilindro que era uniformemente en torno de su eje S y mediante los círculos concéntricos BGM, CHN, DIO, EKP, etcétera, divídase el fluido en innumerables orbes cilíndricos, concéntricos, sólidos y del mismo grosor. Y, puesto que el fluido es homogéneo, las impresiones de unos orbes contiguos en otros (por hipótesis) serán como sus traslaciones respectivas y la superficie sobre la cual recae la impresión. Si una impresión sobre un orbe cualquiera es mayor o menor por la parte cóncava o la parte convexa, prevalecerá la impresión más fuerte, y acelerará o retardará el movimiento del orbe si se dirige hacia el mismo lado o hacia el contrario que el movimiento del mismo orbe. Por tanto, para que cada orbe persevere en su movimiento uniformemente, las impresiones en una y otra parte deben ser iguales entre sí y producirse en direcciones opuestas. Por consiguiente, como las impresiones son como las superficies contiguas y como sus traslaciones respectivas, las traslaciones serán inversamente como las superficies, es decir, inversamente como las distancias de las superficies desde el eje. Pero las diferencias de los movimientos angulares en torno al eje son como dichas traslaciones aplicadas a las distancias, o como las traslaciones directamente y las distancias inversamente; es decir, conjuntas ambas razones, como el inverso del cuadrado de las distancias. Por lo cual, si sobre cada parte de la recta infinita SABCDEQ se eleva una perpendicular Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, etc., inversamente proporcional a los cuadrados de las propias SA, SB, SC, SD, SE, etc., y por los extremos de esas perpendiculares se imagina trazada una línea curva hiperbólica, las sumas de las diferencias, es decir, los movimientos angulares totales serán como las sumas correspondientes de las líneas Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, es decir, si se aumenta el número de orbes y se disminuye su anchura hasta el infinito para que el fluido resulte un medio uniforme, como las áreas hiperbólicas AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, etc., análogas a las susodichas sumas. Y los tiempos inversamente proporcionales a los movimientos angulares serán también inversamente proporcionales a estas áreas. Por tanto, el tiempo periódico de una partícula cualquiera D es inversamente proporcional al área DdQ, es decir (por las conocidas cuadraturas de curvas) directamente como la distancia SD. Q. E. D.
COROLARIO 1. De aquí que los movimientos angulares de las partículas del fluido sean inversamente como sus distancias al eje del cilindro, y sus velocidades absolutas iguales.
COROLARIO 2. Si un fluido está contenido en un vaso cilíndrico de longitud infinita que contiene en su interior a otro cilindro, y ambos giran en torno al eje común, y los tiempos de revolución son como sus semidiámetros, y cada parte del fluido permanece con su movimiento: los tiempos periódicos de cada parte serán como sus distancias al eje de los cilindros.
COROLARIO 3. Si a un cilindro y a un fluido movidos de este modo se les añade o quita algún movimiento angular común, puesto que con este nuevo movimiento no se altera el rozamiento mutuo de las partes del fluido, los movimientos de las partes entre ellas no sufrirán alteración. Porque las traslaciones de las partes entre ellas dependen del rozamiento. Una parte cualquiera perseverará en aquel movimiento que, al aplicar el rozamiento por ambas partes y en sentidos contrarios, no se acelere más que se retarde.
COROLARIO 4: De donde, si a todo el sistema de cilindros y fluido se le suprime todo el movimiento angular del cilindro exterior, se tendrá el movimiento del fluido en el cilindro en reposo.
COROLARIO 5. Si permanecen en reposo el cilindro y el fluido exteriores mientras el cilindro interior gira uniformemente, se comunicará el movimiento circular al fluido y poco a poco se propagará a todo el fluido; y no dejará de aumentar hasta que cada parte del fluido adquiera el movimiento definido en el Corolario cuarto.
COROLARIO 6. Y puesto que el fluido intenta propagar su movimiento hasta más allá, el cilindro exterior se pondrá a girar por causa de aquel empuje, salvo que se le detenga por la fuerza; y su movimiento se irá acelerando hasta que los tiempos periódicos de ambos cilindros sean iguales entre ellos. Pero si el cilindro exterior se frenase violentamente, este tratará de retardar el movimiento del fluido; y salvo que el cilindro interior conserve su movimiento mediante alguna fuerza impresa desde fuera, acabará por hacerlo cesar poco a poco.
Todo esto se puede experimentar en agua profunda estancada.
PROPOSICIÓN LII. TEOREMA XL[15]
Si una esfera sólida gira con movimiento uniforme en torno a un eje de posición dada en un fluido uniforme e infinito y el fluido es obligado a girar por el solo impulso de la esfera, y cada parte del fluido persevera en su movimiento uniforme: digo que los tiempos periódicos de las partes del fluido serán como los cuadrados de las distancias al centro de la esfera.
CASO 1. Sea AFL una esfera girando uniformemente en torno al eje S y con los círculos concéntricos BGM, CHN, DIO, EKP, etc., divídase el fluido en innumerables orbes concéntricos de igual grosor. Supongamos que dichos orbes fuesen sólidos; y, al ser el fluido homogéneo, las impresiones mutuas de los orbes contiguos serán (por hipótesis) como sus traslaciones respectivas y las superficies contiguas sobre las que ocurren las impresiones. Si la impresión sobre un orbe cualquiera fuese mayor o menor por la parte cóncava o por la convexa, prevalecerá la impresión mayor, y la velocidad del orbe se acelerará o se retardará, según se dirija hacia la dirección del movimiento o hacia la dirección contraria. Por consiguiente, para que cada orbe persevere en su movimiento uniformemente, las impresiones de una y otra parte deberán igualarse entre sí y producirse en direcciones contrarias. De donde, puesto que las impresiones son como las superficies contiguas y sus traslaciones respectivas, las traslaciones serán inversamente como las superficies, es decir, como el inverso del cuadrado de la distancia de las superficies al centro. Pero las diferencias de los movimientos angulares en torno al eje son como estas traslaciones aplicadas a las distancias, o directamente como las traslaciones e inversamente como las distancias; es decir, juntas ambas razones, como el inverso del cubo de las distancias. Por lo cual, si sobre cada parte de la recta infinita SABCDEQ se elevan las perpendiculares Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, etc., inversamente proporcionales a los cubos de las propias SA, SB, SC, SD, SE, etc., las sumas de las diferencias, es decir, los movimientos angulares totales serán como las correspondientes sumas de las líneas Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, etc., es decir (si para obtener un medio uniformemente fluido se aumenta el número de órbitas y se disminuye su grosor hasta el infinito) como las áreas hiperbólicas. AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, etc., análogas a dichas sumas. Y los tiempos periódicos inversamente proporcionales a los movimientos angulares serán también inversamente proporcionales a esas arcas. Por consiguiente, el tiempo periódico de un orbe cualquiera DIO es inversamente proporcional al área DdQ, es decir, por las va conocidas cuadraturas de las curvas, directamente proporcional al cuadrado de la distancia SD. Que es lo primero que quería demostrar.
CASO 2. Desde el centro de la esfera trácense muchas rectas indefinidas que formen con el eje ángulos dados y que se superen unos a otros con diferencias iguales; e imagínese que con los giros de estas rectas en torno al eje los orbes son cortados en innumerables anillos; y cada anillo tendrá cuatro anillos contiguos, uno por dentro, otro por fuera y dos a los lados. Con el rozamiento de los anillos interior y exterior un anillo cualquiera no puede ser urgido igualmente hacia direcciones contrarias, salvo que el movimiento se atenga a la ley del caso primero. Esto se sigue de la demostración del primer caso. Y por tanto, una serie cualquiera de anillos que se aleje en línea recta del globo hasta el infinito, se moverá de acuerdo con la ley del caso primero, salvo que se lo impida el rozamiento de los anillos laterales. Pero en un movimiento realizado según la susodicha ley el rozamiento de los anillos laterales es nulo y por lo mismo en nada impedirá al movimiento realizado de acuerdo con la dicha ley. Si los anillos equidistantes del centro girasen más velozmente o más lentamente en los polos que en la eclíptica, los más lentos se acelerarán y los más veloces se retardarán gracias al mutuo rozamiento y así los tiempos periódicos siempre llegarán a ser iguales, de acuerdo con la ley del primer caso. Por consiguiente, este rozamiento no impedirá que el movimiento se realice de acuerdo con la ley del caso primero y, por tanto, dicha ley se cumplirá: es decir, los tiempos periódicos de cada anillo serán como los cuadrados de sus distancias al centro del globo. Que es lo que quería demostrar en segundo lugar.
CASO 3. Divídase ahora cada anillo, mediante secciones transversales, en innumerables partículas que constituyan una sustancia total y uniformemente fluida, y como estas secciones no afectan a la ley del movimiento circular sino que sirven solamente para la constitución del fluido, el movimiento circular perseverará como antes. Con estas secciones los minúsculos anillos no cambiarán su aspereza y su rozamiento mutuo, o lo cambiarán todos por igual. Y permaneciendo la proporción de las causas permanecerá la proporción de los efectos, es decir, la proporción de los movimientos y de los tiempos periódicos. Q. E. D. Por lo demás, como el movimiento circular, y la fuerza centrífuga nacida del mismo, es mayor en la eclíptica que en los polos, tendrá que haber una causa por la cual cada partícula se mantenga siempre en su círculo, para que la materia que se halla en la eclíptica no se aparte continuamente del centro y por la parte exterior del vórtice se vaya hasta los polos y desde allí a través del eje regrese a la eclíptica en una suerte de circulación continua.
COROLARIO 1. Por lo tanto, los movimientos angulares de las partes del fluido en torno al eje del globo son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias al centro del globo y las velocidades absolutas son inversamente proporcionales a esos cuadrados aplicados a las distancias al eje.
COROLARIO 2. Si un globo gira en un fluido en reposo, uniforme e infinito, con movimiento uniforme en torno a un eje de posición dada, comunicará el movimiento al fluido en forma de vórtice, y dicho movimiento se propagará poco a poco hasta el infinito; y no dejarán de acelerarse las distintas partes del fluido hasta que los tiempos periódicos de cada una no sean como los cuadrados de sus distancias al centro del globo.
COROLARIO 3. Puesto que las partes interiores del vórtice rozan y urgen a las partes exteriores y les comunican continuamente el movimiento con dicha acción, a la vez que esas exteriores transfieren esa misma cantidad de movimiento a otras todavía más exteriores y con esa acción conservan invariante su propia cantidad de movimiento; es evidente que el movimiento es transferido continuamente desde el centro hacia la circunferencia del vórtice y es absorbido por la infinitud de la circunferencia. La materia contenida entre dos superficies esféricas cualesquiera concéntricas al vórtice jamás se acelerará, por cuanto que transfiere siempre todo el movimiento recibido de la materia interior hacia la exterior.
COROLARIO 4. Por lo tanto, para que un vórtice conserve continuamente el mismo estado de movimiento, es necesario algún principio activo del cual reciba el globo continuamente la misma cantidad de movimiento que transfiere hacia la materia. En ausencia de tal principio es necesario que el globo y las partes interiores del vórtice, al estar propagando siempre su movimiento hacia el exterior sin recibir ningún otro movimiento nuevo, acaben por retardarse poco a poco y dejen de girar.
COROLARIO 5. Si otro globo se situase en este vórtice a una cierta distancia del centro girando con una fuerza continuamente en torno a un eje de inclinación dada, su movimiento arrastraría al fluido en forma de vórtice: y primeramente este nuevo y pequeño vórtice girará a la vez que el globo en torno al centro del otro y mientras tanto su movimiento se irá alejando propagándose poco a poco hasta el infinito, al igual que el del vórtice primero. Y por la misma razón por la que el movimiento de este globo era arrastrado por el movimiento del otro, el movimiento del otro será ahora arrastrado por el movimiento de éste, de suerte que ambos globos girarán en torno a un cierto punto intermedio, alejándose uno de otro a causa de dicho movimiento circular, salvo que alguna fuerza se lo impida. Después, si cesasen las fuerzas constantes impresas, gracias a las cuales los globos perseveran en sus movimientos, y todo se remitiese a las leyes mecánicas, el movimiento de los globos iría languideciendo poco a poco (por las razones dadas en los Corolarios 3 y 4) hasta que junto con los vórtices queden finalmente en reposo.
COROLARIO 6. Si varios globos girasen continuamente en lugares dados en torno a ejes de posición dada y con unas velocidades determinadas, surgirían otros tantos vórtices expandiéndose hasta el infinito. Pues por la misma razón que un globo cualquiera propaga su movimiento hasta el infinito, cualquier otro globo propagará también su movimiento hasta el infinito, hasta que cada parte del fluido infinito se halle agitada por el movimiento resultante de las acciones de todos los globos. Por lo cual, no se podrán definir los vórtices con límites ciertos, sino que poco a poco se desplazarán entre ellos; y los globos por las mutuas interacciones de los vórtices cambiarán continuamente de lugar, como se ha explicado en el Corolario anterior; y tampoco conservarán entre ellos una posición determinada, salvo que alguna fuerza los retenga. Y al cesar las fuerzas impresas constantes sobre los globos gracias a las cuales conservaban sus movimientos, la materia, por las razones dadas en los Corolarios 3 y 4, entrará en reposo poco a poco y dejará de girar en vórtice.
COROLARIO 7. Si un fluido semejante estuviese contenido en un vaso esférico y, por la rotación uniforme de un globo situado en el centro, se le hiciese girar en un vórtice, mientras el globo y el vaso giran hacia el mismo lado sobre un mismo eje y sus tiempos periódicos son como los cuadrados de los semidiámetros: las partes del fluido no perseverarán en sus movimientos sin aceleración o retardación más que hasta que sus tiempos periódicos sean como los cuadrados de las distancias al centro del vórtice. Y ninguna otra constitución del vórtice puede ser permanente.
COROLARIO 8. Si el vaso, el fluido contenido y el globo conservan este movimiento y además girasen con un movimiento angular común en torno a un eje dado, puesto que con este nuevo movimiento no se cambia el rozamiento de las partes del fluido entre ellas, tampoco se cambiarán los movimientos de las partes entre ellas. Pues las traslaciones de las partes entre ellas dependen del rozamiento. Cada parte perseverará en aquel movimiento que resulta de no estar más retardada por el rozamiento de un lado que acelerada por el rozamiento del otro lado.
COROLARIO 9. Por consiguiente, si el vaso está en reposo y el movimiento del globo está dado, estará dado el movimiento del fluido. Pues, imaginemos un plano que pase por el eje del globo y que gire en sentido contrario, y supongamos que la suma del tiempo de revolución de este plano y del tiempo de revolución del globo fuese al tiempo de revolución del globo como el cuadrado del semidiámetro del vaso al cuadrado del semidiámetro del globo: entonces los tiempos periódicos de las partes del fluido con respecto a dicho plano serán como los cuadrados de sus distancias al centro del globo.
COROLARIO 10. Por consiguiente, si el vaso gira en torno al mismo eje que el globo o alrededor de otro distinto con una velocidad dada, estará dado el movimiento del fluido. Porque si al sistema completo se le resta el movimiento angular del vaso, todos los movimientos permanecerán entre ellos los mismos que antes, por el Corolario 8. Y estos movimientos, por el Corolario 9, estarán dados.
COROLARIO 11. Si el vaso y el fluido están en reposo mientras que el globo gira con movimiento uniforme, el movimiento se propagará poco a poco por todo el fluido hacia el vaso, y pondrá en giro al vaso salvo que se le detenga por la fuerza, y no dejarán ni vaso ni fluido de acelerarse hasta que sus tiempos periódicos lleguen a ser iguales a los tiempos periódicos del globo. Pero si el vaso es detenido por una fuerza o gira con un movimiento constante y uniforme, el medio paulatinamente llegará al estado de movimiento establecido en los Corolarios 8, 9 y 10, y nunca permanecerá en otro estado cualquiera. Pero si después cesasen aquellas fuerzas con las cuales el vaso y el globo giran con movimientos determinados, y el sistema entero queda remitido a las leyes mecánicas, el vaso y el globo actuarán uno sobre otro por medio del fluido y no dejarán de propagar sus movimientos uno hacia otro a través del fluido hasta que sus tiempos periódicos sean iguales entre sí y el sistema entero gire a la vez al modo de un único cuerpo sólido.
ESCOLIO
En todo esto doy por supuesto que el fluido consta de una materia uniforme en cuanto a densidad y fluidez. Es así aquel en que el mismo globo, con el mismo movimiento, en el mismo espacio de tiempo, podría propagar movimientos semejantes e iguales, siempre a distancias iguales, donde quiera que el globo se halle situado. Ciertamente la materia, con su movimiento circular, trata siempre de apartarse del eje del vórtice y, por lo mismo, presiona siempre a la materia siguiente. De esta presión nace un mayor rozamiento de las partes y mayor dificultad para su mutua separación y, por consiguiente, disminuye la fluidez de la materia. Además, si partes del fluido son más gruesas en algún sitio o mayores, la fluidez será allí menor, por ser menores en número las superficies en las cuales las partes se separarían entre ellas. En tales casos supongo que la deficiencia de fluidez se compensa con la lubricación de las partes o la lisura u otra condición cualquiera. De no ser así, la materia cuando es menos fluida se cohesionará más, será más lenta y recibirá por ello con mayor lentitud el movimiento y lo propagará más que en la razón establecida más arriba. Si la figura del vaso no fuese esférica, las partículas se moverán en líneas no circulares sino adaptadas a la figura del vaso y los tiempos periódicos serán como los cuadrados de las distancias medias al centro muy aproximadamente. En los lugares más amplios entre el centro y la circunferencia los movimientos serán más lentos y más rápidos donde son más angostos, y las partículas más rápidas tampoco tenderán hacia la circunferencia. Pues describen arcos menos curvos y el intento de separarse del centro no disminuye menos por el decremento de esta curvatura de lo que aumenta por el incremento de la velocidad. Al salir de los espacios más angostos a los más amplios se alejan un poco del centro pero con este retroceso se retardan, y pasando después de los más amplios a los más angostos se acelerarán, y así cada partícula se retardará y se acelerará alternativamente de modo continuo. Esto es así en un vaso rígido. Pues en un fluido infinito la constitución de vórtices se atiene al Corolario sexto de esta Proposición.
He tratado de investigar en esta Proposición las propiedades de los vórtices con el fin de ensayar la posibilidad de explicar de semejante modo los fenómenos celestes. Pues un fenómeno es que los tiempos periódicos de los planetas que giran en torno a Júpiter son como la potencia 3⁄2 de su distancia al centro de Júpiter; y la misma regla vale para los planetas que giran en torno al Sol. Se cumplen estas reglas en unos y otros planetas con la mayor exactitud, hasta donde las observaciones astronómicas han podido llegar. Y por lo mismo, si dichos planetas fuesen arrastrados por vórtices que girasen en torno a Júpiter y al Sol, también deberían estos vórtices atenerse a esta ley. Pero los tiempos periódicos de las partes del vórtice han resultado estar en razón del cuadrado de las distancias al centro del movimiento y dicha razón no puede disminuirse ni reducirse a la razón de la potencia 3⁄2 a no ser que la materia del vórtice sea más fluida cuanto más alejada del centro, o que la resistencia debida a la falta de lubrificación de las partes del fluido, por el aumento de la velocidad con la cual las partes del fluido se separan entre ellas, aumente en mayor proporción que aquella con que aumenta la velocidad. Nada de lo cual parece razonable. Las partes más gruesas y menos fluidas tenderán hacia la circunferencia, salvo que graviten hacia el centro; y, aunque propuse al principio de esta Sección para facilidad de las demostraciones la hipótesis de que la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, es verosímil, sin embargo, que dicha resistencia se halle en una proporción respecto a la velocidad menor que ésa. Supuesto esto, los tiempos periódicos de las partes del vórtice estarán en una razón mayor que la del cuadrado de las distancias al centro del mismo. Y si los vórtices (como algunos creen) se mueven más rápidamente cerca del centro, después más lentamente hasta un límite, y de nuevo más rápidamente cerca de la circunferencia, en verdad que ni la razón de la potencia 3⁄2 ni otra alguna cierta y determinada puede hallarse. Que vean pues los filósofos de qué manera podría explicarse mediante vórtices el susodicho fenómeno de la razón de la potencia 3⁄2.
PROPOSICIÓN LIII. TEOREMA XLI
Los cuerpos que arrastrados por un vórtice giran en órbita, tienen la misma densidad que el vórtice y se mueven bajo la misma ley que sus partes en cuanto a velocidad y dirección del recorrido.
Pues si suponemos que una pequeña parte del vórtice, cuyas partículas o puntos físicos conservan entre ellos una situación dada, se congelase, dicha parte, por cuanto que ni en su densidad, ni en su fuerza ínsita, ni en su figura sufre cambio alguno, se moverá con la misma ley que antes; y al contrario, si una parte congelada y sólida del vórtice es de la misma densidad que el resto del mismo, y se convierte en fluido, se moverá con la misma ley que antes, salvo en la medida en que sus partículas ahora hechas fluidas se muevan entre ellas. Pero despreciando el movimiento de las partículas entre ellas, como si no afectase al movimiento total de progresión en nada, el movimiento total será el mismo que antes. Y el movimiento será el mismo que el de las otras partes del vórtice equidistantes del centro por cuanto que el sólido resuelto en fluido se convierte en parte del vórtice semejante a las demás partes del mismo. Luego el sólido, si es de la misma densidad que la materia del vórtice, se moverá con el mismo movimiento que las partes de éste, permaneciendo en reposo relativo respecto a la materia que lo rodea. Si fuese más denso, entonces ya tratará de alejarse más que antes del centro del vórtice, y por ello superando ahora a la fuerza del vórtice la cual lo retenía antes en su órbita como si estuviese en equilibrio, se alejará del centro y girando describirá una espiral, sin volver ya más a su órbita. Y por la misma razón, si fuese más raro se acercará al centro. Por tanto, no regresará a la misma órbita salvo que sea de la misma densidad que el fluido. Y en ese caso ya se ha mostrado que girará con la misma ley que las partes del fluido equidistantes del centro del vórtice. Q. E. D.
COROLARIO 1. Luego un sólido que gira en un vórtice y vuelve siempre a la misma órbita reposa relativamente en el fluido en el que flota.
COROLARIO 2. Y si el vórtice es de densidad uniforme el mismo cuerpo puede girar a cualquier distancia del centro del vórtice.
ESCOLIO
Por esto, es evidente que los planetas no son arrastrados por vórtices corpóreos. Pues los planetas, de acuerdo con la hipótesis de Copérnico, arrastrados en torno al Sol giran en elipses que tienen su foco en el Sol, y con radios trazados al Sol describen áreas proporcionales a los tiempos. Pero las partes de los vórtices no pueden girar con un movimiento semejante. Representen AD, BE, CF, tres órbitas descritas en torno al Sol S, de las cuales, la exterior CF sea un círculo concéntrico con el Sol, y los afelios de las dos interiores sean A, B y los perihelios D, E. Luego un cuerpo que gire en la órbita CF al describir con un radio trazado al Sol áreas proporcionales a los tiempos, se moverá con un movimiento uniforme. Mientras que el cuerpo que gire en la órbita BE se moverá más lentamente en el afelio B y más velozmente en el perihelio E, según las leyes astronómicas; mientras que, según las leyes mecánicas, la materia del vórtice en el espacio más angosto entre A y C habrá de moverse más velozmente que en el espacio más ancho entre D y F; es decir, en el afelio más velozmente que en el perihelio. Cosas estas dos que se contradicen. Así, al comienzo del signo Virgo, donde ahora se halla el afelio de Marte, la distancia entre las órbitas de Marte y Venus es a la distancia entre las mismas órbitas al principio del signo Piscis casi como tres a dos, y por tanto la materia del vórtice entre dichas órbitas al principio de Piscis debe ser más veloz que al principio de Virgo en razón de tres a dos. Pues cuanto más estrecho es el espacio por el cual pasa la misma cantidad de materia en el mismo tiempo de una revolución, con tanta mayor velocidad debe pasar. Por consiguiente, si la Tierra reposando relativamente en esta materia celeste es arrastrada por ella y girase en torno al Sol junto con ella, su velocidad al principio de Piscis sería a su velocidad al principio de Virgo en razón de tres a dos. De donde, el movimiento diurno aparente del Sol al principio de Virgo sería superior a setenta minutos; y al principio de Piscis inferior a los cuarenta y ocho. Pero, puesto que (testigo la experiencia) dicho movimiento aparente del Sol es mayor al principio de Piscis que al principio de Virgo, por eso la Tierra es más veloz al principio de Virgo que al principio de Piscis. De suerte que la hipótesis de los vórtices está en total desacuerdo con los fenómenos y no lleva tanto a explicar cuanto a perturbar los movimientos celestes. Pero, sobre el modo de entender cómo se efectúan estos movimientos sin vórtices en espacios libres puede verse el Libro primero, y de manera más completa se mostrará ahora en el Sistema del Mundo.