Sección IX. Del movimiento de cuerpos en órbitas móviles y del movimiento de apsides

Sección IX DEL MOVIMIENTO DE CUERPOS EN ÓRBITAS MÓVILES Y DEL MOVIMIENTO DE APSIDES

PROPOSICIÓN XLIII. PROBLEMA XXX

Hágase que un cuerpo, que se halla en una trayectoria cualquiera la cual gira en torno a un centro de fuerzas, se pueda mover igual que otro cuerpo en esa misma trayectoria en reposo.

Gire el cuerpo P en la órbita de posición dada VPK partiendo de V hacia K. Desde el centro C trácese Cp, que sea siempre igual a CP, y el ángulo VCp resulte proporcional al ángulo VCP; y el área descrita por la línea Cp será al área VCP que resulta simultáneamente descrita por la línea CP como la velocidad de la línea descriptora Cp a la velocidad de la línea descriptora CP; esto es, como el ángulo VCp al ángulo VCP, y por tanto en una razón dada, y por tanto proporcional al tiempo. Al ser proporcional al tiempo el área descrita por Cp en un plano inmóvil, es evidente que un cuerpo bajo la acción de una adecuada fuerza centrípeta puede girar junto con el punto p en la línea curva que por la razón expuesta describe el punto p en el plano inmóvil. Háganse iguales el ángulo VCu y el ángulo PCp, la línea Cu y la línea CV y la figura uCp con la figura VCP, y el cuerpo siempre presente en p se moverá en el perímetro de la figura en revolución uCp, además describirá el arco de la misma up en el mismo tiempo en que otro cuerpo P podría describir el arco VP igual al anterior sobre la figura en reposo VPK. Hállese por consiguiente, por el Corolario 5 de la Proposición VI, la fuerza centrípeta con la que un cuerpo puede girar en la curva que describe el punto p en el plano inmóvil, y quedará resuelto el problema. Q. E. F.

PROPOSICIÓN XLIV. TEOREMA XIV

La diferencia entre las fuerzas por las que dos cuerpos pueden moverse igualmente, el uno en una órbita fija y el otro en una órbita igual en revolución, está en razón inversa del cubo de las alturas comunes.

Sean semejantes e iguales las partes up, pk de la órbita en revolución a las partes VP, PK de la órbita fija; supóngase que es mínima la distancia entre los puntos P, K. Trácese desde el punto k sobre la recta pC la perpendicular kr, prolongándola hasta m, de modo que mr sea a kr como el ángulo VCp al ángulo VCP. Dado que las alturas de los cuerpos PC y pC, KC y kC siempre son iguales, es evidente que los incrementos y decrementos de las líneas PC y pC serán siempre iguales, y por ello si el movimiento de cada uno de los cuerpos situados respectivamente en P y en p se divide en dos (por el Corolario II de las Leyes) uno de los cuales tiende al centro, o sea, según las líneas PC, pC, y el otro, transversal al anterior, tiene una dirección perpendicular a dichas lineas PC, pC; el movimiento hacia el centro será igual en ambos, mientras el movimiento transversal del cuerpo p será al movimiento transversal del cuerpo P como el movimiento angular de la línea pC al movimiento angular de la línea PC, esto es, como el ángulo VCp al ángulo VCP. Por consiguiente, en el mismo tiempo en el que el cuerpo P con sus dos movimientos alcanza el punto K, el cuerpo p con movimiento igual hacia el centro se moverá igualmente desde p hacia C, y por tanto, al cumplirse dicho tiempo, se hallará en algún lugar sobre la línea mkr que es perpendicular a pC pasando por k; y con el movimiento transversal habrá adquirido una distancia de pC que será a la distancia adquirida por el otro cuerpo P respecto a PC como el movimiento transversal del cuerpo p al movimiento transversal del cuerpo p. Por lo cual, al ser kr igual a la distancia adquirida por el cuerpo P respecto a la línea PC, y al ser mr a kr como el ángulo VCp al ángulo VCP, esto es, como el movimiento transversal del cuerpo p al movimiento transversal del cuerpo P, es evidente que al cumplirse dicho tiempo el cuerpo p se hallará en el punto m. Esto será así siempre que los cuerpos p y P se muevan igualmente según las líneas pC, PC, y por tanto siempre que se hallen bajo la acción de fuerzas iguales según dichas líneas. Tómese en cambio el ángulo pCn al ángulo pCk como el ángulo VCp al ángulo VCP y sea nC igual a kC, y el cuerpo p al cumplirse el tiempo se hallará realmente en n; y por tanto se halla bajo la acción de una fuerza mayor que el cuerpo P, si el ángulo nCp es mayor que el ángulo kCp, esto es, si la órbita upk, o se mueve progresivamente o se mueve regresivamente, con velocidad mayor que el doble de la velocidad con que la línea CP se mueve progresivamente; y es urgido con fuerza menor en el caso de que la órbita se mueva regresivamente más lentamente. Y la diferencia de las fuerzas es como la distancia de los puntos mn la cual debería recorrer dicho cuerpo p en el tiempo dado bajo la acción de esa diferencia de fuerzas. Imagínese un círculo con centro en C y distancia Cn o Ck que cortase a las líneas mr, mn prolongadas en s y ƒ, y el rectángulo mn x mt será igual al rectángulo mk x ms y por tanto mn igual a mk x ms / mt. Como, por otra parte, los triángulos pCk, pCn para un tiempo dado alcancen magnitudes dadas, kr y mr, y su diferencia mk y su suma ms son inversamente como la altura pC, por tanto, el rectángulo mk x ms es inversamente como el cuadrado de la altura pC. Y además, mt es directamente como ½mt, esto es, como la altura pC. Estas son las razones primeras de las lineas nacientes; y por ello ocurre que mk x ms / mt, esto es, que el segmento naciente mn, y la diferencia de fuerzas proporcional a ella sea como el inverso del cubo de la altura pC. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que la diferencia de fuerzas en los puntos P y p, o K y k, es a la fuerza con que un cuerpo podría girar con movimiento circular desde R a K en el mismo tiempo en que el cuerpo P describe en la órbita fija el arco PK, como el segmento naciente mn al seno verso del arco naciente RK, esto es, como mk x ms / mt a rk2 / 2kC, o como mk x ms a rk cuadrado; esto es, si se toman cantidades dadas, F, G, mutuamente en la misma proporción que tienen entre sí el ángulo VCP a VCp, como GG - FF a FF. Y por tanto, si con centro en C y distancia cualquiera CP o Cp se traza un sector circular igual al área de todo VPC, el cual ha sido descrito por el cuerpo P girando en la órbita inmóvil en mi tiempo cualquiera con el radio trazado al centro, la diferencia de fuerzas, con las que el cuerpo P en la órbita inmóvil y el cuerpo p en la órbita en revolución están girando, será a la fuerza centrípeta con la que otro cuerpo con radio trazado al centro puede describir uniformemente ese sector en el mismo tiempo en que se describe el área VPC, como GG - FF a FF. Pues dicho sector y el área pCk son entre sí como los tiempos en que son descritos.

COROLARIO 2. Si la órbita VPK fuese una elipse con su foco en C y su ápside superior en V; y se supone la elipse upk semejante e igual a ella de modo que pC sea siempre igual a PC y el ángulo VCp respecto a VCP en una razón dada G a F, y por la altura PC o pC se escribe A, y por el «latus rectum» de la elipse 2R: la fuerza, con la que un cuerpo puede girar en la elipse móvil, sera como FF / AA + RGG - RFF / A3 y viceversa. Represéntese la fuerza con la cual un cuerpo puede girar en una elipse fija por la cantidad FF / AAy la fuerza en V será FF / CV2. Pero la fuerza con la que un cuerpo puede girar en un círculo a la distancia CV con la velocidad que tiene un cuerpo en V girando en una elipse, es a la fuerza con la que un cuerpo girando en una elipse se ve urgido en el ápside V, como la mitad del «latus rectum» de la elipse al semidiámetro CV del círculo, siendo por tanto RFF / CV3; y la fuerza que sea a ésta como GG - FF a FF vale RGG - RFF / CV3; y esta fuerza (por el Corolario 1 de esta Proposición) es la diferencia de fuerzas en V con las cuales giran el cuerpo P en la elipse inmóvil VPK y el cuerpo p en la elipse móvil upk. De donde, puesto que (por esta Proposición) dicha diferencia en otra altura cualquiera A es a sí misma en la altura CV como a 1 / A3 a 1 / CV3, dicha diferencia para toda altura A valdrá RGG - RFF / A3. Por lo tanto añádase a la fuerza FF / AA con la cual un cuerpo puede girar en una elipse fija VPK el exceso RGG - RFF / A3 y se tendrá la fuerza total FF / AA + RGG - RFF / A3 con la cual puede un cuerpo girar en la elipse móvil upk en tiempos iguales.

COROLARIO 3. De igual modo se hallará que si la órbita inmóvil VPK fuese una elipse cuyo centro está en el centro de fuerzas C; y si se supone la elipse móvil upk semejante, igual y concéntrica a ella; y fuese 2R el «latus rectum» principal de tal elipse, y 2T el «latus transversum» o eje mayor, y el ángulo VCp es constantemente a VCP como G a F; las fuerzas, con las cuales los cuerpos pueden girar en la elipse fija y en la móvil en tiempos iguales, serán respectivamente como FFA / T3 y FFA / T3 + RGG - RFF / A3.

COROLARIO 4. Y, en general, si llamamos T a la altura máxima del cuerpo CV, y llamamos R al radio de la curvatura que tiene en V la órbita VPK, esto es, al radio de un círculo de curvatura igual, y se denomina FFA / TT a la fuerza centrípeta con que un cuerpo puede girar en cualquier trayectoria inmóvil VPK ni el punto V, mientras en otros puntos P se denomina indeterminadamente X, y se denomina A a la altura CP, y se loma G respecto a F en la razón dada del ángulo VCp al ángulo VCP: la fuerza centrípeta con la cual el mismo cuerpo podría o alizar los mismos movimientos en los mismos tiempos sobre la misma trayectoria movida circularmente upk será como la suma de las fuerzas X + VRGG - VRFF / A3.

COROLARIO 5. Por lo tanto, dado el movimiento de un cuerpo en una órbita fija cualquiera, su movimiento angular en torno al centro de fuerzas puede aumentarse o disminuirse en una razón dada, de donde se pueden encontrar órbitas fijas nuevas en las cuales giren los cuerpos con nuevas fuerzas centrípetas.

COROLARIO 6. Así pues, si sobre la recta CV de posición dada se eleva la perpendicular VP de longitud indeterminada y se une CP y se traza Cp igual a la anterior formando el ángulo VCp tal que sea al ángulo VCP según una razón dada; la fuerza con que un cuerpo puede girar en la curva Vpk, que describe continuamente el punto p, será inversamente como el cubo de la altura Cp. Pues el cuerpo P, por la fuerza de inercia, no actuando ninguna otra fuerza, continuará por la recta VP. Añádase la fuerza tendente hacia el centro C inversamente proporcional al cubo de la altura CP o Cp y (por lo que se acaba de demostrar) el movimiento aquel rectilíneo se desviará según la línea curva Vpk. Pero esta curva Vpk es la misma que aquella curva VPK hallada en el Corolario 3 de la Proposición XLI por la cual, dijimos allí, ascienden oblicuamente los cuerpos atraídos por fuerzas como éstas.

PROPOSICIÓN XLV. PROBLEMA XXXI[33]

Hallar el movimiento de ápsides en órbitas muy próximas a círculos.

Se resuelve aritméticamente este problema haciendo que la órbita descrita en un plano fijo por un cuerpo que gira en una elipse móvil (como en los Corolarios 2 y 3 de la Proposición anterior) se convierta en la figura de la órbita cuyos ápsides se buscan, y calculando después los ápsides de la órbita descrita por bicho cuerpo en el plano fijo. Pero las órbitas devienen de formas iguales si las fuerzas centrípetas con las que son descritas, comparadas entre sí, resultan proporcionales a alturas iguales. Sea el punto V el ápside superior, y escríbase T por la altura máxima CV, A por la altura cualquiera CP o Cp, y X por la diferencia de alturas CV - CP; entonces, la fuerza con la que un cuerpo se mueve en la elipse que gira en torno a su foco C (como en el Corolario 2) y que en el Corolario 2 era como FF / AA + RGG - RFF / A3, esto es, como FFA + RGG - RFF / A3, sustituyendo T - X por A, sera como RGG - RFF + TFF - FFX / A3. De modo semejante ha de reducirse otra fuerza centrípeta a una fracción cuyo denominador sea A3 y los numeradores habrán de ser análogos mediante la correlación de términos homólogos entre sí. Resultará más claro con ejemplos.

EJEMPLO I. Supongamos que la fuerza centrípeta es uniforme y, por consiguiente, como A3 / A3, o (escribiendo T - X por A en el numerador) como T3 - 3TTX + 3TXX - X3 / A3; y al poner en correspondencia los términos de los numeradores, a saber, los valores dados con los dados y los no dados con los no dados, resultará RGG - RFF + TFF a T3 como -FFX a -3TTX + 3TXX - X3 o como - FF a - 3TT + 3TX - XX. Al suponer ahora que la órbita se aproxima mucho a un círculo, hágase coincidir con él, y al hacerse iguales R y T, y disminuir X a la vez hasta el infinito, las razones últimas serán RGG a T3 como -FF a -3TT, o también, GG a TT como FF a 3TT y, viceversa, GG a FF como TT a 3TT, esto es, como 1 a 3; y por tanto G a F, esto es, el ángulo VCp al ángulo VCP como 1 a √3. Por tanto, dado que un cuerpo en una elipse inmóvil completa al caer desde el ápside superior al inferior un ángulo (por así decirlo) de 180 grados; el otro cuerpo en una elipse móvil, pero también en la órbita inmóvil de que tratamos, al caer desde el ápside superior al inferior completará un ángulo de 180 / √3 grados: esto también gracias a la semejanza de esta órbita, descrita por un cuerpo bajo la acción de una fuerza centrípeta uniforme, con la órbita descrita por un cuerpo que gira en una elipse en revolución sobre un plano fijo. Por la correlación de términos anterior devienen dichas órbitas semejantes, no universalmente sino sólo cuando se aproximan muy sensiblemente a la forma circular. Por tanto, cuando un cuerpo bajo la acción de una fuerza centrípeta gira en una órbita casi circular completará siempre entre los ápsides superior e inferior un ángulo de 180 / √3 grados, o sea, de 103.º, 55′, 23″ en el centro; cada vez que pasa del ápside superior al inferior completa dicho ángulo, y al volver desde aquí hasta el ápside superior de nuevo completa el mismo ángulo; y así siempre hasta el infinito.

EJEMPLO II. Supongamos que la fuerza centrípeta fuese como una potencia cualquiera de la altura A tal como An - 3, o An / A3, donde n-3 y n significan exponentes enteros o fraccionarios cualesquiera, racionales o irracionales, positivos o negativos. Dicho numerador An - 3 o (T - X)n convertido en serie indeterminada por nuestro método de series convergentes devendrá en Tn - nXTn - 1 + nn - n / 2 XXTn, etc. Y comparados sus términos con los del otro numerador RGG - RFF + TFF - FFX resulta que RGG - RFF + TFF es a Tn como -FF a -nTn - 1 + nn - n / 2 XTn - 2, etc. Y tomando las razones últimas en el momento en que las órbitas se aproximan a la forma de círculos RGG será a Tn como -FF a -nTn - 1 o también GG a Tn - 1 como FF a nTn - 1 y alternativamente, GG a FF como Tn - 1 a nTn - 1, esto es, como 1 a n; y por tanto G es a F, esto es, el ángulo VCp es al ángulo VCP, como 1 a √n. Por lo cual, al ser de 180 grados el ángulo descrito por el cuerpo en su descenso desde el ápside superior al inferior de una elipse, el ángulo VCp, descrito en el descenso del cuerpo desde el ápside superior al inferior de una órbita cuasicircular la cual es descrita por el cuerpo que gire con una fuerza centrípeta proporcional a la potencia An − 3, será igual a un ángulo de 180 / √n grados, y al repetirse este ángulo el cuerpo regresará al ápside superior y así hasta el infinito. De modo que si la fuerza centrípeta fuese como la distancia del cuerpo al centro, esto es, como A o como A4 / A3 entonces n será igual a 4, y √n igual a 2; y por lo tanto, el ángulo entre ápsides superior e inferior igual a 180 / 2 grados, o sea, de 90 grados. Por consiguiente, al completar la cuarta parte de una revolución el cuerpo llegará al ápside inferior, y al completar otra cuarta parte llegará al ápside superior, y así cada vez hasta el infinito. Lo cual es también evidente por la Proposición X. Pues un cuerpo bajo la acción de dicha fuerza centrípeta gira en una elipse inmóvil cuyo centro está en el centro de fuerzas. Pero si la fuerza centrípeta es inversamente como la distancia, esto es, como 1 / A o como A2 / A3, n será igual a 2, y por tanto el ángulo entre ápsides superior e inferior sera de 180 / √2 o sea de 127.º, 16′, 45″ y por lo mismo, el cuerpo que gire con semejante fuerza se moverá desde el ápside superior al inferior y de éste al superior repitiendo siempre este ángulo. Pero si la fuerza fuese como el inverso de la raíz cuarta de la onceava potencia de la altura, esto es, inversamente como A11⁄4, y por tanto, directamente como 1 / A11⁄4, o como A¼ / A3, entonces n sera igual a ¼ y 180 / √n grados sera igual a 360 grados y por tanto el cuerpo que descienda desde el ápside superior en su descenso continuo desde él alcanzará el ápside inferior cuando complete una revolución completa, y después, al cumplir desde allí en su ascenso continuo otra revolución completa, regresará al ápside superior; y así sucesivamente para siempre.

EJEMPLO III. Si se toman m y n por cualesquiera índices de potencias de la altura y b, c, por números dados cualesquiera, supongamos que la fuerza centrípeta fuese como bAm + cAn / A3, esto es, como b(T - X)m + c(T - X)n / A3

o (por nuestro método de series convergentes) como

bTm + cTn - mbXTm - 1 - ncXTn - 1 + mm - m⁄2 bXXTm - 2 + nn - n⁄2 cXXTn - 2… / A3, y al comparar los términos de los numeradores ocurrirá que RGG-RFF + TFF será a bTm + cTn como -FF a -mbTm - 1 - ncTn - 1 + mm - m / 2 bXTm - 2 + nn - n / 2 cXTn - 2, etc. Y tomando las razones últimas resultantes cuando las órbitas se aproximan a la forma circular resultará que GG es a bTm - 1 + cTn - 1 como FF a mbTm - 1 + ncTn - 1 y, viceversa, GG a FF como bTm - 1 + cTn - 1 a mbTm - 1 + ncTn - 1. Expresando la altura máxima CY o T aritméticamente por la unidad, esta proporción se transforma en GG a FF como b + c a mb + nc y, por tanto, como 1 a mb + nc / b + c. De donde G es a F, esto es, el ángulo VCp al ángulo CVP, como 1 a √mb + nc / b + c. Y por tanto, al ser de 180 grados el ángulo VCP entre los ápsides superior e inferior en la elipse fija, el ángulo VCp entre los mismos ábsides en la órbita descrita por un cuerpo con fuerza centrípeta proporcional a bAm + cAn / A3, será igual a un ángulo de 180.º √b + c / mb + nc. Y por el mismo argumento si la fuerza centrípeta fuese como bAm - cAn / A3, el ángulo entre ábsides resultará de 180.º √b - c / mb - nc. Y el problema se resuelve de igual modo en casos más difíciles. La cantidad, a la cual es proporcional la fuerza centrípeta, debe descomponerse siempre en series convergentes cuyo denominador sea A3. Después hay que suponer en la misma razón la parte dada del numerador proveniente de dicha operación respecto a la parte no dada del mismo, la parte dada de este numerador RGG - RFF + TFF - FFX a su otra parte no dada: eliminando las cantidades superfluas y tomando como unidad a T, se obtiene la proporción G a F.

COROLARIO 1. De aquí que, si la fuerza centrípeta fuese como cualquier potencia de la altura, podría hallarse dicha potencia a partir del movimiento de los ápsides y viceversa. Efectivamente, si la totalidad del movimiento angular con el cual el cuerpo retorna al mismo ápside es al movimiento angular de una sola revolución o a 360 grados como un número m a otro número n y se denomina A a la altura: entonces la fuerza será como aquella potencia de la altura Ann⁄mm-3 cuyo índice es nn / mm - 3. Lo cual está claro por el segundo ejemplo. De donde es evidente que dicha fuerza al alejarse del centro no puede decrecer en razón mayor que el cubo de la altura: un cuerpo girando con tal fuerza y partiendo del ápside si empieza a descender, nunca llegará al apside inferior o altura mínima, sino que caerá hasta el centro, describiendo aquella línea curva que hemos visto en el Corolario 3 de la Proposición XLI. Pero si al partir del ápside, éste fuese el inferior y comenzase a ascender mínimamente, ascenderá hasta el infinito y jamás llegará al ápside superior. Pues describirá aquella curva de que se trató en el mismo Corolario y en el Corolario 6 de la Proposición XLIV. Así cuando la fuerza, al alejarse del centro, decrece en razón mayor que el cubo de la altura, el cuerpo que parte de un ápside, en cuanto comience a descender o a ascender, o bien desciende hasta el centro o bien asciende hasta el infinito. Pero si la fuerza, al alejarse del centro, o decrece en razón menor que el cubo de la altura, o crece en una razón cualquiera de la altura, el cuerpo nunca descenderá hasta el centro, sino que en algún momento alcanzará el ápside inferior; y por el contrario, si un cuerpo asciende y desciende alternativamente desde un ápside a otro y jamás alcanza el centro, la fuerza o bien crece con la lejanía al centro, o bien decrece en razón menor que el cubo de la altura; y cuanto más rápidamente retorne un cuerpo de un ápside a otro, más se aleja la razón de las fuerzas de la razón cúbica. Si el cuerpo hubiese de retornar desde y hasta el ápside superior mediante ascensos y descensos alternos en 8 revoluciones, o en 4, o en 2, o en 1½, esto es, si m fuese a n como 8 ó 4 ó 2 ó 1½ son a 1, y nn / mm - 3 valiese entonces 1 / 64 - 3, o 1 / 16 - 3, o 1 / 4 - 3, o 4 / 9 - 3, la fuerza será como A1⁄64 - 3, o A1⁄16 - 3, o A1⁄4 - 3, o A4⁄9 - 3, esto es, inversamente como A3 - 1⁄64, o A3 - 1⁄16, o A3 - 1⁄4, o A3 - 4⁄9. Si después de cada revolución el cuerpo regresa al mismo ápside y éste permanece inmóvil, entonces m será a n como 1 a 1 y por ello Ann⁄mm - 3 será igual a A−2, o también 1 / AA; de donde el decremento de las fuerzas estará en razón cuadrada de la altura, como antes se ha demostrado. Si el cuerpo alcanzase el mismo ápside en tres cuartos, o en dos tercios, o en un tercio, o en un cuarto de revolución completa, entonces m sera a n como 3 / 4, o 2 / 3, o 1 / 3, o 1 / 4, a 1 respectivamente, y por lo tanto Ann⁄mm - 3 será igual a A16⁄9 - 3, o A9⁄4 - 3, o A9-3, o A16-3, de tal modo que la fuerza o bien es inversamente como A11⁄9, o A¾, o directamente como A6 o A13. Por fin, si el cuerpo en su recorrido desde el ápside superior hasta alcanzar de nuevo el mismo ápside hiciese una revolución completa y tres grados más y, por tanto, en cada revolución del cuerpo dicho ápside avanza tres grados, entonces m será a 363 grados a 360 grados, o como 121 a 120, y por tanto Ann⁄mm - 3 será igual a A-29523⁄14641; y en consecuencia la fuerza centrípeta será inversamente como A29523⁄14641 o inversamente como A24 / 243 aproximadamente. La fuerza centrípeta decrece, por tanto, en razón algo mayor que la del cuadrado, pero esta razón es 59¾ veces más próxima a la razón cuadrada que a la razón cúbica.

COROLARIO 2. De aquí también que, si un cuerpo bajo la acción de una fuerza centrípeta que sea como el inverso del cuadrado de la altura girase en una elipse cuyo foco se hallase en el centro de fuerzas, y a dicha fuerza centrípeta se añadiese o se quitase otra fuerza externa cualquiera, podría conocerse (por el ejemplo tercero) el movimiento de los ápsides originado por dicha tuerza externa: y viceversa. Pues si la fuerza con la cual gira el cuerpo en la elipse fuese como 1 / AA, y la fuerza externa aplicada fuese como cA, y por tanto la fuerza restante fuese como A - cA4 / A3; (en el ejemplo tercero) b será igual a 1, m igual a 1 y n igual a 4, y por lo tanto el ángulo de revolución entre ápsides será igual a un angulo de 180√1 - c / 1 - 4c grados. Supongamos que la fuerza externa fuese 357,45 veces menor que la otra fuerza con que el cuerpo se mueve en la elipse, esto es, 100 / 35745, siendo A o T igual a 1, y 180√1 - c / 1 - 4c resultará valer 180√35645 / 35345 o sea 180, 7623, esto es, 180.º, 45′, 44″. Por lo tanto, el cuerpo que parte del ápside superior con un movimiento angular de 180.º, 45′, 44″, llegará al ápside inferior, y repitiendo este movimiento regresará al superior: y en consecuencia el ápside superior vendrá a progresar en cada revolución 1.º, 31′, 28″. Aproximadamente dos veces más veloz es el ápside de la Luna.

Hasta aquí sobre el movimiento de cuerpos en órbitas cuyos planos pasan por el centro de fuerzas. Falta determinar también los movimientos en planos excéntricos. Pues los autores que tratan el movimiento de los graves suelen considerar los ascensos y descensos de los pesos tanto perpendicular como oblicuamente en cualesquiera planos dados: y con igual razón se ha de considerar aquí el movimiento de cuerpos tendentes a un centro bajo cualesquiera fuerzas y moviéndose en planos excéntricos. Suponemos que dichos planos son perfectamente lisos y lubricados de modo que no retarden a los cuerpos. Además, en estas demostraciones, en lugar de planos sobre los que se deslizan los cuerpos y a los que tocan al deslizarse, utilizaremos planos paralelos a ellos, en los cuales se mueven los centros de los cuerpos y describen órbitas al moverse. Y por la misma ley determinamos después los movimientos de los cuerpos realizados en superficies curvas.