Sección XIII. Sobre las fuerzas atractivas de cuerpos no esféricos

Sección XIII SOBRE LAS FUERZAS ATRACTIVAS DE CUERPOS NO ESFÉRICOS

PROPOSICIÓN LXXXV. TEOREMA XLII

Si la atracción padecida por un cuerpo es mucho mayor cuando está contiguo al atrayente que cuando están separados aunque sea por un intervalo mínimo; las fuerzas de las partículas del cuerpo atrayente decrecen al separarse del cuerpo atraído en razón mayor que el cuadrado de las distancias de las partículas.

Pues si las fuerzas decrecen en razón del cuadrado de las distancias de las partículas, la atracción hacia un cuerpo esférico, dado que (por la Proposición LXXIV) es inversamente como el cuadrado de la distancia al cuerpo atraído desde el centro de la esfera, no aumentará sensiblemente por el contacto; y todavía aumentará menos por el contacto si la atracción decrece en una proporción menor al retroceder el cuerpo atraído. La Proposición resulta, pues, evidente tratándose de esferas atractivas. Y lo mismo ocurre con orbes esféricos cóncavos que atraen a cuerpos externos. Y todavía es más claro para orbes que atraen a cuerpos ubicados en su interior, dado que las atracciones difundidas por las cavidades de los orbes en todas direcciones son (por la Proposición LXX) destruidas por las atracciones contrarias, y por ello son nulas hasta en el mismo contacto. Pero si de estas esferas y orbes esféricos se suprimen partes cualesquiera distantes del lugar de contacto y se añaden partes nuevas en otros lugares, pueden cambiarse a voluntad las figuras de los cuerpos atractivos, sin que las partes suprimidas o añadidas, al estar alejadas del lugar de contacto, aumenten notablemente el exceso de atracción que procede del contacto. Por tanto la Proposición se mantiene para cuerpos de cualesquiera figuras. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXXVI. TEOREMA XLIII

Si las fuerzas de las partículas de que consta un cuerpo atractivo decrecen, al alejarse el cuerpo atraído, en razón cúbica o mayor de la distancia de las partículas, la atracción en el lugar de contacto será mucho mayor que cuando los cuerpos atrayente y atraído se hallan separados por un intervalo aunque sea mínimo.

Pues, que la atracción aumenta hasta el infinito cuando el corpúsculo atraído se aproxima a una esfera atractiva de este tipo consta por la solución al Problema XLI, mostrada en los ejemplos segundo y tercero. Lo mismo se infiere fácilmente a partir de dichos ejemplos comparados con el Teorema XLI para el caso de las atracciones de cuerpos hacia orbes cóncavo-convexos, tanto si los cuerpos atraídos se sitúan fuera como dentro de dichas cavidades. Y añadiendo o quitando a estas esferas y orbes por doquier menos en el lugar de contacto cuanta materia atractiva se precise hasta que adquieran la figura requerida, la Proposición se mantendrá para todos los cuerpos. Q. E. D.

PROPOSICIÓN LXXXVII. TEOREMA XLIV

Si dos cuerpos entre sí semejantes que constan de materia igualmente atractiva atraen cada uno a un corpúsculo que le es proporcional y está ubicado respecto a ellos de modo semejante, las atracciones aceleratrices de los corpúsculos hacia los cuerpos enteros serán como las atracciones aceleratrices de los corpúsculos hacia partículas de aquellos cuerpos proporcionales a los todos y ubicados semejantemente en los todos.

Pues, si los cuerpos se dividen en partículas que sean proporcionales a los todos y ubicadas semejantemente en los todos, la atracción hacia una partícula cualquiera de un cuerpo será a la atracción hacia la correspondiente partícula del otro cuerpo como las atracciones hacia cada partícula del primer cuerpo son a las atracciones hacia cada partícula correspondiente del otro; y componiendo, también es así la atracción hacia todo el primer cuerpo respecto a la atracción hacia todo el segundo. Q. E. D.

COROLARIO 1. Luego si las fuerzas atractivas de las partículas, al aumentar las distancias de los corpúsculos atraídos, decreciesen en razón de alguna potencia de las distancias, las atracciones aceleratrices hacia los cuerpos enteros serán directamente como los cuerpos e inversamente como las dichas potencias de las distancias. Y si las fuerzas de las partículas decrecen en razón del cuadrado de las distancias respecto a los corpúsculos atraídos, y los cuerpos son como A3 y B3 y por ello tanto los lados cúbicos de los cuerpos como las distancias de los corpúsculos atraídos hasta los cuerpos son como A y B, las atracciones aceleratrices hacia los cuerpos serán como A3 / A2 y B3 / B3, esto es, como los lados cúbicos aquellos A y B de los cuerpos. Si las fuerzas de las partículas decrecen en razón cúbica de las distancias a los corpúsculos atraídos, las atracciones aceleratrices hacia los cuerpos completos serán como A3 / A3 y B3 / B3, esto es, iguales. Si las fuerzas decrecen en razón de la cuarta potencia, las atracciones hacia los cuerpos serán como A3 / A4 y B3 / B4, esto es, inversamente como los lados cúbicos A y B. Y así para los demás.

COROLARIO 2. De donde, a la inversa, de las fuerzas con las cuales cuerpos semejantes atraen a corpúsculos ubicados semejantemente respecto a ellos, se puede inferir la razón del decremento de las fuerzas atractivas de las partículas al alejarse el corpúsculo atraído, siempre que dicho decremento se halle en alguna razón directa o inversa respecto a las distancias.

PROPOSICIÓN LXXXVIII. TEOREMA XLV

Si las fuerzas atractivas de partículas iguales de un cuerpo cualquiera fuesen como las distancias de los lugares a las partículas, la fuerza del cuerpo entero tenderá hacia su centro de gravedad; y será la misma que la de un globo que constase de materia semejante e igual, y que tuviese su centro en el centro de gravedad.

Las partículas A, B, del cuerpo RSTV atraen a un corpúsculo cualquiera Z con fuerzas que, si las partículas son iguales entre sí, son como las distancias AZ, BZ; y si son desiguales, serán como dichas partículas y sus distancias AZ, BZ, conjuntamente, o también (por así decirlo) como dichas partículas multiplicadas respectivamente por sus distancias AZ, BZ. Expresemos estas fuerzas mediante dichos productos, A x AZ y B x BZ. Únase AB y córtesela en G de tal modo que AG sea a BG como la partícula B es a la partícula A; y G será el centro común de gravedad de las partículas A y B. La fuerza A x AZ (por el Corolario II de las Leyes) se descompondrá en las fuerzas A x GZ y A x AG, mientras la fuerza B x BZ se descompondrá en B x GZ y B x BG. Pero las fuerzas A x AG y B x BG, al ser proporcionales A respecto a B y BG respecto a AG, son iguales; y como tienen direcciones contrarias se anulan mutuamente. Quedan las fuerzas A x GZ y B x GZ. Estas tienden desde Z hacia el centro G y componen la fuerza (A + B) x GZ; esto es, la misma fuerza que si las partículas atractivas A, B, estuviesen ubicadas en su centro común de gravedad G, formando allí un globo.

Por el mismo argumento, si se añade una tercera partícula C, y se compone su fuerza con la fuerza (A + B) x GZ tendente hacia el centro G; la fuerza resultante de ello tenderá al centro común de gravedad de dicho globo en G y de la partícula C; esto es, hacia el común centro de gravedad de las tres partículas A, B, C; y será la misma que si el globo y la partícula C se hallasen en dicho centro común, formando allí un globo mayor. Y así se puede seguir hasta el infinito. Por lo mismo, la fuerza total de todas las partículas de un cuerpo cualquiera RSTV es la misma que si dicho cuerpo, manteniendo el centro de gravedad, tomase la forma de un globo. Q. E. D.

COROLARIO. De aquí que el movimiento del cuerpo atraído Z será el mismo que si el cuerpo atrayente RSTV fuese esférico; y por tanto lo mismo si el cuerpo atrayente reposa como si se mueve uniformemente en línea recta, el cuerpo atraído se moverá en una elipse que tiene su centro en el centro de gravedad del cuerpo atrayente.

PROPOSICIÓN LXXXIX. TEOREMA XLVI

Si se tienen varios cuerpos que constan de partículas iguales, cuyas fuerzas son como las distancias de los lugares hasta cada uno: la fuerza compuesta de todas las fuerzas con la cual es atraído un corpúsculo cualquiera tenderá al centro común de gravedad de los atrayentes; y será la misma que si dichos cuerpos atrayentes, manteniendo el mismo centro común de gravedad, se reuniesen y formasen un globo.

Se demuestra de igual modo que la Proposición anterior.

COROLARIO. Por tanto, el movimiento del cuerpo atraído será el mismo que si los cuerpos atrayentes, manteniendo el centro común de gravedad, se reuniesen y formasen un globo. Y, por lo mismo, si el centro común de gravedad de los cuerpos atrayentes reposa o progresa uniformemente en línea recta, el cuerpo atraído se moverá en una elipse cuyo centro está en el centro común de gravedad de los cuerpos atrayentes.

PROPOSICIÓN XC. PROBLEMA XLIV

Si hacia cada punto de un círculo cualquiera tienden fuerzas centrípetas iguales, crecientes o decrecientes según alguna razón de las distancias, hállese la fuerza con la que es atraído un corpúsculo situado en un punto cualquiera de una recta levantada perpendicularmente desde el plano del círculo y en su punto central.

Imagínese un círculo descrito con centro en A y un radio cualquiera AD en un plano al que es perpendicular la recta AP; y hay que hallar la fuerza con la cual es atraído hacia él un corpúsculo cualquiera P. Desde un punto cualquiera del círculo, tal como E, trácese hasta el corpúsculo la recta PE. Sobre la recta PA tómese PF igual a PE y elévese la normal FK, que sea como la fuerza con la que el punto E atrae al corpúsculo P y sea IKL una línea curva a la que el punto K es continuamente tangente. Y toque ésta al plano del círculo en L. Sobre PA tómese PH igual a PD, y elévese la perpendicular HI que se encuentra con la curva antedicha en I; y la atracción del corpúsculo P hacia el círculo será como el área AHIL multiplicada por la altura AP. Q. E. I.

Efectivamente, tómese sobre AE el segmento mínimo Ee. Únase Pe, y sobre PE, PA, tómense PC, Pƒ, iguales a Pe. Y puesto que la fuerza con la cual un punto cualquiera E del anillo descrito con centro en A y radio AE sobre el plano antedicho atrae hacia sí al cuerpo P supongamos que es como FK, y por tanto la fuerza con la que el dicho punto atrae al cuerpo P hacia A es como AP x FK / PE, y la fuerza con la cual el anillo completo atrae al cuerpo P hacia A es como el anillo y AP x FK / PE conjuntamente; pero dicho anillo es como el rectángulo comprendido bajo el radio AE y la anchura Ee, y este rectángulo (por la proporcionalidad de PE y AE, Ee y CE) es igual al rectángulo PE x CE o PE x Fƒ; la fuerza con la cual este anillo atraerá al cuerpo P hacia A será como PE x Fƒ y AP x FK / PE conjuntamente, esto es, como el contenido bajo Fƒ x FK x AP, o también como el área FKkƒ multiplicada por AP. Y por tanto la suma de las fuerzas con las cuales todos los anillos sobre el círculo que se describe con centro en A y radio AD, atraen al cuerpo P hacia A es como toda el área AHIKL multiplicada por AP. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si las fuerzas de los puntos decrecen en razón del cuadrado de las distancias, esto es, si FK se hace como 1 / PF2 y por lo mismo el área AHIKL como 1 / PA - 1 / PH; la atracción del corpúsculo P hacia el círculo será como 1 - PA / PH, esto es, como AH / PH.

COROLARIO 2. Y, en general, si las fuerzas de los puntos a las distancias D fuesen inversamente como una potencia cualquiera Dn de las distancias; esto es, si FK fuese como 1 / Dn, y por tanto el área AHIKL como 1 / PAn - 1 - 1 / PHn - 1, la atracción del corpúsculo P hacia el círculo sera como 1 / PAn - 2 - PA / PHn - 1.

COROLARIO 3. Y si el diámetro del círculo se aumentase hasta el infinito y el número n es mayor que la unidad, la atracción del corpúsculo P hacia el plano entero infinito será inversamente como PAn - 2, ya que el otro termino PA / PHn - 1 se desvanece.

PROPOSICIÓN XCI. PROBLEMA XLV

Hallar la atracción de un corpúsculo situado en el eje de un sólido redondo, hacia cada uno de cuyos puntos tienden fuerzas centrípetas iguales y decrecientes según una razón cualquiera de las distancias.

El corpúsculo P sea atraído hacia el sólido DECG y esté situado sobre su eje AB. Córtese el sólido con un círculo cualquiera RFS perpendicular a dicho eje, y en su semidiámetro FS, sobre un plano cualquiera PALKB que pasa por el eje, tómese (por la Proposición XC) la longitud FK proporcional a la fuerza con la que el corpúsculo P es atraído hacia dicho círculo. Sea el punto K tangente a la línea curva LKI que se encuentra con los planos más exteriores de los círculos AL y BI en L e I; y la atracción del corpúsculo P hacia el sólido será como el área LABI. Q. E. I.

COROLARIO 1. De donde, si el sólido es un cilindro descrito por el paralelogramo ADEB al girar sobre su eje AB, y las fuerzas centrípetas tendentes hacia cada uno de sus puntos fuesen inversamente como los cuadrados de las distancias hasta los puntos; la atracción del corpúsculo P hacia dicho cilindro será como AB - PE + PD. Ya que la ordenada FK (por el Corolario 1 de la Proposición XC) será como 1 - PF / PR. El miembro 1 de esta cantidad multiplicado por la longitud AB describe el área 1 x AB: y el otro miembro PF / PR multiplicado por la longitud PB describe el área 1 x (PE - AD) (fácil de mostrar a partir de la cuadratura de la curva LKI); y de modo similar, aquel mismo miembro multiplicado por la longitud PA describe el área 1 x (PD - AD) y multiplicado por AB, que es la diferencia entre PB, PA, describe la diferencia de las áreas 1 x (PE - PD). Réstese del primer valor 1 x AB el del último 1 x (PE - PD) y el resto será el área LABI igual a 1 x (AB - PE + PD). Luego la fuerza proporcional a esta área es como AB - PE + PD.

COROLARIO 2. De aquí también se obtiene la fuerza con la cual el esferoide AGBC atrae a un corpúsculo cualquiera P situado externamente en su eje AB. Sea NKRM la sección cónica cuya ordenada ER, perpendicular a PE, sea siempre igual a la longitud PD que se traza hasta el punto D en el cual la susodicha ordenada corta al esferoide. Desde los vértices del esferoide A, B, elévense, perpendiculares al eje AB, las líneas AK, BM, respectivamente iguales a AP, BP, que, por tanto, encontrarán a la sección cónica en K y M; y únanse KM, separando el segmento KMRK.

Sea S el centro del esferoide y SC el semidiámetro máximo; y la fuerza con la cual el esferoide atrae al cuerpo P será a la fuerza con la cual atrae al mismo cuerpo una esfera descrita con diámetro AB como AS x CS2 - PS x KMRK / PS2 + CS2 - AS2 a AS3 / 3PS2. Y con la misma base de cálculo es posible hallar las fuerzas de los segmentos del esferoide.

COROLARIO 3. Y si el corpúsculo se colocase sobre el eje dentro del esferoide, la atracción será como su distancia al centro. Cosa que se infiere fácilmente con el argumento siguiente, tanto si la partícula se halla en el eje como en otro diámetro dado cualquiera. Sea AGOF el esferoide atrayente, S su centro y P el cuerpo atraído. Trácese por dicho cuerpo P tanto el semidiámetro SPA como las dos rectas cualesquiera DE, FG, que cortan al esferoide a uno y otro lado en D y E, y F y G; y sean PCM, HLN, las superficies de dos esferoides interiores, semejantes y concéntricas de la exterior, de las cuales la primera pasa por el cuerpo P y corta a las rectas DE y FG en B y C y la segunda corta a las mismas rectas en H, I y K, L. Tengan todos los esferoides el eje común y serán las partes de las rectas interceptadas a uno y otro lado iguales entre sí, DP y BE, FP y CG, DH e IE, FK y LG: por cuanto que las rectas DE, PB y HI son bisecadas en el mismo punto, al igual que las rectas FG, PC y KL. Supóngase ahora que DPF, EPG, designan conos opuestos, descritos por los ángulos verticales infinitamente pequeños DPF, EPG, y que las líneas DH, El, son también infinitamente pequeñas; y las partículas de los conos DHKF y GLIE, separadas por las superficies de los esferoides, serán entre sí, debido a la igualdad de las líneas DH, El, como los cuadrados de sus distancias al cuerpo P, y por ello atraerán igualmente a dicho corpúsculo. Y por la misma razón, si los espacios DPF, EGCB, se dividen en partículas mediante las superficies de innumerables esferoides semejantes, concéntricos y con eje común, todas ellas a ambos lados atraerán igualmente al cuerpo P en sentidos contrarios. Por tanto, las fuerzas del cono DPF y las del segmento cónico EGCB son iguales, y por ser contrarias se destruyen mutuamente. Y lo mismo ocurre con las fuerzas de toda materia exterior al esferoide más interior PCBM. En consecuencia, el cuerpo P es atraído únicamente por el esferoide interior PCBM, y por ello (por el Corolario 3 de la Proposición LXXII) su atracción es a la fuerza con la que el cuerpo A es atraído por el esferoide total AGOD, como la distancia PS a la distancia AS. Q. E. D.

PROPOSICIÓN XCII. PROBLEMA XLVI

Dado un cuerpo atrayente, hallar la razón del decrecimiento de las fuerzas centrípetas tendentes hacia cada uno de sus puntos.

Del cuerpo dado hay que obtener una esfera o un cilindro u otra figura regular cualquiera cuya ley de atracción concuerde con alguna razón de decrecimiento calculable (por las Proposiciones LXXX, LXXXI y XCI). Después, mediante experimentos hay que hallar la fuerza de atracción a distintas distancias, y descubierta así la ley de la atracción hacia el todo, permitirá hallar la razón del decrecimiento de las fuerzas de cada parte, que era preciso hallar.

PROPOSICIÓN XCIII. TEOREMA XLVII

Si un sólido, plano por un lado e infinito por todos los demás, constase de partículas iguales e igualmente atrayentes, cuyas fuerzas al alejarse del sólido decrecen en razón de una potencia de las distancias mayor que el cuadrado de las mismas, y un corpúsculo situado a una u otra parte del plano es atraído por la fuerza del sólido entero; digo que la tal fuerza atractiva del sólido, al alejarse de su superficie plana, decrece en razón de una potencia cuya base es la distancia del corpúsculo al plano y su índice es 3 unidades menos que el índice de la potencia de las distancias.

CASO 1. Sea LGl el plano en que termina el sólido. Extiéndase éste hacia el lado del plano que mira hacia I, y descompóngase en innumerables planos mHM, nlN, oKO, etc., paralelos a GL. Y colóquese primero el cuerpo atraído C fuera del plano. Trácese CGHI perpendicular a esos innumerables planos, y decrezcan las fuerzas atractivas de los puntos del sólido en razón de una potencia de las distancias, cuyo índice n no sea menor que 3. Entonces (por el Corolario 3 de la Proposición XC) la fuerza con la que cualquier plano mHM atrae al punto C es inversamente como CHn - 2. Sobre el plano mHM tómese la longitud HM, inversamente proporcional a CHn - 2, y dicha fuerza será como HM. E igualmente para cada plano lGL, nIN, o KO, etc., tómense longitudes GL, IN, KO, etc., inversamente proporcionales a CGn - 2, CIn - 2, CKn - 2, etc.; y las fuerzas de tales planos serán como las longitudes tomadas, y por lo mismo la suma de las fuerzas como la suma de las longitudes, esto es, la fuerza del sólido entero como el área GLOK prolongada infinitamente hacia OK. Pero dicha área (por el conocido método de las cuadraturas) es inversamente como CGn - 3, y por tanto la fuerza del cuerpo entero es inversamente como CGn - 3. Q. E. D.

CASO 2. Ahora colóquese el corpúsculo C al otro lado del plano lGL dentro del sólido, y tómese la distancia CK igual a la distancia CG. Y la parte del sólido lGLoKO, delimitada por los planos paralelos lGL, o KO, no atraerá hacia ninguna parte al corpúsculo C, al estar situado en el medio, por cuanto que las acciones contrarias de los puntos opuestos se anulan en razón de su igualdad. Por lo cual el corpúsculo C será atraído por la sola fuerza del sólido que se halla más allá del plano OK. Pero esta fuerza (por el Caso 1) es inversamente como CKn - 3, esto es (por ser iguales CG y CK) inversamente como CGn - 3. Q. E. D.

COROLARIO 1. De aquí que si el sólido LGIN estuviese delimitado a cada lado por dos planos paralelos infinitos LG, IN, su fuerza atractiva resulta de restar de la fuerza atractiva de todo el sólido infinito LGKO la fuerza atractiva de la parte posterior NIKO prolongada infinitamente hacia KO.

COROLARIO 2. Si se despreciase la parte posterior de este sólido infinito, porque, al compararla con la atracción de la parte anterior, su atracción es insignificante, la atracción de dicha parte anterior decrecerá, al aumentar las distancias, en una razón muy próxima de la potencia CGn - 3.

COROLARIO 3. Y de aquí que, si un cuerpo finito y plano por un lado atrae a un corpúsculo desde la región media de dicho plano y la distancia entre el corpúsculo y el plano fuese muy pequeña comparada con las dimensiones del cuerpo atrayente, y éste constase de partículas homogéneas cuyas fuerzas atractivas decrecen en razón de alguna potencia de las distancias mayor que la cuarta; la fuerza atractiva del cuerpo entero decrecerá muy aproximadamente en razón de una potencia cuya base es aquella distancia muy pequeña y el índice 3 unidades menor que el índice de la potencia anterior. La afirmación no vale para un cuerpo compuesto de partículas cuyas fuerzas atractivas decrezcan en razón del cubo de las distancias; por cuanto que, en tal caso, la atracción de la parte posterior del cuerpo infinito del Corolario segundo es siempre infinitamente mayor que la atracción de la parte anterior.

ESCOLIO

Si un cuerpo cualquiera es atraído perpendicularmente hacia un plano dado y, a partir de una ley de atracción dada, se pide el movimiento del cuerpo, el problema se resuelve buscando (por la Proposición XXXIX) el movimiento del cuerpo descendiendo en línea recta hacia ese plano, y (por el Corolario II de las [Leyes]) componiendo dicho movimiento con un movimiento uniforme, realizado según líneas paralelas a dicho plano. Y viceversa, si se busca la ley de atracción hacia un plano según líneas paralelas y con la condición de que el cuerpo atraído se mueva en una línea curva cualquiera dada, el problema se resuelve operando al modo del Problema tercero.

Pero las operaciones pueden reducirse descomponiendo las ordenadas en series convergentes. Así, si a una base A se aplica con un ángulo dado la longitud ordenada B, que sea como una potencia cualquiera de la base Am⁄n; y se busca la fuerza con la cual un cuerpo, tanto si es atraído como repelido respecto a la base según la posición de la ordenada, puede moverse en una línea curva a la que siempre toca la ordenada con su extremo superior: supongo que la base aumenta en una parte mínima O, y descompongo la ordenada (A + O)m⁄n en la serie infinita: Am⁄n + m / nOAm - n⁄n + mm - mn / 2nnOOAm - 2n⁄n, etc., y supongo que la fuerza es proporcional al término en que O tiene dos dimensiones, esto es, al termino mm - mn / 2nnOOAm - 2n / 2n. La fuerza buscada es, pues, como mm - mn / nnAm - 2n⁄n o, lo que es lo mismo, como mm - mn / nnBm - 2n⁄n. Y si la ordenada es tangente a una parábola, siendo m = 2 y n = 1 la fuerza será como 2Bº ya dado, y por tanto resultará dada. Por tanto, con una fuerza dada el cuerpo se moverá en una parábola como demostró Galileo. Y si la ordenada es tangente a una hipérbola, siendo m = 0 - 1 y n = 1, la fuerza será como 2A-3 o como 2B3; y por tanto con una fuerza que sea como el cubo de la ordenada el cuerpo se moverá en una hipérbola. Pero una vez dadas éstas, paso a otras Proposiciones sobre el movimiento que aún no he tocado[37].