Sección X. Del movimiento de cuerpos en superficies dadas, y del movimiento de vaivén de los péndulos

Sección X DEL MOVIMIENTO DE CUERPOS EN SUPERFICIES DADAS, Y DEL MOVIMIENTO DE VAIVÉN DE LOS PÉNDULOS

PROPOSICIÓN XLVI. PROBLEMA XXXII

Supuesta una fuerza centrípeta de cualquier tipo, y dado tanto el centro de fuerzas como un plano cualquiera en el que gira el cuerpo, y concedidas las cuadraturas de las figuras curvas: hállese el movimiento de un cuerpo que parte de un lugar dado, con velocidad dada y según una recta dada en dicho plano.

Sea S el centro de fuerzas, SC la distancia mínima desde ese centro al plano dado, P un cuerpo que parte del punto P según la recta PZ, Q el mismo cuerpo girando en su trayectoria, y PQR dicha trayectoria descrita en dicho plano y que ha de hallarse. Únanse CQ, QS, y si sobre QS se toma SV proporcional a la fuerza centrípeta con la cual el cuerpo es atraído hacia el centro S, y se traza VT paralela a CQ cortando a SC en T: la fuerza SV (por el Corolario II de las Leyes) se descompone en las fuerzas ST, TV, de las cuales ST atrayendo al cuerpo según la línea perpendicular al plano en nada cambia su movimiento en este plano. Pero la otra fuerza TV, actuando según la posición del plano, atrae al cuerpo directamente hacia el punto C dado en el plano y, por tanto, hace que por ello dicho cuerpo se mueva en ese plano como si la fuerza ST desapareciese y el cuerpo girase únicamente con la fuerza TV en torno al centro C en un espacio libre. Mas, estando dada la fuerza centrípeta TV con la que el cuerpo Q gira en un espacio libre en torno al centro dado C, está dada (por la Proposición XLII) también la trayectoria PQR, descrita por el cuerpo, así como el punto Q donde se hallará el cuerpo en un tiempo cualquiera dado y, finalmente, la velocidad del cuerpo en dicho punto Q. Y viceversa. Q. E. I.

PROPOSICIÓN XLVII. TEOREMA XV

Supuesto que la fuerza centrípeta sea proporcional a la distancia desde el cuerpo al centro, todos los cuerpos que giren en planos cualesquiera describirán elipses y completarán sus revoluciones en tiempos iguales; mientras que aquellos que se muevan según líneas rectas, alternativamente hacia adelante y hacia atrás, completarán sus diferentes períodos de ida y vuelta en los mismos tiempos.

Puesto que, manteniendo los supuestos de la Proposición anterior, la fuerza SV, por la que el cuerpo Q que gira en un plano cualquiera PQR es atraído hacia el centro S, es como la distancia SQ; y puesto que SV y SQ, TV y CQ son proporcionales, la fuerza TV, con la cual el cuerpo es atraído hacia el punto dado C en el plano de la órbita, es como la distancia CQ. Consecuentemente, las fuerzas, por las cuales los cuerpos que se hallan en el plano PQR son atraídos hacia el punto C, son proporcionales, a distancias iguales, a las fuerzas por las que los mismos cuerpos son atraídos en dondequiera hacia el centro S; y por tanto, los cuerpos se moverán en iguales tiempos y con iguales figuras, en cualquier plano PQR que rodee al punto C, tal y como lo harían en espacios libres en torno al centro S; y en consecuencia (por el Corolario 2 de la Proposición X y el Corolario 2 de la Proposición XXXVIII) siempre en tiempos iguales, o bien describirán elipses en dicho plano en torno al centro C, o bien completarán períodos moviéndose adelante y atrás según líneas rectas trazadas en dicho plano por el centro C. Q. E. D.

ESCOLIO

Afines a éstos son los ascensos y descensos de los cuerpos en superficies curvas. Imagínense líneas curvas descritas en un plano que giran luego en torno a ciertos ejes dados que pasan por el centro de fuerzas y, mediante esa revolución, describen superficies curvas; y también que los cuerpos se mueven de tal forma que sus centros se encuentren siempre en dichas superficies. Si tales cuerpos ascendiendo y descendiendo oblicuamente marchan hacia adelante y hacia atrás, realizarán sus movimientos en planos que pasan por el eje y, por tanto, en líneas curvas por cuya revolución se generaron aquellas superficies. En estos casos, por consiguiente, será suficiente considerar el movimiento en dichas líneas curvas.

PROPOSICIÓN XLVIII. TEOREMA XVI

Si una rueda se apoya en el exterior de un globo formando ángulo recto y, girando como una rueda, describiese un círculo máximo, la longitud del camino curvilíneo descrito por un punto cualquiera dado en el perímetro de la rueda desde que toca al globo (que se puede llamar cicloide o epicicloide) será al doble del seno verso de la mitad del arco que ha tocado al globo al ir recorriéndolo desde aquel momento, como la suma de los diámetros del globo y la rueda al semidiámetro del globo.

PROPOSICIÓN XLIX. TEOREMA XVII

Si una rueda se apoya en el interior de un globo cóncavo formando ángulo recto y avanza rodando por un círculo máximo, la longitud del camino curvilíneo descrito por un punto cualquiera dado en el perímetro de la rueda desde que toca al globo será al doble del seno verso de la mitad del arco que ha tocado al globo al ir recorriéndolo durante todo ese tiempo, como la diferencia de los diámetros del globo y la rueda al semidiámetro del globo.

Sea ABL el globo, C su centro, BPV la rueda que se apoya en él, E el centro de la rueda, B el punto de contacto y P el punto dado en el perímetro de la rueda. Imaginemos a esta rueda moviéndose sobre el círculo máximo ABL desde A por B hacia L, y girando de tal modo al desplazarse que los arcos AB, PB sean siempre iguales entre sí y mientras tanto el punto P dado en el perímetro de la rueda va describiendo el camino curvilíneo AP. Sea AP el total del camino curvilíneo descrito desde que la rueda tocó al globo en A, y la longitud AP de este camino será al doble del seno verso del arco ½PB como 2CE a CB. Pues toque la recta CE (prolongada si es preciso) a la rueda en V, y únanse CP, BP, EP, VP y descienda VF normal sobre la prolongación de CP. Sean PH, VH tangentes al círculo en P y V y concurrentes en H, y corte PH a VF en G, y sobre VP caigan las perpendiculares GI, HK. De nuevo con centro en C e intervalo cualquiera descríbase el círculo nom que corte a la recta CP en n, al perímetro BP de la rueda en o, y al camino curvilíneo AP en m; y con centro en V e intervalo Vo descríbase el círculo que corta en q a VP prolongada.

Puesto que la rueda al moverse gira siempre en torno al punto de contacto B, es evidente que la recta BP es perpendicular a aquella línea curva AP descrita por el punto P de la rueda y, por lanío, que la recta VP es tangente a dicha curva en el punto P. El radio del círculo nom aumentado o disminuido gradualmente iguale siempre a la distancia CP; y por la semejanza de la figura evanescente Pnomq y de la figura PFGVI, la razón última de los segmentos evanescentes Pm, Pn, Po, Pq, esto es, la razón de las variaciones instantáneas de la curva AP, de la recta CP, del arco circular BP, y de la recta VP será respectivamente la misma que la de las líneas PY, PF, PG, PI. Pero como VF es perpendicular a CF y VH a CV y, por tanto, los ángulos HYG, VCF son iguales; y (puesto que los ángulos del cuadrilátero HVEP son rectos en Y y P) el ángulo VHG es igual al ángulo CEP, los triángulos VHG y CEP serán semejantes; de donde ocurrirá que EP: CE = HG: HV, o HP = KI: PK y sumando o restando, CB: CE = PI: PK, y duplicando denominadores, CB: 2CE = PI: PV = Pq: Pm. El decremento, por tanto, de la línea VP, esto es, el incremento de la línea BV - VP, está respecto al incremento de la curva AP en la razón dada CB a 2CE, por lo cual (por el Corolario del Lema IV) las longitudes BV - VP y AP generadas por dichos incrementos están en la misma razón. Pero, siendo BV el radio, VP es el coseno del ángulo BVP o ½BEP, y por tanto BV - VP es el seno verso del mismo ángulo; y consecuentemente en esta rueda cuyo radio es ½BV, ocurrirá que BV - VP será el doble del seno verso del arco ½BP. Luego AP es al doble del seno verso del arco ½BP como 2CE a CB. Q. E. D.

En la primera de estas Proposiciones llamaremos a la línea AP la cicloide exterior al globo, y a la otra, para distinguirlas, la llamaremos, en la segunda, la cicloide interior al globo.

COROLARIO 1. De aquí que si se describiera la cicloide completa ASL, al bisecarla en S, la longitud de la parte PS será a la longitud VP (que es el doble del seno del ángulo VBP, siendo EB el radio) como 2CE a CB, y por tanto en razón dada.

COROLARIO 2. Y la longitud del semiperímetro de la cicloide AS será igual a la recta que sea al diámetro BV de la rueda como 2CE a CB.

PROPOSICIÓN L. PROBLEMA XXXIII

Hacer oscilar a un cuerpo pendular en una cicloide dada.

Dentro del globo QVS, descrito con centro en C, sea dada la cicloide QRS bisecada en R y que toca a ambos lados con sus puntos extremos Q y S a la superficie del globo. Trácese CR bisecante del arco QS en O y prolónguese hasta A, de modo que CA sea a CO como CO a CR. Y con centro en C e intervalo CA descríbase el globo exterior DAF, y dentro de este globo descríbanse por medio de una rueda cuyo diámetro sea AO las tíos semicicloides AQ y AS tangentes al globo interior en Q y S y que toquen al globo exterior en A. Desde dicho punto A, mediante un hilo APT igual en longitud a AR, suspéndase el cuerpo T y hágasele oscilar entre las semicicloides AQ, AS de modo tal que, cuantas veces se aparta el péndulo de la perpendicular AR, la parte superior del hilo AP se aplica a la semicicloide APS hacia la cual se dirige el movimiento, plegándose en torno a ella como si fuera un obstáculo, y la parte restante PT a la cual no obstaculiza la cicloide permanezca extendida en línea recta; y el peso T oscilará en la cicloide dada QRS. Q. E. F.

Hágase, pues, que el hilo PT se encuentre con la cicloide QRS en T, y con el círculo QOS en V, y trácese CV; y elévense las perpendiculares BP, TW hasta la parte recta del hilo PT desde los puntos extremos P y T, tales que encuentren a la recta CV en B y W. Por construcción y por la génesis de las figuras semejantes AS, SR, es evidente que las perpendiculares PB, TW cortan sobre CV las longitudes VB, VW iguales a los diámetros OA, OR de las ruedas. Por lo tanto TP es a VP (doble del seno del ángulo VBP, siendo V el radio) como BW a BV, o AO 4 + OR a AO, esto es (siendo proporcionales CA a CO, CO a CR y por división AO a OR) como CA + CO a CA, o, bisecando a BY en E, como 2CE a CB. Por consiguiente (por el Corolario 1 de la Proposición XLIX) la longitud de la parte recta del hilo PT es siempre igual al arco PS de la cicloide, y el hilo completo APT es siempre igual a la mitad del arco cicloide APS, esto es (por el Corolario 2 de la Proposición XLIX) a la longitud AR. Y por lo mismo a la inversa, si el hilo permanece siempre igual a la longitud AR el punto T se moverá en la cicloide dada QRS. Q. E. D.

COROLARIO. El hilo AR es igual a la semicicloide AS y, por lo tanto, está en la misma razón respecto al semidiámetro AC del globo exterior, que la semicicloide SR semejante a aquélla tiene con respecto al semidiámetro CO del globo interior.

PROPOSICIÓN LI. TEOREMA XVIII

Si una fuerza centrípeta tendente por todas partes al centro C de un globo fuese en cada punto singular como la distancia de cada lugar desde el centro, y bajo la acción de esta sola fuerza el cuerpo T oscilase (del modo ya descrito) en el perímetro de la cicloide QRS: digo que serán iguales los tiempos de las oscilaciones desiguales bajo otro aspecto.

Pues, sobre la tangente TW de la cicloide, prolongada indefinidamente, descienda la perpendicular CX y únase CT. Puesto que la fuerza centrípeta por la que el cuerpo T es impulsado hacia C es como la distancia CT y ésta (por el Corolario II de las Leyes) se descompone en las partes CX, TX, de las cuales CX empujando directamente al cuerpo desde P estira al hilo PT y se agota íntegramente en esa resistencia sin producir ningún otro efecto; mientras que la otra parte TX, al empujar transversalmente al cuerpo, o sea, hacia X, acelera directamente su movimiento en la cicloide; es evidente que la aceleración del cuerpo, proporcional a esta fuerza aceleratriz, es en cada momento como la longitud TX, esto es, por estar dadas CV, WV y las proporcionales a ellas TX, TW, como la longitud TW, esto es (por el Corolario 1 de la Proposición XLIX) como la longitud del arco cicloide TR. Por tanto, si se desvían desigualmente de la perpendicular AR dos péndulos APT, Apt y se dejan caer a la vez, sus aceleraciones serán siempre como los arcos a describir TR, tR. Pero las partes descritas en el inicio son como las aceleraciones, esto es, como el total a describir desde el principio y, por lo tanto, las partes que restan por describir y las aceleraciones subsiguientes, proporcionales a estas partes, son también como el total; y así sucesivamente. Por tanto las aceleraciones, así como las velocidades generadas y las partes descritas con estas velocidades y las partes a describir son siempre como el total; y en consecuencia, las partes a describir, al conservar entre sí una razón dada, evanescen a la vez, esto es, los dos cuerpos oscilantes llegarán a la vez a la perpendicular AR. Y puesto que el respectivo ascenso de los péndulos desde el punto inferior R, realizado a través de los mismos arcos cicloides con movimiento retrógrado, es retardado en cada lugar por las mismas fuerzas por las que eran acelerados los descensos, es evidente que las velocidades de los ascensos y descensos realizados por los mismos arcos son iguales y que, por tanto, se cumplen en tiempos iguales; y por lo mismo, como las dos partes RS y RQ de la cicloide situadas a cada lado de la perpendicular son semejantes e iguales, los dos péndulos realizarán, tanto las oscilaciones completas como las mitades, siempre en los mismos tiempos. Q. E. D.

COROLARIO. La fuerza por la que el cuerpo T es acelerado o retardado en cualquier punto T de la cicloide es al peso total de ese cuerpo en el lugar más elevado S o Q como el arco TR de la cicloide al arco de la misma SR o QR.

PROPOSICIÓN LII. PROBLEMA XXXIV

Definir las velocidades de péndulos en cada lugar así como los tiempos en que se completan tanto las oscilaciones como cada parte de ellas.

Con centro cualquiera G, con radio GH igual al arco de la cicloide RS, trácese el semicírculo HLM bisecado por el semidiámetro GK. Y si una fuerza centrípeta proporcional a las distancias de los lugares al centro tendiera hacia el centro G y fuera en el perímetro HIK igual a la fuerza centrípeta tendente Inicia el mismo centro en el perímetro del globo QOS, y a la vez que se deja caer el péndulo desde el punto más alto S se deja caer otro cuerpo L desde H hasta G, dado que las fuerzas que actúan sobre los cuerpos son iguales desde el principio y proporcionales siempre a los espacios a recorrer TR y LG y por lo mismo, si TR y LG son iguales, también lo son en los lugares T y L, es evidente que dichos cuerpos describen al principio espacios iguales ST y HL y continúan desde allí igualmente urgidos y recorriendo espacios iguales. Por lo tanto (por la Proposición XXXVIII) el tiempo en el cual el cuerpo describe el arco ST es al tiempo de una oscilación como el arco HI, tiempo en el cual el cuerpo H va hasta L, es al semiperímetro HKM, tiempo en el cual el cuerpo H va hasta M. Y la velocidad del péndulo en el punto T es a su velocidad en el punto ínfimo R (esto es, la velocidad del cuerpo H en el punto L a su velocidad en el punto G, o también el incremento momentáneo de la línea HL al incremento momentáneo de la línea HG, siendo constante la velocidad de crecimiento de los arcos HI y HK) como la ordenada LI al radio GK, o también como √(SR2 - TR2) a SR. De donde, como para oscilaciones desiguales los arcos descritos en tiempos iguales son proporcionales a los arcos enteros de las oscilaciones, si se tienen dados los tiempos se tendrán tanto las velocidades como los arcos descritos en cualquiera oscilación. Que era lo primero que había que hallar[34].

Oscilen ahora los cuerpos pendulares en cicloides distintas descritas en el interior de globos diferentes cuyas fuerzas absolutas son también distintas; y, si se denomina V a la fuerza absoluta de un globo cualquiera QOS, la fuerza aceleratriz que actúa sobre el péndulo en la circunferencia de dicho globo cuando empieza a moverse directamente hacia su centro será como la distancia del cuerpo pendular a dicho centro conjuntamente con la fuerza absoluta del globo, esto es, como CO x V. Y, por tanto, el segmento HY, que es como la fuerza aceleratriz CO x V, será descrito en un tiempo dado: y si se eleva la perpendicular YZ que toque a la circunferencia en Z, el arco naciente HZ denotará dicho tiempo dado. Pero este arco naciente HZ es como la raíz cuadrada del rectángulo GHY y, por tanto, como √GH x CO x V. De aquí que el tiempo de una oscilación completa en la cicloide QRS (siendo directamente como el semiperímetro HKM, que denota esa oscilación completa; e inversamente como el arco HZ, que análogamente denota el tiempo dado) será directamente como GH e inversamente como √GH x CO x V, esto es, puesto que GH y SR son iguales, como √SR / CO x V o (por el Corolario de la Proposición L) como √AR / AC x V. Por consiguiente, las oscilaciones en todos los globos y cicloides, efectuadas con cualesquiera fuerzas absolutas, están en razón compuesta directamente de la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda e inversamente de la raíz cuadrada de la distancia entre el punto de suspensión y el centro del globo y también inversamente de la raíz cuadrada de la fuerza absoluta del globo. Q. E. I.

COROLARIO 1. De aquí también que puedan compararse entre sí los tiempos de los cuerpos en oscilación, en caída o en giro. Pues si el diámetro de la rueda con la cual se describe la cicloide dentro del globo se supone igual al semidiámetro del globo, la cicloide resultará una línea recta que pasa por el centro del globo, y la oscilación será ahora un descenso y posterior ascenso en dicha recta. De donde están dados tanto el tiempo del descenso desde cualquier lugar hasta el centro como el tiempo igual a éste en el cual el cuerpo, girando uniformemente en torno al centro del globo y a cualquier distancia, describe el arco cuadrante. Pues dicho tiempo (por el Caso 2) es al tiempo de una semioscilación en toda cicloide QRS como 1 a √AR / AC.

COROLARIO 2. De aquí se siguen también los descubrimientos de Wren y de Huygens sobre la cicloide común. Pues si se aumenta infinitamente el diámetro de un globo, la superficie esférica del mismo se convertirá en un plano y la fuerza centrípeta actuará uniformemente en la dirección de las líneas perpendiculares a dicho plano, con lo que nuestra cicloide viene a ser una cicloide común. En este caso la longitud del arco de la cicloide entre ese plano y el punto descriptor resultará ser cuatro veces el seno verso del semiarco de la rueda entre dicho plano y el punto descriptor, como lo mostró Wren: y el péndulo entre dos cicloides semejantes oscilará con tiempos iguales en una cicloide semejante e igual, como demostró Huygens. Y también el descenso de los graves en el tiempo de una oscilación será el indicado por Huygens.

Se adaptan las proposiciones que hemos demostrado a la constitución real de la Tierra en la medida en que ruedas circulantes sobre sus círculos máximos describirán, con el movimiento de clavos fijados en sus perímetros, cicloides exteriores al globo; mientras que por debajo los péndulos suspendidos en minas y cavernas terrestres deben oscilar en cicloides interiores al globo para que resulten isócronas todas las oscilaciones. Pues la gravedad (como se mostrará en el Libro tercero) decrece al alejarse de la superficie terrestre; hacia arriba como el cuadrado de la distancia al centro y hacia abajo en razón simple.

PROPOSICIÓN LIII. PROBLEMA XXXV

Concedidas las cuadraturas de figuras curvas, hallar las fuerzas con las cuales cuerpos que se muevan en curvas dadas realicen siempre sus oscilaciones en tiempos iguales.

Oscile el cuerpo T en una curva cualquiera STRQ, cuyo eje sea AR que pasa por el centro de fuerzas C. Trácese TX, que loque a dicha curva en un lugar cualquiera T del cuerpo, y en esa tangente TX tómese TY igual al arco TR. La longitud de dicho arco es conocida por los métodos usuales para la cuadratura de figuras. Trácese desde el punto Y la recta YZ perpendicular a la tangente. Trácese CT que corte a dicha perpendicular en Z y la Fuerza centrípeta será proporcional a TZ. Q. E. I.

Ya que si la fuerza con la cual es atraído el cuerpo desde T hacia C se expresa por la recta TZ tomada proporcionalmente a ella, dicha fuerza se descompondrá en las fuerzas TY e YZ, de las cuales YZ, atrayendo el cuerpo según la longitud del hilo PT, en nada cambia su movimiento, mientras la otra fuerza TY acelera o retarda directamente su movimiento en la curva STRQ. Por tanto, al ser ésta como el espacio a recorrer TR, las aceleraciones o retardos del cuerpo al recorrer partes (mayor y menor) proporcionales de dos oscilaciones, siempre serán como esas partes, y por ende harán que esas partes siempre sean descritas simultáneamente. Pero los cuerpos que siempre describen a la vez partes proporcionales al todo, describirán los todos a la vez. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si el cuerpo T pende del hilo rectilíneo AT desde el centro A y describe el arco circular STRQ, y entre tanto es urgido hacia abajo según líneas paralelas por una fuerza que sea a la fuerza uniforme de la gravedad como el arco TR a su seno TN, los tiempos de cada oscilación serán iguales. Puesto que TZ y AR son paralelas, los triángulos ATN y ZTY serán semejantes y, por tanto, TZ será a AT como TY a TN; esto es, si la fuerza uniforme de la gravedad se expresa por la longitud dada AT, la fuerza TZ, por la que las oscilaciones resultan isócronas, será a la fuerza AT de la gravedad como el arco TR, igual a TY, es a TN, seno del mismo.

COROLARIO 2. Y por tanto en los relojes, si las fuerzas impresas por alguna máquina sobre el péndulo para conservar el movimiento se pueden componer con la fuerza de la gravedad de tal modo que la fuerza total hacia abajo sea siempre como la línea que se obtenga al dividir el producto del arco TR y el radio AR por el seno TN, todas las oscilaciones serán isócronas.

PROPOSICIÓN LIV. PROBLEMA XXXVI

Concedidas las cuadraturas de figuras curvas, hallar los tiempos en que con cualquier fuerza centrípeta los cuerpos descenderán o ascenderán por cualesquiera líneas curvas descritas sobre un plano que atraviesa el centro de fuerza.

Descienda un cuerpo desde un lugar cualquiera S a través de una cierta línea curva STtR dada en un plano que pasa por el centro de fuerzas C. Únase CS y divídase en innumerables partes iguales, y sea una de ellas Dd. Con centro en C y distancias CD y Cd trácense los círculos DT dt que encuentran a la curva STrR en T y t. Y estando dadas tanto la ley de la fuerza centrípeta como la altura CS desde la que cayó el cuerpo, estará dada la velocidad del cuerpo en cualquiera otra altura CT (por la Proposición XXXIX). Pero el tiempo en que el cuerpo describe el segmento Tt es como la longitud de este segmento, esto es, directamente como la secante del ángulo tTC; e inversamente como la velocidad. Sea proporcional a este tiempo la ordenada DN perpendicular a CS en el punto D, y, por estar dada Dd, el rectángulo Dd x DN, esto es el área DNnd, será proporcional a dicho tiempo. Por lo tanto, si PNn fuese aquella línea curva a la que siempre es tangente el punto N y su asíntota fuese la recta SQ que cae perpendicularmente sobre la recta CS, el área SQPND será proporcional al tiempo en que el cuerpo al caer ha descrito la línea ST; por tanto, hallada esta área estará dado el tiempo. Q. E. I.

PROPOSICIÓN LV. TEOREMA XIX

Si un cuerpo se mueve en cualquier superficie curva cuyo eje pasa por el centro de fuerzas y se traza una perpendicular desde el cuerpo al eje; y desde cualquier punto dado del eje se traza otra línea igual y paralela a la anterior, digo que dicha paralela describirá un área proporcional al tiempo.

Sea BKL la superficie curva, T el cuerpo que gira en ella, STR la trayectoria descrita en ella por el cuerpo, S el comienzo de la trayectoria, OMK el eje de la superficie curva, TN la perpendicular del cuerpo al eje, OP la paralela e igual a ésta trazada desde el punto dado O en el eje; sea AP la proyección de la trayectoria descrita por el punto P de la línea giratoria OP sobre el plano AOP; sea A el comienzo del trazo correspondiente al punto S, TC la recta trazada desde el cuerpo al centro, TG una parte de la misma proporcional a la fuerza centrípeta con que el cuerpo es ut raído hacia el centro C, TM una recta perpendicular a la superficie curva, TI una parte de la misma que es proporcional a la presión con la que el cuerpo actúa sobre la superficie y a la vez es repelido por ella hacia M; PTF una paralela al eje y que pasa (por el Corolario II de las Leyes) se descompone en las fuerzas TF, desde los puntos G e I sobre dicha paralela PHTF. Digo ahora que el área AOP, descrita por el radio OP desde el inicio del movimiento, es proporcional al tiempo. Puesto que la fuerza TG (por el Corolario 2 de las Leyes) se descompone en las fuerzas TF, FG; y la fuerza TI en las fuerzas TH, HI: ahora bien, las fuerzas TF, TH al actuar según la línea PF perpendicular al plano AOP sólo cambian el movimiento del cuerpo respecto a la perpendicular a dicho plano. Y por tanto su movimiento, en tanto que realizado según la posición del plano, esto es, el movimiento del punto P, con el que se describe el trazo de la trayectoria AP en dicho plano, es el mismo que si se suprimiesen las fuerzas TF, TH y el cuerpo fuese únicamente urgido por las fuerzas FG, HI; esto es, el mismo que si el cuerpo describiese la curva AP en el plano AOP con una fuerza centrípeta tendente al centro O e igual a la suma de las fuerzas FG y HI. Pero con semejante fuerza (por la Proposición I) se describirá el área AOP proporcional al tiempo. Q. E. D.

COROLARIO. Por el mismo argumento, si un cuerpo, urgido por fuerzas que tienden a dos o más centros en la misma recta dada CO, describiese en un espacio libre una curva cualquiera ST, el área AOP siempre será proporcional al tiempo.

PROPOSICIÓN LVI. PROBLEMA XXXVII

Concedida la cuadratura de figuras curvilíneas y supuesto que tanto la ley de la fuerza centrípeta tendente a un centro dado como la superficie curva cuyo eje pasa por dicho centro están dadas, hallar la trayectoria que en esa superficie describirá un cuerpo que parte de un lugar dado, con una velocidad dada y hacia una dirección dada en esa superficie.

Manteniendo la construcción de la Proposición anterior, salga el cuerpo T desde el lugar dado S según una recta de posición dada hacia la trayectoria a hallar STR, cuya proyección en el plano BDO sea AP. Y al estar dada la velocidad del cuerpo en la altura SC estará dada su velocidad en cualquier otra altura TC. Con dicha velocidad describa en un tiempo dado mínimo la parte 17 de su trayectoria, y sea Pp la proyección de la misma descrita sobre el plano AOP. Únase Op y trazado un pequeño círculo en la superficie curva con centro en T e intervalo Tt sea su proyección en el plano AOP la elipse pQ. Y puesto que está dado en magnitud el pequeño círculo Tt, y está dada su distancia TN o PO del eje CO, estará dada en magnitud dicha elipse pQ tanto en especie y magnitud como en posición respecto a la recta PO. Y dudo que el área POp es proporcional al tiempo y está dada al estar dado el tiempo, estará dado el ángulo POp. Y, por consiguiente, estará dado p, intersección común de la elipse y de la recta Op, así como el ángulo OPp, ángulo con el que la proyección APp de la trayectoria corta a la línea OP. Y de aquí (aplicando la Proposición XLI y su Corolario 2) se ve fácilmente el modo de determinar APp. Entonces, a partir de cada punto P de la proyección, elevando sobre el plano AOP las perpendiculares PT que corten a la superficie curva en T, quedará dado cada punto T de la trayectoria. Q. E. I.