Sección VIII. Sobre el movimiento que se propaga por los fluídos

Sección VIII SOBRE EL MOVIMIENTO QUE SE PROPAGA POR LOS FLUIDOS

PROPOSICIÓN XLI. TEOREMA XXXII

La presión no se propaga a través de un fluido según líneas rectas salvo cuando las partículas del fluido están colocadas directamente en tal sentido.

Si las partículas a, b, c, d, e, se hallasen colocadas en línea recta, la presión puede, ciertamente, propagarse directamente desde a hasta e; pero la partícula e urgirá a las partículas colocadas oblicuamente ƒ y g de modo oblicuo, y dichas partículas ƒ y g no mantendrán la presión recibida, salvo que sean soportadas por las partículas h y k; pero en tanto en que son sostenidas, presionan sobre las que sostienen; y éstas, a su vez, no soportarán la presión a no ser que sean sostenidas por las siguientes l y m y las presionen también, y así sucesivamente hasta el infinito; y una vez que empieza a propagarse oblicuamente, si incidiere en partículas ulteriores que no se hallan colocadas en línea recta, de nuevo divergirá; y esto tantas veces cuantas incidiese sobre partículas no situadas exactamente en línea recta. Q. E. D.

COROLARIO. Si una parte cualquiera de la presión que se propaga desde un punto dado fuese obstruida por un obstáculo, la parte restante que no es interceptada, divergirá por el espacio ulterior al obstáculo. Cosa que puede también demostrarse como sigue. Sea una presión que se propaga desde el punto A hacia cualquier parte y ello, si es posible, según líneas rectas, y con el obstáculo NBCK, perforado en BC, obstrúyase toda ella, salvo la parte coniforme APQ, que pasa por el orificio circular BC. Sepárese en troncos el cono APQ mediante los planos transversales de, ƒg, hi; en tal caso, mientras el cono ABC, propagando la presión, impulsa al tronco de cono ulterior degƒ sobre la superficie de, y el tronco anterior empuja al tronco siguiente ƒghi sobre la superficie ƒg, y dicho tronco empujará sobre el tercer tronco, y así sucesivamente hasta el infinito; está claro (por la Ley tercera del Movimiento) que el primer tronco deƒg, debido a la reacción del tronco segundo ƒghi, sufrirá una presión sobre la superficie ƒg igual a la presión que efectúa sobre el dicho tronco segundo. Luego el tronco degƒ es comprimido por ambos lados entre el cono Ade y el tronco ƒhig, y por consiguiente (por el Corolario 6 de la Proposición XIX) no puede conservar su figura a no ser que sea comprimido por todas partes con la misma fuerza. Luego intentará ceder hacia los lados dƒ, eg con un ímpetu igual a aquel con que es comprimido en las superficies de, ƒg; y en esos lugares (al no ser rígido, sino completamente fluido) se saldrá y se expandirá, salvo que el fluido de entorno sea tal que impida este intento. Por lo cual, con este intento de salir, presionará sobre el fluido de entorno tanto sobre los lados dƒ, eg como sobre el tronco ƒghi con idéntico ímpetu; y por ello, la presión no se propagará menos hacia los lados dƒ, eg por ambos espacios NO, KL que lo que se propague desde la superficie ƒg hacia PQ. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XLII. TEOREMA XXXIII

Todo movimiento propagado a través de un fluido diverge de la trayectoria recta en espacios inmóviles.

CASO 1. Propáguese el movimiento desde el punto A a través del orificio BC, y vaya, si es posible, hacia el espacio cónico BCQP según líneas rectas divergentes desde el punto A. Y supongamos en primer lugar que este movimiento fuese de ondas en la superficie de agua estancada. Y sean de, ƒg, hi, kl, etc., las crestas de cada una de las ondas, separadas entre sí por los valles correspondientes. En tal caso, puesto que el agua en las crestas de las ondas está más alta que en las partes en reposo LK, NO del fluido, descenderá desde las crestas e, g, i, l, etc., d, ƒ, h, k, etc., por un lado y por otro hacia KL, NO; y también descenderá desde dichos lugares en reposo hacia los valles de las ondas. Con el primero de los descensos las crestas de las ondas, y con el segundo los valles se expanden hacia uno y otro lado y se propagan hacia KL y NO. Y puesto que el movimiento de las ondas desde A hacia PQ ocurre mediante el descenso continuo de las crestas hacia los valles siguientes, y por lo mismo, no ocurre con mayor velocidad que la velocidad de descenso; y también el descenso del agua por un lado y por otro hacia KL y NO debe ocurrir con esa misma velocidad; y así la dilatación de las ondas por uno y otro lado hacia KL y NO avanzará con la misma velocidad con que avanza la propia onda desde A hacia PQ en línea recta. Por tanto, todo el espacio de ambos lados hacia KL y NO será ocupado por las ondas dilatadas rƒgr, skis, tklt, vmnv, etc. Q. E. D. Cualquiera puede experimentar en agua estancada que esto es así.

CASO 2. Ahora supongamos que de, ƒg, hi, kl, mn, representan impulsos propagados desde el punto A a través de un medio elástico sucesivamente. Imaginemos que los impulsos se propagan por medio de sucesivas condensaciones y rarefacciones del medio, como si la parte más densa del impulso ocupase la superficie esférica descrita en torno al centro A, y entre impulsos sucesivos mediasen intervalos iguales. Las líneas de, ƒg, hi, kl, etc., representan las partes más densas de los impulsos, propagadas a través del orificio BC. Y puesto que es allí el medio más denso que en los espacios laterales hacia KL y NO, se dilatará tanto hacia esos espacios KL y NO por ambos lados como hacia los intervalos más enrarecidos de las pulsaciones; de este modo el medio que va resultando cada vez más raro tras los intervalos y más denso tras las pulsaciones, participará de sus movimientos. Y dado que el movimiento progresivo de los impulsos procede de la relajación continua de las partes más densas que anteceden a los valles más enrarecidos; y los impulsos deben relajarse hacia ambos lados de las partes del medio en reposo KL y NO casi con la misma velocidad; y dichos impulsos se dilatarán casi con la misma velocidad por todas partes en los espacios inmóviles KL y NO, con la que se propagan en directo desde el centro A; por tanto, ocuparán todo el espacio KLON. Q. E. D. Esto lo experimentamos en los sonidos, que se oyen tanto con un monte interpuesto como, si entran en una habitación por una ventana y se extienden por todas partes de la habitación, se oyen en todas las esquinas, y no por reflexión en las paredes opuestas, sino propagándose directamente desde la ventana; en tanto que es posible juzgar por los sentidos.

CASO 3. Finalmente, supongamos que un movimiento de cualquier clase se propaga desde A a través del orificio BC: y puesto que esta propagación no ocurre si no es en la medida en que las partes del medio más cercanas al centro A urgen y agitan a las partes siguientes, y las partes que son agitadas son fluidas y, por tanto, retroceden por doquier hacia las regiones en que son menos presionadas: tales partes retrocederán hacia las partes del medio que están todas en reposo, tanto las laterales KL y NO, como las frontales PQ, y de este modo todo el movimiento, tan pronto como haya pasado por el orificio BC, empezará a dilatarse y a propagarse desde allí directamente hacia todas partes, como si fuera desde un principio y centro. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XLIII. TEOREMA XXXIV

Todo cuerpo vibrante en un medio elástico propagará el movimiento de sus pulsaciones en directo hacia todas partes; en cambio, en un medio no elástico, excitará un movimiento circular.

CASO 1. Por cuanto que las partes del cuerpo vibrante que van y vienen alternativamente, con su ida urgirán y empujarán a las partes del medio que están inmediatas a ellas, y al urgirías las presionarán y las condensarán; y después con su retorno dejarán a las partes presionadas retroceder y expandirse. Por tanto, las partes del medio próximas al cuerpo vibrante irán y regresarán alternativamente, a la par de las partes del dicho cuerpo vibrante: y por la misma razón que las partes de este cuerpo agitaban a estas partes del medio, éstas a su vez perturbadas por vibraciones semejantes agitarán a las partes inmediatas a ellas, y éstas agitadas igualmente agitarán a las siguientes y así, sucesivamente, hasta el infinito. Y al igual que las primeras partes del medio, al ir se condensan y al regresar se relajan, de igual modo las restantes partes se condensan cuando van y se expanden cuando vuelven. Y, por tanto, no todas irán y volverán a la vez (pues así conservarían distancias fijas entre ellas y no podrían enrarecerse y condensarse alternativamente) sino que acercándose entre ellas cuando se condensan y separándose cuando se enrarecen, unas de ellas irán cuando las otras vuelvan: y esto alternativamente hasta el infinito. Pero las partes que van y al ir se condensan, por su movimiento progresivo, con el cual coinciden en los obstáculos, son los impulsos; y por ello, los impulso sucesivos se propagan desde todo cuerpo vibrante en directo; y esto casi con iguales intervalos entre ellos, por ser iguales los intervalos de tiempo en los cuales el cuerpo con sus vibraciones excita cada impulso. Y aunque las partes del cuerpo vibrante vayan y vengan según una dirección cierta y fija, no obstante los impulsa propagados desde allí a través del medio se extenderán hacia lo: lados por la Proposición anterior; y desde dicho cuerpo vibrante como desde un centro común y bajo la forma de superficies cai esféricas y concéntricas se irán propagando en todas direcciones. Cosa de la que tenemos un ejemplo en las ondas, que al ser excitadas por un dedo vibrando, no sólo parten de allí hacia uno y oto lado según la dirección del movimiento del dedo, sino que, en forma de círculos concéntricos, ciñen inmediatamente al dedo y se propagan en todas direcciones. Pues la gravedad de las ondas suple en lugar de la fuerza elástica.

CASO 2. Que el medio no sea elástico: puesto que sus partes presionadas por las partes vibrantes del cuerpo vibrante no pueden condensarse, el movimiento se propagará instantáneamente hacia las partes donde el medio cede con facilidad, es decir, a las partes que el cuerpo vibrante dejase vacías tras él por el otro lado. Es el mismo case que el del cuerpo proyectado en un medio cualquiera. El medio, al ceder a los proyectiles, no retrocede hasta el infinito; sino que lloviéndose en círculo, se dirige hacia los espacios que el cuerpo abandona a sus espaldas. Por tanto, cuantas veces el cuerpo vibrante va hacia un lado cualquiera, el medio cede y se mueve en círculo hacia las partes que abandona el cuerpo; y cuantas veces el cuerpo regresa ál lugar inicial, el medio es expulsado dí allí para que retorne a su primer lugar. Y aunque el cuerpo vibrante no sea duro, sino flexible en todas direcciones, mientras conserve una magnitud dada, y puesto que tampoco puede urgir on sus vibraciones al medio en un sentido sin que a la vez ceda ante él en otro, resultará que el medio, cediendo por los lugares por donde es presionado, se dirigirá continuamente en círculo hacia las partes que ceden ante él. Q. E. D.

COROLARIO. Desvarían, pues, quienes creen que la agitación de la llama conduce a una propagación de la presión según líneas rectas a través del medio ambiente. Semejante presión se deberá derivar no sólo de la agitación de las partes de la llama, sino también de la dilatación de todo.

PROPOSICIÓN XLIV. TEOREMA XXXV

Si el agua alternativamente asciende y desciende por tubos de brazos elevados KL, MN, y se construyese un péndulo cuya longitud entre el punto de suspensión y el centro de oscilación sea igual a la mitad de la longitud del agua qui hay en el tubo: digo que el agua ascenderá y descenderá en los mismos tiempos en los que oscile el péndulo.

Mido la longitud del agua según los ejes del tubo y de los brazos, igualándola a la suma de dichos ejes, y no tengo aquí en cuenta la resistencia del agua debida al rozamiento del tubo. Representen entonces AB y CD la altura media del agua en cada uno de los brazos, y cuando el agua en el brazo KL sube hasta la altura BF, en el brazo MN el agua descenderá hasta la altura GH. Sea P un cuerpo pendular, VP el hilo, V el punto de suspensión, RPQS la cicloide que describa el péndulo, P su punto inferior, PQ un arco igual a la altura AE. La fuerza, con la cual el movimiento del agua se acelera y se retarda alternativamente, es el exceso del peso del agua en uno de los dos brazos sobre el peso en el otro, y por ello, cuando el agua asciende en el brazo KL hasta BF, y en el otro desciende hasta GH, dicha fuerza es el doble del peso del agua EABF, y por tanto, es al peso de toda el agua como AE o PQ a VP o PR. También la fuerza con la que el peso P, en un punto cualquiera Q, es acelerado y retardado en la cicloide (por el Corolario de la Proposición LI) es a su peso total como su distancia PQ desde el lugar ínfimo P a la longitud de la cicloide PR. Por lo cual, las fuerzas motrices del agua y del péndulo que describen los espacios iguales AE, PQ, son como los pesos a mover; y por consiguiente, si el agua y el péndulo inicialmente están en reposo, dichas fuerzas los moverán igualmente en tiempos iguales y harán que vayan y vuelvan a la vez con un movimiento recíproco. Q. E. D.

COROLARIO 1. Por consiguiente, todas las subidas y bajadas del agua son isócronas, tanto si el movimiento es más intenso como si es más suave.

COROLARIO 2. Si la longitud total del agua en el tubo es de 61⁄9 pies parisinos, el agua descenderá en un segundo de tiempo y ascenderá en otro segundo; y así sucesivamente en veces alternas hasta el infinito. Pues un péndulo de 31⁄18 pies de longitud oscila en el tiempo de un segundo.

COROLARIO 3. Y si la longitud del agua aumentase o disminuyese, aumentará o disminuirá el tiempo de reciprocación en razón de la raíz cuadrada de la longitud.

PROPOSICIÓN XLV. TEOREMA XXXVI

La velocidad de las ondas es como la raíz cuadrada de las anchuras.

Se sigue de la construcción de la Proposición siguiente.

PROPOSICIÓN XLVI. PROBLEMA X

Hallar la velocidad de las ondas.

Constrúyase un péndulo cuya longitud entre el punto de suspensión y el centro de oscilación sea igual a la anchura de las ondas: y en el tiempo en el cual dicho péndulo completa cada una de sus oscilaciones, en ese mismo tiempo las ondas recorrerán casi su anchura al desplazarse.

Denomino anchura de las ondas a la medida transversal comprendida, bien entre los puntos más bajos de los valles, o bien entre los puntos más altos de las crestas. Sea ABCDEF la superficie de agua estancada, que asciende y desciende en ondas sucesivas; y sean A, C, E, etc. las cimas de las ondas y B, D, F, etc., los valles intermedios. Y puesto que el movimiento de las ondas ocurre por el sucesivo ascenso y descenso del agua, del mismo modo sus partes A, C, E, etc., que ahora están en lo más alto después estarán en lo más bajo; y la fuerza motriz por la cual las partes de arriba descienden y las de abajo ascienden, es el peso del agua elevada; dicho ascenso y descenso alternativo será análogo al movimiento recíproco del agua en el tubo y se atendrá a las mismas leyes de tiempo: y por ello (por la Proposición XLIV) si las distancias entre los puntos más altos de las ondas A, C, E, y los puntos más bajos B, D, F, son iguales al doble de la longitud del péndulo, las partes más altas A, C, E, vendrán a ser las ínfimas en el tiempo de una oscilación, y de nuevo ascenderán en el tiempo de la oscilación siguiente. Por consiguiente, el tiempo que transcurre mientras pasa cada una de las ondas será el de dos oscilaciones; es decir, la onda describe su anchura en el tiempo en que el susodicho péndulo oscila dos veces; pero en ese tiempo un péndulo cuya longitud sea cuatro veces mayor y, por tanto, sea igual a la anchura de las ondas, oscilará una sola vez. Q. E. I.

COROLARIO 1. Por lo tanto, las ondas que tengan una anchura de 31⁄18 pies parisinos recorrerán al desplazarse la distancia de su anchura en él tiempo de un segundo; y por ello, en un tiempo de un minuto recorrerán 183⅓ pies, y en una hora recorrerán un espacio aproximado de 11 000 pies.

COROLARIO 2. Y la velocidad de ondas mayores o menores aumentará o disminuirá como la raíz cuadrada de su anchura.

Todo lo cual es así bajo la hipótesis de que las partes del agua ascienden y descienden en línea recta; pero es más verosímil que el ascenso y el descenso tengan lugar circularmente y, por tanto, mantengo que el tiempo hallado mediante esta Proposición es sólo aproximado.

PROPOSICIÓN XLVII. TEOREMA XXXVII

Al propagarse los impulsos a través de un fluido, cada una de las partículas del fluido que van y vienen con un movimiento recíproco muy breve, se aceleran y se retardan siempre de acuerdo con la ley de oscilación del péndulo.

Representen AB, BC, CD, etc. distancias iguales de impulsos sucesivos; ABC la dirección del movimiento de los impulsos propagados desde A hacia B; E, F, G, representen tres puntos físicos del medio en reposo situados a distancias iguales sobre la recta AC; sean Ee, Fƒ, Gg, espacios iguales muy breves por los cuales los susodichos puntos van y vienen en cada vibración con un movimiento recíproco; Ɛ, φ, γ, sean unos lugares intermedios entre dichos puntos; y EF, FG unas breves líneas físicas o partes lineales del medio situadas entre dichos puntos y trasladadas sucesivamente a los lugares Ɛφ, φγ y eƒ, ƒg. Trácese la recta PS igual a la recta Ee. Biséquese dicha recta en O y con centro en O e intervalo OP trácese el círculo SIPi. Represéntese con esta circunferencia y sus partes el tiempo total de una vibración y sus partes proporcionales; de suerte que para un tiempo completo cualquiera PH o PHSh, si se traza sobre PS la perpendicular HL o hl y se toma EƐ igual a PL o Pl, el punto físico E se hallará en Ɛ. Un punto cualquiera E, bajo esta condición, que vaya desde E por Ɛ hasta e y desde aquí regrese por Ɛ hasta E completará cada vibración con los mismos grados de aceleración y retardación que un péndulo oscilante. Hay que probar que cada punto físico del medio deberá agitarse con semejante movimiento. Supongamos, pues, que el medio es excitado con tal movimiento por una causa cualquiera y veamos qué se sigue de ello.

En la circunferencia PHSh tómense los arcos iguales Hl, IK, o hi, ik que estén en la misma razón respecto a la circunferencia entera que la que tienen las rectas iguales EF, FK respecto al intervalo completo BC de los impulsos. Trácense las perpendiculares IM, KN, o im, kn; y, puesto que los puntos E, F, G, son agitados sucesivamente por movimientos semejantes y completan sus vibraciones enteras de ida y vuelta en el tiempo en que el impulso pasa de B a C, si PH o PHSh fuera el tiempo desde el comienzo del movimiento del punto E, entonces PI o PHSi será el tiempo desde el comienzo del movimiento del punto F, y PK o PHSk el tiempo desde el comienzo del movimiento del punto G; y por ello, EƐ, Fφ, Gγ, serán respectivamente iguales a PL, PM, PN en la ida de los puntos y en el retorno de los mismos, a Pl, Pm, Pn. Por consiguiente, cuando los puntos van, Ɛγ o EG + Gγ - EƐ será igual a EG - LN y, cuando los puntos retornan, será igual a EG + ln. Pero Ɛγ es la anchura o expansión de la parte EG del medio en el lugar Ɛγ; y por tanto, la expansión de dicha parte en la ida es a su expansión media como EG - LN a EG; en cambio en el retorno es como EG + ln o EG + LN a EG. Por tanto, al ser LN a KH como IM al radio OP y KH a EG como la circunferencia PHShP a BC, es decir, si V representase el radio de un círculo que tuviese por circunferencia un intervalo igual al del impulso BC, como OP a V; y «ex aequo» LN a EG como IM a V: la expansión de la parte EG o del punto físico F en el lugar Ɛγ será a la expansión media que dicha parte tiene en su primer lugar EG como V - IM a V a la ida y como V + im a V a la vuelta. De donde la fuerza elástica del punto F en el lugar Ɛγ es a su fuerza elástica media en el lugar EG como 1 / V - IM a 1 / V en la ida, y como 1 / V + im a 1 / V en la vuelta. Y por la misma razón las fuerzas elásticas de los puntos físicos E y G en la ida son como 1 / V - HL y 1 / V - KN a 1 / V; y la diferencia de las fuerzas es a la fuerza elástica media del medio como

HL - KN / VV - V x HL - V x KN + HL x KN

a

1 / V1

O sea, como HL - KN / VV a 1 / V, o también como HL - KN a V, siempre que (por los estrechos límites de las vibraciones) supongamos que HL y KN sean un tanto menores que la cantidad V. Por lo cual, como la cantidad V está dada, la diferencia de fuerzas es como HL - KN, esto es (por ser proporcionales HL - KN a HK y OM a OI o OP, y estar dadas HK y OP) como OM; es decir, si se bisecase Fƒ en Ω, como Ωφ. Y por la misma razón la diferencia de las fuerzas elásticas de los puntos físicos Ɛ y γ en el retorno de la pequeña línea física Ɛγ es como Ωφ. Pero dicha diferencia (es decir, el exceso de fuerza elástica del punto Ɛ sobre la fuerza elástica del punto γ) es la fuerza con la que la pequeña línea física intermedia del medio Ɛγ se acelera en la ida y se retarda en el regreso; y por tanto, la fuerza aceleratriz de la pequeña línea física Ɛγ es como su distancia al lugar medio Ω de la vibración. Por consiguiente, el tiempo se representa correctamente (por la Proposición XXXVIII del Libro I) mediante el arco PI; y la parte lineal del medio Ɛγ se mueve conforme a la ley enunciada antes, es decir, conforme a la ley del péndulo oscilante: e igual razón hay para todas las partes lineales de las que se compone el medio entero. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí se sigue que el número de impulsos propagados es el mismo que el de vibraciones del cuerpo vibrante, y que no se multiplica con su desplazamiento. Pues la línea pequeña física Ɛγ tan pronto regresa a su lugar inicial, reposa; y después tampoco se moverá, a no ser que nuevamente sea empujada, o por el ímpetu del cuerpo vibrante, o por el ímpetu de pulsaciones procedentes del cuerpo vibrante. Por tanto, reposará tan pronto cesen los impulsos propagados desde el cuerpo vibrante.

PROPOSICIÓN XLVIII. TEOREMA XXXVIII

Las velocidades de los impulsos propagados en un fluido elástico están en razón compuesta directamente de la raíz cuadrada de la fuerza elástica e inversamente de la raíz cuadrada de la densidad; siempre que la fuerza elástica se suponga proporcional a la condensación del fluido.

CASO 1. Si los medios son homogéneos y las distancias de los impulsos en estos medios son iguales entre ellas, pero el movimiento es más intenso en un medio, las contracciones y dilataciones de partes análogas serán como sus movimientos. Pero esto no es una proporción exacta. No obstante, salvo que las contracciones y dilataciones sean muy intensas, el error no será apreciable y, por tanto, puede tenerse por físicamente exacta. Pues las fuerzas elásticas motrices son como las contracciones y las dilataciones; y las velocidades generadas a la vez de partes iguales son como las fuerzas. Por consiguiente, las partes iguales y correspondientes de impulsos correspondientes completarán su ida y su vuelta a la vez por espacios proporcionales a las contracciones y dilataciones y con velocidades que son como los espacios: por lo cual los impulsos que en el tiempo de una ida y una vuelta completan desplazándose su propia longitud y alcanzan continuamente los lugares de los impulsos inmediatamente anteriores, por la igualdad de las distancias, avanzan con velocidad igual en uno y otro medio.

CASO 2. Pero si las distancias o las longitudes de los impulsos son mayores en un medio que en otro, supongamos que las partes correspondientes describen, en su ida y vuelta, espacios siempre proporcionales a las amplitudes de los impulsos cada una de las veces: entonces sus contracciones y dilataciones serán iguales. Y por tanto, si los medios son homogéneos también las fuerzas motrices elásticas por las que son agitadas con un movimiento recíproco, serán iguales. Pero la materia, que ha de ser movida por estas fuerzas, es como la amplitud de los impulsos, y en la misma razón se halla el espacio a cuyo través deben moverse cada vez en la ida y en la vuelta. Y el tiempo de una ida y vuelta está en razón compuesta de la raíz cuadrada de la materia y de la raíz cuadrada del espacio, y por ende es como el espacio. Pero los impulsos recorren el espacio de sus amplitudes en los tiempos de una ida y una vuelta, es decir, recorren espacios proporcionales a los tiempos; y por tanto, son igualmente veloces.

CASO 3. Por consiguiente, en medios de iguales densidad y fuerza elástica, todos los impulsos son igualmente veloces. Pero si la densidad del medio o la fuerza elástica aumentasen, toda vez que la fuerza motriz aumentará en razón de la fuerza elástica y la materia a mover en razón de la densidad, el tiempo, en el cual se completen los mismos movimientos que antes, aumentará como la raíz cuadrada de la densidad, y disminuirá como la raíz cuadrada de la fuerza elástica. Y por ello la velocidad de los impulsos estará en razón compuesta de, inversamente, la raíz cuadrada de la densidad del medio y, directamente, de la raíz cuadrada de la fuerza elástica. Q. E. D.

Esta Proposición estará aún más clara por la construcción de la siguiente.

PROPOSICIÓN XLIX. PROBLEMA XI

Dadas la densidad del medio y su fuerza elástica, hallar la velocidad de los impulsos.

Imaginemos que un medio se halla comprimido por un peso superpuesto al modo del de nuestro aire; y sea A la altura de un medio homogéneo y cuyo peso sea igual al peso superpuesto y cuya densidad sea igual a la del medio comprimido en el cual se propagan los impulsos. Supongamos que se construye un péndulo cuya longitud entre el punto de suspensión y el centro de oscilación sea A: y en el tiempo en que dicho péndulo completa una oscilación entera compuesta de ida y vuelta, en ese mismo tiempo el impulso, desplazándose, completará un espacio igual a la circunferencia del círculo descrito con radio A.

Pues, manteniendo las construcciones de la Proposición XLVII, si una línea física cualquiera EF describiendo en cada vibración el espacio PS es urgida en los extremos P y S de cada ida y vuelta por una fuerza elástica igual a su peso, completará dicha línea cada una de sus vibraciones en el tiempo en que oscilaría en una cicloide cuyo perímetro fuese igual a la longitud PS: esto, además, porque fuerzas iguales, en tiempos iguales, empujan a cuerpos iguales a través de espacios iguales. Por lo cual, ya que los tiempos de las oscilaciones son como la raíz cuadrada de la longitud de los péndulos, y la longitud del péndulo es igual a la mitad del arco de la cicloide entera, el tiempo de una vibración será al tiempo de oscilación del péndulo de longitud A como la raíz cuadrada de la longitud ½PS o PO a la longitud A.

Pero la fuerza elástica por la que la pequeña línea física EG es urgida cuando está en los puntos extremos P, S, era (en la demostración de la Proposición XLVII) a toda su fuerza elástica como HL - KN a V, es decir (por caer ahora el punto K en P) como HK a V: y toda aquella fuerza, o sea, el peso superpuesto con el cual es comprimida la pequeña línea EG, es al peso de la pequeña línea como la altura A del peso superpuesto a la longitud de la pequeña línea EG; y por tanto «ex aequo», la fuerza que urge a la pequeña línea EG en los lugares P y S es al peso de dicha línea como HK x A a V x EG, o como PO x A a VV, pues HK era a EG como PO a V. Por tanto, toda vez que los tiempos en los cuales cuerpos iguales son impulsados a través de espacios iguales son inversamente proporcionales a la raíz cuadrada de las fuerzas, el tiempo de una vibración generada por dicha fuerza elástica será al tiempo de vibración generada por la fuerza del peso como la raíz cuadrada de VV a PO x A y, por consiguiente, al tiempo de oscilación de un péndulo de longitud A, como la raíz cuadrada de VV a PO x A y como la raíz cuadrada de PO a A conjuntamente; es decir, como la razón entera de V a A. Pero en el tiempo de una vibración compuesta de ida y vuelta, el impulso desplazándose completa su anchura BC. Luego el tiempo en el cual el impulso recorre el espacio BC es al tiempo de una oscilación compuesta de ida y vuelta como V a A, es decir, como BC a la circunferencia del círculo cuyo radio es A. Pero el tiempo en que el impulso recorre el espacio BC está en la misma razón con respecto al tiempo en que recorre una longitud igual a dicha circunferencia; y por lo mismo, en el tiempo de dicha oscilación el impulso recorre una longitud igual a dicha circunferencia. Q. E. D.

COROLARIO 1. La velocidad de los impulsos es aquella que adquieren los graves cayendo con movimiento igualmente acelerado y describiendo en su caída la mitad de la altura A. Pues en el tiempo de esta caída, cayendo con la velocidad adquirida, el impulso recorre un espacio que será igual a toda la altura A; y por lo tanto, en el tiempo de una oscilación compuesta de ida y vuelta recorrerá un espacio igual a la circunferencia del círculo trazado con radio A: porque el tiempo de caída es al tiempo de oscilación como el radio del círculo a su circunferencia.

COROLARIO 2. De donde, al ser dicha altura A directamente como la fuerza elástica del fluido e inversamente como su densidad, la velocidad de los impulsos estará en razón compuesta de la raíz cuadrada de la densidad, inversamente, y de la raíz cuadrada de la fuerza elástica, directamente.

PROPOSICIÓN L. PROBLEMA XII

Hallar las distancias de los impulsos.

Hállese el número de vibraciones del cuerpo cuya oscilación produce los impulsos en un tiempo dado. Divídase por ese número el espacio que puede recorrer el impulso en ese mismo tiempo y el resultado será la amplitud de un impulso. Q. E. I.

ESCOLIO[14]

Las últimas Proposiciones tienen relación con el movimiento de la luz y de los sonidos. Puesto que la luz se propaga en línea recta no puede consistir en mera acción (por las Proposiciones XLI y XLII). Y los sonidos, en tanto que se producen por cuerpos vibrantes, no son otra cosa que impulsos de aire propagados, por la Proposición XLIII. Se confirma esto por las vibraciones que, si son fuertes y graves, suscitan en los cuerpos inmediatos, como los sonidos de los tambores. Pues las vibraciones rápidas y breves no se excitan con facilidad. Y es bien sabido que cualesquiera sonidos lanzados contra las cuerdas de cuerpos sonoros genera vibraciones. Y también se confirma por la velocidad de los sonidos. Puesto que los pesos específicos del agua de lluvia y del mercurio son entre sí aproximadamente como 1 a 132⁄3, y cuando el mercurio alcanza en el barómetro una altura de 30 pulgadas inglesas, el peso específico del aire y del agua de lluvia se halla en la relación de 1 a 870 aproximadamente, entonces el peso específico del aire y del mercurio será aproximadamente como 1 a 11 890. Y, por tanto, cuando la altura del mercurio es de 30 pulgadas, la altura de aire uniforme cuyo peso pudiera oprimir a nuestro aire subyacente sería de 356 700 pulgadas, o de 29 725 pies ingleses. Y ésta es la altura misma que denominábamos A en la construcción precedente. La circunferencia del círculo descrito con radio de 29 725 pies es de 186 768 pies. Y puesto que un péndulo de 39⅕ pulgadas de largo completa como es sabido, su oscilación entera de ida y vuelta en el tiempo de dos segundos, un péndulo de 39⅕ pulgadas de largo completa, como es sabido, su completar una oscilación semejante en un tiempo de 190¾ segundos. Por tanto, en ese mismo tiempo el sonido desplazándose completará 186 768 pies, y en el tiempo de un segundo 979 pies.

Por lo demás en este cálculo no se ha tomado en cuenta el grosor de las partículas sólidas de aire a cuyo través el sonido se propaga instantáneamente. Como el peso del aire es al peso del agua como 1 a 870, y las sales son casi dos veces más densas que el agua, si suponemos que las partículas de aire son casi de la misma densidad que las partículas de agua o de sal y la rareza del aire obedece a los intervalos de las partículas, entonces el diámetro de las partículas de aire será al intervalo entre los centros de las partículas como 1 a 9 ó 10 aproximadamente, y al intervalo entre partículas como 1 a 8 ó 9. Por ello, a los 979 pies que el sonido recorrerá en un segundo según el cálculo anterior habrá que añadir 979⁄9 pies, o aproximadamente 109 pies, por el grosor de las partículas de aire: y de este modo el sonido, en el tiempo de un segundo, recorrerá aproximadamente 1088 pies.

Añádase a esto que los vapores presentes en el aire, al ser de diferente elasticidad y tono, poco o nada participarán en el movimiento del verdadero aire con el que se propagan los sonidos. Permaneciendo, pues, éstos en reposo, dicho movimiento se propagará por el solo verdadero aire, y esto en razón de la raíz cuadrada de la disminución de materia. De suerte que si la atmósfera constase de diez partes de verdadero aire y una de vapores, el movimiento de los sonidos sería más rápido en razón de la raíz cuadrada de 11 a 10, o casi en la razón entera de 21 a 20, que si se propagase por once partes de aire verdadero: y por ello el movimiento de los sonidos hallado antes ha de aumentarse en esta proporción. Con lo cual el sonido, en el tiempo de un segundo, recorrerá 1142 pies.

Así serán estas cosas en primavera y otoño, cuando al aire templado por el calor se enrarece y su fuerza elástica aumenta un tanto. Pero en invierno, cuando el aire se condensa por el frío y disminuye su fuerza elástica, el movimiento de los sonidos debe ser más lento en razón de la raíz cuadrada de la densidad; y viceversa, en verano debe ser más veloz.

Por otra parte, experimentalmente consta que los sonidos en un segundo recorren más o menos 1142 pies londinenses ó 1070 parisinos.

Una vez conocida la velocidad de los sonidos se obtienen también los intervalos de los impulsos. El Sr. Sauveur halló mediante experimentos hechos por él, que una flauta abierta de más o menos cinco pies parisinos de largo producía un sonido del mismo tono que el sonido de una cuerda que vibra cien veces por segundo. Por tanto, en el espacio de 1070 pies parisinos que recorre un sonido en un segundo hay más o menos cien impulsos; por lo cual una pulsación ocupa un espacio de casi l07⁄10 pies parisinos, es decir, casi el doble de la longitud de la flauta. Por lo que es verosímil que las amplitudes de los impulsos, en los sonidos de todas las flautas abiertas, sea igual a dos veces la longitud de las flautas.

Y por lo demás, está claro por el Corolario de la Proposición XLVII de este libro por qué cesan los sonidos cuando cesa el movimiento del cuerpo sonoro, y no se oyen por más tiempo cuando estamos muy lejos de los cuerpos sonoros que cuando estamos muy cerca. Y por qué los sonidos aumentan tanto en los tubos amplificadores está claro por los principios expuestos. Pues todo movimiento recíproco en cada regreso suele aumentar gracias a la causa generadora. Y el movimiento en los tubos que impiden la dilatación de los sonidos se pierde más tarde y se repite con más fuerza y, por tanto, es incrementado por el nuevo movimiento impreso en cada retorno. Y éstos son los principales fenómenos relativos a los sonidos.